 (3,1,1)

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：101.04.17 範

圍

2-2+3 直線方程式及 三元一次方程組

班級 二年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 )

1.求直線 L﹕ 1 2 3

3 3 1

x y z

  與平面 2x  y  3z  3 之交點坐標為____________﹒

解答 ( 2 ,  1 , 2)

解析 設 P(3t  1 , 3t  2 , t  3)為 L 與平面之交點﹐代入平面﹕2(3t  1)  (3t  2)  3(t  3)  3

 t   1﹐∴交點為( 2 ,  1 , 2)﹒

2.一平面過點(2,  1,1)且與直線 3 1 0

2 1 0

x y z

x y z

   

    

 垂直﹐則此平面的方程式為____________﹒

解答 3x  2y  7z  1

解析 N



(3,1,1)  (1,  2,1)  (3,  2,  7)

 3(

x

  2) 2(

y

  1) 7(

z

  1) 0

∴平面方程式為﹕3x  2y  7z  1﹒

3.求兩直線 L1﹕ 2 1

8 2 4

x y z

 

 與 L2﹕ 4 2 4

2 1 1

x y z

 

 的交點坐標為____________﹒

解答 (2 ,  1 , 3)

解析 設 P(8t  2 ,  2t , 4t  1)為 L1與 L2交點﹐代入 L2﹕8 6 2 2 4 3 1

2 1 1 2

t t t

    t

   

 ﹐

∴交點為(2 ,  1 , 3)﹒

4.若兩直線 L1﹕ 8 6 3

1 2 2

x y z

 

  與 L2﹕ 3 2 5

1 2 2

x y z

 

 ﹐求

(1)L1與 L2的距離為____________﹒(2)包含 L1與 L2的平面方程式為____________﹒

解答 (1)6; (2)2x  2y  z  7  0

解析 ∵(  1 , 2 ,  2) // (1 ,  2 , 2)﹐∴L1 // L2﹒

(1)取 P(8 ,  6 , 3)L1﹐設 P 在 L2上之投影點為 Q(3  t ,  2  2t , 5  2t)﹐

( 5, 4 2 , 2 2 )

PQ

  

t



t



t

，且PQ ﹐ L₂

∴(t  5 , 4  2t , 2  2t)  (1 ,  2 , 2)  0  t  1  Q(4 ,  4 , 7)﹐

∴d(L1 , L2) PQ ( 4) ²2²4²  ﹒ 6

(2)L1﹕

8 6

2 10 0

8 6 3 1 2

8 3 2 13 0

1 2 2

1 2

x y

x y

x y z

x z x z

 

 

    

            

    

  



﹐

平面族，設所求平面為(2x  y  10)  k(2x  z  13)  0﹐

L2上一點(3 ,  2 , 5)代入﹕ 6  12k  0  1

k   所求平面為﹕2x  2y  z  7  0﹒ 2

5.求過點 A (3 , 4 , 5)﹐且包含直線 L﹕ 5 1 3

1 2 3

x  y z 之平面方程式為____________﹒

解答 x  2y  z  0

解析 在 L 上取一點 B (5 , 1 ,  3)﹐AB



(2, 3, 8)  _﹐

(1, 2,3) NL 



_﹐

(7, 14, 7) 7(1, 2,1)

ABNL    

 

_﹐取

(1, 2,1) N  



_﹐

設所求平面為 x  2y  z  d  0﹐A (3 , 4 , 5)代入得 d  0﹐∴所求為 x  2y  z  0﹒

6.空間中點 A (3 , 4 , 5)﹐直線 L﹕ 5 1 3

1 2 3

x  y z ﹐則

(1)A 點在直線 L 的垂足點坐標為____________﹒(2)求 A 點到直線 L 的距離為____________﹒

解答 (1)(7 , 5 , 3);(2) 21

解析 (1)設垂足點 H (5  t , 1  2t ,  3  3t)﹐AH



(2  t, 3 2 , 8 3 )t   t _﹐

(1, 2,3) NL 



_﹐

L 0

AH N

 

   2  t  6  4t  24  9t  0  t  2﹐∴H (7 , 5 , 3)﹒

(2)AH



(4,1, 2) _{﹐∴ |}

| 21 AH



 _﹒

7.已知二平行線 L1﹕ 1 5

2 1 2

x y  z ﹐L2﹕ 2 4 1

2 1 2

x  y  z ﹐求包含 L1及 L2的平面方程式為______﹒

解答 2y  z  7  0

解析 L1上取一點 A (0 , 1 ,  5)﹐L2上取一點 B (2 , 4 , 1)﹐

(2,3, 6) AB



﹐

2 (2,1, 2) N



L 

﹐AB

 

