2.2 函數的極限

2 極限 (limits) 與

導數 (derivatives)

2.2 ^{函數的極限}

函數的極限

在前一節的介紹中，我們發現，求曲線的切線或者移動物體 的速度等等，都需要計算極限，不管是藉由電腦數值的計算 或者從幾何圖形上著手。

在接下來的這一小節中，我們首先來看 f(x) = x² – x + 2 ，在 x 靠近 2 附近的行為。

函數的極限

下表列出了 x 在 2 附近，但不等於 2 時，所對應到的函數值 f(x) 。

如下圖，我們可以從 f(x) 的函數圖形來看在 x 靠近 2 時函數 的值會靠近 4 。

函數的極限

函數的極限

事實上，我們可以藉由讓 x 夠靠近 2 ，使得 f(x) 的函數值能 夠任意地靠近 4 。

此時我們便說： f(x) = x² – x + 2 在 x 趨近 2 時的極限為 4 。 並用以下符號表示：

函數的極限

更一般的情況，我們定義極限如下：

在這個定義中，極限的意思可以想成：只要我們可以控制 x 很靠近 a ，就保證可以讓 f(x) 很靠近 L 。

[定義]

我們說 f(x) 在 x 趨近 a 時的極限為 L ，表示：

只要 x 夠靠近 a 但不等於 a 時， f(x) 的值可以任意靠近 L 。 其符號記為： lim_x→a f(x) = L 。

函數的極限

我們也可以把極限

寫成其它的形式如下

f(x)  L

a.

這也表示：當 x 趨近 a 時， f(x) 的極限趨近 L 。

注意到，在極限的定義中我們只考慮在 a 附近的值，但不考 慮在 a 點的函數值。甚至 f(x) 在 a 點也可能沒有定義。

函數的極限

下圖的三個小圖分別是三個不同函數的圖形。注意到在 (c) 中， f(a) 沒有定義；而在 (b) 中， f(a) 的值定義在 L 的下方。

但在這三個例子當中，函數在 a 附近的極限行為是一樣的：

lim_xa

f(x) = L 。

三個例子均為 f(x) 在 x 趨近 a 時的極限為 L

範例一

猜極限值：

解:

注意到雖然 f(x) = (x – 1)(x² – 1) 在 x = 1 時並沒有定義，但 我們從極限的定義可以知道，計算 lim_xa

f(x) 只需要在 a 附

範例一 / 解

下表給出了 x 在 1 附近，但不等於 1 時的函數值 f(x) (精確度到小數後第六位)

觀察上表的趨勢，我們大概可以猜極限為：

cont’d

函數的極限

右下圖為前述範例一的 f(x) 函數圖形。

現在我們稍作一些改變，定義 g 如下：

函數的極限

現在新定義的函數 g 在 x = 1 有定義了，其圖如下。我們還 是可以發現 g(x) 在 x 趨近 1 的極限值與 f(x) 的情形一樣。

單邊極限

單邊極限

我們定義 H 如下：

.

注意到在 t < 0 的部分， H(t) 在 t 自左邊趨近 0 的極限為 0 ； 而在 t > 0 的部分， H(t) 在 t 自右邊趨近 0 的極限為 1 。

從左右兩邊各自趨近的極限都存在，但其值不同。

單邊極限

這種情況我們先以符號記作：

這個符號 “t





單邊極限

我們對從不同方向計算得來的極限作一個定義：

注意到這跟原先的極限定義相比，差別就在於 x → a- ，意 即 x 趨近時只考慮比 a 小的 x 。

[定義]

我們稱 f(x) 在 x 趨近 a 的左極限 (left-hand limit) 為 L ， 表示當 x 夠靠近 a 且 x 比 a 小時， f(x) 可以任意靠近 L 。 其符號定義為 lim_x→a-f(x) = L 。

單邊極限

同樣，右極限 (right-hand limit) 的意思便是，當 x 夠靠近 a 且 x 要比 a 大時， f(x) 可以任意靠近 L 。此時符號記作：

其中 “x

 a

下圖九分別表示 x 自 a 的左邊與右邊趨近時 f(x) 的情形。

單邊極限

比較極限的定義與左、右極限的定義，我們可以發現：

範例七

給定函數 g(x) ，其函數圖形如下圖十，試判斷下列極限是否 存在，若存在則求其值。

範例七 / 解

直接從圖觀察，當 x 分別從左 邊與右邊趨近 2 時，其值分別 趨近 3 與 1 ，因此

以及

然而，左、右極限的值並不相同，因此我們可以知道 (c) lim_x2

g(x) 極限並不存在。

範例七 / 解

同樣，在 x = 5 的附近觀察函 數圖形的行為，可知：

以及

而由於左、右極限都存在，且左右極限值相同，因此 (f)

cont’d

趨近無窮大值的極限

趨近無窮大值的極限

另外我們也可以將 lim_xa

f(x) = 

f(x)  

 a

[定義]

假設 f 在 a 的附近有定義，我們說 f(x) 在 x 趨近 a 時趨近無窮大，

表示 f(x) 的值可以任意大，只要當 x 夠靠近 a 但不等於 a 。 其符號記作： lim_{x a}f(x) = 

必須注意的是，這裡無窮大的符號



f(x) = 

f(x) 在 x 趨近 a 的時候會趨近無窮大，

或者

f(x) 在 a 附近遞增無上界。

趨近無窮大值的極限

下圖是一個趨近無窮大的範例。具體來說就是只要足夠靠近 a ， f(x) 就可以任意地大。

圖十二

趨近無窮大值的極限

類似的，我們也可以定義趨近負無窮大。如下圖，只要 x 足 夠靠近 a ，則 f(x) 可以任意地小。

圖十三

趨近無窮大值的極限

實際作定義如下：

符號 lim_xa

f(x) = – 

趨近無窮大值的極限

[定義]

假設 f 在 a 的附近有定義，我們說 f(x) 在 x 趨近 a 時趨近負無窮 大，表示 f(x) 的值可以任意小，只要當 x 夠靠近 a 但不等於 a 。 其符號記作： lim_xaf(x) = –



還有分別趨近正、負無窮大的單邊極限也可以用同樣的方式 定義：

回憶 “x 

a

< a 的部分。同樣， “x 

a

趨近無窮大值的極限

前述的四個情形可見下圖：

趨近無窮大值的極限

趨近無窮大值的極限

我們可以發現前述的情況，當 x 越靠近 a ， f(x) 的函數值增 加或減少的越快，圖形的點 (x,f(x)) 越貼近鉛直線 x = a 。 這時候我們稱此線為鉛直漸近線 (vertical asymptote) ，定 義如下。

[定義]

以下六種情況，我們稱直線 x = a 為曲線 y = f(x) 的鉛直漸近線：

lim_x→a f(x) = ∞, lim_x→a- f(x) = ∞, lim_x→a+f(x) = ∞ lim_x→a f(x) = –∞, lim_x→a- f(x) = –∞, lim_x→a+f(x) = –∞

求 f(x) = tan x 的鉛直漸近線。

解:

由於

因此可能的鉛直漸近線會發生在 cos x = 0 的地方。

事實上我們知道

cos x













而 sin x 在 x =



範例十

因此 x =



 ，

x = (2n + 1) 

也是 f(x) = tan x 的鉛直漸近線。最後我們以下圖刻劃此結果

範例十 / 解 _cont’d