我們知道如果

(1)

再談 Anti-derivative/Indefinite Integral

• 定義: F is an anti-derivative of f 即

^dF_dx

= f 。 The indefinite integral of f, 記作

f dx, 也是 anti-derivative of f 的意思, 這是定義, 不為什麼。

我們知道如果

^dF_dx

= f , 則 F

1

:= F + c 同樣也是 anti-derivative of f。所以一個函數對應的 anti- derivative 有無窮多個, 但是他們之間只有加/減一個常數的差異而已。所以 anti-derivative 也可以這樣寫:

f dx = F + c = F

₁

。即, 在不考慮加/減常數的情況下, 我們可以視

d dx

( )

F ^- f

( ) dx 為可逆的運算。

• 無論是微分還是積分都必須說明究竟是對哪個變量來做的。對於單變量函數 f 而言, 符號 :

df

dx

— derivative of f with respect to x,

f dx — anti-dervative of f with respect to x, 因為 f 的變量可以不同於微分/積分的變量,

所以務必要寫清楚! 如果沒有特別明示變量,Df 的意思就是

_d^d_♠

f

(♠)

,

f 的意思就是

f

(♠) d♠

。因為 D 是線性算子, 所以在不考慮加/減常數的情況下,

是線性算子 , 即

(f + g) = f +

g

(cf ) = c

f 。類

似地, 無論加/減常數與否,

b a

當然是線性算子。

• f

(x) dx =

_dx^df

dx = df, = ⇒

f

(x) dx =

df dx

dx =

df = f (x) + c. 在不考慮加/減常數的情況下, 我們可以視

d to diﬀerentiate (

細分

)

f ^- df

to integrate (

合併

)

為可逆的運算。

所有的積分技巧, 都是來自微分的經驗。例如, 所謂的 integration by part( 分部積分): d(uv) = du v + u dv = ⇒

d(uv) = uv =

v du +

u dv ⇐⇒

u dv = uv −

v du, 就是從 product rule 來的。

• Integration by part 的目的在於轉化問題 — 希望新得到的積分式子更為簡單。所以, 考慮

裡頭誰當

“u” 、誰當 “dv” 的原則為: 使下次

裡頭的 “v du” 不會變得更複雜。 (你一定要把 “v du” 算出來, 否則就變成這樣:

u dv = uv −

v du = uv − (vu −

u dv) =

u dv, 又回到原來的問題, 什麼也沒解決。) 另外提供一點經驗: 我們常把 integrant 裡頭多項式乘法的部分當 “u”, 因為 “du” 後會使其階數降低; 也常把指數函數 b

^ax

(a 、b 為常數) 的部分當 “u”, 因為 d( b

^ax

) = a ln b

常數

· b

^ax

dx, 即 “du” 不會帶來麻煩; 如果

多項式和指數函數同時出現, 則以多項式的部分當 “u” . . . 不過, 這不是什麼金科玉律, 還得視情況而定。

(2)

eg.

x

²

a

^x

dx =

(x

²

)(a

^x

dx) =

_{ln a}¹

x

²

d(a

^x

)

=

_{ln a}¹

[x

²

a

^x

−

a

^x

2x dx]

=

_{ln a}¹

x

²

a

^x

−

_{ln a}²

xd(a

^x

)

=

_{ln a}¹

x

²

a

^x

−

_{ln a}²

xa

^x

−

a

^x

dx

=

_{ln a}¹

x

²

a

^x

−

_{ln a}²

xa

^x

−

_{ln a}¹

a

^x

= a

^x

x²

ln a

−

_{(ln a)}^2x2

+

_{(ln a)}² ₃

• 在做 chain rule 的時候, 我們就用了所謂的 substitution, 積分時也不例外。 Substitution 除了簡略式子、便於觀察外, 最有用的還是在於轉化問題。有一個原則: 你若想把積分裡頭的某個式子叫做 u, 就要看看整個的積分式子完全用 u 表示後是否變簡單、能解決了。(如果不能輕易地用 u 表示, 大多意味著式子將變得更複雜。)

eg. 求

e

^√^x

dx,

若令 u := e

^√^x

, 則 du =

¹₂^e^√^√^x_x^dx

,

e

^√^x

dx = √

x du =

ln u du — 再以 integration by part 解決。

若令 u := √

x, 則 du =

¹₂^√^dx_x

,

e

^√^x

dx =

ue

^u

2 du =

2ue

^u

du — 再以 integration by part 解決。

若直接用 integration by part, 則

e

^√^x

dx = e

^√^x

· x −

x ·

^e^√₂^√^x^dx_x

= e

^√^x

x −

¹₂

√

xe

^√^x

dx, 更討厭了。

• 其他積分技巧, 必須具備若干基本知識:

