三角形外心的性質：1

市政府決定要在逢甲大學、至善國中及西屯國小中間蓋一座游泳池，為求公平游泳池必 須離這三所學校一樣近（如下圖左），你知道游泳池的位置應該在哪裡嗎?

如果我們以游泳池為圓心，游泳池到這三所學校的距離為半徑畫圓，可以得到一圓通過 這三所學校形成的三角形（如上圖右），則此圓我們稱為外接圓，游泳池稱為外心。

那麼到底如何找出三角形的外心呢?外心又有哪些性質呢?這一節我們將會討論此問題。

三角形外心的定義: 三角形三邊中垂線的交點，稱為三角形的外心。

如下圖中， L  、 ₁  L  、 ₂  L  分別為 AB 、 BC 、 AC 的中垂線，且相交於 O ₃  點，則 O 為△ABC 的外心。以 O 為圓心，過 A、B、C 三點畫圓，則圓 O 叫做△ABC 的外接圓。

A

B C

O

L1

L2

L3

逢甲大學

至善國中 ? 游泳池 西屯國小

逢甲大學

至善國中

西屯國小 游泳池

A  B 

C  O 

A

B C

O

利用尺規作圖觀察三角形外心的位置：

銳角三角形:外心在三角形的內部

直角三角形:外心在三角形的斜邊中點上

鈍角三角形:外心在三角形的外部

【結論】：外心不完全在三角形的內部。

三角形外心的性質：1. 外心到三頂點的距離都相等。

2. 若 O 為△ABC 的外心，

則當(1) △ABC 為銳角三角形，∠A 小於 90 ⁰ 時，∠BOC＝2∠A。

(2) △ABC 為鈍角三角形，∠A 大於 90 ⁰ 時，∠BOC＝360 ⁰ －2∠A。

A

B C

O L1

L2

L3

A

B C

L1 O

L2

L3

O

L1

L2

L3

A

B C

A

B C

O 1

2

3

4 

A  B 

C  1 O 

2 3 4 

A  B 

C  O 

性質 1：給一△ABC，設其 O 點為外心，則 AO ＝ BO ＝ CO 。(外心到三頂點的距離都相等)

