第十四章 微積分及其應用
14-1 極限的概念
無窮數列極限的概念 1. 無窮數列極限的意義：
(1)無窮數列的極限：
設 { } a 為 一 無 窮 數 列 ， n 為 一 實 數 ， 當 n 趨 近 於 無 限 大 ( n 時 ， ) a 趨 近 於 n
( a n ) ，則稱數列{ } a 的極限值為 ，或稱數列{ } n a 收斂到 ，記作 n lim n
n a
。
(2)若無窮數列{ } a 極限存在時，稱{ } n a 為「收斂數列」；若無窮數列{ } n a 極限不存在時， n 則稱{ } a 為「發散數列」。 n
例： 1
lim 0
n n 1
{ } n 為收斂數列。
lim
n n
（不存在） { } n 為發散數列。
lim( 1) n
n 極限不存在 {( 1) } n 為發散數列。
2. 無窮數列極限的運算性質：（＋、－、×、÷可拆）
設{ } a 、{ } n b 為收斂數列，且 lim n n
n a
， lim n
n b
， k 為常數，則 (1) lim n lim n
n ka k n a k
。
(2) lim( n n ) lim n lim n
n a b n a n b
。 (3) lim( n n ) lim n lim n
n a b n a n b
。 (4) lim
lim lim
n n n
n n n n
a a
b b
（ ）。 0
3. 無窮數列極限的求法：
(1)分式型：設 ( ) f n 、 ( ) g n 為 n 之多項式，其領導係數分別為 、 ，則 0 deg ( ) deg ( )
lim ( ) deg ( ) deg ( )
( )
deg ( ) deg ( )
n
f n g n
f n f n g n
g n
f n g n
，當
，當 不存在，當
。
(2)根式型：當 n 時，出現
、 或 0 時，先將分子或分母有理化，再求極限。
(3)等比型：
①當| | 1 r ， lim n 0
n r
。 ②當 r ， 1 lim n 1
n r
。
③當 r ， 1 lim n
n r
不存在。 ④當 | | 1 r ， lim n
n r
不存在。
分式型 試求下列各極限值：
(1) 2 3 lim 4 6
n
n n
(2) 2 9 lim 3 8
n
n n
。
(1)原式 2
2
1 3
lim 0
4 6
n
n n n
(2)原式 2
2
1 9 lim 3 8
n
n n n
不存在
試求下列各極限值：
(1) lim 2 2 1 3
n
n n n
(2) 3 2 2 2 1 lim n 3
n n
n n
。
(1)原式 2
2
2 1
lim 0
1 3
n 1
n n n n
(2)原式 2
2
2 1 3
lim 3
1 3
n 1
n n n n
參考 NO.1
根式型 試求 lim( 2 3 )
n n n n
的極限值。
lim( 2 3 )
n n n n
2 2
2
( 3 )( 3 )
lim 3
n
n n n n n n
n n n
2
lim 3
n 3
n
n n n
（上下同除n
）lim 3
1 3 1
n
n
3
2
試求 lim( 2 1)
n n n
的極限值。
lim( 2 1)
n n n
2 2
2
( 1)( 1)
lim 1
n
n n n n
n n
2
lim 1
n n n 1
0
參考 NO.1、NO.3
等比型
試求 4 3
lim 4 3
n n
n n
n
的極限值。
原式
1 ( ) 3
lim 4 1
1 ( ) 3 4
n
n n
試求 3 2
lim 5
n n
n n
的極限值。
原式 3 2
lim ( ) lim ( ) 0
5 5
n n
n n
參考 NO.1
函數的極限 1. 函數極限的定義：
設 a 、 為實數，若函數 ( ) f x 定義域中的 x 趨近於定數 a 時（由 a 的左右兩邊趨近，
但 x a ），函數 ( ) f x 的值會趨近於一個定數 ，則稱 f x 在 ( ) x a 處的極限值為 ， 記作 lim ( )
x a f x
。
2. 左、右極限：
(1)左極限：當 x a 時（即 x a 且 x a 時） ， f x ( ) 定數 1 ， 則稱 f x 在 ( ) x a 處的左極限值為 1 ，記為 lim ( ) 1
x a f x
。
(2) 右極限：當 x a 時（即 x a 且 x a 時） ， f x ( ) 定數 2 ， 則稱 f x 在 ( ) x a 處的右極限值為 2 ，記為 lim ( ) 2
x a f x
。
(3) 左極限 =右極限 極限存在，即 lim ( ) lim ( )
x a f x x a f x
lim ( )
x a f x
。
(4)若 lim ( ) lim ( )
x a f x x a f x
，則 lim ( )
x a f x
不存在。
(5)若 x a lim ( ) f x 不存在或 lim ( )
x a f x
不存在，則 lim ( )
x a f x
不存在。
3. 函數極限的性質： （
＋，－，×，÷可拆）設 lim ( )
x a f x
、 lim ( )
x a g x
， k 為常數，則 (1) lim
x a k k
。
(2) lim ( ) lim ( )
x a k f x k x a f x k
。 (3) lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
x a f x g x x a f x x a g x
。
