黃金比與黑洞數
鄒黎明
一、 黑洞數的概念
一個整數的數位的最大排序與它的最小排序之差, 重複操作, 最後是一個數迴圈或者一個 數鏈迴圈, 我們把最後是一個數或者一個迴圈數鏈稱為黑洞圈 (cycle), 也叫陷阱數或者黑洞 數。
印度數學家首先證明四位數的單黑洞圈是 6174 (1-cycle), 楊之老師在文 [1] 一書中介紹 了黑洞數問題, 文中提出如何具體構造黑洞數以及黑洞圈的長度 (個數)。
有沒有尋找構造黑洞數的簡易方法, 即使找不到構造黑洞數直接的方法, 能不能找到一個 最接近黑洞圈的數, 它的下一個數就是黑洞數或者是黑洞圈, 我們把這個數定義為准黑洞數, 或 者能不能找到一個很接近黑洞數的數, 這個數下一個運算結果是凖黑洞數, 我們定義為黑洞友 好數。
二、 主要結果
究竟如何發現這樣構造的, 我們看四位數的單圈黑洞圈是 6174; 五位數的黑洞數是黑洞圈 53955 → 59994, 74943 → 62964 → 71973 → 83952, 63954 → 61974 → 82962 → 75933; 六位數的黑洞圈是 631764, 549945; 七位數是黑洞圈 7419753 → 8429652 → 7619733 → 8439552 → 7509843 → 9529641 → 8719722 → 8649432 → 7519752 → 8629632 → 7629633 → 7429653 → 7419753, 是十三圈; 八位數是 97508421, 63317664;
九位數是 864197532, 十位數是 6333176664; 十一位數是 86431976532 單圈黑洞圈、 還有
“76320987633 → 96442965531 → 87320987622 → 96653954331 → 86330986632 → 96532966431 → 87331976622 → 86542965432 → 76320987633” 黑洞圈是一個 8-cycle;
十二位數是 975550844421 → 975110888421 → 977750842221 → 975550844421; 十三 位數是 8643319766532, 十四位數是 63333317666664; 十五位數是 864333197666532
思考: 從上面的 6174, 61974, 631764, 63317664, 633317664, 是兩位數黑洞數中取得 “63”、“9”
與 “6174” 進行搭配, 於是定理 1 就發現了。
於是我們想到用 6174 與“36”、 “9”搭配, 發現了定理 1。
定理1: n 為大於等於 2 的整數, 則:
61743636 · · · 36| {z }
n個36
為 2n + 4位凖黑洞數; 633 · · · 3| {z }
n個3
1766 · · · 6| {z }
n個6
為 2n + 4 位的一個單圈黑洞圈;
617493636 · · · 36| {z }
n個36
為 2n + 5 位的一個黑洞友好數;
86433 · · · 3| {z }
n−2個3
19766 · · · 6| {z }
n個6
532 為 2n + 5 位的一個單圈黑洞圈。
證明: 2n + 4(n ≥ 2) 位數, 61743636 · · · 36| {z }
n個36
7 66 · · · 6| {z }
n+1個6
4 33 · · · 3| {z }
n個3
1 − 1 33 · · · 3| {z }
n個3
4 66 · · · 6| {z }
n+1個6
7 = 6 33 · · · 3| {z }
n個3
17 66 · · · 6| {z }
n個6
4
對於 2n + 5(n ≥ 2) 位數, 61749 3636 · · · 36| {z }
n個36
,97 66 · · · 6| {z }
n+1個6
4 33 · · · 3| {z }
n個3
1 − 1 33 · · · 3| {z }
n個3
4 66 · · · 6| {z }
n+1個6
79
= 84 33 · · · 3| {z }
n−1個3
197 66 · · · 6| {z }
n−1個6
52, 987 66 · · · 6| {z }
n−1個6
54 33 · · · 3| {z }
n−1個3
21 − 12 33 · · · 3| {z }
n−1個3
45 66 · · · 6| {z }
n−1個6
789
= 864 33 · · · 3| {z }
n−2個3
197 66 · · · 6| {z }
n−2個6
532 987 66 · · · 6| {z }
n−1個6
54 33 · · · 3| {z }
n−1個3
21 − 12 33 · · · 3| {z }
n−1個3
