第 3 章《籌書管見》內容分析（一）

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第 3 章《籌書管見》內容分析（一）

在上文第 2 章中，我們已對趙泰耉的生平及時代背景有了初步的認識。在下文第 3、4 章中，筆者將對《籌書管見》中有關「數學」的內容作一全盤介紹。

首先我們先簡介《籌書管見》的內容大概。《籌書管見》是一本寫本，此一書名見諸於第一節〈數名〉前的首頁第一行。

¹

在首頁之前，則有〈目錄〉，其中列出了不分章的三十七節。各節名稱如下表 3-1：

表 3-1 目錄名稱

數名布籌口訣九九口訣九歸口訣歸除訣斤下留兩法解卜法正負訣勾股名義雜法乘除總論定位法步乘訣開方定商法因法

（2）

加法

（4）

乘法

（2）

九歸法

（2）

減法

（3）

歸除法

（3）

步乘

（2）

商除

（2）

異乘同除

（9）

同乘異除

（3）

之分論

（11）

四率法

（3）

九章名義方田

（24）

粟布

（24）

衰分

（11）

少廣

（27）

商功

（31）

均輸

（7）

盈朒

（10）

方程

（10）

勾股

（18）

九章問答

（60）

（）內表題數。

目錄前二十六個依序是〈數名〉，〈布籌口訣〉，〈九九口訣〉，〈九歸口訣〉，〈歸除訣〉，

〈斤下留兩法〉，〈解卜法〉，〈正負訣〉，〈勾股名義〉，〈雜法〉，〈乘除總論〉，〈定位法〉，

〈步乘訣〉，〈開方定商法〉，〈因法〉，〈加法〉，〈乘法〉，〈九歸法〉，〈減法〉，〈歸除法〉，

〈步乘〉，〈商除〉，〈異乘同除〉，〈同乘異除〉，〈之分論〉，以及〈四率法〉。

²

這二十六節內容主要涉及運算口訣，名詞定義、規約與算（法）則之說明。譬如〈布籌口訣〉：

1 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 5。在〈目錄〉之前，有一頁文字涉及一些度量衡之數字，由於缺乏上下文，

故無法解讀。不過，由此或可證明此一寫本（現藏於首爾大學圖書館），尚未準備出版問世。

2 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 3-4。

(2)

一縱十橫百立千僵千十相併萬百相望滿六以上五在上方六不積聚五不單張言十過身不滿自當若明此訣可習九章

³

可見，趙泰耉撰寫此書的目的，在於幫助讀者研讀《九章算術》或其相關內容。

⁴

〈勾股名義〉一節介紹與勾股問題有關的數學名詞之定義。

⁵

〈雜法〉一節列舉了如圓周率等近似值的約定，值得注意的是，趙泰耉除了「徑一周三」與「微率」外，也給出了中國南北朝數學家祖沖之的「密率：徑七、周二十二」與「密後率：徑百十三、周三百五十五」，

⁶

後者在當時中國算書幾乎不曾出現。而清代數學家注意到祖沖之在圓周家率這一方面的貢獻，可能是等到乾嘉學派的錢大昕與李銳師徒了。

⁷

另一方面，趙泰耉也利用〈乘除總論〉這一節來突顯「乘、除」的重要性：

乘有三法，曰因，曰加，曰椉。除有三法，曰歸，曰減，曰歸除。又有步椉、商除二法，

步椉、兼因、加椉三法。商除、兼歸、減除三法。因法以九歸還原；九歸以因法還原；

加法以減法還原；減法以加法還原；乘法以歸除還原；歸除以椉法還原。

⁸

同時，他還指出「乘法從實數尾位籌起，除法從實數首位籌起。」其實在《詳明算法》問世之前，中國籌算的乘除運算法似乎都以《孫子算經》的規約為準，而趙泰耇此一運算規約及其所用以說明其解法的例題，都極其類似安止齋的《詳明算法》，因此，

趙泰耇可能熟悉此一中國元代算學著作。

⁹

隨後緊接著的〈定位法〉、〈步乘訣〉與〈開方定商法〉，顯然也是意在強調乘、除的重要性。其實，趙泰耉在全書所提供的最先的兩個例題，就是為〈因法〉這一節所設，

同時，他也提供了「依圖布籌」之演算過程。

¹⁰

同樣的，他在隨後的〈加法〉、〈椉法〉、

〈九歸法〉、〈減法〉、〈歸除法〉、〈步椉〉與〈商除〉中，也都用類似的「依圖布籌」方式，處理了總共十八個例題。這很有可能是趙泰耉的獨特手法—以算籌圖示解題，很值得我們好好地注意與欣賞。

在進入「九章」之前，還有幾節涉及比例算法與分數理論，他們依序是〈異乘同除〉、

〈同椉異除〉、〈之分論〉與〈四率法〉。前兩節之例題分別有 9 與 3 題。至於〈之分論〉

3 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 7。又此一口訣幾乎等同於中國元代朱世傑的《算學啟蒙》中的「明縱橫訣」，見朱世傑：《算學啟蒙》，收入靖玉樹編勘，《中國歷代算學集成》（濟南：山東人們出版社，

1994），頁 1316-1384。

4 趙泰耉究竟從哪些中算著作瞭解「九章」，還有待研究。

5 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 11。又此一名詞定義欄也出現在楊輝《詳解九章算法》，見郭書春《中國科技史通匯．數學卷一》（濟南：河南出版社，1993），頁 974。

7 見洪萬生，《孔子與數學一個人文的關懷》，頁 51-60。

9 見洪萬生，〈朝鮮儒家讀九章－以趙泰耉〈九章問答〉為例〉，頁 304。

10見趙泰耉，《籌書管見》，頁 15-16。

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之例題，則是為了說明分數的理論而設，而摻雜於論述之中，但未曾明白標出。

¹¹

類似的情況，也見之於〈四率法〉這一節中。只是，趙泰耇既然指出「四率者，異乘同除之法理者也」，何以另列「四率法」為一解呢？看來，他認為「四率法」「有比例，有互視，

有合率，皆以二率、三率相乘，而已一率除之，則得四率也」，可能遠較「異乘同除」、

「同椉異除」來得重要才是。

¹²

趙泰耉在《籌書管見》中，末十一節均與「九章」極度相關的〈九章名義〉，〈方田〉

（24），〈粟布〉（24），〈衰分〉（11），〈少廣〉（27），〈商功〉（31），〈均輸〉（7），〈盈朒〉

（10），〈方程〉（10），〈勾股〉（18）與〈九章問答〉。上述十小節以及〈九章問答〉是全書的精華部分。上述各節之後括號內之阿拉伯數字，表示該節題數。由於這九章總題數 162 遠少於《九章算術》246 個問題，趙泰耉所選題目一定有其特殊考量。〈九章問答〉共有六十條，以自問自答形式呈現，其內容乃是針對前述〈九章名義〉（內容）內問題的解法，提出說明或評論，頗能反映趙泰耉的數學素養。

