OB OC

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：92.11.07 班級

範圍

2-3

空間向量座號

姓名

得分一、選擇題：每題 8 分

1. ( ) 下列那一組角可為空間一向量的方向角？(複選)

(A) 3

2 4 3

π π

π，， (B)

2 3 6

π π

π，， (C)

3 2 3 3

π π

π，− ， (D)60°，70°，80° (E)

3 4 4 3

π π π，，

Ans： (A)(B) 解析：

(A)是；因 1

4 1 2 1 4 1 3 cos 2 cos 4

cos²π3 + ²π + ² π = + + =

(B)是；因 0 1

4 1 4 3 cos 2

cos 3

cos²π6 + ²π + ² π = + + = (C)不是；因

3

−π < 0，不在[0，

π

]區間內

(D)不是；因cos²60° + cos²70° + cos²80° < cos²60° + cos²60° + cos²60° = 4 3< 1

(E)不是；因 3 4π >

π

2. ( ) 空間中三點 A，B，C，下列何者使 A，B，C 三點共線？(複選)

(A) 2 3 0

____\ ____\

____\ K

=

− + OB OC

OA (B)3 ^\ 0

\ ____

____ K

= + +

OB OC

OA

(C)

(D)

0 3

2 ^\

\ ____

____ K

= +

−

OB OC OA

3 0 2 3

4 3

1^____^\ ^____^\ ^____^\ K

=

−

+ OB OC

OA (E)^____^\ ^____^\ ^____^\ 3 1 3

2OB OC OA= + Ans： (A)(C)(E)

解析：

(A) 2 3 0 ⇒

____\ ____\

____\ K

=

− + OB OC

OA ^____^\ ^____^\ ^____^\ 3 2 3

1OA OB

OC = + ∴ A，B，C 共線

(B)3 ^\ 0 ⇒

\ ____

____ K

= + +

OB OC

OA

^____^\ ^____^\ ^____^\ 3 1 3

1

OB OC

OA

=− − ∵ 1

3 2 3 1 3

1− =− ≠

−

∴ A，B，C 不共線

(C)2 3 ^\ 0 ⇒

\ ____

____ K

= +

−

OB OC

OA

^____^\ ^____^\ ^____^\ 3 1 3

2

OA OC

OB

= + ∴

A，B，C 共線

(D) 0

3 2 3

4 3

1^____^\ ^____^\ ^____^\ K

=

−

+ OB OC

OA ⇒ ^____^\ ^____^\ ^____^\ 2 4 2

1

OA OB

OC

= + ∵ 1

2 5 2 4 2

1+ = ≠ ∴ A，B，C 不共線

(E)

____\ ____\ ____\

3 1 3

2OB OC

OA= + ∵ 1

3 1 3

2+ = ∴

A，B，C 共線

注意：設

A，B，C 為空間中三點，O 為任一點，

(2)

(1) ，則

A，B，C 共線

⇔ x + y =1 (2)

____\ ____\

____\

OB y OA x OC= +

0

____\ ____\

____\ K

= +

+yOB zOC OA

x ，則

A，B，C 共線

⇔ x + y + z = 0

3. ( ) 空中三點 P(6，− 4，4)，Q(2，1，2)，R(3，− 1，4)，則下列何者正確？

(A) ^____

QP．

^\

QR

^____^\= 18 (B) cos∠PQR = 5

−1

(C) sin∠PQR = 5 1

(D) P 點到直線 QR 的距離為 3 (E)UPQR 的面積 = 2 9

Ans： (A)(B)(D)(E) 解析：

∵

P(6，− 4，4)，Q(2，1，2)，R(3，− 1，4)

∴ = (4，− 5，2)， = (1，− 2，2)

(1) = 4 × 1 + (− 5)(− 2) + 2 × 2 = 4 + 10 + 4 = 18 ∴ (A)為真

(2) cos∠ PQR =

____\

QP

^____QR^\

____\ ____\

QR QP．

5 2 9 45

18

|

||

| ^\

\ ____

____

____\ ____\

=

QR QP

QR

QP．

∴ (B)不真

但 sin∠ PQR =

5 ) 1 5 ( 2

1− ² = ∴ (C)為真

(3) P 點到 QP 的距離 d 為 |^_____

QP

^\ | sin∠ PQR = 45 ．

1 = 3 ∴ (D)為真 5 (4)UPQR 的面積 =

2

1|^_____

QP

^\ |．d = 2

1× 3 × 3 = 2

9 ∴ (E)為真

二、填充題；每格 10 分，

1. 設A(2，1，− 2)，B(2 + 3 2 ，− 2，1)，則^____AB^\的方向角為。 Ans：

3 3 2 4

π π π，，

解析：

∵ ^\

____

AB= (3 2 ，− 3，3) = 3( 2 ，1，1)， = 6。

而 cos

α

=

____

AB

4 2

2 2

3 = ⇒ α =π

AB ， cos

β

=

3 2 2

1

3 =− ⇒

β

=

π

−

AB

，

cos

γ

=

3 2

1

3 = ⇒ γ =π

AB ， ∴

____\

AB的方向角

α

，

β

，

γ

=

3 3 2 4

π π π，，

(3)