【已知】 在△ABC 中，L ₁ 為 AB 的中垂線，L ₂ 為 BC 的中垂線，L ₃ 為 CA 的中垂線。

【求證】 L ₁ 、L ₂ 、L ₃ 相交於一點，且此點到三頂點的距離相等。

【證明】 (1) ∵△ABC 在一平面上

∴L ₁ 、L ₂ 會相交於一點 O，連接 AO 、 BO 、 CO 。 (2) ∵L ₁ 、L ₂ 是 AB 、 BC 的中垂線

∴ AO ＝ BO ， BO ＝ CO 

∴ AO ＝ CO 

∴O 點在 AC 的中垂線 L ₃ 上 即 L ₁ 、L ₂ 、L ₃ 相交於一點 O (3) ∵ AO ＝ BO ＝ CO ，

∴O 點到三頂點的距離相等。

性質 2：若 O 為△ABC 的外心，

則當(1) △ABC 為銳角三角形，∠A 小於 90 ⁰ 時，∠BOC＝2∠A，如圖一。

(2) △ABC 為鈍角三角形，∠A 大於 90 ⁰ 時，∠BOC＝360 ⁰ －2∠A，如圖二。

A

B C

O

圖一 圖二

【證明】

（1） 若△ABC 為銳角三角形，且 O 為△ABC 的外心 Þ  AO ＝ BO ＝ CO

Þ ∠1＝∠2，∠3＝∠4

∵∠BOC＝∠A＋∠2＋∠4 （箭頭定理）

＝∠1＋∠3＋∠2＋∠4

＝2（∠1＋∠3）

＝2∠A

（2） 若△ABC 為鈍角三角形，且 O 為△ABC 的外心 Þ  AO ＝ BO ＝ CO

Þ △AOB 與△AOC 均為等腰三角形 Þ ∠1＝∠2，∠3＝∠4

∵四邊形 ABOC 內角和＝360 ⁰ 

A

B C

O L1

L2

A

B C

O

∴∠BOC＋∠1＋∠2＋∠3＋∠4 ＝360 ⁰ Þ ∠BOC＝360 ⁰ －（∠1＋∠3＋∠2＋∠4）

＝360 ⁰ －2（∠2＋∠3）

＝360 ⁰ －2∠A

有關外心的相關應用

【範例－三角形外接圓作圖】已知一三角形，求作一圓通過此三角形的三頂點。

【已知】△ABC。

【求作】一圓 O 通過 A、B、C 三點。

【作法】

(1)分作 AB 、 BC 的中垂線 L ₁ 、L ₂ 。 (2)L ₁ 、L ₂ 相交於一點 O。

(3)以 O 為圓心， OA 為半徑畫圓，此圓即所求的圓。

【證明】

(1)如圖 L ₁ 、L ₂ 分別為 AB 、 BC 的中垂線，

∴ OA ＝ OB ＝ OC 。

(2)以 O 為圓心， OA 為半徑的圓通過 B、C 兩點，

∴圓 O 通過 A、B、C 三點。 （此圓叫做△ABC 的外接圓，而它的圓心叫做

△ABC 的外心。△ABC 的外心是它的三邊的中垂線的交點。） 

A 

B  C 

L 

L  O 

1 

2 

(a) 

A 

B  C 

L  L 

1  2 

(b) 

L 

L  A

B  C 

2 

1 

(c)  O 

O

【範例】有 A、B、C 三村莊，現想建一所國中，且和三村莊 等距離，則學校位置應在何處較適當？

【已知】A、B、C 三村莊

【求作】距 A、B、C 等距離的學校位置

【作法】(1)連接 AB 、 BC 、 AC 

(2)作 AB 、 BC 的中垂線，兩線交於 O (3)O 點即為學校位置

【範例】

（1）若△ABC 為銳角三角形，O 為△ABC 的外心，∠A＝50 ⁰ ，則∠BOC＝________。

（2）若△ABC 為鈍角三角形，O 為△ABC 的外心，∠A＝110 ⁰ ，則∠BOC＝________。

【解說】

（1）∠BOC＝2∠A＝2×50 ⁰ ＝100 ⁰ 

（2）∠BOC＝360 ⁰ －2∠A＝360 ⁰ －2×110 ⁰ ＝140 ⁰ 

【範例】△ABC 中，A 為（－2，6），B 為（1，7），C 為（5，5）， 求：(1)△ABC 的外心坐標 (2)△ABC 外接圓的面積為何？

【解說】(1)設△ABC 外心 O 的坐標為（x，y）

Þ  AO ＝ BO ＝ CO 

則

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 

2 2 2 2 

2 2 2 2 

2 6 1 7 

1 7 5 5 

x y x y 

x y x y

ì + + - = - + - ï í

- + - = - + - ï î

ï î ï í ì

+ - + + -

= + - + + -

+ - + + -

= + - + + + 

25  10  25 

10  49 

14  1 

2 

49  14  1 

2  36 

12  4 

4 

2  2 

2  2 

2  2 

2  2 

y  y 

x  x 

y  y 

x  x 

y  y 

x  x  y 

y  x 

x

î í ì

= -

= + 

0  4  8 

10  2  6 

y  x 

y 

x Þ 

(2)  0 

2 

(1)  5 

3 î í ì

= -

= +

L L

L L  y  x 

y  x 

利用加減消去法，將(1)＋(2)可得：

5x＝5 Þ x＝1 ， 將 x＝1 代入(1) ， 得 y＝2 故外心坐標為（1，2）

(2)外接圓半徑＝

(

) (

) 

