高三複習試題 第章指數、對數函數班級座號姓名◎學測篇一、單選題

高三複習試題

第 3 章 指數、對數函數

班級: 座號: 姓名:

◎學測篇 一、單選題

（ ）1.設 a﹐b 為正實數﹐已知 log7a  11﹐log7b  13﹓試問 log7(a  b)之值最接近下列哪個選項﹕ (1)12 (2)13 (3)14 (4)23 (5)24﹒ (94 學測)

解答 2

解析 log7a  11  a  7¹¹﹐ log7b  13  b  7¹³﹐

log7(a  b)  log7(7¹¹  7¹³)  log7[7¹¹(1  7²)]  log77¹¹  log750∶11  2  13﹒

（ ）2.下表為常用對數表 log10N 的一部分﹔

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755

20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201

30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900

請問 10^3.032最接近下列哪一個選項﹕ (1)101 (2)201 (3)1007 (4)1076 (5)2012 (101 學測) 解答 4

解析 令 x  10^3.032

logx  log10^3.032  3  0.032  log10³  log10^0.032 經查表可知

0.0294  0.032  0.0334

 log1.07  log10^0.032  log1.08

 log10³  log1.07  log10³  log10^0.032  log10³  log1.08

 log1070  log10^3.032  log1080

∴ 1070  x  1080﹐故選(4)

（ ）3.請問下面哪一個選項是正確的﹕ (1)3⁷  7³ (2)5¹⁰  10⁵ (3)2¹⁰⁰  10³⁰ (4)log23  1.5 (5)log211  3.5﹒

(100 學測) 解答 5

解析 (1)╳﹔3⁷  (3²)³  3  9³  3  7³ (2)╳﹔5¹⁰  (5²)⁵  25⁵  10⁵

(3)╳﹔2¹⁰⁰  (2¹⁰)¹⁰  (1024)¹⁰  10³⁰  (10³)¹⁰  (1000)¹⁰ (4)╳﹔ ₂ log3 0.4771

log 3 1.585 1.5 log 2 0.301

   

(5)○﹔3.5 log 2 ₂ ^3.5 log₂ 2⁷ log₂ 128 log 11 log₂  ₂121 故選(5)﹒

（ ）4.在養分充足的情況下﹐細菌的數量會以指數函數的方式成長﹐假設細菌 A 的數量每兩個小時可以成長 為兩倍﹐細菌 B 的數量每三個小時可以成長為三倍﹒若養分充足且一開始兩種細菌的數量相等﹐則大 約幾小時後細菌 B 的數量除以細菌 A 的數量最接近 10﹕ (1)24 小時 (2)48 小時 (3)69 小時 (4)96 小時 (5)117 小時﹒ (95 學測)

解答 5

解析 設需經過 6n 小時﹐

∵B 10 A ﹐∴

2 2

3 3

3 3

10 ( ) 10

2 2

n

n

n    ﹐

取 9

log, log( ) log10 8

n ﹐n(log9  log8)  1﹐

1 1

0.9542 0.9030 0.0512 19.5

n 

 ≒ ﹐

需經過 19.5  6  117（小時）﹒

（ ）5.若正實數 x﹑y 滿足 log10x  2.8﹐log10y  5.6﹐則 log10(x²  y)最接近下列哪一個選項的值﹕ (1)2.8 (2)5.6 (3)5.9 (4)8.4 (5)11.2 (101 學測)

解答 3

解析 log10x  2.8  x  10^2.8﹐x²  (10^2.8)²  10^5.6 log10y  5.6  y  10^5.6

∴ log10(x²  y)  log10(10^5.6  10^5.6)  log10(10^5.6  2)  5.6  log102  5.6  0.301  5.901 故選(3)

（ ）6.臺灣證券交易市場規定股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價（即最後一筆的成交價）的漲﹑跌 7%範圍內變動﹒例如﹔某支股票前一個交易日的收盤價是每股 100 元﹐則今天該支股票每股的買賣價 格必須在 93 元至 107 元之間﹒假設有某支股票的價格起伏很大﹐某一天的收盤價是每股 40 元﹐次日 起連續五個交易日以跌停板收盤（也就是每天跌 7%）﹐緊接著卻連續五個交易日以漲停板收盤（也就 是每天漲 7%）﹒請問經過這十個交易日後﹐該支股票每股的收盤價最接近下列哪一個選項中的價格﹕