一, 實係數二次多項式的配方 — ax

²

+ bx + c = a(x +

_2a^b

)

²

−

^b²^−4ac_4a

= ∗(x − ∗)

²

+ ∗ ; 二, 實係數分式 (有理式), 可以分解成

_(x−∗)^∗ n

、

_{(∗(x−∗)}^∗2+∗)ⁿ

類型的和 ;

三, 實係數多項式, 可以分解成 (x − ∗)、(

^∗(x−∗)²^+∗

) 類型的乘積 ; 四, 三角函數的和、分角、倍角公式 —– 可由 i

^def

= √

−1, e

^it

= cos t + i sin t

(Euler 公式) 很容易導出。

例如, (e

^it

)

³

= e

ⁱ^3t

= cos 3t + i sin 3t,

即 (cos t + i sin t)

³

= cos

³

t + 3 cos

²

t i sin t + 3 cos t i

²

sin

²

t + i

³

sin

³

t

= (cos

³

t − 3 cos t sin

²

t) + i(3 cos

²

t sin t − sin

³

t) 。所以實部 cos 3t = cos

³

t − 3 cos t sin

²

t = 4 cos

³

t − 3 cos t,

虛部 sin 3t = 3 cos

²

t sin t − sin

³

t = 3 sin t − 4 sin

³

t 。也可以這樣導: sin

³

t = (

^e^it^−e_2i^−it

)

³

=

êî3t^−3eî2tê^−it_−8i^+3eîtê^−i3t^−e^−i3t

=

êî3t^−3eît^+3e_−8i^−it^−e^−i3t

=

^3e^it_2i·4^−3e^−it

−

^e^i3t_2i·4^−e^−i3t

=

3 sin t−sin 3t 4

∴

sin

³

t dt =

³₄

sin t dt −

¹₄

sin 3t dt

=

⁻³₄

cos t +

₁₂¹

cos 3t 雖然這個做法本身不算高明, 只是為了說明不必背公式罷了。

sin

⁴

t = (

^e^it^−e_2i^−it

)

⁴

=

êî4t^−4eî3tê^−it^+6eî2t_(2i)ê^−i2t₄ ^−4eîtê^−i3t^+e^−i4t

=

êî4t^−4eî2t^+6−4e₁₆ ^−i2t^+e^−i4t

=

^e^i4t^+e₁₆^−i4t

−

^e^i2t^+e₄^−i2t

+

₁₆⁶

=

^{cos 4t}₈

−

^{cos 2t}₂

+

³₈

∴

sin

⁴

t dt =

¹₈

cos 4t dt −

¹₂

cos 2t dt +

³₈

t

=

₃₂¹

sin 4t −

¹₄

sin 2t +

³₈

t

五,

sin

^m

cos

ⁿ

(m, n ≥ 0) 的類型: m, n 至少一個為奇數時很簡單, 只要將基數次方的那個拿一次方進 d, 然後把留在 d 外的剩餘偶次方改成另一個即可, 如

sin

^m

x cos

³

x dx =

sin

^m

x cos

²

x d(sin x) =

sin

^m

x(1 − sin

²

x) d(sin x) =

♠m

(1 −

♠2

) d

_♠

= · · ·, 根本就不必記什麼倍角公式。

(3)

m, n 皆為偶數時, 如果用 integration by part 來做就比較複雜, 相當於

sin

^偶

或

cos

^偶

的情況, 如:

sin

²

x cos

²

x dx =

sin

²

x(1 − cos

²

x) dx =

sin

²

x dx −

sin

⁴

x dx. 下面有幾個例子:

1. sin

²

x dx = −

sin x d(cos x) = − sin x cos x +

cos x(cos x dx) = − sin x cos x + (1 − sin

²

x)dx = − sin x cos x +

1 dx −

sin

²

x dx, · · · 2.

sin

⁴

x dx = −

sin

³

x d(cos x) = − sin

³

x cos x +

cos x(3 sin

²

cos x dx) = − sin

³

x cos x + 3

sin

²

x(1 − sin

²

x)dx = − sin

³

x cos x + 3

sin

²

dx − 3

sin

⁴

x dx, · · · 3.

sin

⁶

x dx = −

sin

⁵

x d(cos x) = − sin

⁵

x cos x +

cos x(5 sin

⁴

cos x dx) = − sin

⁵

x cos x + 5

sin

⁴

x(1 − sin

²

x)dx = − sin

⁵

x cos x + 5

sin

⁴

dx − 5

sin

⁶

x dx, · · · 所以, 要算

sin

⁶

x dx, 就得算

sin

²

x dx 、算

sin

⁴

x dx, 挺麻煩的。

但是, 如果直接用第 (四) 點說過的 Euler 公式 sin

⁶

x =

e^it−e^−it 2i

₆

= (1

e

ⁱ^6t

− 6 e

ⁱ^4t

+ 15

e

ⁱ^2t

+15 e −20

^−i2t

− 6

e

^−i4t

+ 1 e

^−i6t

)/( −64)

= (cos 6t − 6 cos 4t + 15 cos 2t − 10)/(−32),

∴

sin

⁶

x dx = (

¹₆

sin 6t −

⁶₄

sin 4t +

¹⁵₂

sin 2t − 10t)/(−32), 很乾脆。

六, 反三角函數的 derivatives (請回去看 “Derivative & Diﬀerential” 的部分);

七, hyperbolic 函數的 derivatives (有時間就說)。

Riemann Sum & Definite Integral

• Given f(x), I = [a, b], and a partition(分割) p whch breaks I into n pieces: a = x

0

< x

₁

< · · · <

x

_n₋₁

< x

_n

= b. Riemann sum ( 黎曼和) is an “n-sum” deﬁned as follows:

S

_n

:=

n i=1

f (¯ x

_i

) x

i

where ¯ x

i

is arbitrarily chosen from I

i

:= [x

i−1

, x

i

], x

i

:= |I

i

| = x

i

− x

i−1

. In particular, if ¯ x

_i

:= x

_i₋₁

for all i, then S

_n

is called the left hand sum L;

if ¯ x

_i

:= x

_i

for all i, then S

_n

is called the right hand sum R;

if ¯ x

i

:=

^xⁱ⁻¹₂^+xⁱ

for all i, then S

n

is called the midpoint sum M (note that M =

^L^+R₂

!!!).

“ p → 0 ” means “ max

i

|I

i

| → 0 ”.

• Definite integral ( 定積分) 是 Riemann sum 的極限 (其極限值不一定存在 !!!):

_b

a

f (x) dx

^def

= lim

p→0

n i=1

f (¯ x

_i

) x

i

其中 a 稱為 lower limit, b 稱為 upper limit, f (x) 稱為 integrant 。如果

_b

a

f (x) dx 存在, 則說 f is

integrable on [a, b].

(4)

Left Hand Sum

Right Hand Sum

所以定積分的值可藉由 Riemann sum 來估計, 其符號上也與 Riemann sum 吻合。大致可以這樣描述:

和長條形的高長條形的寬

黎曼和 n

n i=1

f (¯ x

_i

) x

i

n 個長條形加起來

↓ ↓

定積分 ∞

_b

a

f (x) dx ∞ 個很細的長條形加起來

• 常聽到有人這樣說: “

b

a

f (x) dx 等於 f 曲線下、x-軸上方、介於 a、b 之間的面積 ”, 這樣的 “面積” 卻是隨著 f 起伏 — 有時正、有時負, 除非 f ≥ 0 on [a, b], 否則這句話語意不清不楚, 也跟我們的習慣不符。我們如果要講真正的面積, 應該要用精確的方式來描述以避免混淆: 介於 a、b 之間,f 曲線與 x-軸所夾的面積為

b a

|f(x)| dx。

如果用 Riemann sum 來估計

b

a

f (x) dx: 將 [a, b] 區間等分成 n 段 (i.e. 曲線下、x-軸上方的區域被分成 n 條, 每條的寬度為 x :=

^b^−a_n

), 則 n 個長條的平均高度為

n

i=1

f (x

_i

)

n =

n

i=1

f (x

_i

) x

n x =

n

i=1

f (¯ x

_i

) x b − a ,

ⁿ

−→

^→∞

b

a

f (x) dx b − a . 根據前兩點, 可以目測函數大概的平均值:

橫線的高為平均值 ⇐⇒ 曲線下方橫線上方夾的面積 = 橫線下方

曲線上方夾的面積 .