故外接圓面積為 5 ² ×p ＝25p （平方單位） 

A 

B  C 

A 

B  O  C 

A(­2,6) 

B(1,7) 

C(5,5) 

O(x,y) 

X  Y

A 

B  C 

O 

【範例一】 【練習一】

三角形三邊長分別為 5、12、13，求外心到各 頂點距離之和。

設 O 為DABC 外心，若 OB ＝6，求 OA ＋ OB ＋  OC ＝？

【範例二】 【練習二】

1. 已知：O 為銳角DABC 外心 求證： Ð BOC＝2 Ð A

設 O 為DABC 外心， Ð B＝80 ⁰ ， Ð C＝60 ⁰ ， 求 Ð BOC＝？

【範例三】 【練習三】

已知： PA ＝ PB ，QA＝QB  求證：PQ為 AB 的中垂線

已知：L 為PQ中垂線 求證：SQ＝ SR ＋ RP 

A  B 

Q  O  P  1  2 

S  L 

P  Q 

R

【範例四】 【練習四】

已知：O 為鈍角DABC 外心 求證： Ð BOC＝360 ⁰ ─2 Ð A

設 O 為DABC 外心，若 Ð BOC＝160 ⁰ ，求 Ð BAC

＝？

【範例五】 【練習五】

△ABC 中，A 為（－2，6），B 為（1，7），C 為（5，5），求：(1) △ABC 的外心坐標 (2)

△ABC 外接圓的面積為何？

某生用圓規畫圓，不小心鉛筆斷了，只畫了 一個圓弧。請你找出圓心，並把圓畫好。

已知：一圓弧

求作：作該弧圓心，並把該圓畫好 

A 

B  C 

O  1  2

在下圖左中的三角形廣場上建ㄧ座涼亭，且涼亭到三條道路的距離要相等，你知道涼亭 該建在哪裡嗎？

涼亭

如果我們以涼亭為圓心，涼亭到道路的距離為半徑畫圓，則此圓恰與三角形的三邊相切

，我們稱此圓為內切圓，而涼亭為此三角形的內心。

那麼內心要如何找到呢?內心又有哪些性質呢？這一節我們將討論有關內心的相關性質。

內心的定義：三角形三內角角平分線的交點，稱為三角形的內心。

如下圖中，作∠A、∠B、∠C 的角平分線，且相交於 I 點，則 I 點叫做△ABC 的 內心。以 I 為圓心，由 I 分別作 ID ^ AB ， IE ^ BC ， IF ^ AC ，過 D、E、F 三點畫圓，則圓 I 叫做△ABC 的內切圓。

利用尺規作圖觀察三角形內心的位置：

銳角三角形:內心在三角形的內部 直角三角形: 內心在三角形的內部 涼亭

A

B C

I D

E F

A

B C

I

L¹

L² L3

A

B C

I

L1

L2

L3

C 

A  B 

P  D 

Q  F  E 

R 

O 

鈍角三角形: 內心在三角形的內部

【結論】內心在三角形的內部。

內心的性質：1. 內心到三邊的距離都相等。

2. 若 O 為△ABC 的內心，則∠BOC＝90 ⁰ ＋ ¹ 

2 ∠A。

3. △ABC 中，∠C＝90 ⁰ ，r 為其內切圓 O 的半徑，則 AC ＋ BC ＝ AB ＋2r。

4. 若 O 為△ABC 的內心，則△AOB：△BOC：△COA＝ AB ： BC ： CA 。 5. 設△ABC 的周長等於 s，其內切圓半徑等於 r，則△ABC＝ ¹ 

2 sr。

性質 1：給一△ABC，設 O 為其△ABC 的內心，則 OD ＝ OE ＝ OF 。 (內心到三邊的距離都相等)

