第 4 章 導函數應用

第 4 章 導函數應用

目錄

4.1 函數極值 . . . . 45

4.2 平均值定理 . . . . 47

4.3 昇降性 . . . . 48

4.4 凹凸性 . . . . 49

4.5 極值 . . . . 50

4.6 作圖 . . . . 50

4.7 不定形 . . . . 51

4.8 極值應用 . . . . 53

4.9 牛頓法 . . . . 54

4.10 反導函數 . . . . 55

(1) 平均值定理。

(2) 導函數在圖形上的意義。

(3) 作圖。

(4) 極值及其極值應用。

(5) 其他應用: 不定型, 牛頓法。

4.1 函數極值 (Extreme Values)

相對極值

定義 4.1.1. (1) 若存在 c ∈ Dom f 滿足: 存在一個包含 c 的開區間 (a, b), 使得 ∀x ∈ (a, b), f (x)≤ f(c), 則稱 f(x) 在 x = c 有相對極大值 (或局部極大值, relative maximum or local maximum)。

(2) 若存在 c ∈ Dom f 滿足: 存在一個包含 c 的開區間 (a, b), 使得 ∀x ∈ (a, b), f(x) ≥ f(c), 則稱 f(x) 在 x = c 有相對極小值 (或局部極小值, relative minimum or local minimum)。

第 4 章 導函數應用 4.1 函數極值

(3) 令 c 為定義域區間的左端點, 若存在一個區間 [c, b), 使得 f(x) ≤ f(c), ∀x ∈ [c, b), 則稱 f(x) 在 x = c 有相對極大值。 反之, 若使得 f(x) ≥ f(c), 則稱為相對極小值。

(4) 令 c 為定義域區間的右端點, 若存在一個區間 (a, c], 使得 f(x) ≤ f(c), ∀x ∈ (a, c], 則稱 f (x) 在 x = c 有相對極大值。 反之, 若使得 f(x) ≥ f(c), 則稱為相對極小值。

(5) 相對極大與相對極小值統稱相對極值。

定理 4.1.2. (Fermat)若 f(x) 在 D 之內點 c 有相對極值, 且 f(x) 在 x = c 可微, 則 f⁰(c) = 0。 定義 4.1.3. 在 f(x) 之定義域 D 的內點 c, 若 f⁰(c) = 0 或 f⁰(c) 不存在, 則 c 稱為 f(x) 的臨 界點 (critical point)。

註 4.1.4. f (x) 的相對極值必發生在臨界點或邊界點。

例 4.1.5. 討論 f(x) = x³ 及 f(x) = |x| 在 x = 0 的行為。

例 4.1.6. 求 f(x) = x³⁵(4− x)² 的臨界點。

絕對極值

定義 4.1.7. (1) 令 f(x) 定義在 D 上。 若存在 c ∈ D 使得 f(x) ≤ f(c), ∀x ∈ D, 則稱 f 在 D 上有絕對極大值 f(c) (或全域極大值, absolute maximum or global maximum)。

(2) 若存在 c ∈ D 使得 f(x) ≥ f(c), ∀x ∈ D, 則稱 f 在 D 上有絕對極小值 f(c) (或全域極小 值, absolute minimum or global minimum)。

(3) 絕對極大值與絕對極小值統稱絕對極值 (extreme values)。

例 4.1.8. 分別討論以下函數的極值:

(1) y = x² 分別在 (−∞, ∞), [0, 2], (0, 2], (0, 2) 上的極值。

(2) f (x) = cos x。 (3) f (x) = x³。

(4) f (x) = 3x⁴− 16x³+ 18x² 在 [−1, 4] 上。

定理 4.1.9. (極值定理 Extreme Value Theorem, Weierstrass 定理) 若 f(x) 在 [a, b] 上連續, 則

(a) f (x) 必有界。

(b) f (x) 必存在絕對極大及絕對極小值。

[註] 在極值定理中, 將連續及閉區間之任一條件去掉, 則結論不一定成立。 例如以下函數的極值:

(1) f (x) = ¹_x 在 (0, 1) 上。

(2) f (x) =





1

2 x = 0, 1− x 0 < x < 1,

1

2 x = 1,

在 [0, 1] 上。

例 4.1.10. f (x) = sin²x + ^|x|₃ + x⁴+ tan⁻¹x + ln x 在 [1, 4] 上是否有絕對極大值?