¹³

筆者在第 4 章之內容分析將詳加討論。

再來就趙泰耉之《籌書管見》前 26 節內容，筆者以下分 9 節，逐一加以討論。

3-1 數名

「數名」主要是在介紹大小名數。趙泰耉將大數小數合併一起，篩選出常用的名目，

由小到大排列。並且明確交代數的起源，各種單位名稱及由來。並融合朝鮮當時的民俗習慣所用的單位名稱，以「東俗」稱之：

數，起於黃鍾，黃鍾之空，圍九分，長九寸，則尺寸之數起於黃鍾之中。容秬黍千二百粒為一龠，

¹⁴

合龠為合，則斗斛之數起焉。千二百黍，其重十二銖兩之為兩，

則銖兩之數起焉。度起於忽蠶吐之絲，十忽為絲，十絲為毫，十毫為釐，十釐為分，十分為寸，十寸為尺，十尺為丈，十丈為引。五尺或六尺為步……端法：五丈或四丈。匹法：三丈二或二丈四。東俗匹法：四丈或三丈五。畝法：二百四十步，百畝為頃。里法：三百六十步或三百步。東俗：田一萬尺為結，百尺為負，

十尺為束，一尺為把。

¹⁵

由上可知，有些單位是十進位，有些則不然！譬如中國的匹法是三丈二或二丈四，東俗則是四丈或三丈五尺，而當時朝鮮民間所用的單位，把、束、負、結也是東俗法，當然

11 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 16-29。

12 文本見趙泰耉，《籌書管見》，頁 33-39。

13 見洪萬生，〈朝鮮儒家讀九章－以趙泰耉〈九章問答〉為例〉，頁 305-316。

14 「秬黍」（ㄐㄩˋ ㄕㄨˇ），黑黍為秬。「黍」，穀類名。見周何總主編，《國語活用辭典》（台北：五南出版社 2005 年），頁 1482 及 2205。

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這些在中國的數書中不得而見，足見趙泰耉想把中國的算法融入朝鮮當時社會現况。介紹完長度單位之後，接著介紹容積單位及大數、小數。

量起於圭，六粒為圭，十圭為撮，十撮為抄，十抄為勺，十勺為合，十合為升，

十升為斗，十斗為斛，又謂之石。東俗：十五斗或二十斗為石。衡起於黍，十黍為絫，

¹⁶

十絫為銖，八銖為鎦，六銖為分，四分為兩（二十四銖），十六兩為斤（三百八十四銖），三十斤為勻，四勻為石。後世兩下有錢、分、厘、亳、絲、忽。

用銖絫十五斤為秤，三百斤為引。

¹⁷

有關量器的議題，應該是一個極富歷史涵義的一個部分，讓我們來一探究竟。自秦始皇統一度量衡後，

¹⁸

西漢依照秦制，沒有什麼改變。直到漢平帝元始年間(西元 1-5 年) 王莽當權，令劉歆修正度量衡頒發標準量器(律嘉量斛)，才使容器單位的斛、斗、升發展為五量：斛、斗、升、合、龠(漢書律曆志)。《九章算術》中之度量衡則採用秦制，

至於本單元則是否採用漢平帝王莽當權時，令劉歆修正後的度量衡制，則不得而知。這兩個有關律度量衡的圖式，其一為漢世銅斛，與故宮的嘉量斛形狀稍有不同（如圖 3-1），

19

這裡的量器的圖形，是否為漢蔡邕時的銅斛，亦或者是依照有關漢朝王莽銅斛的文獻敘述所勾勒自繪出來的圖形，實不得而知。而律嘉量之所以重要，乃由於它述說了一個數學史上的一個過程，頗值得探究，在此筆者稍微著墨一番。

圖 3-1 故宮王莽新律嘉量斛²⁰

16 「絫」（ㄌㄟˇ）十黍的重量。見周何總主編，《國語活用辭典》（台北：五南出版社 2005 年），頁 1557。

18 事實上，古代度量衡從它出現的那一天起，便帶有很強的權威性和法制性。在中國的古籍中，最早的度量衡都把「權」緊緊相關連，如「黃帝….治五氣，設五量，撫萬民，度四方。」（《大戴禮記．五帝德》）『周公踐於天子之位，以治天下六年，朝諸侯於明堂，制禮作樂，頒度量而天下大服。』（《禮記.

明堂位》）。統治階級一方面又把度量衡牢牢的掌握在手中，以便向老百姓收取賦稅。（收入於丘光明，

《中國古代度量衡》，台北：台灣商務印書館，頁 128~129。）

19 器壁正面有八十一個字的總銘，單件器量上還有分銘：「律嘉量斛，方尺而圜其外，庣旁九釐五毫，

冥百六十二寸，深尺，積千六百二十寸，容十斗。律嘉量斗，方尺而圜其外，庣旁九釐五毫，冥百六十二寸，深寸，積百六十二寸，容十升。律嘉量升，方二寸而圜其外，庣旁一釐九毫，冥六百四十八分，深二寸五分，積萬六千二百分，容十合。律嘉量合，方寸而圜其外，庣旁九毫，冥百六十二分，深寸，積千六百二十分，容二龠。律嘉量龠，方寸而圜其外，庣旁九毫，冥百六十二分，深五分，積八百一十分，容如黃鍾。」

20 參考網站：http://www.measuring.org.tw/scope_12.htm

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事實上，我們可以看到王莽的律嘉量斛上面所刻的銘文：

律嘉量：斛，方尺而圜其外，庣旁九釐五毫，冥百六十二寸，深尺，積千六百二十寸，容十斗……」

這銘文中的庣旁九厘五毫，就是依照劉歆的 π＝3.1547 計算出來的。因為如圖一所示：

方尺的對角線＝

10 ² 10 ² 14.1421358  寸

圓的半徑＝庣旁＋

2

1

方尺的對角線＝0.095＋7.071068＝7.166068 寸半徑羃＝

7 . 1 6 6 0 6 8² 5 1 .3 5 2 5 3 0 5 8 0 6 2 4

方寸

圓柱體積＝高×圓周率×半徑羃＝10π×

^7.166068²

＝1620 立方寸所以，上面這個等式如想成立，就非要

π ＝

1620

3.1547

513.52530580624 

_{不可的緣故。}

²¹

趙泰耇又進一步指出：「大數：一、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億、萬萬億曰兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰垓，萬萬垓曰稊，萬萬稊曰溝，萬萬溝曰澗，萬萬澗曰正，萬萬正曰截。小數：一、分、厘、亳、絲、忽、微、纖、沙、塵、埃、

渺、漠。大數正、載之上有許多名，小數渺漠之下，亦有許多名，而皆極於宏廓，

瀹於無形，實無所用，故不具載。」

²²

可見，在「大數」與「小數」間，一、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億，

與現代數學相同，都是「十進位」，餘下的則為「萬萬進位」。「小數」部分未明載為十進位，然而依現代數學所使用的數名，筆者臆測為十進位，只是有的太小而淪於無形，於當時社會實無所用。此種說法在《楊輝算法》、《算法統宗》、《算學啟蒙》、《詳明算法》

等書中皆未得見，其可能的參考來源是崔錫鼎所著的《九數略》。

²³

在《九數略》的「數名」篇中提到：

一、十、百、千、萬是謂正數；億、兆、京、垓、秭、穰、溝、澗、正、載是謂

21 傅溥《中國數學發展史》（台北：中央文物供應社），頁 89~90，

22 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 6。

23 《九數略》作者崔錫鼎(1646 年，仁祖 24 年~1715 年，肅宗 41 年)，本貫全州，字汝和，初名錫萬，

號明谷，或稱存窩，享年 70，景宗二年(1722)賜與諡號文貞，配享於肅宗的廟庭。主要著作有《明谷集》、《九數略》、《左氏集選》、《韻會箋要》、《典錄通考》、《禮記類編》以及《經世正韻圖說》等。收錄在金容雲主編《韓國科學技術史資料大系》數學篇(1)中的《九數略》為一木版本(刊年不詳)。內容共分四部份：甲、乙、丙、丁等四編。