【已知】在 D ABC 中，AQ平分 Ð A ， BR 平分 Ð B ， CP 平分 Ð C 。

【求證】AQ、 BR 、 CP 相交於一點，且這點與三邊等距離。

【證明】(1) ∵△ABC 在一平面上

∴AQ與 BR 會相交於一點 O 欲証 O 點在 CP 上

∵O 點在 Ð A 的平分線上 ∴ OD ＝ OF 

∵O 點在 Ð B 的平分線上 ∴ OD ＝ OE Þ OE ＝ OF ，

Þ O 點在 Ð C 的平分線 CP 上，

即△ABC 的三內角平分線AQ、 BR 、 CP 相交於一點 O。

(2) ∵ OD ＝ OE ＝ OF ，

∴O 點與△ABC 的三邊等距離。

A

B

C I

L1

L2

L3

性質 2：若 O 為△ABC 的內心，則∠BOC＝90 ⁰ ＋ ¹ 

2 ∠A。

【已知】O 為△ABC 的內心

【試證】 Ð BOC＝90 ⁰ ＋  2 

1 Ð A。

【證明】∵O 為△ABC 的內心

∴ BO 平分 Ð B， CO 平分 Ð C ，

∴ Ð 1 ＝  2 

1 Ð B ， Ð 2 ＝  2 

1 Ð C 。

∴ Ð BOC ＝180 ⁰ － Ð 1 － Ð 2 ＝180 ⁰ －  2 

1 Ð B －  2  1 Ð C

＝180 ⁰ －  2 

1 ( Ð B ＋ Ð C )＝180 ⁰ －  2 

1 (180 ⁰ － Ð A )＝90 ⁰ ＋  2  1 Ð A

性質 3：△ABC 中，∠C＝90 ⁰ ，r 為其內切圓 O 的半徑，則 AC ＋ BC ＝ AB ＋2r

【已知】△ABC 為直角三角形， Ð C ＝90 ⁰ ，r 為其內切圓半徑，

【試證】 AC ＋ BC ＝ AB ＋2r。

【證明】(1)圓 O 分別切 D ABC 三邊於 D、E 與 F，連接 OE 與 OF 。 (2)∵ AD 與 AF 過 A 點且與圓 O 相切，

∴ AD ＝ AF 。

同理， CE ＝ CF ， BD ＝ BE 。

(3)∵ OE ^ BC ， OF ^ AC ， Ð C ＝90 ⁰ ， OE ＝ OF ，

∴OECF 為正方形

∴ CE ＝ CF ＝r。

(4)∵ AC ＝ AF ＋ CF ， BC ＝ BE ＋ CE ，

∴ AC ＋ BC ＝( AF ＋ CF )＋( BE ＋ CE )

