2 極限 (limits) 與
導數 (derivatives)
2.2 函數的極限
函數的極限
在前一節的介紹中,我們發現,求曲線的切線或者移動物體 的速度等等,都需要計算極限,不管是藉由電腦數值的計算 或者從幾何圖形上著手。
在接下來的這一小節中,我們首先來看 f(x) = x2 – x + 2 ,在 x 靠近 2 附近的行為。
函數的極限
下表列出了 x 在 2 附近,但不等於 2 時,所對應到的函數值 f(x) 。
如下圖,我們可以從 f(x) 的函數圖形來看在 x 靠近 2 時函數 的值會靠近 4 。
函數的極限
函數的極限
事實上,我們可以藉由讓 x 夠靠近 2 ,使得 f(x) 的函數值能 夠任意地靠近 4 。
此時我們便說: f(x) = x2 – x + 2 在 x 趨近 2 時的極限為 4 。 並用以下符號表示:
函數的極限
更一般的情況,我們定義極限如下:
在這個定義中,極限的意思可以想成:只要我們可以控制 x 很靠近 a ,就保證可以讓 f(x) 很靠近 L 。
[定義]
我們說 f(x) 在 x 趨近 a 時的極限為 L ,表示:
只要 x 夠靠近 a 但不等於 a 時, f(x) 的值可以任意靠近 L 。 其符號記為: limx→a f(x) = L 。
函數的極限
我們也可以把極限
寫成其它的形式如下
f(x) L
as x a.
這也表示:當 x 趨近 a 時, f(x) 的極限趨近 L 。
注意到,在極限的定義中我們只考慮在 a 附近的值,但不考 慮在 a 點的函數值。甚至 f(x) 在 a 點也可能沒有定義。
函數的極限
下圖的三個小圖分別是三個不同函數的圖形。注意到在 (c) 中, f(a) 沒有定義;而在 (b) 中, f(a) 的值定義在 L 的下方。
但在這三個例子當中,函數在 a 附近的極限行為是一樣的:
limxa
f(x) = L 。
三個例子均為 f(x) 在 x 趨近 a 時的極限為 L
範例一
猜極限值:
解:
注意到雖然 f(x) = (x – 1)(x2 – 1) 在 x = 1 時並沒有定義,但 我們從極限的定義可以知道,計算 limxa
f(x) 只需要在 a 附
近的函數值,不需要 x = a 。範例一 / 解
下表給出了 x 在 1 附近,但不等於 1 時的函數值 f(x) (精確度到小數後第六位)
觀察上表的趨勢,我們大概可以猜極限為:
cont’d
函數的極限
右下圖為前述範例一的 f(x) 函數圖形。
現在我們稍作一些改變,定義 g 如下:
函數的極限
現在新定義的函數 g 在 x = 1 有定義了,其圖如下。我們還 是可以發現 g(x) 在 x 趨近 1 的極限值與 f(x) 的情形一樣。
單邊極限
單邊極限
我們定義 H 如下:
.
