3-4面積與二階行列式克拉瑪

(1)

3-4 面積與二階行列式

克拉瑪(Gabriel Cramer, 1704~1752)瑞士數學家﹒於 1750 年發表 n 階行列式的一般法則克拉瑪公式

設  ¹ ¹

2 2

a b

a b ﹐ _x ¹ ¹

2 2

c b

c b ﹐^{ }_y ¹ ¹

2 2

a c a c ﹒ 當 0時﹐二元一次聯立方程式

　　　　　　　 ¹ ¹ ¹

2 2 2

a x b y c a x b y c

 

  

 恰有一組解﹐且其解為　　　　　　　 x^x

 ﹐y ^y

  ﹒

例題1--- 使用克拉瑪公式解聯立方程式 3 2 8

2 3 x y

x y

 

  



---

隨堂練習--- 使用克拉瑪公式解聯立方程式 2 5 1

3 2 11 x y x y

 

  



---

兩向量平行的判定

(2)

設



a x y1, 1 與



b x y2, 2為坐標平面上任意兩個非零向量﹒

若

 

_a_// _b ^﹐則 ¹ ¹

2 2

x y 0

x y  ；反之亦成立

隨堂練習--- 已知向量



^a ^^{2, 3}^ ^與



_b _{ }_ _4,_t_^{平行﹐求實數}^t^的值

---

以幾何的觀點﹐討論聯立方程式 ¹ ¹ ¹

2 2 2

 

  

 的解﹒由於二元一次方程式a x b y c₁  ₁  ₁與

2 2 2

a x b y c  表示坐標平面上的兩直線﹐而向量



n1 a b1, 1^與



_n₂ ___{a b}₂_, ₂_ ^{則分別是它們的}

一個法向量﹐於是 (1)當 ¹ ¹

2 2

a b 0 a b

   ﹐即兩法向量 n1



^與



_n₂ 不平行時﹐兩直線不平行也不重合﹐因此兩直線必恰交一點﹐而這個交點的坐標就是原聯立方程式的解^{x y}^,  _{ }^^^x^,^^y^_

   ﹒

(2)當 ¹ ¹

2 2

a b 0 a b

   ﹐即兩法向量 n1



^與



_n₂ 平行時﹐兩直線可能平行（聯立方程式無解）或重合（聯立方程式有無限多組解，可用直線參數式表示）

(3)

例題2--- 試就實數k的值﹐討論聯立方程式 kx 4y k 2

x ky k

  

  

 的解

---

二階行列式的性質在二階行列式a b

c d 中﹐橫的稱為列﹐直的稱為行﹐共有二列二行﹐其中^a﹐b是第一列﹐

c﹐d是第二列；^a﹐^c是第一行﹐b﹐d是第二行﹐如圖2 所示﹒

　　二階行列式具有下列性質：

(1)行列互換其值不變﹐如　　　　 b

d c d

a a c

 b ﹒

(2)兩行（兩列）對調﹐其值變號﹐如　　　　 b

d c d a

c b a

  ； b a c d a

b

  c d ﹒ (3)任一行（列）可以提出同一個數﹐如

　　　　 EMBED Equation.DSMT4 b b d

kc d

ka k a

 c ；

c d a b

k k d

k

a b

 c ﹒ (4)兩行（兩列）成比例﹐其值為 0﹐如

　　　　a ka 0

c kc  ； ka kb 0

a b  ﹒

(5)將一行（列）的 k 倍加到另一行（列）﹐其值不變﹐如 　　　　a b b

c

a

kc d

ka c d

 

 ； a b a kc b c c d

kd d

 

 ﹒

(6)若某一行（列）的每個元素可分成兩行（列）元素的和﹐則此行列式可拆分為兩個行列式的和﹐如

　　　　 a b a b

c c

b

d d

e

f d e f

  

 ； a b a b

c d c d

e f e f

c d

 

  ﹒

(4)

