a 正比與反比

a

正比與反比

單 元 內 容

1 正比的意義

n 正比:當 y 與 x 的比值是一個固定而且不為 零的常數時，即y

x= k 或 y= kx 時，稱 y 與 x成正比或正變，k 稱為比例常數。

※ 相除不變稱為正變，x 大則 y 大，x 小則

y小。

【說明】y:x=5 即y

x=5 是一個正比關係式，y=5x 中y 和 x 保有比值永遠是固定值 5 的關 係。

【說明】4℃的水的密度永遠是 1，即水的重量 水的體積= 1，這也是正比的關係。

範 例 講 解

Ex1.下列關係式中有那些 x 與 y 成正比？

(1). y=2

x (2).3y=4x (3).y=x² (4).y=5x+1

Hw1.已知三角形面積＝底×高÷2，下列各敘述中 何者是正確的？

(1).如果底固定，則三角形面積與高成正 比。

(2).如果底固定，則三角形面積與（高

÷2）成正比。

(3).如果高固定，則三角形面積與底成正 比。

(4).如果面積固定，則底與高成正比。

Ex2.

(1).下列何者表示 x、y 成正比？(A) xy=3 (B) x=y

3 (C) 3x=2y (D) y=3x-4。

(2).梯形面積與下列何者成正比？(A)梯形的 上底(B)梯形的下底(C)梯形的高(D)以上 皆是。

(3).下列哪一組非正比的關係?(A)鉛筆的枝數 和總價錢(B)阿扁的年齡與身高(C)圓的直

Hw2.

(1).下列哪一個關係式表示 y 與 x 成正 比？(A) 3y=5x (B) y=1

4x (C) y=x² (D) y=2+3x。

(2).下列何者成正比？(A)程立的年齡和身 高(B)圓的半徑和面積(C)志鈴的身高 和體重(D)正方形的邊長和周長。

(3).下列哪一組數量關係成正比？(A)純梅

(4).y＝2x－4，則 y 與下列何者成正比？(A)

x-4 (B) 2 (C) x (D) x-2。 (C) y

2.5=x 中,x、y 的關係(D)阿姆斯壯 的體重與腰圍。

(4).y-1＝3x+2，則 y 與下列何者成正比？

(A) x+3(B) x+1 (C) x (D)3 x+2。

Ex3.

(1).已知 y 與 x 成正比，且當 x＝12 時，y＝

18，若 x＝11 時，y＝？

(2).y＋6 與 x 成正比，當 x＝30 時，y＝4，

則 x＝10 時，y＝？

(3).y 與 x²＋4 成正比，若 x＝2 時，y＝

24，則 x＝4 時，y＝？

(4).3y 與（x＋4）成正比且 x＝20 時，y＝

2，則 y＝18 時，x＝？

Hw3.

(1).若 x、y 成正比，而 y＝-3

5 時，x＝-6，

則 x＝-8，y＝？

(2).3-y 與 2+5x 成正比，y＝5 時，x＝- 2，求 x＝14 時，y＝？

(3).y² 與 3x 成正比，y＝15 時，x＝15，

則 y＝5 時，x＝？

(4).x 與 1

y 成正比且 x＝15，y＝3，則當 y

＝9 時，x＝？

Ex4.

(1).若 x 與 y 成正比，且 x＝11

2 時 y＝21 3，

求 x、y 的關係式。

(2).某物質的密度為 0.7 公克／立方公分，若 其重量為 x 公克，體積為 y 立方公分。請 回答下列問題：

a.求 y 與 x 的關係式。

b.若該物質重 84 公克，則其體積為多 少立方公分？

Hw4.

(1).已知 y 與 x 成正比，且當 x＝26 時，y

＝78。請回答下列問題：

a.求 x 與 y 的關係式。

b.若 x＝6，求 y。

(2).若蘋果一個賣 x 元，且 200 元恰好可 買 y 個。回答下列問題：

a.求 x 與 y 的關係式。

a. y 與 x 是否成反比？

Ex5.y 與 x²成正比，若x 變成原來的 4 倍，則 y

變成原來的多少倍？ Hw5.y 與 x²成正比，若x 變成原來的1

2倍，則 y 變成原來的多少倍？

Ex6.郁婷以時速 x 公里的速度開車到臺北要 3 小 時，若想提早 1 個小時到臺北，則時速是多 少？

Hw6.某人以每小時 2.5 公里的平均速度花了 1 小 時12 分鐘從甲地到達乙地。如果回程時乂 巳預計1 小時返回甲地，請問回程平均時速 最少要每小時多少公里？