＝( AF ＋r)＋( BE ＋r)＝( AF ＋ BE )＋2r

＝( AD ＋ BD )＋2r ＝ AB ＋2r。

性質 4：若 O 為△ABC 的內心，則△AOB：△BOC：△COA＝ AB ： BC ： CA 

【已知】O 為△ABC 的內心

【試證】△AOB：△BOC：△COA＝ AB ： BC ： CA 。

【證明】(1)由 O 分別作 OD ^ AB ， OE ^ BC ， OF ^ AC ， D、E 和 F 分別為垂足。

(2)∵O 為△ABC 的內心，

∴ OD ＝ OE ＝ OF 。 

A 

B  1  2  C 

O 

A

C  B 

D 

F  r  O 

E 

A  B 

C

D  F  E 

O

A

C B

I 

A 

B  C 

D  O 

B C

D

E F

O A

(3) △AOB＝ 

2 

1 AB – OD ，△BOC＝ 

2 

1 BC – OE ，△COA＝ 

2 

1 CA – OF 。

(4)由(2)與(3)可知

△AOB：△BOC：△COA＝ AB ： BC ： CA 。

性質 5：設△ABC 的周長等於 s，其內切圓半徑等於 r，則△ABC＝ ¹  2 sr。

【已知】△ABC 的周長等於 s，其內切圓半徑等於 r

【求證】△ABC＝ ¹  2 sr

【證明】（1）△ABC 的內心為 O，連 OA 、 OB 、 OC 

（2）△ABC＝△AOB＋△BOC＋△COA＝ ¹ 

2 AB ×r＋ ¹ 

2 BC ×r＋ ¹ 

2 AC ×r

＝ ¹ 

2 （AB＋BC＋AC ）×r＝ ¹  2 sr 有關內心的相關應用

【範例】正三角形△ABC，邊長為 a，試求出△ABC 的外接圓半徑及內切圓半徑。

【解說】

正三角形的高 AD ＝  AB ­BD  ＝ ^{2 2}  3  2  a

∵正三角形外心、內心、重心共點 Þ 外接圓半徑＝ ² 

3 AD ＝ ²  3 ×  3 

2 a＝  3  3 a Þ 內切圓半徑＝ ¹ 

3 AD ＝ ¹  3 ×  3 

2 a＝  3  6 a

【範例】若 I 為△ABC 的內心， AB ＝3 公分， BC ＝6 公分， AC ＝7 公分，

則△AIB 面積：△BIC 面積：△CIA 面積＝___________。

【解說】

△AIB 面積：△BIC 面積：△CIA 面積

＝  AB ： BC ： AC 

＝ 3：6：7

I  A 

B  1  2  C 

80 ^O 

B  C 

I  A 

【範例】若 I 為△ABC 的內心，如右圖，則∠1＋∠2＝_______度，∠BIC＝_________度。

【解說】

∠1＋∠2＝ ¹ 

2 （∠B＋∠C）＝50 ⁰ 

∠BIC＝180 ⁰ －50 ⁰ ＝130 ⁰ 

【範例】若 I 為直角三角形 ABC 的內心， AB ＝3 公分， BC ＝4 公分，

則其內切圓半徑＝_______。

【解說】

∵△ABC 為直角三角形

∴ AC ＝  3 +4 ^{2 2} ＝5

∵ AB ＋ BC ＝ AC ＋2r 3＋4＝5＋2r

∴r＝1

【範例】坐標平面上直線 4 x +  y 3  = 12 交 x 軸於 A點，交y軸於B點。若O為原點， 

I 為△AOB 之內心，則△AIB 的面積=？

【解析】

Þ

= + 3  12 

4 x  y  所以圖形如右圖(一)：

如右圖(二)，設圓I 半徑 r 

∵△ABC 為直角三角形

∴ AB =  3 ² + 4 ²  = 5 

∵ AO ＋ BO ＝ AB ＋2r Þ 3＋4＝5＋2r Þ r＝1 則△AIB＝ 

2 

1 ×5×1＝ 

2  5  x  y 

0  4 

3  0 

圖(二)  I  O 

B 

A  5  4 

3 

r  y 

O  x 

A (3  0) ,  B (0  4) , 

4 

3  圖(一)