2. 設空間向量aK

的方向角為

α

，

β

，

γ

， (1) cos²

α

+ cos ²

β

+ cos ²

γ

=_____________。

(2) sin²

α

+ sin²

β

+ sin²

γ

= _______________。

(3) cos2

α

+ cos2

β

+ cos2

γ

= _____________ 。 Ans：(1) 1 (2) 2 (3) − 1

解析：令aK = (ℓ，m，n) ∴ |aK| = A² +

m

² +

n

² > 0。

| cos |

a n a

m

a

AK = K = K

=

β γ

α

，，

∴(1) cos²

α

+ cos ²

β

+ cos ²

γ

= 1

(2) sin²

α

+ sin²

β

+ sin²

γ

= 1 − cos²

α

+ 1 − cos²

β

+ 1 − cos²

γ

= 2

(3) cos2

α

+ cos2

β

+ cos2

γ

= 2cos²

α

− 1 + 2cos²

β

− 1 + 2cos²

γ

− 1 = − 1

3. 設三向量aK = (1，2，

λ − 1)， = (4，1，−

bK

λ

)，cK = ( − 1，2，

λ

+ 3)兩兩互相垂直，則實數

λ 之值為。

Ans： − 2 解析：

aK⊥b ⇒ (1，2，

λ

− 1)．(4，1，−

λ

) = 0 ⇒

λ

= 3 或

λ

= − 2

⊥c K

bK K ⇒ (4，1，−

λ

)．( − 1，2，

λ

+ 3) = 0 ⇒

λ

= − 1 或

λ

= − 2 cK⊥aK ⇒ ( − 1，2，

λ

+ 3)．(1，2，

λ

− 1) = 0 ⇒

λ

= 0 或

λ

= − 2 由以上得

λ

= − 2

4. 設aK= (2，1，3)，bK= (1，− 2，4)，cK= (2，5，1)，已知(aK + tbK

) ⊥cK，則實數t = 。 Ans： 3

解析：(aK + tb ) = (2 + t，1 − 2t，6 + 4t) (

K

aK + tbK)．cK= 0 ⇒ 2(2 + t) + 5(1 − 2t) + (3 + 4t) ⇒ t = 3

5. 設a，b，c均為正數且a + b + c = 9，則

c b a

16 9

4+ + 之最小值為 Ans： 9

解析：

(a b c 16 9

4+ + )(a + b + c) ≥ 2 3 4 )²

(

c

b c a b

a

⋅ + ⋅ + ⋅

⇒ (a b c 16 9

4+ + )．9 ≥ (2 + 3 + 4)² = 81 ⇒

c b a

16 9 4+ + ≥

9 81 = 9

6. 設x，y，z ∈ R，2x + 2y + z + 8 = 0，則(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)²之最小值為

Ans：9

解析；

2x + 2y + z + 8 = 0 ⇒ 2(x − 1) + 2(y + 2) + (z − 3) = − 9，

[2(x − 1) + 2(y + 2) + (z − 3)]² ≤ [(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)²]．(2² + 2² + 1²)

(4)

⇒ (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² ≥ 9

) 9 (− ²

= 9

7. 如下圖，長方體ABCD − EFGH中AB=4，AC =2，AE =3，則^____AG^\ ⋅CH^____^\ = 。 Ans： − 7

解析：

建立空間坐標系，

令

D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，H(0，0，3)

∴

G(0，4，3)，

= ( − 2，4，3)， = (0，− 4，3)