第 4 章 導函數應用 4.2 平均值定理

註 4.1.11. 求連續函數 f 在閉區間 [a, b] 上之絕對極值的方法:

(a) 求 f 在 (a, b) 上的臨界點;

(b) 求 f(a) 及 f(b);

(c) 比較 (a)、(b) 中各函數值。

例 4.1.12. 求以下函數的極值:

(1) f (x) = x³− 3x²+ 1 在 [−1, 4] 之絕對極值。

(2) f (x) = x²³ 在 [−2, 3] 上的絕對極值。

(3) f (x) = x− 2 sin x 在 [0, 2π] 上的絕對極值。

(4) f (x) = (x²− 3) e^x 的臨界點, 並求絕對極值。

(5) f (x) = 10x(2− ln x) 在 [1, e²]上的絕對極值。

例 4.1.13. 求 f(x) = e^{10|x−2|−x2} 的絕對極值。

例 4.1.14. 火箭在 t = 0 發射, 直到 t = 126 太空船離開火箭時, 其速度為 v(t) = 0.0003968t³− 0.02752t²+ 7.196t− 0.9397。 求這段時間內, 加速度的最大與最小值。

4.2 平均值定理 (Mean Value Theorem)

定理 4.2.1. (Rolle)假設 y = f(x) 滿足以下條件:

(a) 在 [a, b] 上連續, (b) 在 (a, b) 上可微,

(c) f (a) = f (b),

則存在 c ∈ (a, b), 使得 f⁰(c) = 0。

[註] 若 f 在 (a, b) 上不完全可微, 則此定理不一定成立。 例:f(x) = |x| 在 [−1, 1] 上。

定理 4.2.2. (平均值定理, Mean Value Theorem) 假設 y = f(x) 滿足以下條件:

(a) 在 [a, b] 上連續, (b) 在 (a, b) 上可微,

則存在 c ∈ (a, b), 使得 f⁰(c) = ^{f (b)}_b−a^−f(a) [或 f(b) − f(a) = f⁰(c)(b− a)]。

註 4.2.3. (平均值定理的另一型式) 若 f 在某一區間 I 上可微, x0, x₀+ ∆x∈ I, 則 ∇f(x0) = f (x₀+ ∆x)− f(x0) = f⁰(x₀ + θ∆x)∆x, 其中 0 < θ < 1。

例 4.2.4. 就函數 f(x) = x³− x 在 [0, 2] 上驗證平均值定理。

例 4.2.5. 若 f(0) = −3 且 f⁰(x)≤ 5, ∀x, 則 f(2) 最大可能是多少?

第 4 章 導函數應用 4.3 昇降性

例 4.2.6. 假設高速公路限速 90 公里/時, 高雄、 台北距離 300 公里。 一輛車上午 8:00 從台北出 發, 11:00 到達高雄, 則該 車輛必有超速的時刻。

例 4.2.7. f (x) = ^x₃³ − 3x 至少有一水平切線。

例 4.2.8. 方程式 x³+ 3x− 1 = 0 恰有一實根。

例 4.2.9. 證明 | tan x − tan y| ≥ |x − y|, ∀x, y ∈¡

−^π₂,^π₂¢

。

例 4.2.10. (1) 設 f 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微。 若 f = 0 在 [a, b] 上有 r 個相異根, 則 f⁰ = 0 在 (a, b) 上至少有 r − 1 個相異根。

(2) 多項式方程式 f(x) = 0 在 x = c 有 r 重根, 則 f⁰(x) = 0 在 x = c 恰為 r − 1 重根。

(3) 設 n 次多項式方程式 p(x) = 0 有 n 個實根 (包括重根在內), 則 p⁰(x) = 0 恰有 n − 1 個實 根。

例 4.2.11. 一個函數 f(x) 若滿足: 存在 k, 0 < k < 1, 使得對所有 x1, x₂ ∈ [a, b], |f(x1)− f (x₂)| ≤ k|x1− x2|, 則稱 f(x) 為 [a, b] 上的收縮函數 (contraction) 。