(6)

大數；分、釐、毫、絲、忽、微、纖、沙、塵、埃、渺、漠是謂小數。

²⁴

至於大數的古記法有三種。在《九數略》「數位」中提到：

大數有三等：如言十萬曰億、十億曰兆、十兆曰京，此下數也。如言萬萬曰億、

萬萬億曰兆、萬萬兆曰京，此中數也。如言萬萬曰億、億億曰兆、兆兆曰京，此上數也。下數淺短，計有未周；上數宏廓，用無所適，故今以中數紀位。

²⁵

這三種大數的記位法其實也是源自中國，在甄鸞撰《數術記遺》中說：

²⁶

黃帝為法，數有十等。及其用也乃有三焉。十等者，億、兆、京、垓、秭、穰、

溝、澗、正、載。三等者謂上、中、下也。其下數者十十變之，若言十萬曰億、

十億曰兆、十兆曰京也。中數者萬萬變之，若言萬萬曰億、萬萬億曰兆、萬萬兆曰京也。上數者數窮則變，若言萬萬曰億、億億曰兆、兆兆曰京也。

²⁷

小數的記法未盡周延；大數的記法又繁而無當，故《數術記遺》之後，直到宋元時代，

數學家多用中數法記大數。

²⁸

中、朝兩相比較，崔錫鼎對「三等數」的知識，與《數術記遺》中所記載十分接近，推論《數術記遺》應該有傳入朝鮮，並對當時的大數、小數等「數位」造成絕對的影響。

相較於其他中國算書，《籌書管見》中「大小數」與《算法統宗》最為接近，數名與《算學啟蒙》、《詳明算法》、《算法統宗》中的大數、小數大致相同，但較為精簡，

²⁹

將大數中的恒河沙、阿僧秪、那由他、不可思議、無量數，及小數中的糢糊、逡巡、須叟、瞬息、彈指、剎那、虛、空、清、淨等源自佛教用語的名目省略不記，不過已包括了一般常用的名目。

3-2 位數

24 見崔錫鼎，《九數略》，收錄在金容雲主編《韓國科學技術史資料大系》數學篇(1)中，頁 387。

25 見崔錫鼎，《九數略》，收錄在金容雲主編《韓國科學技術史資料大系》數學篇(1)中，頁 391。

26 《數術記遺》一卷，卷首題「漢徐岳撰，北周漢中郡守、前司隸，臣甄鸞注」，但錢寶琮考證，認為

「《數術記遺》是甄鸞的依托偽造而自己注釋的書」。

27 參考錢寶琮，《中國數學史》，收入杜石然主編，《李儼錢寶琮科學史全集》(瀋陽：遼寧教育出版社，

1998 年)，頁 101。

28 參閱錢寶琮，《中國數學史》，收入杜石然主編，《李儼錢寶琮科學史全集》(瀋陽：遼寧教育出版社，

1998 年)，頁 102。

29 《算學啟蒙》、《詳明算法》、《算法統宗》等書中的「大數」計有：一、十、百、千、萬、十萬、百萬、

千萬、億、十億、百億、千億、萬億、十萬億、百萬億、千萬億、(《詳明算法》無以下各目)兆、京、

垓(《算法統宗》作「陔」)、稊 (《算法統宗》作「秭」)、穰(《算法統宗》作「壤」)、溝、澗、正、

載、極、恒河沙、阿僧秪、那由他、不可思議、無量數。「小數」則有：分、釐、毫、絲、忽、微、

纖、沙、塵、埃、渺、糢糊、逡巡、須叟、瞬息、彈指、剎那、虛、空、清、淨。

(7)

本節介紹各位數的定名：一、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億等。趙泰耇記數，以「七億三千二百七十八萬五百七十六」為例如下表 3-2：

表 3-2 算籌記數法

七億

三千萬

二百萬

七十萬

八萬

○ 千

五百

七十

六一

□

縱橫縱橫縱橫縱橫縱

中國古代原來就習慣以「□」來表示文中脫落的文字，此習慣延用到記數時，也用「□」

表示數字的空位。數學史上凡是利用計算器來進行演算的例子，都會利用「空位」來表示那個位置的數碼付諸闕如。例如早期的算籌到後來的珠算都不例外。

³⁰

中國古代用算籌計數，布籌本身就以縱橫來區別位數，故用空位即可代表零而不至有誤，

³¹

如 208 記成 □ 。「□」這個代表空位的符號，後來因為書寫的關係，就順筆寫成「○」。到了十三世紀，南宋秦九韶《數書九章》(1247)與金元李冶《測圓海鏡》(1248)中已經大量使用「○」了。

³²

相較於印度數學，早在西元六世紀就已將「0」視為一個數，甚至可以拿它來進行加減運算，中國大約一直到 1880 年代，由於西方算術傳入的影響，華蘅芳(1833-1902) 在他的《學算筆談》(1882)中，才明確地指出：「各位之數，既俱可用，自一至九之數記之，則其空位當以零字記之，或作一圈以代零字亦可。」

³³

上表中在文字記錄時，以「○」表示空位；在運籌時的空位則記成「□」。後面可看到在運籌時的空位以「○」表示，但這些代表空位的符號並未被視為字，如「30020」

被讀成「三萬零二十」，

³⁴

當中的 0 是有讀出的。

3-3 布籌口訣

趙泰耇曰：「一縱十橫立千僵，千十相併萬百相望，滿六以上五在上方，六不積聚五不單張，言十過身不滿自當，若明此訣可習九章。」

³⁵

在中國，早在《孫子算經》已有類似的記載，《夏侯陽算經》中，此口訣也已成形。根

30 洪萬生，〈此零非彼 0〉，《科學月刊》，第三十四卷第二期(2003)，頁 137。

1998 年)，頁 9。

32 洪萬生，〈此零非彼 0〉，《科學月刊》，第三十四卷第二期(2003 年)，頁 138。

33 洪萬生，〈此零非彼 0〉，《科學月刊》，第三十四卷第二期(2003 年)，頁 138。

(8)

據布籌口訣可知，表示數目的算籌有縱橫兩種方式，如下表 3-3：

表 3-3 縱式與橫式的籌擺

縱式

橫式

1 2 3 4 5 6 7 8 9 表示一個多位數字，像現在用數碼記數一樣，把各位的數目從左到右橫列，「一縱十橫百立千僵」，指各位數目的籌式須要縱橫相間，個位數用縱式表示，十位數用橫式表示，

百位、萬位用縱式，千位、十萬位用橫式，故「千十相併萬百相望」。

³⁶

之所以用縱式、

橫式分別表示不同的位數，避免造成混淆，如 32 若皆用縱式表成，在視覺上恐怕與 5 曖昧不明。在度量衡等有單位的計量時，規定以兩、尺、斗為基準，以縱式表示，

其餘依縱橫相間的原則類推，滿五位即為萬，滿九位即為億，並規定最左一位為首位，

最右一位為尾位。數位的表示法，到此算是有了言簡意賅的介紹。

3-4 乘除口訣

再來就有關乘與除運算之口訣部分，筆者分 4 小節討論如下。

3-4-1 九九口訣

表 3-4 九九口訣

36 引自錢寶琮，《中國數學史》，收入杜石然主編，《李儼錢寶琮科學史全集》(瀋陽：遼寧教育出版社，

1998 年)，頁 8。

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 1

4 2 2

9 6 3 3

16 12 8 4 4

25 20 15 10 5 5

36 30 24 18 12 6 6

49 42 35 28 21 14 7 7

64 56 48 40 32 24 16 8 8

81 72 63 54 45 36 27 18 9 9

(9)

