AC AC OA OP ⇒ 　　 OA OB OC OA OB OC AC

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：93.05.10 班級

範

圍 2-6 測量+Ans

座號

姓 名 一. 選擇題(每題 10 分)

1. 由查表得 cot115°40′ = − 0.4806，cot115°50′ = − 0.4841，下列何者正確？

(A) cot295°14′ = − 0.4820 (B) tan334°14′ = − 0.4820 (C) tan205°46′ = 0.4827 (D) cot244°16′ = 0.4827 (E) cot64°18′ = 0.4834

答案：(C) 解析：

cot115°40′ = cot (180°− 64°20′) = − 0.4806 ⇒ cot64°20′ = 0.4806 同理 cot64°10′ = 0.4841

(A) cot295°14′ = cot (360° − 64°46′) = − cot64°46′ = 0.4715 (B) tan334°14′ = tan (270° + 64°14′) = − cot64°14′ = − 0.4827

(C) tan205°46′ = tan (180° + 25°46′) = tan25°46′ = cot64°14′ = 0.4827 (D) cot244°16′ = cot (180° + 64°16′) = cot64°16′ = 0.4820

(E) cot64°18′ = 0.4813 二、填充題(每題 10 分)

2.從平地上A，B，C三點測得新光大樓樓頂之仰角均為 30°。若∠ABC = 45°，而 AC = 300 公尺，則此大樓的高為 公尺。

答案：50 6 公尺 解析：

從 A，B，C 三點測得樓頂之仰角均為 30°

⇒ 如圖：OA=OB =OC 且 A，B，C 共圓 設 OP= h ⇒　　

OA

=OB =OC = 3 h 於△ABC 中， AC = 2Rsin45°，R =OA

⇒ 300 = 2． 3 h．

2

2 ⇒ h = 50 6

3. 某人於山麓測得山頂的仰角 45°，由山麓循 30°斜坡上行 400 公尺，再測得山頂的仰角 60°，則山高為 公尺。

答案：200( 3+ 1)

解析：

如左圖，在△ABC 中

∵ ∠CAB = 45° − 30° = 15°，

∠ACB = ∠ACD − ∠BCE = 45° − 30° = 15°

故得∠ABC = 150°，

由正弦定理可得

° 150 sin

AC

=

° 15 sin

AB

⇒ AC =

°

° 15 sin

150 sin 400．

在△ACD 中， CD= AC sin45° =

°

°

° 15 sin

45 sin 150 sin

400． ．

=

4 2 6

2 2 2 400 1

−

．

．

= 200( 3 + 1)