(4) lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
x a f x g x x a f x x a g x
。
(5) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a
x a
f x f x
g x g x
（ 0 ） 。
4. 多項式函數極限的性質：
設 f x 、 ( ) g x 為二實係數多項式， ( ) a 為實數，則 (1) lim ( ) ( )
x a f x f a
。
(2)當 g a ( ) 0 時， lim ( ) ( ) ( ) ( )
x a
f x f a g x g a
。
5. 函數極限的求法：
(1)定型極限（分母不為 0）：直接代入法，將 x a 直接代入求值， lim ( ) ( )
x a f x f a
。
(2) 0
0 不定型極限：先因式分解、通分或有理化根式，將分子、分母約分，再代值求極限。
左右極限 設 ( ) 2 2 3 2
5 2
x x
f x x x x
，
， ，試求
lim ( ) 2
x f x
。
當 x 2 時，
2 2
lim ( ) lim (2 3) 7
x f x x x
當 x 2 時， 2
2 2
lim ( ) lim ( 5) 7
x f x x x x
∵ lim ( ) 2 lim ( ) 7 2
x f x x f x
∴ lim ( ) 7 2
x f x
設 f x ( ) | | x
x ， x 0 ，試求
lim ( ) 0
x f x
。
當 x 0 時，
0 0
lim ( ) lim 1
x x
f x x
x
當 x 0 時，
0 0
lim ( ) lim 1
x x
f x x
x
∵ lim ( ) 0 lim ( ) 0
x f x x f x
∴ lim ( ) 0
x f x
不存在
參考 NO.4
函數的極限 求
2
1
3 6 7
lim 3
x
x x x
之值。
2 1
3 6 7 3 6 7
lim 8
3 1 3
x
x x
x
求
2 1 2
2 3 lim x 5 6
x x x x
之值。
2 1 2
2 3 1 2 3 2 lim x 5 6 1 5 6 5
x x
x x
函數的極限 求 0
lim 4 2
x
x x
之值。
0 0
4 2 ( 4 2)( 4 2)
lim lim
( 4 2)
x x
x x x
x x x
lim 0
( 4 2)
x
x x x
1
4
求
2 3 2
2 3 lim x 5 6
x x x x
之值。
2 3 2
2 3 lim x 5 6
x x
x x
3
( 1)( 3)
lim 4
( 2)( 3)
x
x x
x x
參考 NO.2
函數的連續
連續函數的定義：1. 設 a 為函數 f x 定義域上一點，若 ( ) lim ( ) ( )
x a f x f a
，則函數 f (x ) 在 x a 處連續，
即函數在點 ( , ( )) a f a 是連續不斷的。
2. 若函數 ( ) f x 在區間[ , ] a b 中的每一點均連續，則稱函數 f (x ) 在區間 [ , ] a b 為連續函數。
3. 函數 ( ) f x 在 x a 處連續，須滿足下列三個條件：
(1) ( ) f x 在 x a 處有定義（函數值存在） 。 (2) lim ( )
x a f x
存在（極限值存在） 。 (3) lim ( ) ( )
x a f x f a
（極限值＝函數值） 。 4.若函數 f x 在 ( ) x a 處連續 lim ( )
x a f x
存在（其逆不真） 。
5.若 lim ( ) ( )
x a f x f a
，則函數 f x 在 ( ) x a 處不連續。
連續函數 試判別函數
2 3 2
( ) 2 2
2 2
x x f x x x
x
，
，
在
2
x 處是否為連續函數？
2
2 2
3 2 lim ( ) lim
2
x x
x x
f x x
2
( 1)( 2)
lim 1
2
x
x x
x
又 f (2) 2
∵ lim ( ) 2 (2)
x f x f
∴ f x ( ) 在 x 2 處不是連續函數
設 a 為常數，若 1 1
( ) 1 1
ax x
f x x
，
， 為連續
函數，試求 a 之值。
∵ f x ( ) 為連續函數
∴ lim ( ) lim ( ) 1 1
x f x x f x
又
1 1
lim ( ) lim( 1) 1
x f x x
1 1
lim ( ) lim( 1) 1
x f x x ax a
∴ a 1 1 a 2
參考 NO.5
似是而非（ ╳ ） 原來如此（○）
1. 若 lim ( )
x a f x
存在，則函數 f x 在 ( ) x a 連續。
設 2 1, 2
( ) 2 , 2
x x
f x x
，
lim ( ) 5 2 (2) 2
x f x f
， f x ( ) 在 x 2 不連續。
2. 3 2
lim 1
5
n n
n n
3 2 3 2
lim lim( ) lim( ) 0
5 5 5
n n
n n
n n n n
( Ｂ ) 1. 關於下列各極限，何者正確？ (A) 3 2
lim 1
5
n n
n n
(B) 100 2 9
lim 0
5 1
n
n n n
(C) 0.01
lim 0
5 1
n
n n
(D) lim( 2 1) 1
n n n
。 【 99 工】
( Ｃ ) 2. 若 2 2
( ) 1 1
x x
f x x x