現代數學的「九九乘法表」，從「一一一」，「一二二」，「一三三」…，到「九九八十一」，共八十一句。《籌書管見》中略有不同，從「一一一」，「一二二」，「二二四」…

「九九八十一」，共四十五句（參考上表）。其中若遇乘數與被乘數顛倒者，則省略之，

如有「一二二」就沒有「二一二」，所以較為精簡。與先秦時的口訣始於「九九八十一」

順序剛好相反，不過先秦的口訣只有到「二二如四」止，而且少了「一九九」、「一八八」…

「一一一」等九句。

³⁷

接著，為各運算元做名目定義。以「八乘九而生七十二」為例：被乘數 9 稱為「元數」，乘數 8 稱為「法數」，元數、法數皆為「母數」，而元法相乘而生 72，故 72 為「子數」。

9 × 8 = 72 元數法數積數

母數子數

趙泰耉對乘積的稱呼，有兩種「積數」或「實數」。將被乘數稱為「元數」這種稱呼法與中國數書不一樣。《孫子算經》中乘法運算時，對於被乘數、乘數、積三者並無正式的稱呼，僅以「上」、「中」、「下」區別之：

凡乘之法，重置其位。上下相觀，上位有十步至十，有百步至百，有千步至千。

以上命下，所得之數列於中位。

³⁸

在除法運算時才將被除數稱做「實數」，除數稱做「法數」，除得之數稱做「商」。中國算書《夏侯陽算經》對於乘法，也以「上」表被乘數，「下」表乘數，「上下相乘，實居中央」。

³⁹

至於除法，則曰：「以少呼多，因法為母，積實為子」，

⁴⁰

將被除數稱做「實數」或「積實」，除數稱做「法數」或「因法」，除得之數稱做「商」。之所以在除法運算中出現「積」、「因」等乘法的字眼，是因為中國很強調乘法可以除法還原，

除法亦可以乘法還原，乘除本一體之兩面也。

不過，《楊輝算法》、《算學啟蒙》、《詳明算法》及《算法統宗》四本算書皆稱被乘數為「實數」。趙泰耉將被乘數稱為「元數」，其根據來源可能是《九數略》。《九數略》

1998 年)，頁 10。

38 見郭書春、劉鈍點校，《算經十書》（台北：九章出版社，2001 年），頁 262。

(10)

在介紹步乘時提到：

上列元數幾何，下列法數幾何，上下相乘，中列實積幾何。

⁴¹

面對所有的中國數書盡是將被乘數稱做「實數」，崔錫鼎對於使用「元數」表示被乘數有提出他的立場：

楊輝以元數稱實數，此云元數，所以別於積數也，下文或混稱。

⁴²

由於乘法中的乘積有時也會稱為「積實」，如果被乘數又稱做「實」，崔錫鼎恐怕讀者混淆不清，因此，明確地將被乘數稱為「元數」，所乘得之數則為「實」。元者，取其

「始」也，表示一個原始的數，不失一個漂亮的變通之計。將所乘得之數稱為「實」還有另一個好處，以「二乘三得六」與「二除六得三」為例，如下表。此兩運算可以互相還原，若中格皆稱「實」、下格皆稱「法」，豈不打通乘除兩法之任督二脈，且更見其對稱之美哉？

表 3-5 乘法與除法比較

二乘三得六二除六得三元

實法

商實法 3-4-2 步乘訣與定位法

趙泰耉曰：「上見十步一（即百），上見百步二（即万），上見千步三，上見萬步四。」，

43

因為乘法一開始步籌時是法數的個位對齊元數的個位，接著，由元數的末位開始，依次乘法數的每一位數。乘完的元數位數即可去掉，曰：「成功者去」。「步乘訣」旨在告訴學習者，當欲以元數的十位乘法數時，法數需往左一位，欲以元數的百位乘法數時，

則再往前一位，其餘依此類推。亦即法位對齊所乘的元數位數。

至於乘法的步驟，可以如下析之：

1、上格置「元數」即被乘數、下格置「法數」即乘數，中格留置乘積「實數」； 2、元數與法數各位對齊，個位對個位，十位對十位……；

3、由元數的末位開始乘法數各位，由左至右乘，所得數置於中格，位數對齊法數；

41 見崔錫鼎，《九數略》，金容雲主編《韓國科學技術史資料大系》數學篇(1)中，頁 415。

42 見崔錫鼎，《九數略》，金容雲主編《韓國科學技術史資料大系》數學篇(1)中，頁 417。

(11)

4、元數的末位乘完後，將該位去掉，此即謂「成功者去」。法數根據「法數進步訣」向左移位，由元數的下一位繼續乘法數各位，重複步驟 3、4。

此即中國古算中除法的步驟：

1、布籌分上中下三格。相乘兩數分上、下分別按「布籌口訣」布籌，所得乘積置中格；

2、下數的末位對齊上數的首位；

3、上數的首位由左至右依次乘下數的各位，所得乘積置於中格，並併入前所得之乘積；

4、上數的首位依次乘完下數各位後，就將上數的該位去掉，下數則向右移一位，

再以上數的第二位再依步驟 3、4 繼續乘下數。最後，中格所得數即為兩數乘積。

⁴⁴

比較此兩種乘法的步驟：

方法 1 方法 2

元數首位對齊法數末位元數末位對齊法數末位

元數由首位起籌元數由末位起籌

元數計算完一位後，法數次次退位元數計算完一位後，法數次次進位

趙泰耉曰：「歸除從法數前，得商之零位。」

⁴⁵

言法數之首位一，則於實數之十位得歸數之零。首位十，則於實數之百位得歸數之零。首位百，則於實數之千位得歸數之零。千萬以下推此。簡言之，除數若是一位數，則商數的個位即對齊被除數的十位；除數若是二位數，則商數的個位即對齊被除數的百位，其餘依此類推。

3-4-3 九歸口訣

有關《籌書管見》之九歸口訣趙泰耉說明如下：

一歸不須歸。二一添作五，逢二進一十。三一三十一，三二六十二，逢三進一十。四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進一十。五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八，逢五進一十。六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十二，

六五八十二，逢六進一十。七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七進一十。八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作

1998 年)，頁 12。

(12)