故所求山高為 200( 3+ 1)公尺

4. 在山頂測得地面上石頭A的俯角為 45°，向右轉 30°^，再測得地面上石頭B的俯角為 30°，

已知山高為 50 公尺，則AB = 公尺。

答案：50

解析：

由D測A的俯角為 45° ⇒ 由A測D的仰角為 45°

由D測B的俯角為 30° ⇒ 由B測D的仰角為 30°

在D測A俯角後，向右轉 30°即∠ACB = 30°（不是∠ADB = 30°）

∴ AC = 50， BC = 50 3

由餘弦定理

AB

²=BC²+AC² − 2 BC ． AC cos∠ACB

= 50² + (50 3 )² − 2(50)(50 3 )．

2

3 = 50² ⇒ AB = 50 5. 一塔高為h，石頭A在塔的正東，石頭B在塔的東 30°南，一人從塔頂測得石頭A的俯角為

60°，石頭B之俯角為 45°，若AB= 10 3 公尺，則塔高h = 公尺。

答案：30

解析：

由D測A的俯角為 60° ⇒ 由A測D的仰角為 60°

由D測B的俯角為 45° ⇒ 由B測D的仰角為 45°

∴ BC = h， AC = 3 1

h，

餘弦定理，

AB

² =AC²+BC² − 2 AC ． BC cos30°

⇒ 300 = h² + 3

1

h

² − 2．h．

3

h

．

2 3=

3 1

h

²

⇒ h² = 900 ⇒ h = 30（公尺）

6. 某船以每小時 20 公里之速度向南 53°東航行，於上午十時測 得燈塔之方向為北 37°東，此時船與燈塔之距離為m公里，

至同日t時，測得該塔之方向為北 23°西，此時船與燈塔之距 離為 40 3 公里，則m = 公里，且

t = 時。

答案：20 3 ；13 解析：

如圖：∠AOB = 37°+ 53°= 90°，∠OAB = 53°− 23°= 30°

在△OAB 中，sin30°=

AB OB

2 　　1

⇒ = 　　⇒

3 40

m

m = 20 3

OA

= 60 ⇒ t = 10 + 20

60= 13，即為上午 13 時，也就是下午 1 時

7. 如圖，A，B兩點分別位於一河口的兩岸邊。某人在通往A點的 筆直公路上，距離A點 50 公尺的C點與距離A點 150 公尺的D

點，分別測得∠ACB = 60°，∠ADB = 30°，則A與B的距離為 公尺。

答案：50 3 解析：

∠ACB = 60°，∠ADB = 30° ⇒ BC =CD = 100 在△ABC 中，AB= BC sin60°= 100 ×

2

3= 50 3

(或代入高度公式

cot cot

h

=

a

α − β)

8. 有一塔高 100 3 公尺，樹A在塔的正西方，樹B在塔的西 60°南，某人自塔頂測得樹A，

樹B之俯角分別為 60°與 30°，則A，B的距離為 公尺。

答案：100 7 解析：

DA=CD cot60° = 100

3

3．1 = 100，DB=CD cot30° = 100 3． 3= 300 AB² =DA² +DB² − 2DA．DBcos60°

= 100² + 300² − 2．100．300．

2

1= 70000

∴ AB = 100 7

9. 在地面上相距 100 公尺的兩點A、B測得塔頂的仰角分別為 30°與 45°，塔底為P，若

∠APB = 30°，則塔高為 = 公尺。

答案：100 解析：

設塔高為h，則AP= 3 h，

BP

=

h

∴ 100² = ( 3 h)² + h² − 2． 3 h．h．cos30°

⇒ 100² = 3h² + h² − 3h² = h² ⇒ h = 100

10.某生欲測一河流的寬度，在岸邊取二點 A，B，在對岸另取

一點 C，並測得∠CAB = 45°，∠CBA = 60°，而AB = 120 公尺，求河寬___________公 尺。

答案：60(3 − 3 ) 解析：

如左圖，△ABC 中

∵ ∠CAB = 45°，∠CBA = 60°⇒ ∠ACB = 75°，

由正弦定理可得

° 60 sin

AC

=

° 75 sin

AB

⇒ AC =

°

°

⋅ 75 sin

sin 60

120 = 60 3 ( 6 − 2 )

∵ CD ⊥AB，

故 CD = AC sin45° = 60 3 ( 6 − 2 )．

1 = 60(3 − 3 )公尺 2 11.有一船自定點 P 往正北方向航行，在其右側發現有二燈塔 A 與 B，經測量其方位「A 在

北 45°東，B 在北 15°東」，該船行駛 20 公里到達 Q 點後，再測得二燈塔方位「A 在南 60°東，B 在北 30°東」，（已知 sin15°=

4 2 6−

）

試求：(1)點 Q 與燈塔 A 的距離__________公里。 (2)兩燈塔的距離_________公里。

答案：(1) 20( 3 − 1)公里 (2) 20 5−2 3公里 解析：

(1) 在△APQ中，

∠APQ = 45°，∠AQP = 60°，∠QAP = 180°− 45°− 60°= 75°，

PQ = 20，由正弦定理

= °

° sin75 45

sin

PQ

AQ

⇒ 20( 3 1)

4 2 6

2 20 2 75

sin 45

sin = −

+

⋅

° =

°

=

PQ

⋅

AQ

故點Q與燈塔A的距離為 20( 3 − 1)公里

(2)在△BPQ中，∠QPB = 15°，∠BQP = 150°⇒ ∠QBP = 180°− 15°− 150°= 15°，

故得BQ=PQ = 20

在△ABQ中 ∵ AQ = 20( 3 − 1)，BQ = 20，而∠AQB = 90°

故由餘弦定理知

AB

² =

AQ

² +

BQ

²−2

AQ

．BQ．cos90°

= [20( 3 − 1)]² + 20² − 2．20( 3 − 1)．20．0 = 400(5 − 2 3 ) ∴ AB=20 5−2 3 ，即兩燈塔的距離為 20 5−2 3公里