（ x 1 ），則
lim ( ) 1
x f x
之值為何？ (A)不存在 (B) 0 (C) 1 2
(D) 1。 【 107 商】
( Ｂ ) 3. 試求 lim( 2 )
n n n n
？ (A) 1
4 (B) 1
2 (C) 2 (D) 4。 【改 94 工】
( Ｂ ) 4. 若 | sin | 0
( ) 2 0
x x
f x x
，
， ，則
lim ( ) 0
x f x
？ (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2。 【92 工】
( Ｂ ) 5. 已 知
2 2
1 1
( ) 5 2 3
1
x x
f x x x
C x
，
，
。 若 f 在 x 1 處 連 續 ， 則 C ？ (A) 1
8 (B) 1 4 (C) 1
2 (D)1。 【 102 工】
14-2 多項函數的導數、導函數與微分公式
多項式的導數與導函數 1. 導數的定義：
(1)函數 ( ) f x 在 x a 及鄰近區域都有定義，若 lim ( ) ( )
x a
f x f a x a
存在，則稱 lim ( ) ( )
x a
f x f a x a
為函數 f x 在 ( ) x a 處的導數（可微分） ，以 f a ( ) 表示，即 ( ) lim ( ) ( )
x a
f x f a
f a x a
。
(2)令 x a h ，則 x a h 0 ，可得
0
( ) ( )
( ) lim
h
f a h f a
f a h
。
(3)函數 f x 在 ( ) x a 的導數 f a ( ) 存在時，稱 f x 在 ( ) x a 可微分；若 f a ( ) 不存在時，
稱 f x 在 ( ) x a 不可微分。
(4)函數 f x 在 ( ) x a 處：可微分 必定
未必 連續 必定
未必 極限存在。
2. 導函數：
(1)對函數 f x 定義域中的每一個數 ( ) a ，導數值 f a ( ) 均存在，且由 a 對應到 f a ( ) 形成一個 新的函數，則稱此函數為導函數，記作 f x ( ) 或 df x ( )
dx 或 d ( ) dx f x 或 dy
dx 或 y 。
(2)對函數 f x 定義域中的每一個數 ( ) a ，導數值 f a ( ) 均存在，則稱此 f x 為可微分函數， ( )
0
( ) ( ) ( ) lim
h
f x h f x
f x h
稱為 f x 的 ( ) 導函數。
導數的定義 若 ( 1)( 3)
( ) ( 1)( 2) x x f x x x
，試求 f (1) 之值。
1
( ) (1) (1) lim
1
x
f x f
f x
1
( 1)( 3) ( 1)( 2) 0
lim x 1
x x
x x
x
1
lim 3
( 1)( 2)
x
x
x x
2
3
若 f x ( ) x x ( 2 3) 3 ，試求 f (0) 之值。
0
( ) (0) (0) lim
0
x
f x f
f x
2 3
0
( 3) lim x
x x x
2 3
lim( 0 3)
x x
27
參考 NO.1、NO.2
微分公式
1. 微分公式：
（＋、－可拆，×、÷不可直接拆）設 f x ( ) 、 g x ( ) 均為可微分函數， k 為常數， n 為實數
可微分函數 導函數
(1) f x ( ) k f x ( ) 0 (2) f x ( ) x n f x ( ) nx n 1 (3) F x ( ) k f x ( ) F x ( ) k f x ( ) (4) F x ( ) f x ( ) g x ( ) F x ( ) f x ( ) g x ( ) (5) F x ( ) f x ( ) g x ( ) F x ( ) f x ( ) g x ( )
(6) F x ( ) f x ( ) g x ( ) F x ( ) f x ( ) g x ( ) f x ( ) g x ( ) (7) ( ) ( )
( ) F x f x
g x ， g x ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ ( )]
f x g x f x g x
F x g x
2. 多項式函數的導函數：
設 n 為正整數或 0，若實係數多項式 f x ( ) a x n n a x n 1 n 1 a x 2 2 a x a 1 0 ，則 f x 的 ( ) 導函數為 f x ( ) na x n n 1 ( n 1) a x n 1 n 2 2 a x a 2 1 。
3.連鎖法則： 設 f x ( ) 、 g x ( ) 均為可微分函數
(1)若 F x ( ) g f x ( ) ，則 F x ( ) g f x ( ) f x ( ) （先微外再微內） 。
(2)若 F x ( ) [ ( )] f x n ，則 F x ( ) n f x [ ( )] n 1 f x ( ) （微分再微分） 。 4. 二階導函數與二階導數：
(1)設 f x 為可微分函數，其導函數為 ( ) ( ) f x ，若 f x ( ) 仍可微分，則其導函數記作 f x ( ) ， 稱為函數 f x 的二階導函數。 ( )
(2)函數 f x 在 ( ) x a 的二階導數記作 f a ( ) ，即 ( ) lim ( ) ( )
x a
f x f a
f a x a
。
5. 導數的意義：
(1)幾何意義：若曲線函數 y f (x ) ，且 f a ( ) 存在，則過曲線上一點 ( , ( )) a f a 之