五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八進一十。九一下加一，九二下加二，

九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八，逢九進一十。

⁴⁶

其內容大部份與《算學啟蒙》、《詳明算法》、《算法統宗》相同，底下作一簡表比較一下，可略見端倪：

表 3-6 《算學啟蒙》、《詳明算法》、《算法統宗》及《籌書管見》九歸法比較

《算學啟蒙》之九歸除法歌訣

⁴⁷

《詳明算法》九歸之法

⁴⁸

《算法統宗》之九歸除法歌訣

⁴⁹

《籌書管見》之九歸口訣

一歸如一進，九一進成十。

一歸不須歸，其法故不立。

一歸不須歸。

二一添作五，逢二進一十。

…… …… …… ……

五歸添一倍，逢五進成十。

五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，

五四倍作八，逢五進一十。

五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，

五四倍作八，逢五進一十。

五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，

五四倍作八，逢五進一十。

…… …… …… ……

九歸隨身下，逢九進十成。

九歸隨身下，逢九進一十。

九歸隨身下，九一下加一，九二下加二，……，逢九進一十。

九一下加一，九二下加二，……，逢九進一十。

此外，此〈九歸口訣〉的中算數本，隨著珠算一直沿用至今，今人所用珠算口訣如下：

二歸：二一改作五，逢二進一，逢四進二，逢六進三，逢八進四。

三歸：三一三餘一，三二六餘二，逢三進一，逢六進二，逢九進三。

四歸：四一二餘二，四二改作五，四三七餘二，逢四進一，逢八進二。

47 參見朱世傑，《算學啟蒙》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷，第一分冊（鄭州：

河南教育出版社，1993 年），頁 1127。

48 參見安止齋，《詳明算法》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷，第一分冊（鄭州：

河南教育出版社，1993 年），頁 1360。

49 參見程大位，《算法統宗》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷，第二分冊（鄭州：

河南教育出版社，1993 年），頁 1236-1238。

(13)

五歸：五一改作二，五二改作四，五三改作六，五四改作八，逢五進一。

六歸：六一下加四，六二三餘二，六三改作五，六四六餘四，六五八餘二，逢六進一，逢十二進二。

七歸：七一下加三，七二下加六，七三四餘二，七四五餘五，七五七餘一，七六八餘四，逢七進一，逢十四進二。

八歸：八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四改作五，八五六餘二，八六七餘四，八七八餘六，逢八進一。

九歸：九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五匼加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八，逢九進一。

上述之口訣分兩要點：

1、「逢」字開頭，適用於被除數等於或大於除數的場合。

2、沒有「逢」字開頭的，適用於被除數小於除數的場合。第一個數字是除數，第二個數字是被除數。這一類口訣可分成三組：

(1)「改作」二字：這時被除數加了 0 以後，是能夠整除的。

(2)「餘」字：例如，3 除 1，連下一檔計算，成為 3 除 10，商數是 3，餘 1 。這叫做「三一三餘一」。

(3)「下加」二字：例如 6 除 1，認作 6 除 10，商數是 1，還餘 4，因為商數和被除數一樣，沒有變動，只在下一檔上加 4，所以叫做「六一下加四」。

⁵⁰

由上古今對照之下，「九歸口訣」可謂是是學習除法、乘法前之必備（背）的口訣。

3-4-4 歸除訣

在《籌書管見》中的「九歸除法」即歸除歌訣，這是趙泰耇總結中國古代有關歌訣的基礎上，加以修潤而成。趙泰耇曰：「見一無除作九一，見二無除作九二，見三無除作九三，見四無除作九四，見五無除作九五，見六無除作九六，見七無除作九七，

見八無除作九八，見九無除作九九。」

⁵¹

此與《算法統宗》中的歌訣大致相同，程大位《算法統宗》卷一（1592）稱：「九歸歸除法者，單位者曰『歸』，位數多者曰『歸除』。」

⁵²

說明了在歸除中，法實同頭無除時用撞歸，即將被除數首位撞湊成九次位加餘數。《算學啟蒙》卷上九歸除法門歌訣中，有「常存除數專心記，法實相停九十餘」所指就是此法。《詳明算法》也有撞歸口

50 以上參考林肯輝，《《書計瑣錄》之內容分析》（臺北：國立台灣師範大學學系教學碩士班碩士論文，

2003 年），頁 58-60。

52 参考梅榮照、李兆華，《算法统宗校釋》（安徽：安徽教育出版社，1990 年），頁 109。

(14)

訣，但沒有一歸的撞歸口訣。《詳明算法》卷上「歸除歌」：「有歸若是無除數，起一回將元數施。」意即在歸除中用九歸或撞歸，仍出現無除情形時，需用起一還原。趙泰耇曰：「起一下還一，起一下還二，……，起一下還九。」

⁵³

而這部份起一還原口訣的出現較九歸、撞歸晚，約在明初。

⁵⁴

其他的我們在〈乘除總論〉單元再細說。

3-5 其他

筆者以《籌書管見》之解題方法，以下分 5 小節討論。

3-5-1 斤下留兩法

有關斤下留兩法，趙泰耉說明如下：「一退六二五，二留一二五，三留一八七五，

四留二五，五留三一二五，六留三七五，七留四三七五，八留單五，九留五六二五，十留六二五，十一留六八七五，十二留七五，十三留八一二五，十四留八七五，十五留九三七五。」

⁵⁵

顯然，依趙泰耉的說法完全與《算學啟蒙》的「斤下留法」完全相同。「斤下留法」使用於不是一斤的餘兩，如何換算成斤。利用現代數學表示，即為：

1 ÷16＝0.0625， 2÷16＝0.125， 3÷16＝0.1875， 4÷16＝0.25，

5 ÷16＝0.3125， 6÷16＝0.375， 7÷16＝0.4375， 8÷16＝0.5，

9 ÷16＝0.5625，10 ÷16＝0.625，11÷16＝0.6875，12÷16＝0.75，

13÷16＝0.8125，14÷16＝0.875，15÷16＝0.9375

也就是說，一兩即為 0.0625 斤，二兩即為 0.125 斤，三兩即為 0.1875 斤，四兩即為 0.25 斤，五兩即為 0.3125 斤，依此類推。

在南宋楊輝所編的《日用算法》(1262 年)中，為了簡化這種計算，也編有化零歌：

「一求隔位六二五，二求退位一二五，三求一八七五記，四求改曰二十五，五求三一二五，六求兩價三七五，七求四三七五，八求轉身變作五。」請讀者參考。

3-5-2 解卜法

54 見吳敬，《九章算法比類大全》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第二分冊（鄭州：

河南教育出版社‧1993 年），頁 19-20。

(15)

解卜法乃是朝鮮王朝，將民間使用的田地分級，以利於課稅，所使的分級方法。為順應朝鮮民間使用的田地分級方式，趙泰耉曰：「一等百，二等八五，三等七，四等五五，五等四，六等二五。」

⁵⁶

用現代的語彙理解之，即：

表 3-7 朝鮮民間田地分級術語對照

一等二等三等四等五等六等

100% 85% 70% 55% 40% 25%

即每差一等，遞減 15%。例如一等田若為一結，則二等田則為八十五負，三等田為七十負，四等田為五十五負，五等田為四十負，六等田為二十五負。李朝就是用這套方法來區分地目，以便稅收之計算。另外這類問題，民間數學的速算法如下：二等加七後折半，