12.氣象預報一颱風中心在 A 地東 30°南的海面上 B 處，以每小時 60 公里的速率向北 30°西 方向直線前進，暴風半徑為 80 21 公里，且 A，B 相距 400 3 公里，預估幾小時後 A 地 進入暴風圈，又颱風將在 A 地滯留幾小時？於_______小時後進入；滯留_______小時 答案：8 小時後 A 地進入暴風圈，滯留 4 小時

解析：

設t小時後，颱風中心到達C，則 BC= 60t，AB= 400 3 ，∠ABC = 30°

∴ AC²=

AB

²+BC²− 2AB． BC cos30° = 480000 + 3600t² − 72000t 令 AC= 80 21 ，則 480000 + 3600t²

− 72000t = 134400

⇒ t²

− 20t + 96 = 0 ⇒ (t − 8)(t − 12) = 0 ⇒ t = 8 或t = 12

故 8 小時後A進入暴風圈，12 小時後脫離，共滯留了 4 小時 13.某人在一飛機的正南方見其仰角為 45°，若此飛機平行地面向西

飛行 1000 公尺後，在原地測得其仰角為 30°，求飛機的高度 _______公尺。

答案：500 2 公尺 解析：

如右圖，令飛機由A平行地面向西飛 1000 公尺至C，其高度為h 公尺。在△OBD中

∠OBD = 90°，OB = h，OD = hcot30°= 3 h

故由畢氏定理知：OD²=OB²+

BD

² ⇒ ( 3 h)² = h² + 1000²

∴ 2h² = 1000² ∴ h = 500 2，故飛行的高度為 500 2 公尺

14.A，B，C 三地兩兩相距 14 公里。甲從 A 地出發走向 B 地，在同一時間乙從 B 地出發走 向 C 地，已知甲速為乙速的 2 倍，試求甲、乙兩人間的最短距離。

答案： 21 解析：

如右圖，甲由A至D走了 2x公里，乙由B至E走了x公里 則在△BDE中，BD = 14 − 2x，BE = x，∠DBE = 60°，

由餘弦定理知：

DE

2 = (14 − 2x)² + x² − 2x．(14 − 2x)cos60° = 7(x − 5)² + 21，其 中 0 ≤ x ≤ 7 ，故當x = 5 時，DE的最小值為 21

15.在東西向的道路上，依序在 A，B，C 三點觀測道路北方一座山，測得山頂 D 的仰角分 別為 30°，45°，60°

(1)若AB= BC = 300 公尺，求山高 =？__________公尺

(2)若仰角不變，但AB= 300 公尺， BC = 200 公尺，求山高 =？___________公尺 答案：(1) 150 6 公尺 (2)100 15

解析：

(1)由

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

=

3 3

CE x CDE

x BE BDE

x AE ADE

可得 直角△

可得 直角△

可得 直角△

於△ACE中，利用中線定理( 3 x)² + ( 3

x

)² = 2(x²

+ 300

²) ⇒ x = 150 6 (2)

由餘弦定理cosA =

300 3

2

300 )

3

( ^{2 2 2}

．

．

x

x

x

+ −

=

500 3

2

) 3 ( 500 )

3

( ^{2 2 2}

．

． x x + − x

⇒ x =100 15

16.設 A，B，C 三點， BC = 100 公尺，∠ABC = 100°，∠ACB = 50°。若同時於 A，B，C 三處測得天空中同一氣球的仰角均為 75°，試求此時氣球的高度。

答案：100(2 + 3 )公尺 解析：

如圖，令氣球高度PQ = h，因為在 A，B，C 三點測得氣球的仰角 均為 75°，故PA =PB = PC = hcot75°，即 P 為△ABC 的外心 因為∠ABC = 100°，∠ACB = 50°，所以∠BAC = 30°，故圓心角∠

BPC = 60°

因為PB = PC = hcot75°，且∠BPC = 60°，故知△BPC 是正三角 形，於是 hcot75°= BC = 100 ⇒ h = 100tan75°= 100(2 + 3 )公尺