①切線斜率為 m f a ( ) 。
②切線方程式為 y f a ( ) f a x a ( )( ) （點斜式） 。
(2)物理意義：①位移函數 ( ) S t 在 t a 處的導數 ( ) ( ) ( ) lim
t a
S t S a S a t a
為此物體在時間 a 的瞬時速度（位移的微分 瞬時速度） 。
②速度函數 V t 在 t a ( ) 處的導數 ( ) ( ) ( ) lim
t a
V t V a V a t a
為此物體在時間 a 的瞬時加速度（瞬時速度的微分 瞬時加速度） 。
微分公式 設 f x ( ) ( x 2 1) 2 ，試求：
(1) ( ) f x (2) (2) f (3) f x ( ) (4) f (2) 。 f x ( ) ( x 2 1) 2 x 4 2 x 2 1
(1) f x ( ) 4 x 3 4 x
(2) f (2) 4 8 4 2 24 (3) f x ( ) 12 x 2 4
(4) f (2) 12 4 4 44
設 f x ( ) x 5 3 x 3 4 x ，試求： 5
(1) ( ) f x (2) (1) f (3) f x ( ) (4) f (1) 。 f x ( ) x 5 3 x 3 4 x 5
(1) f x ( ) 5 x 4 9 x 2 4 (2) f (1) 5 9 4 10 (3) f x ( ) 20 x 3 18 x (4) f (1) 20 18 38
參考 NO.3、NO.4
微分公式 若 f x ( ) ( x 2 1)(3 x 2 ，試求 ( ) x ) f x 、 (1) f 。
∵ f x ( ) ( x 2 1) (3 x 2 x ) ( x 2 1)(3 x 2 x )
2 2
2 (3 x x x ) ( x 1)(6 x 1)
3 2
12 x 3 x 6 x 1
∴ f (1) 12 3 6 1 14
若 f x ( ) (2 x 3 1)( x ，試求 ( ) 3) f x 、 ( 2) f 。 ∵ f x ( ) (2 x 3 1) ( x 3) (2 x 3 1)( x 3)
2 3
6 ( x x 3) (2 x 1) 1
3 2
8 x 18 x 1
∴ f ( 2) 64 72 1 7
參考 NO.5
微分公式 若
2
( ) 2
1 f x x
x x
，試求 f x ( ) 、 f ( 1) 。
∵
2 2 2 2
2 2
( ) ( 1) ( )( 1)
( ) ( 1)
x x x x x x
f x x x
2 2
2 2
2 ( 1) ( )(2 1)
( 1)
x x x x x
x x
2
2 2
2
( 1)
x x
x x
∴ 1 2
( 1) 1
f 1
若
2 2 3
( ) 1
x x f x x
，試求 f x ( ) 、 f (0) 。 ∵
2 2
2
(2 3 ) ( 1) (2 3 )( 1)
( ) ( 1)
x x x x x x
f x x
2
2
(4 3)( 1) (2 3 ) 1 ( 1)
x x x x
x
2
2
2 4 3
( 1)
x x
x
∴ 3
(0) 3
f 1
參考 NO.6
連鎖法則 設 f x ( ) ( x 2 1) ( 2 x ，試求 (1) 1) f 。
∵ f x '( ) 2( x 2 1)(2 )( x x 1) ( x 2 1) 2
∴ f (1) 2 2 2 2 2 2 20
設 f x ( ) (2 x 3 x 2) 3 ，試求 f (1) 。 ∵ f x ( ) (2 x 3 x 2) 3
∴ f x ( ) 3(2 x 3 x 2) (2 2 x 3 x 2)
3 2 2
3(2 x x 2) (6 x 1)
故 f (1) 3(2 1 2) (6 1) 21 2
參考 NO.7
微分公式的應用 設 f x ( ) 2 x 3 2 x ，試求 1
0
(1 ) (1) lim h 3
f h f
h
。
∵ f x ( ) 6 x 2 2
∴ 原式 0
1 (1 ) (1)
lim[ ]
3
h
f h f
h
1
3 f (1)
1
(6 2)
3 4
3
設 f x ( ) x 2 3 x ，試求
0
(2 ) (2) lim h 2
f h f
h
。
∵ f x ( ) 2 x 3
∴ 原式 0
1 (2 ) (2)
lim[ ]
2
h
f h f
h
1
2 f (2)
1
(4 3)
2 1
2
參考 NO.8、NO.9、NO.10
切線方程式 試求 f x ( ) x 2 2 x 的圖形上，以 (2,7) 為切 1
點的切線方程式。
∵ f x ( ) 2 x 2
∴ 切線斜率為 f (2) 6 由點斜式知：
切線方程式為 y 7 6( x 2) 即 6 x y 5 0
試求過函數 f x ( ) 上一點 ( 1,1) x 2 2 的切 線方程式。
∵ f x ( ) 2 x
∴ 切線斜率為 f ( 1) 2 由點斜式知：
切線方程式為 y 1 2( x 1) 即 2 x y 3 0
參考 NO.11、NO.12
切線斜率 設函數 f x ( ) x 2 3 x ，若直線 y 1 為 x k
( )
f x 上之一切線，試求 k 之值。
設 ( , ( )) a f a 為 f x ( ) 上之切點
∵ f x ( ) 2 x 3 ，且切線斜率為 1
∴ m f a ( ) 2 a 3 1
a 2
故切點為 ( 2, ( 2)) ( 2, 1) f 代入直線 1 2 k k 3