(1)39 元 (2)39.5 元 (3)40 元 (4)40.5 元 (5)41 元﹒ (93 學測) 解答 1

解析 依題意最後的收盤價為 40(1  7%)⁵(1  7%)⁵  40  0.93⁵  1.07⁵﹐ 又由對數表得

log(0.93⁵  1.07⁵)  5(log0.93  log1.07)  5(0.9685  1  0.0294)  5(  0.0021)   0.0105   1  0.9895   1  log9.762  log0.9762﹐

所以收盤價約為 40  0.9762  39.0480  39﹐故選(1)﹒

（ ）7.根據統計資料﹐在 A 小鎮當某件訊息發布後﹐t 小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的 100(1  2 ^{ kt})%﹐

其中 k 是某個大於 0 的常數﹒今有某訊息﹐假設在發布後 3 小時之內已經有 70%的人口聽到該訊息﹒

又設最快要 T 小時後﹐有 99%的人口已聽到該訊息﹐則 T 最接近下列哪一個選項﹕ (1)5 小時 (2) 1 72

小時 (3)9 小時 (4) 1

112小時 (5)13 小時﹒ (92 學測)

解答 4

解析 依題意 ^{3 3} 7 ³ 3

100(1 2 )% 70% 1 2 2

10 10

k k k

  

       ﹐

又 99 1 ^{3 3} 1 3 ³ 1

100(1 2 )% 99% 1 2 2 (2 ) ( )

100 100 100 10 100

T T

kT kT kT k

   

           ﹐

兩邊取 log 得 3

log 2 (log 3 1) 2

3 10 3

T   T   

6 6 6

log 3 1 0.4771 1 0.5229 11.5

T   

    

   ﹒

（ ）8.在密閉的實驗室中﹐開始時有某種細菌 1 千隻﹐並且以每小時增加 8%的速率繁殖﹒如果依此速率持續 繁殖﹐則 100 小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項﹕ (1)9 千隻 (2)108 千隻 (3)2200 千隻 (4)3200 千隻 (5)32000 千隻﹒ (99 學測)

解答 3

解析 所求  1 千隻  (1  8%)¹⁰⁰ 令 x  1.08¹⁰⁰

logx  log1.08¹⁰⁰  100  log1.08 108 27

100 log 100 log 100[3log 3 2 log 5]

100 25

   

∶100(3  0.4771  2  0.6990)  100  0.0333  3.33∶log(10³)  log2.…

∴x∶2200

故所求約為 2200 千隻﹒

（ ）9.令 a  2.6¹⁰  2.6⁹﹐b  2.6¹¹  2.6¹⁰﹐

11 9

2.6 2.6

c 2 ﹒請選出正確的大小關係﹒ (1)a  b  c (2)a  c  b (3)b  a  c (4)b  c  a (5)c  b  a﹒ (102 學測)

解答 4 解析 因為

a  2.6⁹(2.6  1)  2.6⁹  1.6﹐

b  2.6⁹(2.6²  2.6)  2.6⁹  4.16﹐

2

9 2.6 1 9

2.6 ( ) 2.6 2.88

c 2   ﹐

所以 b  c  a﹒

故選(4)﹒

（ ）10.請問下列哪一個選項等於_{log 2}  ³⁵ ？

( 1) ^{5log 2}

 





(103 學測) 解答 5

解析

( )11.對任意實數 x 而言，

2 2

( )

27 ^x3 的最小值為何? (1) 3 (2) 3 3 (3)9 (4)27 (5) 81 3 (97 學測) 解答 3

解析

二、多選題

（ ）1.設 a 為大於 1 的實數﹐考慮函數 f(x)  a^x與 g(x)  logax﹐試問下列哪些選項是正確的﹕ (1)若 f(3)  6﹐

則 g(36)  6 (2) (238) (38) (219) (19)

f f

f  f (3)g(238)  g(219)  g(38)  g(19) (4)若 P﹐Q 為 y  g(x)的圖形上兩

相異點﹐則直線 PQ 之斜率必為正數 (5)若直線 y  5x 與 y  f(x)的圖形有兩個交點﹐則直線 1 y5x與 y  g(x)的圖形也有兩個交點﹒(96 學測)

解答 1245

解析 f(x)與 g(x)互為反函數

(1)○﹔f(3)  6﹐則 g(6)  3  loga6  3 g(36)  loga36  2loga6  2  3  6﹒

(2)○﹔

238 19 219

(238) (219)

f a

f a a

38 19 19

(38) (19)

f a

f  a a ﹒

(3)╳﹔ 238

(238) (219) log 238 log 219 log

a a a219

g g   

38

(38) (19) log 38 log 19 log log 2

a a a19 a

g g     ﹒

(4)○﹔如圖﹒

x y

O P

Q

(5)○﹔y  5x 對稱於 x  y 之直線為 1 y5x ∴與 y  g(x)也有兩個交點﹒

（ ）2.觀察相關的函數圖形﹐判斷下列選項何者為真﹕ (1)10^x  x 有實數解 (2)10^x  x²有實數解 (3)為實數 時﹐10^x  x 恆成立 (4)x  0 時﹐10^x  x²恆成立 (5)10^x   x 有實數解﹒(96 學測)