45 66 · · · 6| {z }
n−1個6
789
= 864 33 · · · 3| {z }
n−2個3
197 66 · · · 6| {z }
n−2個6
532
例如: 五十位數的單圈黑洞圈: 6 33 · · · 3| {z }
23個3
17 66 · · · 6| {z }
23個6
4 一百零五位數的單圈黑洞圈:864 33 · · ·3| {z }
48個3
197 66 · · · 6| {z }
48個6
532 一億零四位數的單圈黑洞圈:6 33 · · ·3| {z }
五千萬個3
17 66 · · · 6| {z }
五千萬個6
4 一億零九位數的單圈黑洞圈:864 33 · · ·3| {z }
五千萬個3
197 66 · · · 6| {z }
五千萬個6
532
構造產生的根源, 我們尋找母數, 從低位數的黑洞數進行拼湊, “27 → 45 → 9 → 81 → 63 → 27”
例如, 3n 位數, 44 · · · 4| {z }
n個4
55 · · · 5
| {z }
n個5
99 · · · 9
| {z }
n個9
凖黑洞數。
證明: 99 · · · 9| {z }
n個9
55 · · · 5
| {z }
n個5
44 · · · 4
| {z }
n個4
− 44 · · · 4| {z }
n個4
55 · · · 5
| {z }
n個5
99 · · · 9
| {z }
n個9
55 · · · 5
| {z }
n−1個5
4 99 · · · 9| {z }
n個9
44 · · · 4
| {z }
n−1個4
5 定理 2, 3n 位數, 55 · · · 5| {z }
n−1個5
4 99 · · · 9| {z }
n個9
44 · · · 4
| {z }
n−1個4
5 是黑洞數。
三、 黃金比與黑洞圈
我們在尋找黑洞圈中, 考慮長度問題發現與黃金分割中的黃金比有聯繫, 我們從一些資料 中看到了規律。
四位數中總共有 9999 個, 一般來說, 若把 0 看作 “0000”, 0000 明顯是黑洞圈, 而且是 單圈黑洞圈 (1-cycle), 而 “1111、 2222、 . . .、 9999” 這九個數皆是准黑洞數。 而 6174 也是單 圈黑洞圈。 五位數中, 有三個黑洞圈, 其中 00000 是單圈, 53955 是雙圈 (2-cycle), 74943 是 四圈 (4-cycle), 61974 也是四圈。 我們觀察上面的結果, 考慮 9990 個四位數, 我們發現
9990 ×
√5 − 1
2 = 9990 × 0.618033988 · · · = 6174.159548 · · · ≈ 6174 這是巧合還是隱含著某種規律; 於是我們進行研究, 經過大量工作, 我們找到了規律。
(1) 三位數, 611, 611 − 116 = 495, 954 − 459 = 495, 所以 495 是三位數的黑洞數, 611 是 凖黑洞數, 990 × 0.618 ≈ 611。√
5−1 2
2
× 990 ≈ 378, 873 − 378 = 495, 378 是凖黑 洞數。
(2) 五位數, √52−1 × 99990 ≈ 61794
61794 → 82962 → 75933 → 63954 → 61974 61974 是黑洞圈; √
5−1 2
2
× 99990 ≈ 38192.78
38192 → 85932 → 74943 → 62964 → 71973 → 83952 → 74943 38192 是黑洞友好數。
38193 → 84942 → 73953 → 63954 → 61974 → 82962 → 75933 → 63954, 第 3 步進入黑洞圈。
(3) 六位數, √ 5−1
2
2
× 999990 ≈ 381962
381962 → 862632 → 642654 → 420876 → 851742 → 750843 → 840852
→ 860832 → 862632 381962 是凖黑洞數。
(4) 七位數, √ 5−1
2
2
× 9999990 ≈ 3819656
3819656 → 8509842 → 9639531 → 8629632 → 7629633 → 7429653 → 7419753
→ 8429652 → 7169732 → 8539542 → 7509843 → 9840852 → 9639531 3819656 是黑洞友好數。
(5) 八位數, √ 5−1
2
2
× 99999990 ≈ 38196597
38196597 → 86308632 → 86326632 → 64326654 → 43208766 → 85317642
→ 75308643 → 84308652 → 86308632 38196597 是凖黑洞數。.