(a) 若 f(x) 為 [a, b] 上的收縮函數, 證明 f(x) 在 [a, b] 上連續。

(b) 若 f(x) 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微, 且對所有 x ∈ (a, b), |f⁰(x)| ≤ k, 0 < k < 1, 證 明 f(x) 為 [a, b] 上的收縮函數。

推論 4.2.12. 若在 (a, b) 上每一點 x, f⁰(x) = 0,則 f(x) 為一常數函數。

例 4.2.13. 證明 sin⁻¹(^x_x+1⁻¹) = 2 tan⁻¹√ x− ^π₂。

例 4.2.14. 試找一些函數 f(x), 使 f⁰(x) = tan x sec²x。

推論 4.2.15. 若 ∀x ∈ (a, b), f⁰(x) = g⁰(x), 則存在一常數 C, 使得 f(x) = g(x) + C, ∀x ∈ (a, b)。

例 4.2.16. 求一函數 f(x), 使其導函數為 sin x, 且圖形通過 (0, 2)。

例 4.2.17. 一車輛從靜止開始, 加速度為 9.8 m/sec²。 求該車輛的速度函數及位置函數。

4.3 昇降性

定義 4.3.1. 令 f(x) 定義在區間 I 上。

(a) 若對 I 上任兩點 x1 < x₂,均有 f(x1) < f (x₂),則稱 f(x) 在 I 上為遞增 (或上昇, increas- ing)。

(b) 若對 I 上任兩點 x1 < x₂,均有 f(x1) > f (x₂),則稱 f(x) 在 I 上為遞減 (或下降, decreas- ing)。

(c) 一個函數為遞增或遞減, 統稱為在 I 上單調 (monotonic)。

定理 4.3.2. 假設 f(x) 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微。

(1) 若 f⁰(x) > 0, ∀x ∈ (a, b), 則 f(x) 在 (a, b) 上遞增。

第 4 章 導函數應用 4.4 凹凸性

(2) 若 f⁰(x) < 0, ∀x ∈ (a, b), 則 f(x) 在 (a, b) 上遞減。

例 4.3.3. 求 f (x) = 3x⁴− 4x³− 12x²+ 5 的所有臨界點, 升降區間。 求其極值。

例 4.3.4. (a) 證明: 當 x ≥ 0 時, e^x ≥ 1 + x。

(b) 證明: 對 x ≥ 0, 及任意正整數 n, 均有 e^x ≥ 1 + x + ^x_2!² +· · · +^x_n!ⁿ 。

例 4.3.5. 令 f(x) = a1sin x + a2sin 2x +· · · + ansin nx, 其中 a1, a2, . . . , an 是實數, n 為正 整數。 假設對所有 x, |f(x)| ≤ | sin x|, 證明 |a1 + 2a₂+· · · + nan| ≤ 1。

4.4 凹凸性

定義 4.4.1. 令 f(x) 為 I 上的可微函數。 若 f⁰ 在 I 上遞增, 則稱 y = f(x) 之圖形在 I 上為上 凹 (或凹向上, concave upward)。 若 f⁰ 在 I 上遞減, 則稱 y = f(x) 之圖形在 I 上為下凹 (或凹 向下, concave downward)。

註 4.4.2. 若 y = f(x) 之圖形在 I 上為上凹, 則其圖形位於任一切線之上方; 若 y = f(x) 之圖 形在 I 上為下凹, 則其圖形位於 任一切線之下方。

定理 4.4.3 (凹凸性之二階導數判別法). 設 f(x) 在 I 上二次可微。

(1) 若在 I 上, f⁰⁰ > 0, 則 f 之圖形在 I 上為上凹。

(2) 若在 I 上, f⁰⁰ < 0, 則 f 之圖形在 I 上為下凹。

例 4.4.4. 描述一函數 f (x) 之圖形使其滿足以下條件, (i) 在 (−∞, 1) 上, f⁰(x) > 0, 在 (1, ∞) 上, f⁰(x) < 0 ;