三等損三，四等加一後半折，五等損六，六等再折半。以現代數學解釋如下：

二等：(100%+70%)/2=85%

三等：100%-30%=70%

四等：(100%+10%)/2=55%

五等：100%-40%=60%

六等：[(100%)/2]/2=25%

如此一來，可以御繁為簡，將複雜的分數乘法轉化為簡單的「加減」及「折半」，也算是民間自行建構出來的智慧結晶。

3-5-3 正負訣

有關正負訣，即正負數之加減法則，趙泰耉指出：

其同名相減，則異名相加，正無人負之，負無人正之。

其異名相減，則同名相加，正無人正之。負無人負之。

⁵⁷

57 見郭書春，《古代數學泰斗-劉徽》（台北：明文出版社，1995 年），頁 37-38。中國負數概念和正負數加減法則的提出超前其他民族幾個世紀,甚至上千年。公元 628 年,印度娑羅門笈多使用負數表示欠債, 使用正數表示所有,是中國以外最早使用負數的學者。後來負數傳入歐洲 ,十五 .十六 .。十七世紀許多學者還不承認負數是數。舒凱特( ? ~l500)和斯帝費爾(1487~1 567)都把負數看成荒謬的數,帕斯卡 ( 1623~1662)認為從 0 減去 4 純粹是胡說。他們都是文藝復興時 ,微積分學產生以前有重大的貢獻的數

(16)

此處「名」，表示數的符號。同名即同號，異名即不同號。前二句是正負數減法法則：

如果兩者是「同號的」，則是其兩絕對值相「減」:

( a )－( 

b

)＝ (

a b

)

a >b

( a )－( 

b

)＝



(

b a

)

a <b

如果兩者是「異號的」，則是其兩絕對值相「加」:

(

a

)－( b  ) ＝ (

ba

)

「正數」如果沒有與之對減的數，則為「負數」。:

0

^－a ＝ ^－a a＞0

「負數」如果沒有與之對減的數 ,則為「正數」。

0－(

－a)＝a a＞0

後面二句則是正負數加法法則：

如果兩者是「異號的」，則是其兩絕對值相「減」:

(±a)＋( b  )＝ (a

^－b) a＞b

(±a)＋( b  )＝



(b

^－a ) a＜b

如果兩者是「同號的」，則是其兩絕對值相「加」:

(±a)＋(

b

)＝±(

a b

)

「正數」如果沒有與之相加的數，則為「正數」:

0＋a＝a a＞0

「負數」如果沒有與之相加的數，則為「負數」。

學的數學家。

(17)

0+(

^－a)＝^－a a＞0

上述正負訣事實上呼應了《九章算術》正負術曰 :「同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相異，正無入正之，負無入負之。」其中「減」

用「除」，此「加」用「益」字。而「入」字，原本訛作「人」，楊輝校正。

⁵⁸

此單元在

《九章算術》中的第八章「方程」運用的相當廣。方程術是《九章算術》中最高的成就。

59

由於方程章中包含了「正負術」，

⁶⁰

而《籌書管見》也納入勾股術，故可想像何以趙泰耉會在《籌書管見》中列出「正負訣」了。

3-5-4 勾股名義

趙泰耉為《九章算術》中第九章「勾股」的名詞提供定義如下：「直曰『股』，橫曰

『勾』，斜曰『弦』，勾股相乘折半曰『勾股積』。勾自乘曰『勾冪』，股自乘曰『股冪』，

弦自乘曰『弦冪』。勾股相併曰『勾股和』，勾弦併曰『勾弦和』，股弦併曰『股弦和』，

弦併勾股曰『弦和和』。勾減股曰『勾股較』，勾減弦曰『勾弦較』，股減弦曰『股弦較』，

弦減勾股和曰『弦和較』，勾股較減弦曰『弦較較』。」

⁶¹

以現代數學而言，如下圖表中直角三角形 ABC 中，令 AB c  ， BC a  ，CA b  。

名詞定義

股

a

勾 b

弦 c

勾股積

1

2^a×b

勾冪 b

²

弦和和

a＋b＋c

股冪

a²

勾股較 b－a

58 收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第一分冊（鄭州：河南教育出版社‧1993年），頁 180-181。

59 見郭書春，《古代數學泰斗-劉徽》（台北：明文出版社，1995 年），頁 38。

60 《九章算術》「正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，

正無入正之，負無入負之。」見劉鈍、郭書春點校，《算經十書》，頁 175。

C B

A

c

b

a^a

(18)

弦冪 c

²

勾弦較 b－c

勾股和 b＋a 股弦較

a－c

勾弦和 b＋c 弦和較 c－（b＋a）

股弦和

a＋c

弦較較（b－a）－c

由上知「勾股積」即為直角三角形面積，而「弦和和」則為直角三角形周長，「勾冪」、「股冪」、「弦冪」是分別以勾、股、弦為邊之方形面積。另外「弦和較」（c－（b

＋a））及「弦較較」（（b－a）－c）由三角形二邊和大於第三邊，及二邊差小於第三邊，

知「弦和較」及「弦較較」均恆為負數，與《九章算術》〈方程〉章中的負數概念相對應，我們可知趙泰耇對負數應有相當的了解。

3-5-5 雜法

趙泰耉指出：「圓法，『古法』徑一周三；『徽率』徑五十周一百五十七（劉徽所述）；

『密率』徑七周二十二（祖冲之所述）；『密後率』徑百十三周三百五十五（祖冲之所述）。」

62

圓周率的研究，在朝鮮傳統數學是重要議題。《九章算術》亦使用周三徑一，中國漢劉歆（前 50-23 年）為王莽作銅斛，使用 π＝3.1547，張衡（78-139 年）求出 π＝ 10 ，

63

魏劉徽首次創造圓周率的科學方法，

⁶⁴

求出 π＝

50

157

，他還用此圓周率修正了《九章算

術》中與圓有關的面積、體積公式。

⁶⁵

π＝

50

157

常稱為徽率。宋末南徐州從事史祖沖之

（429-500 年）將圓周率精確到七位有效數字，並將 π＝

7

22

稱作密率，又提出密後率 π

＝

113

355

。

⁶⁶

事實上，《隋志律曆志》有這一段：：「古之九數，圓周率三，圓徑率一，其術疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒各設新率，未臻折衷。宋末南徐州從事史祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七

63 錢寶琮，《中國數學史》（北京：科學出版社，1964 年），頁 138；又見《李儼錢寶琮科學史全集》第 5 卷，遼寧教育出版社，1998 年，頁 153。

64 劉徽在計算圓面積的過程中，實際上也計算了圓周率。劉徽從圓的內接正 6 邊形起算，依次將邊數加倍，分別求出內接正 12，24，48，…等正多邊形的一邊之長，從而算出內接正 24，48，96，…等正多邊形的面積。邊數增加的越多，內接正多邊形面積與外接圓面積的差越小，算得的圓面積也就越準確，求得的圓周率也就更加精密。邊數增加越多，把圓越割越細，因此，劉徽的這種方法稱為割圓術，劉徽用這種方法求得圓周率 157／50（相當於 π＝3.14）。

65 郭書春，《古代世界數學泰斗劉徽》（台北：明文出版社，1992 年），頁 234-242。

66 唐魏徵等，《隋書》〈律曆志〉（北京：中華書局，1973 年），頁 388。

(19)

忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二數之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率：圓徑七，圓周二十二。又設開差密開差立，兼以正負參之，指要精密，算氏之最者也，所著之書名為綴術，學官莫能究其深奧，是故廢而不理。」

⁶⁷

因此，《籌書管見》一系列與圓和與球有關的面積、體積求法，不外乎使用當時流傳的圓周率：

古率徑一周三

徽率徑五十周一百五十七密率徑七周二十二

密後率徑百十三周三百五十五

而雖然劉歆、張衡、劉徽等人各改定新率，卻仍然不夠準確。於是祖沖之又進一步進行了更精密的計算。祖沖之以一丈作為直徑，並把它分為一億份（一丈＝一億微）

來進行計算，最後算得準確的圓周長應在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之間。由這段記載說明祖沖之算得圓周率的近似值 3.1415926＜π＜3.1415927 祖沖之將圓周率的這一數值做到小數點後第 6 位數字準確值。此外，按照當時的計算習慣（樂於使用分數），祖沖之還提出了兩個分數值的圓周率，即密率（比較精密些的）：π＝