若函數 f x ( ) 4( x 1) 2 上一點 P a b 的切線 ( , ) 斜率為 8 ，試求 a b 之值。
∵ f x ( ) 8( x 1) 且切線斜率為 8
∴ m f a ( ) 8( a 1) 8
a 0
又 P a b ( , ) 在 f x ( ) 上 代入得 b f (0) 4 故 a b 4
參考 NO.13
二階導函數 設 f x 為二次函數，且 (1) 3 ( ) f ， (1) 5 f ，
(1) 2
f ，試求 (4) f 之值。
設 f x ( ) ax 2 bx c
f x ( ) 2 ax b ， f x ( ) 2 a
(1) 3
f a b c ①
(1) 2 5
f a b ② (1) 2 2
f a ③ 由①、②、③得：
1
a ， b 7 ， c 3 故 f x ( ) x 2 7 x 3
f (4) 16 28 3 9
設 f x 為二次函數，且 (0) 3 ( ) f ， (1) 2 f ， (2) 4
f ，試求 (2) f 之值。
設 f x ( ) ax 2 bx c
f x ( ) 2 ax b ， f x ( ) 2 a (0) 3
f c 3 ① (1) 2
f 2 a b 2 ② (2) 4
f 2 a 4 ③ 由①、②、③得：
2
a ， b 2 ， c 3 故 f x ( ) 2 x 2 2 x 3
f (2) 8 4 3 7
參考 NO.14、NO.15
( Ｄ ) 1. 設 ( 1)( 4) ( ) ( 1)( 2)
x x x f x x x
，則導數 f '(0) 之值為何？ (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 2。
【 103 工】
( Ａ ) 2. 若 4 3( 2 1)
( ) 1
f x x
x x
，則 f ' ( 1) 之值為何？ (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2。
【107 商】
( Ｄ ) 3. 若 f x ( ) ( x 1) 5 ，則
2
( ) (2) lim x 2
f x f x
(A) 0 (B) 1 (C) 5 (D) 20。 【100 工】
( Ｂ ) 4. 函數 f x ( ) 2 x 3 2 x 2 在 3 x 1 之導數為何？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。 【 104 商】
( Ｂ ) 5. 若 f x ( ) ( x 2 3 x 1)( x 2 3 x ，則 (1) 5) f ？ (A) 15 (B) 10 (C) 4 (D) 5 。
【 95 工】
( Ａ ) 6. 求函數 2 2 2
( ) 2
x x f x x
在 x 1 的導數。 (A) 9 (B) 8 (C) (D) 7 6 。
【 106 商】
( Ａ ) 7. 若 f ( x ) ( x 2 + 3 x 1 ) 2 ( x 3 5 x 2 ) ，則 f ' ( 1 ) 為何？ (A) 183 (B) 87 (C) 57
(D) 36 。 【 105 商】
( Ｄ ) 8. 設 f x ( ) ( x 2 2) 2 ，求
1
( ) (1) lim x 1
f x f x
→ ？ (A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 12。【103 商】
( Ａ ) 9. 已知多項式 f x ( ) ( x 2 x 1) 2 ，求 1
0
(3 ) (0) lim h 2
f h f h
之值 (A) 3 (B) 2 (C) 2
(D) 3。 【102 商】
( Ｃ ) 10. 若 f x ( ) 3 x 2 2 x ，則 5
0
(3 ) (3) lim h
f h f
h
？ (A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 40。
【 96 工】
( Ｄ ) 11. 在坐標平面上，函數 3 2
( ) 3 1
f x 2 x x 的圖形於切點 (2 , 1) 的切線斜率為何？ (A)
0 (B) 1 (C) 2 (D) 3。 【107 商】
( Ｃ ) 12. 設 f x ( ) x 3 ax 2 ，若 (2, 4) 4 P 為圖形上一點，則以 P 為切點的切線方程式為何？
(A) x 4 y (B) 14 x 4 y 18 (C) 4 x y (D) 4 4 x y 12 。 【92 工】
( Ｂ ) 13. 已知 a 、 b 為實數，若過函數 f x ( ) ax 2 bx 圖形上一點 P (1,5) 的切線斜率為 3，則 '(2)
f ？ (A) 3 (B) 1 (C) 1 (D) 3。 【 104 工】
( Ｄ ) 14. 已知 a 、 b 為實數， f x ( ) ( ax b ) 3 。若 f (2) 1 且 '(2) 6 f ，則 a b ？ (A) 2
(B) 1 (C) 3 (D) 5。 【102 工】
( Ｂ ) 15. 設 ( ) f x 與 g x ( ) 表示函數 f x 與 ( ) ( ) g x 的導函數，若 ( ) f x ax 與 g x ( ) ax 2 bx 滿 3
足 f (2) g (2) 及 f (2) g (2) ，則 a b (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5。 【94 工】
14-3 微分的應用
函數圖形的描繪
設 f x 是定義在區間[ , ] ( ) a b 上的多項式函數。