N_L2 (0,8, 4) 4(0, 2, 1)

﹐ 所求平面為 0(x  0)  2(y  1)  (z  5)  0  2y  z  7  0﹒

8.已知 A(1,0,0)﹐及一直線 2 :1 2 2

x y z

L    ﹐

(1)求過 A 點且包含直線 L 的平面方程式為____________﹔

(2)求過 A 點且垂直直線 L 的直線方程式為____________﹒

解答 (1)2x  y  2z  2;(2) 1

2 2 1

x  y z



解析 (1)

  

N BA V (1,  2,0)  (1,2,2)  (  4,  2,4)   2(2,1,  2) ∴E : 2x  y  2z  2﹒

A (1,0,0)

B (0,2,0) VL= (1,2,2) N

E

(2)設垂足 H(t,2  2t,2t)﹐ AH 



(t  1,2t  2,2t)﹐V



_L 

(1,2,2) ∵AH

 

V_{L ﹐∴}

L 0

AH V

 

  1･(t  1)  2･(2t  2)  2･2t  0  t  1

 3

 4 4 2 2

( , , ) (2, 2,1)

3 3 3 3

AH



     

﹐ ∴所求 1

: 2 2 1

x y z

AH   





﹒

9.設兩直線 ₁ 3 7 1

: 1 4 2

x y z

L     

 ﹐₂ 11 2

: 4 3 3

x y z

L    

 ﹐則 L1與 L2所決定的平面方程式為________﹒

解答 6x  5y  13z  40

解析

  

N V₁V₂ (1,  4,2)  (4,  3,3)  (  6,5,13)   (6,  5,  13)﹐

又 L1上之點(3,  7,1)﹐∴E :

6(

x

  3) 5(

y

  7) 13(

z

   1) 0

6x  5y  13z  40﹒

10. ₁ 5 7 1

: 3 6 2

x y z

L     

  與 ₂ 1 5

: 3 2 2

x y z

L     為歪斜線﹐P 在 L1上﹐Q 在 L2上﹐當 PQ 有最小值時﹐

(1)P 點坐標為____________﹔(2)Q 點坐標為____________﹒

解答 (1)(2,  1,3);(2)(4,2,  3)

解析 設 P(3t  5,  6t  7,  2t  1)﹐Q(3s 1,2s,2r  5)﹐t﹐s 為實數

 PQ 



(3s  3t  4,2s  6t  7,2s  2t  6)﹐又



V₁ (3,  6,  2)﹐V



₂ 

(3,2,2)﹐

PQ V

 

 1 0  9s  9t  12  12s  36t  42  4s  4t  12  0   7s  49t  42  0  s  7t  6  0……﹐

PQ V

 

 2 0  9s  9t  12  4s  12t  14  4s  4t  12  0  17s 7t  10  0……﹐

解得 s  1﹐t   1﹐∴P(2,  1,3)﹐Q(4,2,  3)﹒

11.二歪斜線﹕L1 : x  1  y  4  z﹐L2 : 1 3 2

3 2 5

x  y  z

 ﹐求

(1)包含 L1且與 L2平行之平面 E 之方程式____________﹔(2)L1與 L2之公垂線段長為____________﹒

解答 (1)3x  2y  z  7;(2) 14

解析 (1)

  

N  V₁V₂ (1,1,  1)  (3,2,  5)  (  3,2,  1)   (3,  2,1)﹐

∴E :

3(

x

  1) 2(

y

   0) (

z

4)  0

，即 3x  2y  z  7﹒

(2)d(L1,L2)  d(B,E) | 3 6 2 7 | 14 14 14 14

   

   ﹒

L1

L₂ B( 1,3,2)

A (1,0,4) E

12.兩歪斜線 ₁ 5 7 1

: 3 6 2

x y z

L     

  ﹐ ₂ 1 5

: 3 2 2

x y z

L     試求﹕

(1)公垂線段長為____________﹔(2)公垂線方程式為____________﹒

解答 (1)7;(2) 2 1

2 3

x  y 3

6 z

 