∴ ． = ( − 2，4，3)．(0，− 4，3) = 0 − 16 + 9 = − 7

_____\

AG

CH

^____^\

____\

AG CH

^____^\

8.. 設A(2，1，− 2)，B(2 + 3 2 ，− 2，1)，則^____AB^\的方向角為。

Ans：

3 3 2 4

π π π，，

解析：

∵ ^\

____

AB= (3 2 ，− 3，3) = 3( 2 ，1，1)， = 6。

而 cos

α

=

____

AB

4 2

2 2

3 = ⇒ α =π

AB ，cos

β

=

3 2 2

1

3 =− ⇒

β

=

π

−

AB

，

cos

γ

=

3 2

1

3 = ⇒ γ =π

AB ∴

____\

AB的方向角

α

，

β

，

γ

=

3 3 2 4

π π π，，

9. 設A(4，1，3)，B(6，4，3)，C(1，− 3，3)為空間中三點 (1)UABC的重心坐標為。

(2)設P ∈AB且AP：BP= 2：5，則P點坐標為。

(3)

____\

AB ⋅^____AC^\ =_______________。

(4)UABC的面積為。 Ans： (1)( 3

3 2 3

11，， ) (2)( 3 7 13 7

32，， ) (3) − 18 (4) 2 1

A(4，1，3)，B(6，4，3)，C(1，− 3，3)

(1)設UABC 的重心 G(x，y，z)，則 3

3 3 3 3 3

2 3

3 4 1 3

11 3

1 6

4+ + = = + − = = + + =

= y z

x ，，

∴ G( 3 3 2 3

11，， )

(5)

(2)∵ P ∈AB且AP：BP = 2：5，令 P(a，b，c)

∴ 由分點公式得

7 32 5

2 6 2 4

5 =

+

⋅ +

= ⋅

a ，

7 13 5

2 4 2 1

5 =

+

⋅ +

= ⋅

b ，

3

7 21 5

2 3 2 3

5 = =

+

⋅ +

= ⋅

c ∴

P(

3

7 13 7

32，， )

(3)∵ = (2，3，0)， = (− 3，− 4，0)

____\

AB

^____AC^\

____\

AB⋅ ^____AC^\ =2 ( 3) 3 ( 4)× − + × − + × = −0 0 18 (4) UABC 的面積 ¹ | | |² |² ( )² ¹

2 AB AB AB AC 2

= JJJK JJJK − JJJK JJJK⋅ =

10. 設 A(4，1，3)，B(6，3，4)，C(4，5，6)為空間中三點，UABC 中，∠A 的分角線交 BC 於

D 點，外角平分線交直線 BC 於 E 點，求 D，E 之坐標。

Ans： D(

4 21，

4 15，

4

19)，E(9，0，1)

AB= (6−4)² +(3−1)²+(4−3)² = 3，

AC

= 0²+4²+3² = 5，

(1)設D點坐標為(x1，y1，z1) ∵ ∠A之分角線 BC 於D ∴

5

= 3

=

AC AB DC BD

由分點公式

4 21 5

3 4 3 6 5

1 =

+

× +

= ×

x ，

4 15 5

3 5 3 3 5

1 =

+

× +

= ×

y ，

4 19 5

3 6 3 4 5

1 =

+

× +

= × z ∴ D(

4 19 4 15 4

21，， ) (2)設E點坐標為(x2，y2，z2)

∵

E是∠A之分角線平分線與直線BC之交點 ∴

5

=3

=

AC AB CE BE

∵

E − B − C ∴

EB：BC = 3：2 由分點公式

2 3

6 3 4 2

2 3

5 3 3 2

2 3

4 3

6 2 ² ² ²

+

×

= + +

×

= + +

×

= x + y z

，

⇒ x₂ = 9，y₂ = 0，z₂ = 1，故E(9，0，1)

(6)

11. 有一向量，其終點B坐標為(7，6，− 5)，與x軸，y軸，z軸正向的夾角分別為 45°，

60°，

γ

(其中 90° <

γ < 180°)，若 |

| = 9，則始點A的坐標為

____\

AB

^____

AB

^\

____\

AB

^____

AB

^\ ______ 。 Ans： (7 −

2 1 2 3 2

9 ，，− )

解析：設的始點A(x，y，z)，則 = (7 − x，6 − y，− 5 − z)

∵ | | = 9 且方向角為 45 °，60 °，

γ

⇒ cos

____\

AB

^____

AB

^\

____\

AB

²45°+ cos²60° + cos²

γ = 1

⇒ cos²

γ =

2

−1 (∵ 90° <

γ < 180°)

∴ = (| | cos45 °，| | cos60 °，| | cos

γ

) = (9cos45°，9cos60°，9cos

γ

) 故 7 − x = 9cos45°，6 − y = 9cos60°，− 5 − z = 9cos

γ

∴ x = 7 −

____\

AB

^____

AB

^\ ^____

AB

^\ ^____

AB

^\

2

9 ，y = 6 − 2 3

29 = ，z = − 5 + 2 9= −

2

1 故A的坐標為(7 −

2 1 2 3 2

9 ，，− )