• 把 [a, b] 分成 n 段 (a = x

0

< x

₁

< · · · < x

n−1

< x

_n

= b) 。若存在 F (x) 使得 f =

^dF_dx

, 則 F (x) 從 a 到

b 的總變化量為 F (b) − F (a) :

(5)

F (b) − F (a) =

n i=1

[F (x

_i

) − F (x

i−1

)] , 根據 Lagrange MVT,

=

n i=1

f (¯ x

_i

) x

i

for some ¯ x

_i

∈ (x

i−1

, x

_i

) , 意即: 等於某個 Riemann sum,

n

−→

→∞

b a

f (x) dx, 於是有 Fundamental Theorem of Calculus (FTC) :

[FTC] If F is an anti-derivative of f , i.e.

^dF_dx

= f , then

_b

a

f (x) dx = F (b) − F (a).

• 從以上得知求定積分值的兩種基本方法:

1, 求 Riemann sum 通式後取極限 (如果無法求出通式, 只好用 Riemann sum 或其他數值方法粗略估計)。

2, 依 FTC, 求 integrant 的 anti-derivative (if exists) 後將 upper limit、lower limit 代入求差。

一般來說, 求 finite sum 的通式往往是很困難的。光是簡單的 finite sum 公式就已經多得記不住了! 所以 finite sum 的極限問題常常又會被轉換成定積分的問題,

不過, 求 anti-derivative 也並非容易的事, 若是為了求定積分的型式解/精確解, 大部分的情況還非得這麼做不可, 但任意函數的 anti-derivative, 型式上卻不一定求得出來。

• 一些 ﬁnite sum 公式 1. 令 S

n

=

n

i=1

r

ⁱ

. 則 rS

n

− S

n

= r

ⁿ⁺¹

− r, 即 S

n

=

^r^−r_1−rⁿ⁺¹

。 2.

_n

k=1

cos kθ + i

_n

k=1

sin kθ =

_n

k=1

e

^ikθ

=

_n

k=1

(e

^iθ

)

^k

=

êîθ^−e_1−eî(n+1)θ_iθ

=

êîθ^−e_1−eî(n+1)θ_iθ ^1−e_1−e^−iθ_−iθ

=

êîθ^−eî(n+1)θ_{2−2 cos θ}^−1+eînθ

=

cos θ−cos(nθ+θ)−1+cos nθ

2−2 cos θ

+ i

sin θ−sin(nθ+θ)+sin nθ 2−2 cos θ

,

n

k=1

cos kθ =

cos θ−cos(nθ+θ)−1+cos nθ

2−2 cos θ

=

cos θ−1−cos nθ cos θ+sin nθ sin θ+cos nθ)

2−2 cos θ

=

^{cos nθ−1}₂

+

sin nθ sin θ 2−2 cos θ

,

n

k=1

sin kθ =

sin θ−sin(nθ+θ)+sin nθ

2−2 cos θ

=

sin θ−sin nθ cos θ−cos nθ sin θ+sin nθ)

2−2 cos θ

=

^{sin nθ}₂

+

sin θ(1−cos nθ) 2−2 cos θ

. 3. 令 S

n

=

_n

i=1

i, 則 2S

n

=

^1+2+···+⁽ⁿ⁻¹⁾⁺ⁿ

+n+⁽ⁿ⁻¹⁾+···+2+1

= n(n + 1), 即 S

n

=

ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂

4.

n

i=1

(i + 1)