【範例一】 【練習一】

(1) Ð A＝90 ⁰ ，AB ＝ AC，O 為DABC 的內心，

求 Ð BOC 的度數

(2)承上題，若 AB ＝2 公分，求DABC 的外接 圓半徑及內切圓半徑。

(1)O 為DPQR 的內心， Ð O＝135 ⁰ ，求 Ð P 的 度數。

(2)一直角三角形兩股分別為 7 與 24，求此直 角三角形之外接圓的直徑及內切圓的直徑。

【範例二】 【練習二】

(1)圓 O 為DABC 的內切圓，P、Q、R 分別為 切點， AB ＝4，BC ＝5，CA ＝6，分別求 AP  與BQ、 CR 的長。

(2)若圓 O 的半徑是  2 

7 ，求DABC 的面積

(1)DABC 的周長是 48，面積是 96，其內切圓 的半徑是多少？

(2)DABC 的面積是 84，其內切圓半徑是 3，

求DABC 的周長。 

A 

B  C 

O 

P 

Q  R 

O 

A 

B  C 

P 

Q  R 

O

【範例三】 【練習三】

DABC 中， Ð A＝30 ⁰ ， Ð B＝60 ⁰ ， Ð C＝90 ⁰ ， O 為內心。

試證：DBOC：DAOC：DAOB＝1：  3 ：2

DABC 中， Ð A 為直角， AB ＝7， AC ＝24，

O 為內心，則DAOB：DBOC：DCOA＝？

【範例四】 【練習四】

O 為DABC 的內心， DE ^ AF 於 O。

試證： Ð BOD＝ 

2  1 Ð C

O 為DABC 的內心， DE ^ AF 於 O，若 Ð A＝

70 ⁰ ， Ð B＝60 ⁰ ，則 Ð BOD＝？ 

A 

B 

C  O 

A 

D 

E  B  O 

F  C 

A 

B  C 

D 

E  O

F

【範例五】 【練習五】

如右圖，四邊形 ABCD 中，∠B = 60 ^o 、  80 o 

=

ÐDCB  、 ÐD = 100 ^o 。若 P、Q 兩點分別 為△ABC及△ACD的內心，則 ÐPAQ  ？ =

如右圖，△ABC是直角三角形， ÐB = 90 ^o ，  3

= 

BC  、 AC = 5 ，圓O是△ABC的內切 圓，D、E、F 是切點，求 OA + OB + OC = ？ 

D  A 

C  Q 

P 

B 

A 

D 

C  F  B 

O  E

想要像下圖一樣，把一個三角形支撐起來，必須找到此三角形的平衡點也就是重心，那 該如何找到重心呢？三角形的重心又有哪些性質呢？這一節我們將討論此問題。

三角形的中線與等面積性質

1.中線的定義：三角形的一頂點和對邊中點的線段為此三角形的中線，

一個三角形有三條中線。

2.中線與面積關係：三角形的每一條中線把這個三角形分為兩個等積的三角形。

【已知】在△ABC 中， AM 為中線。

【求證】△ABM 和△ACM 的面積相等。

【證明】(1)過頂點 A 作 BC 的垂線相交於 D，則 AD 為△ABM 的高，也是△ACM 的高。

(2) △ABM 的面積＝ 

2 

1 BM – AD ，

△ACM 的面積＝ 

2 

1 CM – AD 。

(3) ∵M 為 BC 的中點，

∴ BM ＝ CM 。 

A 

B  M  C 

A 

B  C 

N 

A 

B  C 

L 

A 

B  D  M  C 

A 

D  B  M  C

(4) ∵ BM ＝ CM ，

∴ 2 

1 BM × AD ＝  2 

1 CM × AD ，

∴△ABM 的面積＝△ACM 的面積。

三角形重心的定義：三角形三中線必交於一點，此點稱為三角形的重心。如下圖， AE 、 

BF 、 CD 為三中線，則 G 稱為△ABC 的重心。

A

B C

D G

E F

利用尺規作圖觀察三角形重心的位置：

銳角三角形:重心在三角形的內部

直角三角形:重心在三角形的內部

鈍角三角形:重心在三角形的內部

【結論】重心在三角形的內部。

A

B C

D G

E F

A

B C

G D

E F

A

B C

D

E F

G

重心的性質：1. 三角形的重心到一頂點的距離等於過這頂點的中線的  3  2 。 2. 三角形重心與三頂點連線會三等分此三角形。

3. 三角形的三中線會六等分此三角形。

性質 1：三角形的重心到一頂點的距離等於過這頂點的中線的  3  2 。

【已知】 D ABC 的三中線 AM 、 BN 、 CL 相交於 G 點。

【求證】 AG  ＝  3 

2 AM ， BG ＝  3 

2 BN ， CG ＝  3 

2 CL 。

【證明】(1) 在 AM 上取一點 Q，使得GQ＝ AG ，連接BQ、CQ。 (2) 在△ABQ 中

∵ AL = LB ， AG = GQ 

∴ LC // BQ  Þ  GC // BQ 

同理可得 BG // QC  則知 BQCG 為平行四邊形。

(3) ∵BQCG 為平行四邊形，

∴ GM ＝MQ。

(4) ∵ AG ＝GQ＝ GM ＋MQ＝2 GM ， 

AM ＝ AG ＋ GM ＝2 GM ＋ GM ＝3 GM ，

∴ AG ＝2 GM ＝2（ 

3 

1 AM ）＝ 

3 

2 AM 。

(5) 同理， BG ＝  3 

2 BN ， CG ＝  3 

2 CL 。 性質 2：三角形重心與三頂點連線會三等分此三角形

【已知】如圖，DABC 內有一點 G，若△ABG、△BCG、△CAG 的面積皆相等。

【試證】G 為DABC 重心

【證明】(1) 延長 AG 交 BC 於 D，並過 B、C 作直線 AD 的垂線，

分別交於 E、F 兩點

(2) ∵△ABG＝△ACG ∴ BE ＝ CF 

(3) ∴在△BDE 與△CDF 中， BE ＝ CF ， Ð BDE＝ Ð CDF 又 Ð BED＝ Ð CFD＝90 ⁰

(4) ∴△BDE @ △CDF(AAS)