解析 設 P(3t  5,  6t  7,  2t  1)﹐Q(3s  1,2s,2s  5)﹐t﹐r 為實數

 PQ 



(3s  3t  4,2s  6t  7,2s  2t  6)﹐

1 2

V V V 

  

(3,  6,  2)  (3,2,2)  (  8,  12,24)   4(2,3,  6)﹐

∵

 

V //PQ_﹐∴^{3 3 4 2 6 7 2 2 6}

2 3 6

s t  s t  s t



 9 9 12 4 12 14 5 21 26

4 12 14 2 2 6 6 14 8

s t s t s t

s t s t s t

      

 

 

         

  s  1﹐t   1﹐ ∴P(2,  1,3)﹐Q(4,2,  3)

(1)PQ 4 9 36   ﹒(2)7 2 1 3

: 2 3 6

x y z

L     

 ﹒

13.下列各圖代表空間中三平面相交的 8 種情形﹕

   

   

試問下列各組平面相交的圖形為上述何者﹖（寫下代號即可）

(1)

1 2 3

2 3 1

2 3 5

2 3 4

E x y z

E x y z

E x y z

  

   

   



：

：

：

____________﹒ (2)

1 2 3

2 3 4

4 2 6 8

2 1

E x y z

E x y z

E x y z

  

   

   



：

：

：

____________﹒

(3)

1 2 3

1

3 3 3 3

2 2 2 5

E x y z

E x y z

E x y z

  

   

   



：

：

：

____________﹒ (4)

1 2 3

2 4

2 4

2 4 2 8

E x y z

E x y z

E x y z

  

     

   



：

：

：

____________﹒

(5)

1 2 3

2 0

2 1

3 2

E x y z

E x y z

E x y z

  

   

   



：

：

：

____________﹒ (6)

1 2 3

2

2 1

2 7

E x y z

E x y z

E x y z

  

   

   



：

：

：

____________﹒

(7)

1 2 3

1

2 3 2

3 7 3

E x y z

E x y z

E x y z

  

   

   



：

：

：

____________﹒ (8)

1 2 3

2 2

2 2

2 5 2

E x y z

E x y z

E x y z

  

   

   



：

：

：

____________﹒

解答 (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  (7)  (8)  解析 (1)因為三平面的法向量均為(2,  1,3)﹐且三平面均不重合﹐﹒

(2)因為 E1﹕2x  y  3z  4 與 E2﹕4x  2y  6z  8 為二重合平面﹐且共同的法向量(2,  1,3) 與 E3的法向量(1,  2,1)不平行﹐﹒

(3)因為 E1﹕x  y  z  1 與 E2﹕3x  3y  3z  3 為二重合平面﹐且共同的法向量(1,1,1)與 E3的法向量(2,2,2)平行﹐﹒

(4)因為 E1﹕x  2y  z  4﹐E2﹕ x  2y  z   4 與 E3﹕2x  4y  2z  8 為重合三平面﹐﹒

(5)因為 E1﹕x  2y  z  0 與 E2﹕x  2y  z  1 為二平行平面﹐且共同的法向量(1,  2,1)與 E3的法向量(3,  1,  1)不平行﹐﹒

(6)聯立方程式恰一組解﹐即三平面共點﹒故填﹒

(7)聯立方程式

1

2 3 2

3 7 3

x y z

x y z

x y z

  

   

   















﹐利用加減消去法﹐

由  及  消去 x﹐得

1 4 1

2 8 2

x y z

y z

y z

  

  

  















﹒

由    2 消去 y﹐得

1 4 1 0 0 x y z

y z

  

  

 















即 1

4 1 x y z

y z

  

  









 可得聯立方程式的解為

5 1 4 x t

y t

z t

 

  

 



（t 為實數）﹐即聯立方程式有無限多組解﹒三平面的法向量均不平行﹐故填﹒

(8)聯立方程式

2 2

2 2

2 5 2

x y z

x y z

x y z

  

   

   















﹐利用加減消去法﹐

由    2 及  消去 x﹐得

2 2

3 2

3 0

x y z

y z

y z

  

   

  















﹐

由  消去 y﹐得

2 2

3 2

0 2

x y z

y z

  

   

  















﹐

沒有 x﹐y﹐z 滿足﹐所以聯立方程式無解﹒三平面的法向量均不互相平行﹐﹒

14.已知 A (5 , 1)﹐B (1 , 3)﹐C (1 , 1)﹐若通過 A﹐B﹐C 三點之圓方程式為 x²  y²  dx  ey  f  0﹐求 序組(d , e , f)之值為____________﹒