(6) 九位數, √ 5−1
2
3
× 999999990 ≈ 236067975.14, 如果取過剩近似值 236067976 → 953999541 → 865395432 → 763197633 → 844296552 → 762098733 → 964395531
→ 863098632 → 965296431 → 873197622 → 865395432 → 753098643
→ 954197541 → 883098612 → 976494321 → 874197522 → 865296432, 也就是 236067976 是黑洞友好數。
(7) 十位數, √ 5−1
2
3
× 9999999990 ≈ 2360679772
2360679773 → 9543995541 → 8650998432 → 9754085421 → 9751088421 → 9775084221 → 9755084421 → 9751088421, 第 4 步進入黑洞圈; 2360679772 → 9553995441 → 8650998432 → 9754085421——, 第4步進入黑洞圈。
但是, √ 5−1
2
4
× 9999999990 ≈ 1458980336.0447
1458980336 → 9753086421 → 9753086421, 1458980336 是凖黑洞數。
1458980337 → 9754085421 → 9751088421 → 9775084221 → 9755084421 → 9751088421, 145898033747 是黑洞友好數。
(8) 十一位數, √ 5−1
2
4
× 99999999990 ≈ 14589803373.57
14589803374 → 97540985421 → 98630986311 → 98752964211 → 88651974312 →
87641975322 → 8654975432 → 86420987532 → 96641975331 → 88431976512 → 87641975322, 第 5 步進入黑洞圈;
14589803373 → 97541975421 → 88530986412 → 97651975412 → 97651974321 → 88541975412 → 87630986322 → 96642965331 → 87331976622 → 86542965432 → 76320987633 → 96442965531 → 87320987622 → 86330986632 → 96532966431 → 87331976622, 第 7 步進入黑洞圈。
√ 5−1
2
3
× 9999999990 ≈ 23606797747.6183 , 通過檢驗 23606797748 也是第 7 步進 入黑洞圈;
(9) 十二位數, √ 5−1
2
4
× 999999999990 ≈ 145898033748
145898033748 → 975530864421 → 975310886421 → 977530864221 → 975530864421, 145898033748 是凖黑洞數。
於是, 我們提出猜想:
(103n− 10)
√ 5−1
2
n
四捨五入得到的整數或者過剩近似值整數中有 3n 位的一個凖黑洞數;
(103n+1−10)
√ 5−1
2
n
四捨五入得到的整數或者過剩近似值整數中有 3n+1 位的單黑洞圈或 者黑洞友好數; (103n+2− 10)
√ 5−1
2
n
四捨五入得到的整數或者過剩近似值整數中有 3n + 2 位的准黑洞數或者不超過 7 步進入黑洞圈。
我們知道位數比較大的話, 通過有限次運算就能夠進入黑洞圈, 這也是比較有意思的工作, 因此, 我們通過乘以黃金比前後的數位前後找, 為黑洞圈研究提供一種想法, 有興趣的同行可以 進一步研究。
參考文獻
1. 楊之。 初等數學研究的問題與課題。 湖南教育出版社, 第1 版, 28-35, 1993.5。
—本文作者任教江蘇省無錫市碩放中學—