這六個性質都可以由二階行列式的定義直接推得﹒

例題3--- 求行列式 33 44

45 61 的值

---

隨堂練習--- 求行列式1234 1236

1237 1239的值

---

例題4--- 已知 a b 3

c d  ﹐求 2 3 4 5 2 3 4 5

a b a b

c d c d

 

  的值

---

隨堂練習--- 已知 a b 3

c d  ﹐求 2 3 4 2 3 4

a b a b

c d c d

 

  的值

---

(5)

平行四邊形的面積公式

由兩不平行向量



_u ^^^{a b}^, ^ ^與



_v ^^^{c d}^, ^所張出的平行四邊形面積為二階行列式a b c d 的絕對值﹐即　　| a b |

c d ﹒

例題5--- 求由向量



_u ^^{ }^{5, 2} ^與



_v ^^^{3, 2}^ ^所張出的平行四邊形面積

---

隨堂練習--- 已知由向量



^u ^^{5, 2}^ 與



^v ^^k^{, 4}^ 所張出的平行四邊形面積為24﹐求實數^k的值

---

例題6--- 已知^A ^1,0 ﹐^B ^{3, 2} ﹐^C^{0, 4}為坐標平面上三點﹒(1)求△ ABC的面積﹒

(2)設AP x AB y AC ﹐且

  

  ⁰^{ }^x ^{2 , 1}^{  }^y ¹﹐求向量_AP



^之終點P 所形成區域的面積﹒

---

(6)

隨堂練習--- 已知^A^^1,1﹐^B ^{3, 2} ﹐^C^^{2, 4}為坐標平面上三點﹒(1)求△ ABC的面積﹒

(2)設 AP x AB y AC

  

  ^﹐且^{  }¹ ^x ² ^﹐⁰^{ }^y ²^﹐求向量_AP



^之終點^P^{所形成區域的面積}

---

3-4　習題一、基礎題

1. 使用克拉瑪公式﹐解下列各聯立方程式：

(1) 4 11 4 3 6

x y x y

 

  

 ﹒ (2) 23 35 32 0

32 53 23 0

x y

  

   

 ﹒

2. 關於二階行列式﹐選出正確的選項：

(1) 23 45 23 67

67 89  45 89 (2)3 3 3 3 3

a b a b

c d  c d

(7)

(3) a b c d 0

c d  a b  (4)3 5

3 5 0 a a c c  (5) 10

10 a b a b b c d c d d

 

 ﹒

3. 求下列各行列式的值：

(1) 3 6

4 7 ﹒ (2)44 55

26 39 ﹒ (3) 234 235 236 237 ﹒

4. 已知 a b 3

c d  ﹐求 2 3 4 2 3 4 a b b c d d



 的值﹒

5. 求由向量



_u ^^{ }^{3, 2} ^與



_v ^^^{5, 4}^ ^ 所張出的平行四邊形面積﹒

二、進階題

(8)

6. 已知 ¹ ¹

2 2

a b 1

a b  ﹐ ¹ ¹

2 2

b c 2

b c  ﹐ ¹ ¹

2 2

c a 3

c a  ﹐求聯立方程式 ¹ ¹ ¹

2 2 2

 

  

 的解﹒

7. 試就實數k的值﹐討論聯立方程式 1 2 kx y k x ky k

  

  

 的解﹒

8. 設^A ^3,1 ﹐^B ^2,3 與^{C k} ^{, 1}^ 為坐標平面上三點﹒

(1)若△ABC的面積為7﹐則k的值為何？

(2)若A﹐B﹐C三點共線﹐則k的值為何？

9. 已知由向量



^u ^^{a b}^, 與



^v ^^{c d}^, 所張出的平行四邊形面積為3﹐求由向量_{3 u}

 

_ _v ^與

u  v

 

所張出的平行四邊形面積﹒

(9)

10. 驢與騾身上各背著重物﹐牠們互相埋怨﹐驢對騾說：「只要把你所背的重量給我一百公斤﹐我所背的重量就是你的兩倍﹒」騾回答說：「不錯﹐可是如果你背的重量給我一百公斤﹐我背的重量就是你的三倍﹒」請問：驢與騾各背了多少公斤的重物？　　　　　　　