³

=

n

i=1

(i

³

+ 3i

²

+ 3i + 1) =

n

i=1

i

³

+ 3

n

i=1

i

²

+ 3

n

i=1

i +

n i=1

1, 即

n

i=1

i

²

=

⁽ⁿ⁺¹⁾³⁻¹⁻ⁿ⁻³

P_n

i=1i

3

=

²ⁿ³⁺⁶ⁿ²+6n+2−2−2n−3n²−3n

6

=

²ⁿ³⁺³ⁿ₆ ²⁺ⁿ

=

ⁿ(n+1)(2n+1)

6

。

5.

n

i=1

(i + 1)

⁴

=

n

i=1

(i

⁴

+ 4i

³

+ 6i

²

+ 4i + 1) =

n

i=1

i

⁴

+ 4

n

i=1

i

³

+ 6

n

i=1

i

²

+ 4

n

i=1

i +

n i=1

1, 即

n

i=1

i

³

=

⁽ⁿ⁺¹⁾⁴⁻¹⁻⁶

P_n

i=1i²−4P_n

i=1i−n

4

=

ⁿ⁴⁺⁴ⁿ³⁺⁶ⁿ²^{+4n+1−1−2n}₄ ³⁻³ⁿ²⁻ⁿ⁻²ⁿ²⁻²ⁿ⁻ⁿ

=

ⁿ⁴⁺²ⁿ₄³⁺ⁿ²

=

n(n+1) 2

₂

。

n

i=1

i

⁴

、

_n

i=1

i

⁵

、· · ·, 依此類推。 6.

n

i=1 1

i(i+1)

=

n i=11

i

−

n i=1 1

i+1

= 1 −

_n₊₁¹

. 7.

_n

i=1 1

i(i+1)(i+2)

=

n i=1 1

i(i+1)

−

_n

i=1 1 (i+1)(i+2)

/2 = [1 −

_n₊₁¹

−

¹₂

+

_n₊₂¹

]/2 =

¹₄

−

2(n+1)(n+2)¹

。 8.

_n

i=1

( −1)

ⁱ⁻¹

i =

_n₊₁

2

if n is odd

−n2

if n is even 9.

n

i=1

( −1)

ⁱ⁻¹

i

²

= ( −1)

ⁿ^{−1 n(n+1)}₂

(6)

10.

_n

i=1

( −1)

ⁱ⁻¹

i

³

=

(2n−1)(n+1)²

4

if n is odd

−n²(n+3)

4

if n is even 11.

_n

i=1

i(i + 1) · · · (i + k) =

_k₊₂¹ ^(n+k+1)!_(n−1)!

• 因為定積分是用極限定義的, 故而不是所有的定積分都存在的。

若 integrant f(x) 在 [a, b] 連續或段段連續 (piecewisely continuous), 則定積分

b a

f (x) dx 存在。

假設 integrant 在 [a, b] 上很好 (eg. 連續), 則對於任意的 c ∈ [a, b], 定積分算子

b

a

=

c a

+

b c

, 即

b a

f (x) dx =

c a

f (x) dx +

b c

f (x) dx;

_a

b

= −

_b

a

, 即

_a

b

f (x) dx = −

_b

a

f (x) dx;

a a

= 0, 即

a a

f (x) dx = 0; 以上從定積分的定義一看便知。

萬一 integrant 不太好 (eg. 在某處極限值為無窮), 或, 定積分範圍 unbounded, 這時候定積分不可以隨便拆, 再次強調, 因為定積分是用極限定義的。這樣的定積分叫做 improper integral(瑕積分)。

• 假裝 F 是 f 的 anti-derivative, i.e.

f = F , 則

h(x) g(x)

f (t) dt =

F (t)

t=h(x)

t=g(x)

= F (

h(x)

) −F (

^g(x)

), 所以

d dx

h(x) g(x)

f (t) dt

=

_dx^d

F (

h(x)

) −

_dx^d

F (

g(x)

) = F

(

h(x)

)

·h(x)

−F

(

g(x)

)

·g(x)

= f (

h(x)

) · h

(x) − f(

^g(x)

) · g

(x),

不用真的去求出 F 。

我們知道 如果

再談 Anti-derivative/Indefinite Integral

• 定義: F is an anti-derivative of f 即

= f 。 The indefinite integral of f, 記作

f dx, 也是 anti-derivative of f 的意思, 這是定義, 不為什麼。