Ex7.永慶存 300000 元到銀行，一年得 4500 元 利息，如果想要一年得 7500 元的利息，則 要增加存款多少元？

Hw7.柯男在銀行存款 400000 元，一年後領到利 息 3500 元，如果柯男再增加 160000 元的 存款，一年後共可領到利息多少元？

Ans: 200000 Ans: 4900

a

Ex8. 設紅寶石的價格與其寶石的重量平方成正 比，訓謙有 25 克的紅寶石一塊，價值 125000 元，拿出賞玩時不慎摔裂二塊，重 量比 3：2，求訓謙損失多少元？60000

Hw8.圓面積與半徑的平方成正比，半徑 5cm 時，面積 78.75cm²，求半徑 12 公分時，

面積多少cm²？

2 反比的意義

n 正比:當 y 與 x 的乘積是一個固定而且不為 零的常數時，即 yx= k 或 y=k

x時，稱 y 與 x成反比或反變。

※ 相乘不變稱為反變，x 大則 y 小，x 小 則 y 大。

【說明】yx=5 即 y=5

x是一個反比關係式，yx=5 中y 和 x 保有乘積永遠是固定值 5 的關 係。

範 例 講 解

Ex9.

(1).下列何者表示 x、y 成反比？(A) 2x=1 2y (B) 6x=-6y (C) x=3

y (D) y=x 2。

(2).D＝M

V，D 代表密度，M 是質量，V 是體 積，則何者正確？(A) D、M 成反比(B) D、V 成反比(C) M、V 成反比(D)以上皆 非。

(3).下列哪一組成反比的關係？(A)正方形的 周長和面積(B)圓的半徑與周長(C) 1 天 24 小時,白天的時數和夜晚的時數(D)距 離固定時速率與時間。

Hw9.

(1).下列哪一個關係式表示 y 與 x 成反 比？(A) y

x=3 (B) y=5x+8 (C) y 5=x

6 (D) x

3=2 y。

(2).下列各敘述何者正確？(A)當面積固定 時,長方形的長與寬成正比(B)已知 a、

b 均為正數，且 2a=5b，則 a>b (C)每 天的晝長與夜長成反比(D)當高固定 時,三角形的面積與底成反比。

(3).下列何者是反比？(A)長方形周長一定 時,長和寬的關係(B) 梯形的上底和面 積的關係(C)正方形的邊長和周長(D) 長方形面積固定時長和寬的關係。

Ex10.

(1).若 y 與 x 成反比，且當 x＝12，y＝6，

求 x＝3 時，y＝？

Hw10.

(1).y 與 x 成反比且 x＝2.25，y＝8，則當 y＝12 時，x＝？

2，則 x＝4 時，y＝？

(3).y² 與 x 成反比且 y＝3 時，x＝5，則 y＝

4 時，x＝？

(4).已知 y 與 x 成反比，且當 x＝5 時，y＝

12。回答下列問題：

a.x 與 y 的關係式為何？

b.當 x＝6 時，y＝？

12 時，y＝5，若 x＝8 時，y＝？

(3).3y 與 2x² 成反比，且 x＝4 時，y＝

12，則 x=8 時 y＝？

(4).y 與 x 成反比，當 x＝8 時，y＝－1 2，

求x、y 的關係式？

Ex11.

(1).有兩個面積相等的三角形，底邊比是 5：

3，求高的比？

(2).程立走一段路程，速率變成 3

5 倍，則所 需時間變成原來的多少倍？

Hw11.