1. 函數的遞增與遞減：
設 x 、 1 x 為區間[ , ] 2 a b 中的相異二數。
(1)當 x 1 時，恆有 x 2 f x ( ) 1 f x ( ) 2 ，則稱 f x 在區間[ , ] ( ) a b 上為 遞增函數。
(2)當 x 1 時，恆有 x 2 f x ( ) 1 f x ( ) 2 ，則稱 f x 在區間[ , ] ( ) a b 上為 遞減函數。
2. 一階導數與函數的遞增、遞減關係：
(1)對於任意 x ( , ) a b ， f x ( ) 0 恆成立 ( ) f x 在[ , ] a b 為 遞增函數。
(2)對於任意 x ( , ) a b ， f x ( ) 0 恆成立 ( ) f x 在[ , ] a b 為 遞減函數。
函數遞增與遞減區間的分界點稱為臨界點，即若
f c
( ) 0 ，則點 c f c 稱為函數
, ( )
( )
f x 圖形的一個臨界點。
3. 函數圖形的凹向：
(1)若 ( ) f x 在區間 ( , ) a b 為遞增函數，則 ( ) f x 在區間 ( , ) a b 的圖形為凹口向上。
(2)若 ( ) f x 在區間 ( , ) a b 為遞減函數，則 ( ) f x 在區間 ( , ) a b 的圖形為凹口向下。
4. 二階導函數與圖形凹向的關係：
(1)對於任意 x ( , ) a b ， f x ( ) 0 恆成立 ( ) f x 在 ( , ) a b 的圖形為 凹口向上。
(2)對於任意 x ( , ) a b ， f x ( ) 0 恆成立 ( ) f x 在 ( , ) a b 的圖形為 凹口向下。
5. 反曲點：函數圖形凹向改變的分界點，稱為反曲點
當 x c 時 f x 圖形的凹向與 ( ) x c 時 f x 圖形的凹向相反，則稱點 ( ) c f c , ( ) 為函數 f x 圖 ( )
形的一個反曲點。
若點
c f c 為函數 ( )
, ( ) f x 圖形的一個反曲點，則 f c
( ) 0 。6. 函數圖形的描繪：
(1) f x ( ) 0 表示圖形上升， ( ) 0 f x 表示圖形下降。
(2) f x ( ) 0 表示圖形凹口向上， f x ( ) 0 表示圖形凹口向下。
( ) f x ( )
f x f x ( ) 0 f x ( ) 0 ( ) 0
f x ( ) 0 f x
函數的圖形 設函數 f x ( ) x 3 3 x 2 ，試求 ( ) 2 f x 的：
(1)遞增、遞減區間 (2)凹口向上、向下區間 (3)反曲點 (4)函數圖形的描繪。
( ) 3 2 6 3 ( 2) f x x x x x
( ) 6 6 6( 1) f x x x 令 f x ( ) 0 x 0 或 2 令 f x ( ) 0 x 1 (1)若 f x ( ) 0 0 x 2
故遞增區間為 (0, 2)
若 f x ( ) 0 x 0 或 x 2 故遞減區間為 ( ,0) 與 (2, ) (2)若 f x ( ) 0 x 1
故凹口向上區間為 ( ,1) 若 f x ( ) 0 x 1 故凹口向下區間為 (1, ) (3)反曲點為 (1, (1)) (1,0) f (4)列表如下：
x x 0 0 0 x 1 1 1 x 2 2 x 2
( )
f x 0 0
( )
f x 0
( )
f x 2 0 2
圖形如下：
設函數 f x ( ) x 3 3 x ，試求 ( ) 1 f x 的：
(1)遞增、遞減區間 (2)凹口向上、向下區間 (3)反曲點 (4)函數圖形的描繪。
( ) 3 2 3 3( 1)( 1) f x x x x
( ) 6 f x x
令 f x ( ) 0 x 1 或 1 令 f x ( ) 0 x 0
(1)若 f x ( ) 0 x 1 或 x 1 故遞增區間為 ( , 1) 與 (1, ) 若 f x ( ) 0 1 x 1 故遞減區間為 ( 1,1)
(2)若 f x ( ) 0 x 0 故凹口向上區間為 (0, ) 若 f x ( ) 0 x 0 故凹口向下區間為 ( ,0) (3)反曲點為 0, (0) f (0,1)
(4)列表如下：
x x 1 1 1 x 0 0 0 x 1 1 x 1
( )
f x 0 0
( )
f x 0
( )
f x 3 1 1
圖形如下：
參考 NO.1、NO.2、NO.3、NO.4、NO.5
函數的極值
設 f x 是定義在區間[ , ] ( ) a b 上的多項式函數，函數圖形如下：
1. 極大值（相對極大值）：
函數 f x 在區間[ , ] ( ) a b 中，在 附近的某一局部範圍內 的每一個數 x ，使得 f ( ) f x ( ) ，則稱 f ( ) 是函數 f x ( ) 的一個極大值（相對極大值） ，如圖中 f p 、 ( ) ( ) f b 。 2. 極小值（相對極小值）：
函數 f x 在區間[ , ] ( ) a b 中，在 附近的某一局部範圍內的每一個數 x ，使得 f x ( ) f ( ) ， 則稱 f ( ) 是函數 f x 的一個極小值（相對極小值），如圖中 ( ) ( ) f a 、 ( ) f q 。
3. 最大值（絕對極大值）：
函數 f x 在區間[ , ] ( ) a b 中，若 a b ，對所有的 x ，均使得 f ( ) f x ( ) ， 則稱 f ( ) 是函數 f x 的一個最大值（絕對極大值），如圖中 ( ) ( ) f b 。
4. 最小值（絕對極小值）：