12. 設 aK = (1，0，2)，bK

= (2，− 1，1)，求與aK

，bK

同時垂直且長 2 的向量

Ans： )

7 1 7 3 7

( 2 −

± ，，

解析：

aK= (1，0，2)，bK

= (2，− 1，1)的外積

× ( aK

bK

= 2 1

0 1 2 1

1 2 1 1

2 0

−

− ，， ) = (2，3，− 1)為垂直aK 與bK

的一向量

× =

|aK bK

| 4+9+1= 14

∴ 垂直aK

與的單位向量為bK

) 1 3 2 14( 1

|

| =± −

×

± × ，，

b a a K

K

b

K K

而知垂直與aK bK且長度

2 的向量為 (2 3 1) 14

1 −

± ，， = )

7 1 7 3 7

( 2 −

± ，，

13. 有一向量aK，始點在(1，− 5 2 ，0)，| aK|

=10，方向角為 3 π ，

4 π ，

3 2π

，試求其終點坐標。

. (6 0 − 5)

(x，y，z)，則 a = (x − 1，y + 5 Ans：，，

解析：設終點坐標為 2 ，z)

∴

x

1

a

−K = cos 3 π ⇒

10⁻¹= x

2 ⇒ x = 6，

1

(7)

a y

+

K5 2

= cos 4 π ⇒

10 2 +5

y =

2

2 ⇒ = ，

y 0

|

| a

z

K = cos 3 2π ⇒

10 z = −

2

1 ⇒ z = − (6，0，− 5)

14. 如下圖所示，正方體各邊(稜)長為 1，

)點P之坐標為

5，故終點坐標為

(1 。

(2)對角線AR與

BS 的一個夾角為 θ

，sin

θ

之值為。點R至平面BCP的距離為

(3) 。

( (− 1 1) Ans： 1) ，1， (2)

3 2

2 (3) 3 1

圖

P

1)

= = ( − 1，− 1，1)，

解析：(1)如下， (− 1，1，

(2)aK = ( 1，1，1)，b

=

____\

AR

^K ^____BS^\ cK

=

____\

AR

−^____BS^\= (2，2，0)

θ =

cos

|

||

| 2

|

a

²

b

²

c

K K

2

a b

K K

K + −

=

3 3 2

8 3 3+ −

= 3

−1

；∴ sin =

θ

1−cos²

θ

= 3

2 2

(3) B(0，1，0)，C(0，0，1) R(0，1 1) 設平面 BCP 方程式，，

π

： m

x + 1 y+

1 z= 1，

P(− 1，1，1)代入得 m = 1 ⇒

π

：

x + y + z − 1 = 0 ∴ d (R， π

) =

2 2

2 1 1

1

1 1 1 0

+ +

− +

+ =

3 1

空間坐標，設

xy 平面為一鏡面，有一光線通過點 P(1，2，1)，射向鏡

，

12. 在面上的點

O(0 0，0)，經鏡面反射後通過 R， OR 2

=

OP

，求

R 的坐標_______________。

平面的對

解析：因入射角等於反射角，故反射線必與入射線的延長線關於鏡面成對稱。

設

P 關於 O 之對稱點 P′，P′關於 xy

稱點

Q，則

^____OR^\ =2OQ^____^\ 又

P′( − 1，− 2，− 1)，Q( − 1，− 2，1)

∴ OR^____^\ =2OQ^____^\ = ( − 2，− 4，2)，即 R 的坐標為( − 2，− 4，2)

OB OC

π

π

OB OC

OA

OB OC OA

OB OC

OA

OB OC

OA

OB OC

OA

OA OC

OB

A，B，C 共線

OA OB

OC

A，B，C 共線

A，B，C 為空間中三點，O 為任一點，

A，B，C 共線

A，B，C 共線

QP．

QR

P(6，− 4，4)，Q(2，1，2)，R(3，− 1，4)

QP

QR QP

QR

QP．

QP

QP

α

AB

β

β

π

AB

γ

α

β

γ

α

β

γ

α

β

γ

α

β

γ

α

β

γ

m

n

a n a

m

a

β γ

α

α

β

γ

α

β

γ

α

β

γ

α

β

γ

α

β

γ

λ − 1)， = (4，1，−

λ

λ

λ 之值為 。

λ

λ

λ 之值為。