(ii) 在 (−∞, −2) 及 (2, ∞) 上, f⁰⁰(x) > 0 , 在 (−2, 2) 上, f⁰⁰(x) < 0 ; (iii) lim

x→−∞f (x) =−2, lim

x→∞f (x) = 0。

定義 4.4.5. 令 P 為 y = f(x) 之圖形上一點。 若在 P 點連續, 且在該點凹凸性改變, 則稱此點為 反曲點 (point of inflection)。

註 4.4.6. 若 (x, f(x)) 為反曲點, 則 f⁰⁰(x)不存在或 f⁰⁰(x) = 0。 例 4.4.7. 討論以下函數之的升降、 凹凸性及反曲點。

(1) y = x³。 (2) y = x²。 (3) y = x⁴。 (4) y = x^1/3。

(5) y = 3 + sin x, 在 [0, 2π] 上。

(6) y = x⁴− 4x³

例 4.4.8. 一物體在直線上運動, 其位置函數為 s(t) = 2t³− 14t²+ 22t− 5。 求其速度及加速度函 數, 並描述其運動。

例 4.4.9. 證明 y = x sin x 的反曲點必位於曲線 y²(x²+ 4) = 4x² 上。

第 4 章 導函數應用 4.5 極值

4.5 極值

定理 4.5.1. (局部極值的一階導數判別法) 令 f 在 [a, b] 上連續, c ∈ (a, b), 且 f 在包含 c 的某 一開區間上可微 (但 c 可能除外)。

(1) 當 x 從 c 的左側移到 c 的右側, f⁰(x)從負變為正, 則 f 在 c 點有局部極小。 (即 f⁰(c⁻) < 0, f⁰(c⁺) > 0。)

(2) 當 x 從 c 的左側移到 c 的右側, f⁰(x)從正變為負, 則 f 在 c 點有局部極大。 (即 f⁰(c⁻) > 0, f⁰(c⁺) < 0。)

定理 4.5.2. (局部極值之二階導數判別法) 假設 f(x) 在包含 c 之某一開區間上連續。

(1) 若 f⁰(c) = 0 且 f⁰⁰(c) < 0, 則 f 在 x = c 有局部極大。

(2) 若 f⁰(c) = 0 且 f⁰⁰(c) > 0, 則 f 在 x = c 有局部極小值。

(3) 若 f⁰(c) = 0 且 f⁰⁰(c) = 0, 則無定論。

4.6 作圖

4.6.1. 作圖步驟如下:

(i) 定義域。

(ii) 對稱性、 週期性。

(iii) 截距。

(iv) 漸近線。

(v) 解 f⁰(x), f⁰⁰(x) = 0。 (vi) 製表。

(vii) 判斷昇降、 凹凸區間, 極值, 反曲點。

(viii) 作圖。

例 4.6.2. 作圖 f(x) = x⁴− 4x³。 例 4.6.3. (1) 作圖 y = _x^2x2−1² 。

(2) 作圖 f(x) = ^(x+1)_1+x2²。 (3) 作圖 y = _x2^x+1³ 。

(4) 作圖 f (x) = ^x2+7x+3_x2 。 (5) 作圖 f(x) = _x^38x+9_(x+1)。

例 4.6.4. (1) 作圖 f(x) = e^2x 。

第 4 章 導函數應用 4.7 不定形

(2) 作圖 y = xe^x。

(3) 作圖 y = ln (4 − x²)。 (4) 作圖 y = x + ln (x²+ 1)。

例 4.6.5. (1) 作圖 f(x) = x^4/3− 4x^1/3。 (2) 作圖 f(x) = (x − 1)x²³。

(3) 作圖 f (x) = x²³ (6− x)¹³。 例 4.6.6. (1) 作圖 f (x) = ^√x_x+1² 。 (2) 作圖 f(x) = x +√