∴ BD ＝ CD 

∴ AD 為 BC 上的中線

(5) 同理，延長 BG 、 CG 均過 AC 、 AB 的中點 (6) ∴G 為△ABC 重心

A 

B  C 

L  N 

G 

M 

Q 

A 

B 

C  G 

A 

B 

C  G 

E  D  F

A

F E

B

G D C

性質 3：三角形的三中線會六等分此三角形

【已知】如圖， AD 、 BE 、 CF 分別為△ABC 之三中線，G 為△ABC 重心

【試證】△AGF、△BGF、△BGD、△CGD、△CGE、△AGE 六個面積皆相等。

【證明】(1)∵ AD 為△ABC 之中線

∴ BD ＝ DC 

(2)過 G 點作 GM 垂直 BC 於 M 點

△BGD＝ ¹ 

2 ×BD× GM ＝ ¹ 

2 DC × GM ＝△GDC 同理可證△AGF＝△BGF；△CGE＝△AGE (3)∵G 為重心

∴△AGB＝△BGC＝△AGC

故得知△AGF＝△BGF＝△BGD＝△CGD＝△CGE＝△AGE

有關重心的相關應用

【範例】如右圖，D、E、F 分別為△ABC 三邊上的中點。

（1）若 AD ＝9，則 AG ＝________。

（2）若 GE ＝ ⁴ 

3 ，則 BE ＝________。

（3）若 AD ＋ BE ＋ CF ＝36，

則 AG ＋ BG ＋ CG ＝_________。

（4）若△ABC＝42 平方公分，

則△GAF＝________平方公分，△GBC＝________平方公分。

【解說】

（1） AG ＝ ² 

3 AD ＝6

（2）∵ GE ＝ ¹ 

3 BE  ∴ BE ＝3 GE ＝3× ⁴  3 ＝4

（3） AG ＋ BG ＋ CG ＝ ² 

3 （ AD ＋ BE ＋ CF ）＝24

（4）△GAF＝ ¹ 

6 △ABC＝7；

△GBC＝ ¹ 

3 △ABC＝14 

A 

B  C 

D  F  E 

G 

A 

B  C 

D  F  E 

G 

M

【範例】如圖，ABCD 為平行四邊形，兩對角線相交於 O，

E 為 AD 中點， CE 交 BD 於 F，

則：（1） OF ： BD 為多少？

（2）四邊形 ABFE 面積：四邊形 ABCD 面積為多少？

【解說】

（1） 在△ACD 中，F 為重心 Þ OF ： OD ＝1：2 即 OF ＝ ¹  3 OD  又 OB ＝ OD ＝ ¹ 

2 BD  ∴ OF ＝ ¹ 

3 OD ＝ ¹  6 BD 

∴ OF ： BD ＝1：6

（2） 四邊形 AOFE 面積＝ ¹ 

3 △ACD 面積＝ ¹ 

6 四邊形 ABCD 面積

△AOB 面積＝ ¹ 

2 △ABC 面積＝ ¹ 

4 四邊形 ABCD 面積

∴四邊形 ABFE 面積＝△AOB＋四邊形 AOFE＝ ⁵ 

12 四邊形 ABCD 面積

∴四邊形 ABFE 面積：四邊形 ABCD 面積＝5：12