解答 2345

解析 (1) 10 10

x

x y

x y x

   

 

由圖形之相交狀況即可知是否有解﹒

(2) ²

2

10 10

x

x y

x

y x

 

  

  ﹒ (3)由圖一可知 10^x  x﹒

(4)由圖二可知當 x  0﹐10^x  x²﹒

(5) 10

10

x

x y

x y x

    

   有實數解﹒

圖一 圖二 圖三

x y

O (0,1)

y=10^x y=x

x y

O (0,1)

y=10^x y=x²

x y

O (0,1)

y=10^x

（ ）3.已知在一容器中有 A﹐B 兩種菌﹐且在任何時刻 A﹐B 兩種菌的個數乘積為定值 10¹⁰﹒為了簡單起見﹐

科學家用 PA  log(nA)來記錄 A 菌個數的資料﹐其中 nA為 A 菌的個數﹒試問下列哪些選項是正確的﹕

(1)1  PA  10 (2)當 PA  5 時﹐B 菌的個數與 A 菌的個數相同 (3)如果上週一測得 PA值為 4 而上週五 測得 PA值為 8﹐表示上週五 A 菌的個數是上週一 A 菌個數的 2 倍 (4)若今天的 PA值比昨天增加 1﹐則 今天的 A 菌比昨天多了 10 個 (5)假設科學家將 B 菌的個數控制為 5 萬個﹐則此時 5  PA  5.5﹒

(97 學測) 解答 25

解析 (1)╳﹔∵nAnB  10¹⁰ ∴1  nA  10¹⁰

(2)○﹔nAnB  10¹⁰  0  log(nA)  log10¹⁰ log(nAnB)  log10¹⁰  0  PA  10﹒

log(nA)  log(nB)  10 ∴PA  PB  10  PA  5 ∴PB  5﹒

(3)╳﹔PA  log(nA)

4  log(nA)  nA  10⁴ 8  log(n_A)  n_A  10⁸

8 4 4

10 10

10  週五

週一 倍﹒

(4)╳﹔

10 1

10 10

A

A

P P

  （倍）﹒

(5)○﹔

10

10 5

4

10 10 2 10

A B A 5 10

n n  n   



PA  log(nA)  log(2  10⁵)  5  log2  5.3010﹒

（ ）4.以下各數何者為正﹕ (1) 2³2 (2)log23  1 (3)log32  1 (4) ₁

2

log 3 (5) ₁

3

log 1

2﹒(92 學測) 解答 125

解析 (1)

1

222﹐

1 3223﹐

因為底數 2 比 1 大﹐所以指數越大其值越大﹐

因此 2 ³2即 2³2為正﹒

(2)因 3  2﹐所以 log23  log22（因底數 2 比 1 大）﹐ 即 log23  1﹐故 log23  1 為正﹒

(3)因 3  2﹐所以 log33  log32（因底數 3 比 1 大）﹐ 即 1  log32﹐故 log32  1 為負﹒

(4) 1 21 2

2

log 3log  3 log 30﹒

(5) 1

1

1 3 3

3

log 1 log 2 log 2 0

2 ^

    ﹒

（ ）5.設 a  b  1000﹐令p log₇alog₇b﹐ 1 _{7 7} (log log )

q2 a b ﹐ log (₇ ) 2 a b

r  ﹐則下列敘述何者正確﹕

(1)qlog₇ ab (2)q  r (3)r < p < q (4)p < q < r (5)q < p < r﹒

解答 14

解析 ∵log7a  log7b  0

∴ 1 _{7 7 7 7} (log log ) log log q2 a b  a b p



1 2

7 7 7 7 7

1 1

(log log ) log log ( ) log

2 2

q a b  ab ab  ab

∵a  0﹐b  0 且 2 a b

  ab log₇ log₇ 2

a b

  ab  r  q

由得 r  q  p﹐

故選(1)(4)﹒

（ ）6.設 a  1  b  0﹐關於下列不等式﹐請選出正確的選項﹒ (1)(  a)⁷  (  a)⁹ (2)b^9  b^7 (3)