x²− 1。

(3) 作圖 f(x) = √³

x²− x³。 (4) 作圖 y = ^√x_x²⁻¹ 。

例 4.6.7. (1) 作圖 f(x) = x + 2 sin x。

(2) 作圖 f(x) = sin²x− cos x。

(3) 作圖 y = _{2+sin x}^{cos x} 。

(4) 作圖 y = e^xsin x, x∈ [−2π, 2π]。

例 4.6.8. (1) 討論 f (x) = _(x−2)^x2(x+1)2_(x−4)^{3 4} 之圖形。

(2) 討論 f (x) = sin (x + sin 2x) 之圖形。

(3) 討論 f (x) = _x2+2x+c¹ 之圖形, 其中 c 在變動。

例 4.6.9. 考慮方程式 (x − 1)²³ − (x + 1)²³ = c, 則 c 分別在那個範圍內, 此方程式有 0 個解, 1 個解, 2 個解, 或更多個解 ?

4.7 不定形 (Indeterminate Forms)

L’Hˆopital 定律

定理 4.7.1 (Cauchy 平均值定理). 設 f 及 g 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微, 且 g⁰(x) 6=

0,∀x ∈ (a, b)。 則存在 c ∈ (a, b), 使得 ^f_g0⁰(c)^(c) = ^{f (b)}_g(b)^−f(a)_−g(a)。

定理 4.7.2 (L’Hˆopital 定律, 初步型). 假設 f(a) = g(a) = 0, f⁰(a), g⁰(a) 存在, 且 g⁰(a)6= 0。

則 lim

x→a f (x)

g(x) = ^f_g0⁰_(a)^(a)。

定理 4.7.3 (L’Hˆopital 定律, 加強型). 假設 f(a) = g(a) = 0, f 及 g 在包含 a 的開區間 I 上 可微, 且在 I 上, g⁰(x)6= 0。 若下式右側極限存在, 則 lim

x→a f (x)