113

355

（相當於 3.14159292，即小數點後 7 位數字準

確），約率（比較簡便些的）：π＝

7

22

（相當於 3.14285714，即小數點後第 2 位數字準確）。

祖沖之運用連分數，在中國古代的天文曆法的計算中，曾經有過一種逐漸調整分母和分子數值，以求得使分數值更加接近真值得方法，叫作「調日法」。宋代學者認為調日法始自南北朝時期稍早於祖沖之。內容是：假如

b a

，

d

c

分別為不足和過剩近似分數，

則適當選取 m、n，新得出的分數

nd mb

nc ma

113

355

。用調日法由

1

3

113

355

。的分數值，在用割圓術校驗求得精確數值，即可斷定

113 355

為密率

。

趙泰耉認為在處理圓面積與圓周問題時，以古率 3 即可收簡捷之便，但是，如果要

67 參見金容雲，《韓國科學技術史資料大系．數學篇(3)》（漢城：驪江出版社，1985 年），頁 346。

(20)

求得更精確的值，則應採用西法新率。也就是說，取圓周率的近似值取法是極為務實且因時制宜的，而徽率與密率在精確度不及新率：古法圓率的 π≒3，劉徽新術的 π≒

50 157

，

祖沖之密率的 π≒

7

22

。宋元時期，密率一詞已遍及諸家算書。南宋楊輝《續古摘奇算法》中〈方圓論〉有記載：「密率：云七乘周，如二十二而一。」其《田畝比類乘除捷法》中圓田諸法亦載有：「密率求徑曰：以七乘周，如二十二而一。」元代朱世傑《算學啟蒙》有關於圓率的記載：「古法圓率：周三尺，徑一尺；劉徽新術：周一百五十七尺，徑五十尺；冲之密率：周二十二尺，徑七尺。」追溯古算書中密率詞義的演化，乃為詞義縮小之一例。在早期劉徽與李淳風的著述中，密率原義泛指圓周與直徑較精確的比率，有時也藉以指代計算圓周與直徑精確比率的方法。到了宋元之後，密率變成了祖冲之圓率π＝

7

22

的專有名詞了。

⁶⁸

最早《九章算術》給出的球體積公式是：球體積

⁹ ( )³

V  直徑16 D

，古人用測量金丸與金方之重量的方法來推出球與立方體積之比率。劉徽注曰：「為術者，蓋依周三徑一之率。令圓羃居方羃四分之三，圓囷居立方亦四分之三。更令圓囷為方率十二，為丸率九，丸居圓囷又四分之三也。置四分自乘得十六分，三自乘得九，故丸居立方十六分之九也。」

⁶⁹

《九章算術》可能考慮球與圓囷的體積之比而推導出球積上述的公式的。

圓囷之積：立方之積＝圓羃：方羃＝3：4；而估計球積：圓囷之積＝9：12＝3：4，即圓囷之積＝

4

3

立方之積；球積＝

4

3

圓囷之積，故球積＝

16

9

立方之積＝

16

9

（直徑）

³

。

⁷⁰

介紹完圓法三率後，趙泰耉在〈雜法〉後段提及一些與《九章算術》之〈商功〉章息息相關的，各類式面積比，以及有關「堆垜術」的法則，我們看趙泰耉的敘述：「方內容圓四分之三，圓內容方三分之二，圓容六角八分之七，六角容圓七分之六，三角容圓七分之四，圓容三角十六分之七；立方容圓十六分之九，立圓容方三分之一；方五斜七，正六面七，勾三股四斜五，穿四壤五堅三（掘地四尺，則壤為五尺，以壤堅算，則為五尺）；圓積六抱一，方積八抱一，三稜積九抱一。」

⁷¹

以下圖表說明：

68 參閱李繼閔，《《九章算術》及其劉徽注研究》（台北：九章出版社，1992 年），頁 298。

69 李繼閔，《《九章算術》及其劉徽注研究》（台北：九章出版社，1992 年），頁 344。

70 劉徽指出推算是粗略的。他說：以周三徑一為圓率，則圓羃傷少。令圓囷為方率，則丸積傷多。互相通補，是以九與十六之率偶與實相近，而丸由傷多耳。

(21)

方五尺尺七斜

方內容圓

四分之三

方內容圓

園內容方

三分之二

圓內容方

圓容六角

圓容六角八分之七

六角容圓

七分之六

六角容圓

三角容圓

七分之四

三角容圓

圓容三角

十六分之七

圓容三角

立方容圓十六分之九立圓容方三分之一方五斜七

正六面七勾三股四弦五

穿四壤五堅三意即

穿積：壤積：堅積

= 4：5：3

3

4 5

六正

步步步

七七

面面

步七面

(22)

圓積六抱一方積八抱一三稜積九抱一

這部份趙泰耉如何應用於解題，我們於下章「九章」的〈商功〉這節有深入討論。

3-6 乘除總論

趙泰耉在〈乘除總論〉中，則大抵說明了「大數與小數」、「大數與大數」、「小數與小數」之間的乘除退位與進位原則。

中國古代乘法中，依乘數位數的不同而各有其名：「眾位名乘，單位名因。」即指乘數為一位數時的乘法稱為「因」，乘數為多位時的乘法稱為「乘」。而加法則是進一步對乘法中，乘數的特殊形式加以分類，將乘法歸納出幾個基本乘法運算模式。趙泰耇曰：

「乘有三法，曰『因』，曰『加』（即身外加法），曰『乘』。除有三法，曰『歸』，曰『減』

（即定身除法），曰為『歸除』。又有『步乘』、『、商除』二法，步乘兼（因、加、乘三法），商除兼（歸、減、除三法）。『因法』以『九歸』還原，『九歸』以『因法』還原；

『加法』以『減法』還原，『減法』以『加法』還原；『乘法』以『歸除』還原，『歸除』

以『乘法』還原。」

⁷²

因此，趙泰耉在有關乘、除法的描述上，他可能參考了《詳明算法》及《算學啟蒙》中「因法」、「加法」、「乘法」單元中的歌訣及例題。

以下再就楊輝《乘除通變本末》上卷的「相乘六法」，及中卷「加法五術」。我們不難發現趙泰耉的「因法」、「加法」、「乘法」及「歸法」、「減法」、「除法」的還原之簡捷了。

楊輝《乘除通變本末》在使用「加法五術」之前，必先運用「求一法」的轉換在先，

使乘數的首位數字轉換為 1，才符合「加法五術」的乘法模式，因而提出求一法的轉換方式及歌訣。「求一法」是使用「折半」或「加倍」的方式，將乘數或除數的首位改為 1 的捷法技巧。楊輝的《乘除通變本末》分別就乘法及除法的「求一法」稱為「求一乘」

及「求一除」，並以歌訣表示二法。「求一乘法」的歌訣：五六七八九，倍之數不走。

二三須當半，遇四兩折紐。倍折本從法，實即反其有。倍法必折實，倍實必折法。用加以代乘，斯數足可守。即當乘數的首位數字為 5、6、7、8、9 這些數時，將其「×2」（倍之），分別變為 10、12、14、16、18，首位成為 1 的乘數，而被乘數也同樣做「×2」