函數 f x 在區間[ , ] ( ) a b 中，若 a b ，對所有的 x ，均使得 f x ( ) f ( ) ， 則稱 f ( ) 是函數 f x 的一個最小值（絕對極小值），如圖中 ( ) ( ) f q 。
(1)函數的最大(小)值一定是極大(小)值，但是極大(小)值不一定就是最大(小)值。
(2)函數的最大值一定大於最小值，但極大值不一定大於極小值。
(3)函數的最大值與最小值只能各有一個；但是極大值與極小值則未必各只有一個。
5. 多項式函數極值可能發生的點：
(1)在閉區間[ , ] a b 中滿足 f x ( ) 0 的點（即 f x 的臨界點）。 ( ) (2)閉區間[ , ] a b 的 端點 a 和 b 。
若
f x 在
( )x c
處有極值，則 ( ) 0f c
，即過點 ( , ( ))c f c 的切線斜率為 0。
6. 一階導數判別法求極值： 設 f c ( ) 0 ，若函數 ( ) f x 在 x c 處附近
(1)當 x c 時， f c ( ) 0 ；且當 x c 時， f c ( ) 0 ，則 ( ) f x 在 x c 處有極大值 f c 。 ( ) (2)當 x c 時， f c ( ) 0 ；且當 x c 時， f c ( ) 0 ，則 ( ) f x 在 x c 處有極小值 f c 。 ( ) 7. 二階導數判別法求極值： 設 f c ( ) 0
(1)若 f c ( ) 0 ，即函數在 x c 附近的圖形凹口向下，則 f x 在 ( ) x c 處有極大值 f c 。 ( ) (2)若 f c ( ) 0 ，即函數在 x c 附近的圖形凹口向上，則 f x 在 ( ) x c 處有極小值 f c 。 ( )
若
f c
( ) 0 且f c
( ) 0 ，則點 ( , ( ))c f c 可能為極值點或反曲點。
例：
f x
( )x 3
f x
( ) 3x 2
、f x
( ) 6x
(0) 0f
且f
(0) 0 ， 但(0,0) 為反曲點。極大值與極小值 試求函數 f x ( ) x 3 12 x 的極值和反曲 6
點。
( ) 3 2 12 3( 2)( 2) f x x x x
( ) 6 f x x
令 f x ( ) 0 x 2 或 2 令 f x ( ) 0 x 0
∵ f ( 2) 12 0 ，凹口向上
故 f x ( ) 在 x 2 有極小值 f ( 2) 10 又 f (2) 12 0 ，凹口向下
故 f x ( ) 在 x 2 有極大值 f (2) 22 反曲點為 0, (0) f (0,6)
試求函數 f x ( ) x 3 3 x 2 9 x 的極值和反 5 曲點。
( ) 3 2 6 9 3( 1)( 3) f x x x x x
( ) 6 6 f x x
令 f x ( ) 0 x 1 或 3 令 f x ( ) 0 x 1
∵ f ( 1) 6 6 0 ，凹口向下 故 f x ( ) 在 x 1 有極大值 f ( 1) 10 又 f (3) 18 6 0 ，凹口向上 故 f x ( ) 在 x 3 有極小值 f (3) 22 反曲點為 1, (1) f (1, 6)
參考 NO.6、NO.7
最大值與最小值 試求函數 f x ( ) x 3 3 x 2 9 x 在 5 1 x 2
的最大值與最小值。
( ) 3 2 6 9 3( 3)( 1) f x x x x x 令 f x ( ) 0 x 3 或 1 因 3 [ 1, 2] ，1 [ 1, 2] 又 f ( 1) 1 3 9 5 16
(1) 1 3 9 5 0 f
(2) 8 12 18 5 7
f
故最大值為 16，最小值為 0
試求函數 f x ( ) x 3 6 x 2 9 x 在區間 [0, 4] 3 的最大值與最小值。
( ) 3 2 12 9 3( 1)( 3) f x x x x x 令 f x ( ) 0 x 1 或 3 因1 [0, 4] ， 3 [0, 4] 又 f (0) 3
(1) 1 6 9 3 7 f
(3) 27 54 27 3 3
f
(4) 64 96 36 3 7
f
故最大值為 7，最小值為 3
參考 NO.8
極值的應用 設 a 、 b 為實數，若函數 f x ( ) x 3 ax 2 bx 2
在 x 1 與 x 3 處均有極值，試求 a 、 b 的值。
( ) 3 2 2 f x x ax b
∵ f x ( ) 在 x 1 ,3 有極值
f (1) 0 ， f (3) 0
3 2 0
27 6 0
a b a b
∴ a 6 ， b 9
設函數 f x ( ) ax 3 6 x 2 9 x b 在 x 1 處有極 大值 7，試求實數 a 、 b 的值。
( ) 3 2 12 9 f x ax x
∵ f x ( ) 在 x 1 有極大值 7
f (1) 0 ， f (1) 7
3 12 9 0
6 9 7
a
a b
∴ a 1 ， b 3
( Ｂ ) 1. 函數 f x ( ) 2 x 3 3 x 2 36 x 之遞增區間為 (A) ( 5 或 (3, ) , 2) (B) ( 或 , 3) (2, ) (C) ( 2,3) (D) ( 3, 2) 。
( Ｄ ) 2. 承上題，遞減區間為 (A) ( 或 (3, ) , 2) (B) ( 或 (2, ) , 3) (C) ( 2,3) (D) ( 3, 2) 。
( Ａ ) 3. 函數 f x ( ) x 3 3 x 2 9 x 圖形凹口向上區間為 (A) ( 2 (B) ( , 1) ,1) (C) ( 1, ) (D) (1, ) 。