g(x) = lim

x→a f⁰(x) g⁰(x)。

第 4 章 導函數應用 4.7 不定形

註 4.7.4. (1) 以上的 L’Hˆopital 定律所處理的極限記為 ⁰₀ 型, L’Hˆopital 定律對 ^∞_∞ 型亦成立。

(2) L’Hˆopital 定律對 x → a⁺, x→ a⁻, x→ ∞, x → −∞ 均成立。

(3) ⁰₀ 型、 ^∞_∞ 型、 ∞ · 0 型、 ∞ − ∞ 型極限統稱為不定形。 另有指數型不定形。

(⁰₀)型

例 4.7.5. lim

x→0

3x−sin x x

例 4.7.6. lim

x→0 1−cos x

x+x²

例 4.7.7. lim

x→0⁻ sin x

x²

例 4.7.8. lim

x→0 sin x−x

x³

例 4.7.9. lim

x→0⁺ x+sin x

x

例 4.7.10. lim

x→0

1−cos x² x²sin x²

例 4.7.11. lim

x→0

x cot x−1 x²

例 4.7.12. lim

x→0 tan x−x

x³

例 4.7.13. lim

x→π sin x 1−cos x

例 4.7.14. lim

x→0

√1+x−1 x

例 4.7.15. lim

x→0

√1+x−1−^x₂ x²

例 4.7.16. lim

x→1 ln x x−1

例 4.7.17. lim

x→0

xe^2x+xe^x−2e^2x+2e^x (e^x−1)³

例 4.7.18. lim

x→0 x²sin¹_x

tan x

(^∞_∞) 型

例 4.7.19. lim

x→∞

x−2x² 3x²+5x

例 4.7.20. lim

x→^π2

sec x 1+tan x

例 4.7.21. lim

θ→^π₂⁻ sec θ tan θ

例 4.7.22. lim

x→∞

e^x x²

例 4.7.23. lim

x→∞

ln x 2√

x

例 4.7.24. lim

x→∞

ln x

√3

x

第 4 章 導函數應用 4.8 極值應用

(∞ · 0) 型 例 4.7.25. lim

x→0⁺

√x ln x 例 4.7.26. lim

x→0⁺x ln x 例 4.7.27. lim

x→∞(x sin ¹_x) (∞ − ∞) 型

例 4.7.28. lim

x→0(_{sin x}¹ − _x¹) 例 4.7.29. lim

x→0(_sin¹2x −_x¹2) 例 4.7.30. lim

x→^π₂⁻(sec x− tan x) 例 4.7.31. lim

x→∞

£x− x²ln(^1+x_x )¤

指數型

例 4.7.32. lim

x→0⁺x^x 例 4.7.33. lim

x→∞x^x1 例 4.7.34. lim

x→0⁺(1 + x)^1x 例 4.7.35. lim

x→0⁺(1 + sin 4x)^{cot x} 例 4.7.36. lim

x→0⁺(^{sin x}_x )^{cot x} 例 4.7.37. lim

x→0⁺(sin x)^{sin x−x}。

例 4.7.38. (a) 證明: f(x) = x^x 在 [e⁻¹,∞) 上為嚴格遞增 。 (b) 若 g(x) 為 f(x) 的反函數, 證明 lim

y→∞

g(y) ln ln y ln y = 1。 例 4.7.39. 令 f(x) =

½ e^−x21 x6= 0

0 x = 0 。 證明 f(x) 在 R 上有任意階的導函數。

4.8 極值應用

例 4.8.1. 一個農莊有 1200 公尺長的竹籬, 要沿著河岸圍出一塊矩形農地, 則如何圍才使面積最 大?

例 4.8.2. 利用 12 × 12 in² 之鋁片, 在四個角切去四個小正方形以製作無蓋之盒子, 則所切之正方 形邊長多少, 才使盒子容積最大?

例 4.8.3. 要製作尺寸如何之圓柱形罐頭, 使其容量為 1 公升, 而所用的材料最省?

第 4 章 導函數應用 4.9 牛頓法

例 4.8.4. 求曲線 y² = 2x 上, 與點 (1, 4) 最靠近的點。

例 4.8.5. 若 f(x) 為可微函數, P 為 y = f(x) 之圖形外之一點, Q 為 y = f(x) 之圖形上與 P 最近之點。 證明: 線段 P Q 與 f(x) 之圖形在 Q 正交。

例 4.8.6. 求曲線 x²+ xy + y² = 1 的最高及最低點。

例 4.8.7. 一個矩形內接於半徑為 2 之半圓內, 則尺寸如何才使矩形面積最大?

例 4.8.8. 有一倒立的直圓錐, 內接在高為 h, 底半徑為 r 的直圓錐中, 則最大體積為何?

例 4.8.9 (Fermat 原理及 Snell 定律). Fermat 原理: 光線從 A 到 B 的路徑是使其所使用時間 最短。假設在第一種介質中, 其光速是 c1, 在第二種介質中, 其光速是 c2。 求光線從第一種介質中之 A 點 到第二種介質中之 B 點的路徑。

例 4.8.10. 在經濟上, 產生最大利潤時, 邊際收益必等於邊際成本。

例 4.8.11. 一家店在一星期可以賣出每片 350 元的 DVD 200 片。 假設其價格與銷售量呈線性關 係, 若每降價 10 元, 可以增加銷售量 20 片。 則他要降價多少, 使收益 最大?

例 4.8.12. 一傢俱廠每天生產 5 件產品, 放在倉庫的倉儲費用為每件每天 10 元。 每經過 x 天便出 貨一次, 每次出貨費用 5000 元, 則每經幾天出貨一次, 才使這些成本最低。

例 4.8.13. 在距海岸 12 哩處的海中有一鑽探平台, 在面對海岸處的沿岸距離 20 哩處有一煉製廠。

現要接管線, 在水面上成本每哩50萬元, 在岸上每哩30萬元, 則該如何連結才使成本最低?

例 4.8.14. 有一道河寬 3km, 河岸上有一點 A, 對岸之點為 C, 某人由 A 點出發要到對岸距離 C 8 公里處之 B 點。 若他划船速度 6km/h, 在岸上走路 8km/h, 則他該在何處上岸才使時間最省?

例 4.8.15. 有 T 字型交叉路口, A 點在路口南方 1 公里處, B 點在路口東方 3 公里處。 現有一 車在 A 拋錨, 欲走到 B 點之修車廠 求援。 在公路的速度是 5公里/小時, 在路旁林地的速度是 3公 里/小時, 則該如何走才最省時?