注意到在 t < 0 的部分, H(t) 在 t 自左邊趨近 0 的極限為 0 ; 而在 t > 0 的部分, H(t) 在 t 自右邊趨近 0 的極限為 1 。
從左右兩邊各自趨近的極限都存在,但其值不同。
單邊極限
這種情況我們先以符號記作:
這個符號 “t
0–” ,表示我們只從比 0 小的地方趨近 0 ; 同樣的, “t
0+” 表示 t 只能從比 0 大的地方靠近 0。單邊極限
我們對從不同方向計算得來的極限作一個定義:
注意到這跟原先的極限定義相比,差別就在於 x → a- ,意 即 x 趨近時只考慮比 a 小的 x 。
[定義]
我們稱 f(x) 在 x 趨近 a 的左極限 (left-hand limit) 為 L , 表示當 x 夠靠近 a 且 x 比 a 小時, f(x) 可以任意靠近 L 。 其符號定義為 limx→a-f(x) = L 。
單邊極限
同樣,右極限 (right-hand limit) 的意思便是,當 x 夠靠近 a 且 x 要比 a 大時, f(x) 可以任意靠近 L 。此時符號記作:
其中 “x
a
+” 表示我們只考慮比 a 大的 x 。下圖九分別表示 x 自 a 的左邊與右邊趨近時 f(x) 的情形。
單邊極限
比較極限的定義與左、右極限的定義,我們可以發現:
範例七
給定函數 g(x) ,其函數圖形如下圖十,試判斷下列極限是否 存在,若存在則求其值。
範例七 / 解
直接從圖觀察,當 x 分別從左 邊與右邊趨近 2 時,其值分別 趨近 3 與 1 ,因此
以及
然而,左、右極限的值並不相同,因此我們可以知道 (c) limx2
g(x) 極限並不存在。
範例七 / 解
同樣,在 x = 5 的附近觀察函 數圖形的行為,可知:
以及
而由於左、右極限都存在,且左右極限值相同,因此 (f)
cont’d
趨近無窮大值的極限
趨近無窮大值的極限
另外我們也可以將 limxa
f(x) =
寫成:f(x)
當 x a
[定義]
假設 f 在 a 的附近有定義,我們說 f(x) 在 x 趨近 a 時趨近無窮大,
表示 f(x) 的值可以任意大,只要當 x 夠靠近 a 但不等於 a 。 其符號記作: limx af(x) =
必須注意的是,這裡無窮大的符號
並不是一個數,而這個 趨近無窮的極限 limxaf(x) =
,我們通常會念作f(x) 在 x 趨近 a 的時候會趨近無窮大,
或者
f(x) 在 a 附近遞增無上界。
趨近無窮大值的極限
下圖是一個趨近無窮大的範例。具體來說就是只要足夠靠近 a , f(x) 就可以任意地大。
圖十二
趨近無窮大值的極限
類似的,我們也可以定義趨近負無窮大。如下圖,只要 x 足 夠靠近 a ,則 f(x) 可以任意地小。
圖十三
趨近無窮大值的極限
實際作定義如下:
符號 limxa
f(x) = –
,我們讀作 f(x) 在 x 趨近 a 的時候會 趨近負無窮大。下面是一個例子趨近無窮大值的極限
[定義]
假設 f 在 a 的附近有定義,我們說 f(x) 在 x 趨近 a 時趨近負無窮 大,表示 f(x) 的值可以任意小,只要當 x 夠靠近 a 但不等於 a 。 其符號記作: limxaf(x) = –
還有分別趨近正、負無窮大的單邊極限也可以用同樣的方式 定義:
回憶 “x
a
–” 的符號表示在 x 趨近 a 的時候,我們是考慮 x< a 的部分。同樣, “x
a
+” 表示我們只考慮 x > a 的部分。趨近無窮大值的極限
前述的四個情形可見下圖:
趨近無窮大值的極限
趨近無窮大值的極限
我們可以發現前述的情況,當 x 越靠近 a , f(x) 的函數值增 加或減少的越快,圖形的點 (x,f(x)) 越貼近鉛直線 x = a 。 這時候我們稱此線為鉛直漸近線 (vertical asymptote) ,定 義如下。
[定義]
以下六種情況,我們稱直線 x = a 為曲線 y = f(x) 的鉛直漸近線:
limx→a f(x) = ∞, limx→a- f(x) = ∞, limx→a+f(x) = ∞ limx→a f(x) = –∞, limx→a- f(x) = –∞, limx→a+f(x) = –∞
求 f(x) = tan x 的鉛直漸近線。
解:
由於
因此可能的鉛直漸近線會發生在 cos x = 0 的地方。
事實上我們知道
cos x
0+ 當 x
(
/2)– ; cos x
0– 當 x
(
/2)+而 sin x 在 x =
/2 附近恆正,我們可知範例十
因此 x =
/2 為一鉛直漸近線。又我們知道 tan x 的周期為 ,
這表示x = (2n + 1)
/2 , 其中 n 為整數,也是 f(x) = tan x 的鉛直漸近線。最後我們以下圖刻劃此結果