( Ｃ ) 4. 承上題，凹口向下區間為 (A) ( (B) ( , 1) (C) ( 1, ) ,1) (D) (1, ) 。 ( Ｄ ) 5. 函數 f x ( ) x 3 6 x 2 的反曲點為 (A) ( 2, 27) 5 (B) ( 1, 2) (C) (1,0)
(D) (2, 11) 。
( Ｃ ) 6. 函數 f x ( ) x 3 3 x 2 9 x ，則 ( ) 1 f x 的相對極大值為 (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8。
( Ａ ) 7. 承上題，相對極小值為 (A) 26 (B) 24 (C) 22 (D) 18 。
( Ａ ) 8. 函數 f x ( ) x 3 3 x ，且 2 x 3 ，則 f x 的最大值為 (A) 18 (B) 14 (C) 10 ( )
(D) 2 。
14-4 積分的概念與多項函數的積分
不定積分 1. 反導函數：
設 F x 的導函數為 ( ) ( ) f x ，即 F x ( ) f x ( ) ，則稱 F x 為 ( ) ( ) f x 的一個反導函數。
2. 不定積分：
設 c 為常數，若 F x 為 ( ) ( ) f x 的一個反導函數，則 ( ) F x 稱為函數 ( ) c f x 的不定積分，以符 號 f x dx ( ) 表示，即 f x dx F x ( ) ( ) c 。其中 稱為積分符號， f x 稱為被積分函數。 ( ) 3. 不定積分的公式：
設 c 為常數，若 F x ( ) f x ( ) ，則 f x dx F x ( ) ( ) c 稱為 f x 的不定積分（反導函數） ( )
(1) 1 1
1
n n
x dx x c
n
（其中 n 1 ） 。
(2) k dx kx c （其中 k 為常數） 。
(3) k f x dx k f x dx ( ) ( ) （其中 k 為常數） 。 (4) f x ( ) g x dx ( ) f x dx ( ) g x dx ( ) 。
4. 多項式函數的不定積分：
設 n 為正整數或 0，若實係數多項式 f x ( ) a x n n a x n 1 n 1 a x 2 2 a x a 1 0 ，則
1 1 2 3 1 2
( ) 0
1 3 2
n n
n n
a a a a
f x dx x x x x a x c
n n
（其中 c 為常數） 。
不定積分 試求下列各不定積分：
(1) (3 x 4 x 2 2) dx (2) 1 x dx 。
(1)原式
5 3
3 2
5 3
x x
x c
5 3
3 1
5 x 3 x 2 x c
(2)原式
1
x 2 dx
1 1 2
1 1 2
x c
1
2x 2 c
2 x c
試求下列各不定積分：
(1) ( x 3 2 x 5) dx (2) x dx 。
(1)原式 4 2 2 5
4 2
x x
x c
4 2
1 5
4 x x x c
(2)原式
1
x dx 2
1 1 2
1 1 2
x c
3
2 2
3 x c
2
3 x x c
定積分的性質
設 f x 、 ( ) ( ) g x 均為定義在區間[ , ] a b 上的多項式函數。
1. 定積分的基本性質：
(1) a ( ) 0
a f x dx
。
(2) b ( ) a ( )
a f x dx b f x dx
。
(3) b ( ) b ( )
a k f x dx k a f x dx
（ k 為常數） 。
(4) a b f x ( ) g x dx ( ) a b f x dx ( ) a b g x dx ( ) 。
(5) b ( ) c ( ) b ( )
a f x dx a f x dx c f x dx
（其中 a c b ） 。
2. 微積分基本定理：
設 F x 是 ( ) ( ) f x 的一個反導函數，即 F x ( ) f x ( ) ， 則 ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x dx F x F b F a
。
定積分的基本性質 設 f x 、 ( ) ( ) g x 均為多項式函數﹐若
2
1 f x dx ( ) 1
， 1 6 f x dx ( ) 4 ，
6
3 g x dx ( ) 3
， 3 2 g x dx ( ) 2 ， 試求 6
2 (2 ( ) f x g x dx ( ))
之值。
6 6 2
2 f x dx ( ) 1 f x dx ( ) 1 f x dx ( )
4 1 3
6 3 6
2 g x dx ( ) 2 g x dx ( ) 3 g x dx ( )
2 6
3 g x dx ( ) 3 g x dx ( ) 2 3 1
6
2 (2 ( ) f x g x dx ( ))
6 6
2 2
2 f x dx ( ) g x dx ( )
2 3 1
5
設 f x 、 ( ) ( ) g x 均為多項式函數，若
6
0 f x dx ( ) 5
， 6 0 g x dx ( ) 8 ，
6
3 f x dx ( ) 9
，試求：
(1) 6
0 (3 ( ) 2 ( )) f x g x dx
(2) 0 3 f x dx ( ) 之值。
(1)原式 6 6
0 0
3 f x dx ( ) 2 g x dx ( )
6 0
0 6
3 f x dx ( ) 2 g x dx ( )
15 16
1
(2) 3 6 6
0 f x dx ( ) 0 f x dx ( ) 3 f x dx ( )
5 9
4
參考 NO.1、NO.2