(1).x：y＝3 5：1

4，則 x：y 的反比＝？

(2).鹿港到彰化分速 90 公尺則 45 分可到 達，若分速 75 公尺，多少分鐘可到 達？

Ex12.已知有一圓柱體的體積為 2 立方公尺。若 設底面積為 x 平方公尺，高為 y 公尺。試回 答下列問題：

(1). x 與 y 的關係式為【 】。

(2).若高為 50 公分，則底面積為

【 】平方公尺。

(3).若底面積為 10000 平方公分，則高為

【 】公尺。

Hw12.程立老師準備 240 顆「章魚小丸子」要請 a 位同學吃，且每人吃 b 顆，則

(1). x 與 y 的關係式為【 】。

(2).若 a＝48 時，b＝？

(3).若 b＝20 時，a=?。

Ex12.30 人合作 40 天完成的工作，如果想在 25 天完工要增加多少人？

Hw12.有一工程，如果每名工人每天工作 8 小 時，則 15 天可以完成，如果想提早 3 天完 成，則每名工人每天要加班幾小時。

Ex13.某人以每小時 2 公里又 500 公尺的平均速 度，從甲地走到乙地花了 2 小時又 24 分 鐘。當他從乙地返回甲地時，預計在 2 個小 時內要到達甲地，則回程的平均速度最少必 須為每小時幾公里？

Hw13.家芸以每小時 5km 又 500 公尺的平均速 度花了 3 小時 24 分到達目的地，如果家 芸預計在 2 小時 15 分到達目的地，則每 小時平均速度要多少公里？

Ans: 3

Ans: 814 45; Ex14.有一空水槽 2400 公升，尚流梅接一水管注

入水，每分鐘可注入水 x 公升，則需 y 小時 可將水槽裝滿水，則：

(1).求x、y 的關係式。

(2).每分鐘注水 30 公升，則注滿水槽要多少 分鐘？

Hw14.有一空水槽 1800 公升，尚流梅接一水管 注入水，每分鐘可注入水 x 公升，則需 y 小時可將水槽裝滿水，則：

(1).求 x、y 的關係式。

(2).每分鐘注水 15 公升，則注滿水槽要多 少分鐘？

綜 合 應 用

Ex15.真好吃肉包店，特產大肉包 1 個 15 元，但 包裝紙每個 1 元，如表是購買大肉包的數量 及價格的關係表：用 a 代表包子個數，b 代 表價格數，試問：

包子（個） 1 2 3 4 價格（元） 16 31 46 61 (1).a、b 的關係式？

(2).a 與何者成正比？

Hw15.有一個長方形面積 100 平方公分，長以 x 表示，寬以 y 表示，x、y 表示如表：

長（x） 50 95 100 寬（y） 5

4 (1).完成表格。

(2).y、x 的關係式為何？

(3).y 與 x 的關係是正比或反比？

Ex16.

(1).如表，甲、乙的關係是(Ａ)成正比(Ｂ)成 反比(Ｃ)成等比(Ｄ)不成正比也非反比。

甲 12 11 10 9 8 乙 7 6 5 4 3

(2).3y＝6x＋9，則 y 與 2（x＋n）成正比，

則 n＝？

Hw16.

(1).一壺水沸騰後在室溫下，讓它自然冷 卻。下面為冷卻時間和水溫的紀錄 表：

時間（分） 5 10 15 20 25 水溫（℃） 70 53 43 37 33

由上表可否得知冷卻時間和水溫成反比。

(2).3y＋8＝2x＋16，則 y 與 x＋m 成正 比，則 m＝？

Ex17.若 y＝2x＋3，則何者正確？(A) y-3 與 x 成 正比 (B) y 與 x 成反比(C) y 與 x 成正比(D) y-3 與 x 成反比。

Hw17.y＝3x＋9，則(A) y 與 x 成正比(B) y 與 x 成 反比(C) y 與 x+3 成正比(D) y 與 x-3 成正 比。

Ex18.

(1).下列何者正確？(A) x 與 y 成正比,則 y 與 x 亦成正比(B) x 與 y 成反比,則 y 與 x 成反比 (C) y 與 x 成反比,則 y 與 1

x 成正比(D)以上 皆正確。

(2). x、y 成正比，y、z 成反比，則 x、z 成

【 】比。

(3). x 與 y 成正比，y 與 z 成正比，且 x＝4 時，z＝9，則 x＝9 時，z＝

【 】。

Hw18.

(1).y 與 x 成正比，則下列何者錯誤？(A) y+2 與 x+2 成正比(B) y+x 與 x 成正比 (C) y-2x 與 x 成正比(D) y+x 與 y-2x成正 比

(2).x、y 成反比，y、z 成反比，則 x、z 成【 】比。

(3).x 與 y 成反比，y 與 z 成反比，且 x＝6 時，z＝4，則 x＝8 時，z＝

【 】。