的處理；而當乘數的首位數字為 2 或 3 時，將被乘數和乘數皆「÷2」（當半）；當乘數

72 見趙泰耇，《籌書管見》，頁 13。

(23)

的首位數字為 4 時，將被乘數和乘數皆「÷4」（兩折紐）。以上三種情況，都是為了使乘數的首位數字變成 1。而「求一除法」的歌訣編寫如下：五六七八九，倍之數不走。

二三須當半，遇四兩折紐。倍折本從法，為除積相就。倍法必倍實，折法必折實。用減以代除，定位求如舊。就是當除數的首位數字為 5、6、7、8、9 這些數時，將其「×2」

（倍之），而被除數「÷2」；當除數的首位數字為 2 或 3 時，將除數「÷2」（當半），

被除數「×2」；若除數的首位數字為 4 時，將除數「÷4」（兩折紐），而將被除數「×4」。

與「求一法」同樣的用意，目的在使除數的首位數字成為 1 之後再計算。

楊輝在提出「求一乘」及「求一除」的歌訣之前，在「求一代乘除說」特別提醒學習者：

隨題用法者捷，以法就題者拙。遇求一題，則用求一法；遇九歸題，則用九歸法。

或倍或折，或加或減，或因或變，莫不隨題用意，其可執求一之術，而統諸題。

說明了各種捷法應加以活用於實際問題，不該受到算法的限制。楊輝認為「可執求一之術，而統諸題」，這在中國算學對於程序性的要求而言，確實合乎其基本精神。

⁷³

乘除法運算時，只要依「求一法」將乘數或是除數的首位數字轉換為 1，便可以依循前文所提的「加法五術」以及「減法四術」的基本原則加以運算，而達到捷算的目的。以現代數學符號表示如下：



B

4

73 王文珮，《楊輝算書探微：一個 HPM 的觀點》，國立台灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文，2002 年，頁 53。

(24)

以現代的眼光來看，目前多樣且快速的運算工具相當普遍，「求一法」對於乘除法的功用似乎有限，這樣的方法甚至有時還顯得多此一舉。若抽離有效工具的協助，「求一法」

不無其提高計算速的功能。就當時仍以算籌為計算工具的籌算方式而言，可能是珠算尚未使用之際，在商業發展、貨物流暢的社會中，發展出此一快速、有效率的計算法則，

必然有助於人民面對龐大的數字計算，結合「求一法」、「加法五術」以及「減法四術」

的基本法則，楊輝在《乘除通變本末》上卷作出了完備的教材內容。

⁷⁴

比較了楊輝《乘除通變本末》後，我們繼續看《籌書管見》趙泰耉如何說〈乘除總論〉，並就趙泰耉在「因法」、「加法」、「乘法」及「歸法」、「減法」、「除法」之例題，

各舉一例說明。趙泰耉曰：「乘法之法實不妨相易，除法之法實不可互換。乘法從實數，

尾位籌起，除法從實數首位籌起（乘法惟止步乘則從上籌起）。乘之者，法多者得數多，

法少者得數少。除之者，法多則得數少，法小者得數多。」

⁷⁵

以現代數學看是乘法具有

『交換律』，而除法則沒有『交換律』。依當時的籌算方式，法與實互換（即被乘數與乘數互換），結果是一樣的。反之除法是沒有『交換律』的。而乘數大則得數大，除數大則得數小。祇是令筆者疑惑的又無從查証的，趙泰耉在此處特別註明「步乘則從上籌起」，是當時的籌算習慣方式，或是另有別的意義呢？

針對三種乘法的「因法」、「加法」、「乘法」趙泰耉各舉一例，分別說明如下：

題目例 1 籌算解法今有錢二百三十五

兩五戔，每兩糴（ㄉㄧˊ）米二斗，

⁷⁶

問捻米？答：四百七十一斗。

⁷⁷

元實法因得

百十斗

術曰：以錢為實，以二斗為法，因之（定位兩，

下錢位定斗）呼二五十，變數五去四為一，進法數二於五兩之下，呼二五十，變五為一，進法三十之下，呼二三六，去三十於下位，置六進法於二百之下‧呼二二四去二於下位置四。

因得四百七十一斗。

此題用現代算式即 235.5×2＝271。

題目例 2 籌算解法今有僧三百二

十五名，每名掛實

術曰：置僧為實珠去一百只以八顆為法，隔位加之（百下有空位，故滿位，定名位定百）呼

74 王文珮，《楊輝算書探微：一個 HPM 的觀點》，國立台灣師範大學學系教學碩士班碩士論文，2002 年 8 月。

76 參見周何總主編，《國語活用辭典》（台北：五南出版社 2005 年），頁 1532。『糶糴斂散』乃官府在豐年時以低價向人民購米，凶年時再開倉以低價把米廉售給人民。這種穩定米糧市價的方法，稱為『糶糴斂散』。例：「古今言『糶糴斂散』之法，始於齊管仲，魏李悝。」（文獻通考，市糶考）。

定百

(25)

珠一百八顆。問捻珠?答：三萬五千一百顆。

⁷⁸

法加得

萬千百

五八四十不動，本位下位下四，呼二八十六，

不動本位，下位下一，又下位下六，呼三八二十四，不動本位，下位下二又下位下四。加得三萬五千一百顆。

此題用現代算式即 325×108＝325×（100＋8），因為 325×8＝2600，利用位移 325 百加 26 百，故得 351 百，即 35100。

題目例 3 籌算解法今有直田長三

十六步，闊二十四步，問該積步幾何?曰：八百六十四步。

⁷⁹

○ 實法乘得百十步

術曰：長為實，闊為法乘之，（定位步，下位定法，

首十步）呼四六二十四，步下位下二，又下位下四，呼二六十二，變六作一，下位下二，呼二三六，去三下位下六。呼三四十二，步位下位下二。

乘得八百六十四步。

此題的法數 24 是二位數，且首位不為 1，先以實數 36 之末位 6 乘法數 24，得 144，

位數與法數的各位對齊。實數的個位數 6 成功者去，法數根據「法數進位訣」往左移一位，續以實數的十位數 3 乘法數 24，得 72，但由於已經往左移一位，故為 720，與 144 合併為積實 864。即現代數學算式 36×24＝（30＋6）×24＝6×24＋30×24＝144＋720＝

864。

以趙泰耉所舉下列三個例子以說明除法的「九歸法」、「減法」、「歸除法」：題目例 1 籌算解法

今有錢七十八貫三百十二文，令四人分之，問各人所得?

⁸⁰

答：十九貫五百七十八文。

實法歸得

貫

術曰：置錢為實，以四人為法，歸之（定位貫，前位定貫）呼逢四進一十，本位除四，進一於上位，餘三，呼四三七十二，

變三作七，下位下二。再呼逢四進一十，

本位去八進二於上位，餘二。呼四二添作五，變二作五。呼四三七十二，變三作七下位下二。呼四三七十二，變三作七下位下二，呼逢四進一十，起四進一於上位，

78 此例題見，趙泰耉，《籌書管見》，頁 17。

79 此例題見，趙泰耉，《籌書管見》，頁 18-19。

定十

第 3 章 《籌書管見》內容分析（一）