【範例】如圖，△ABC 中，已知 AB ＝ AC ，B 點坐標是(－1,0)、

C 點坐標是(3,0)，若△ABC 的面積為 12，試求：

(1) A 點的坐標是ˉˉˉˉ。

(2) △ABC 重心的坐標是ˉˉˉˉ。

【解析】

(1) ∵D 為 BC 的中點 ∴D 點坐標是(1,0) 又∵△ABC＝12＝ 

2 

1 ×4× AD  ∴ AD ＝6

Þ A 點坐標是(1,6) (2)  AC 的中點坐標 E 為(2,3) 

AD 的方程式： x = 1 BE 的方程式： y = x + 1 AD 與 BE 的交點即為重心 G

∴G 的坐標是(1,2) 

A 

B  C 

E  D 

O  F 

A(1,6)

B(-1,0) D(1,0) C(3,0) E(2,3) G

【範例】如圖，∠B＝90˚，D、E 分別為 AB 、 BC 的中點， AE 與 CD 交於 F 點，

若 AB ＝10、 BC ＝12，請問：

(1) DF 的長為 。

(2)四邊形 BEFD 的面積為 平方單位。

【解析】(1) 連接 AC 

∵D、E 分別為 AB 、 BC 的中點

∴G 為正DABC 重心 Þ DF ＝  CD 

3 

1  ＝ 

3  12  13  3  5 

1  2 2 

= +

(2) ∵G 為正DABC 重心 ∴△BEF＝ 

6 

1 △ABC

四邊形 BEFD＝2△BEF＝2（ 

6 

1 △ABC）＝ 

3 

1 △ABC＝ 

3  1 （ 

2 

1 ×10×12）＝20

【範例一】 【練習一】

G 為△ABC 重心，若 AG ＝6，BG ＝10，CG ＝ 8，求各中線之長。

設△ABC 三中線 AD、BE、CF 相交於 G，AD 

＝12 公分， BE ＝15 公分， CF ＝21 公分，

求 GD 、 GE 、 GF 之長。 

A 

B  C 

F  E 

D  G

【範例二】 【練習二】

已知：G 為正△ABC 重心

求證：(1) G 亦為正DABC 外心

(2)若 AG ＝6，求 AB 長及△ABC 面積

設 G 為正△ABC 重心，AB ＝10，求 AG 之長。

【範例三】 【練習三】

直角△ABC 中， Ð C＝90 ⁰ ，O 為外心，G 為重 心。若 AC ＝3，BC ＝4，求 OC 與 OG 之長。

設 G 為等腰直角△ABC 的重心， AG ＝2 求：(1)  BC 之長

(2) OG 之長 (3) △ABC 面積 

A 

B  C 

D  F  E 

G 

1  2 

A 

B  D  C 

O 

G 

A 

B 

O  C 

G

A 

B  C 

D  E 

F  P 

Q  G  R 

A 

B  C 

D 

E  F 

【範例四】 【練習四】

已知：D、E、F 為DABC 三邊中點，G 為DABC 重心

求證：G 為△DEF 重心

已知：D 為 AB 中點，C 為 BE 中點 求證： AF ： FC ＝2：1