例 4.8.16. 有一迴廊, 東西向及南北向之寬度分別為 a, b。 現有一長竿欲水平地穿過此迴廊, 則所 容許的最長長度為若干?

例 4.8.17. 有一張橫向寬 30 公分, 直向長 20 公分的紙張, 將右上角折向底邊, 如何才使折痕最 短?

例 4.8.18. 在外切於橢圓 ^x_a²2 + ^y_b2² = 1 之矩形中, 面積最大者為何? 面積最小者為何?

4.9 牛頓法 (Newton Method)

4.9.1. 牛頓法. 欲解一方程式 f(x) = 0, 先適當選取方程式 f(x) = 0 之根的第一個估計值 x0, 再利用 xn+1= x_n−_f^{f (x}0(xⁿn⁾) (若 f⁰(xn)6= 0), 陸續求出根的逼近值。

例 4.9.2. 以牛頓法求 x³− 2x − 5 = 0 的根, 從 x1 = 2 開始估計。

例 4.9.3. 利用牛頓法估計 √⁶

2,精確到 8 位小數。

例 4.9.4. 估計 cos x = x 之根到小數 6 位。

例 4.9.5. 牛頓法失敗之例。

例 4.9.6. 試以牛頓法估計 f(x) =

½ √x− r x≥ r

−√

r− x x < r 的根。

註 4.9.7. 事實上, 有一個{xn} 收斂的充分條件如下: 若 ¯¯¯^{f (x)f}_f0(x)^00(x)2

¯¯¯ < 1 在包含根 r 的某區間上 均成立, 則在該區間上任取一點 x0, {xn} 必收斂。

第 4 章 導函數應用 4.10 反導函數

4.10 反導函數 (Antiderivatives)

定義 4.10.1. 一個函數 F (x) 若滿足 F⁰(x) = f (x),∀x ∈ I, 則稱 F (x) 為 f(x) 在 I 上的反導 函數。

定理 4.10.2. 若 F (x) 為 f(x) 在 I 上的任一反導函數, 則最一般的反導函數是 F (x) + C, C 為 任意一個常數。

例 4.10.3. 如圖。 作該函數的反導函數 F (x) 之圖, 且 F (0) = 2。

例 4.10.4. 求下列各函數 f(x) = x⁵, g(x) = ^√1_x, p(x) = cos^x₂ + 3√

x, q(x) = ¹_x + 2e^2x 的 反導函數。

例 4.10.5. 求 f(x) = sin x 之反導函數 F , 且滿足 F (0) = 3。

例 4.10.6. 一物體作直線運動, 其加速度為 a(t) = 6t + 4, 初速為 v(0) = −6 cm/s, 起始地點為 s(0) = 9 cm。 求位置函數 s(t)。

例 4.10.7. 一氣球以 12 ft/sec 的速率上昇, 在離地 80 ft 處擲下一包裏, 則此包裏何時落地?

例 4.10.8. 在高度為 140 m 的懸崖邊, 將一球以 15 m/sec 的速率往上拋, 則球所達到的最高高 度為何? 它何時到達地面?

定義 4.10.9. 求一函數 y, 使其滿足 ^dy_dx = f (x), 則此式稱為微分方程 (differential equation), y = F (x) + C 稱為通解 (general solution)。 若取定 y(x0) = y₀, 則稱其為起始值問題 (initial value problem);滿足該條件的解稱為特解 (particular solution)。

例 4.10.10. (1) 求 y = g(x), 使得 ^dy_dx = 4 sin x +^2x5−_x^√x。 (2) 求 y = f(x), 使得 ^dy_dx = e^x+ 20(1 + x²)⁻¹, 且 f(0) = −2。

(3) 求 y = f(x), 使得 ^d_dx^2y2 = 12x² − 6x − 4, 且 y(0) = 4, y(1) = 1。

例 4.10.11. 求一曲線, 使其在任一點 (x, y) 處的斜率為 3x², 且通過 (1, −1)。

例 4.10.12. 一個雪球體積溶化的速度與表面積成正比。 假設經 3 小時體積溶化一半, 則在何時完 全溶化?