10 10

1 1

log log

a  b (4)loga1  logb1 (5)logab  logba﹒ (102 學測) 解答 12

解析 (1)因為底數  a   1﹐所以(  a)⁷  (  a)⁹﹒

(2)因為底數 0  b  1﹐指數  9   7﹐所以 b ^{ 9}  b ^{ 7}﹒

(3)因為底數 10  1﹐真數1 1

a b ﹐所以 ₁₀1 ₁₀1 log log

a b﹒ (4)loga1  logb1  0﹒

(5)錯！例如：當 a  2﹐ 1

b 4時﹐滿足 a  1  b  0﹐但

₂1

log log 2

ab 4  小於 ₁

4

log log 2 1

ba  2﹒

故選(1)(2)﹒

（ ）7.坐標平面上，在函數圖形y2^x上，標示 A 、 B 、 C 、 D 四個點，其 x 坐標分別為 1 、0、1、2。請選 出正確的選項。

(1) 點 B 落在直線 AC 下方 (2) 在直線 AB 、直線 BC 、直線CD 中，以直線CD 的斜率最大 (3) A 、 B 、 C 、 D 四個點，以點 B 最靠近x軸 (4) 直線y2x與y2^x的圖形有兩個交點 (5) 點 A 與點 C 對稱於 y 軸 (104 學測)

解答 124 解析

三、填充題

1.某公司為了響應節能減碳政策﹐決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前排放量的 75%﹒公司希望每年依 固定的比率（當年和前一年排放量的比）逐年減少二氧化碳的排放量﹒若要達到這項目標﹐則該公司每年至少要比 前一年減少____________%的二氧化碳的排放量﹒（計算到小數點第一位﹐以下四捨五入﹒）(98 學測)

解答 5.6

解析 設 當年排放量  前一年排放量 x

則 ⁵ 75 3 75% 100 4

x   

5 3

log log x  4

5logx  log3  log4 0.4771 0.6020

log 0.02498

x 5  

logx   1  0.97502   1  log9.44 x  0.944  94.4%

∴所求  1  x  5.6%﹒

2.某公司民國 85 年營業額為 4 億元﹒民國 86 年營業額為 6 億元﹐該年的成長率為 50%﹒87﹑88﹑89 三年的成長率 皆相同﹐且民國 89 年的營業額為 48 億元﹒則該公司 89 年的成長率為____________%﹒(91 學測)

解答 100

解析 由題意知若前後兩年營業額為 A 及 A﹐

則第二年之成長率 A A 100%

r A

    或 A  (1  r)A﹒

設 87﹐88﹐89 三年之成長率為 x﹐87，88 二年營業額分別為 a﹐b 億﹐

則 48  (1  x)b  (1  x)²a  (1  x)³  6﹐故 1  x  2﹐即 x  1  100%﹒

3.設實數 x 滿足 0  x  1﹐且 logx4  log2x  1﹐則 x  ____________﹒（化成最簡分數）(96 學測)

解答 1 4

解析 令 t  log2x﹐則 2 log 4_x 2log 2_x

  t

原式 2 ²

1 2 0 ( 2)( 1) 0 2

t t t t t t

        t      或 t  1 即 log2x   2 或 log2x  1

故 1

x4 或 x  2（不合）﹒

4.設 a﹐b﹐c 為正整數﹐若 alog5202  blog5205  clog52013  3﹐則 a  b  c  ____________﹒(93 學測) 解答 15

解析 alog5202  blog5205  clog52013  3

 log520(2^a  5^b  13^c)  3

 2^a  5^b  13^c  520³  (2³  5  13)³  2⁹  5³  13³

 a  b  c  9  3  3  15﹒

5.小華準備向銀行貸款 3 百萬元當做創業基金，其年利率爲 3%，約定三年期滿一次還清貸款的本利和。銀行貸款一 般以複利（每年複利一次）計息還款，但給小華創業優惠改以單利計息還款。試問在此優惠下，小華在三年期滿還 款時可以比一般複利計息少繳____________元。(104 學測)

解答 8181 解析

6. 一礦物內含 A 、 B 、C 三種放射性物質，放射出同一種輻射。已知 A 、 B 、C 每公克分別會釋放出 1 單位、2 單

位、1 單位的輻射強度，又知 A 、 B 、 C 每過半年其質量分別變為原來質量的1 2、1

3、1

4倍。於一年前測得此礦物 的輻射強度為 66 單位，而半年前測得此礦物的輻射強度為 22 單位，且目前此礦物的輻射強度為 8 單位，則目前此 礦物中 A 、 B 、 C 物質之質量分別為_______、________、________公克。(100 學測)

解答 4,1,2 解析

◎筆記區