解答 (  6 ,  4 , 8)

解析 圓方程式為 x²  y²  dx  ey  f  0﹐

A (5 , 1)代入得 25  1  5d  e  f  0﹐

B (1 , 3)代入得 1  9  d  3e  f  0﹐

C (1 , 1)代入得 1  1  d  e  f  0﹐



5 26

3 10

2 d e f

d e f

d e f

   

    

    















﹐解得 d   6﹐e   4﹐f  8﹐∴(d , e, f)  (  6 ,  4 , 8)﹒

15.有個三位數﹐其百位數字與個位數字之和等於十位數字﹐如果將百位數字與十位數字交換﹐所得之 三位數較原數大 450﹐如果將原數的十位數字與個位數字交換﹐所得之三位數較原數小 27﹐試求此 數為____________﹒

解答 385

解析 設此數為 100a  10b  c﹐則 100 10 100 10 450

100 10 100 10 27

a c b

b a c a b c

a c b a b c

  

      

      





0 5 3 a b c a b b c

  

   

  



﹐

解得 a  3﹐b  8﹐c  5﹐故此數為 385﹒

16.解

1 1 1 0 4 3 2

5 3 2 4

4

x y z

x y z

x y z

   



   



    



得(1)x  ____________﹐(2)y  ____________﹐(3)z  ____________﹒

解答 (1)1

2;(2)1;(3) 1

 3

解析

1 1 1 0 4 3 2

5 3 2 4

4

x y z

x y z

x y z

   



   



    















  2    2 1 x y 5

    

  4   1 2

x   y 4

  2    3 1 6 x 2 x

     代入得 y  1﹐代入得 z  1

 ﹐ ∴x 3 1

2﹐y  1﹐z  1

 ﹒ 3

(1)

3 2 0

2 1

2 9 7 5

x y z

x y z

x y z

  

    

   



﹐(x,y,z)  ____________﹒(2)

3 2

2 2 3

8 5 3

x y z

x y z

x y z

  

   

   



﹐(x,y,z)  ____________﹒

(3)

7

2 3 9

3 4 5 1

x y z

x y z

x y z

  

   

   



﹐(x,y,z)  ____________﹒

解答 (1)( 13 11 5 , , 10 10 2

 ); (2)(7 7 1 4

55t, 5 5t ,t )﹐t 為實數; (3)(22,  10,  5)

解析 (1)

3 2 0

2 1

2 9 7 5

x y z

x y z

x y z

  

    

   















    3  5y  z  3……

  2    5y  5z   7……

由可得 11

y10﹐ 5

z ﹐代入得2 13

x 10﹐∴(x,y,z)  ( 13 11 5 , , 10 10 2

 )﹒

(2)

3 2

2 2 3

8 5 3

x y z

x y z

x y z

  

   

   















    5y  4z   1﹐

    2  5y  4z   1﹐

設 z  t  y  1 4 5 5t

  ﹐代入得 x  2  3y  z 7 7 55t﹐ ∴(x,y,z) (7 7 1 4

55t, 5 5t ,t )﹐t 為實數﹒

(3)

7

2 3 9

3 4 5 1

x y z

x y z

x y z

  

   

   















    x  2y  2……

  5    2x  y  34……

由可得 x  22﹐y   10﹐代入得 z   5﹐∴(x,y,z)  (22,  10,  5)﹒

18.空間兩直線 0

4 3 1

x y z

x y z

  

   

 與 2

3 2 2 1

x y z k

x y z

  

   

 相交於一點﹐則 k  ____________﹒

解答 1

解析

0

4 3 1

3 2 2 1

2 x y z

x y z

x y z

x y z k

  

   

   

   



















解得 x  1﹐y  2﹐z  3﹐代入得 k  1﹒

19.解

6( ) 5 2( ) 3 3( ) 4

x y xy

y z yz

z x zx

 

  

  



得(x,y,z)  ____________﹒

解答 (0,0,0)或(3,2,1)

解析 (1)xyz  0﹕ 當 x  0 代入 6(x  y)  5xy  y  0﹐同理 z  0﹐∴(x,y,z)  (0,0,0)﹒

(2)xyz  0﹕

6( ) 5 2( ) 3 3( ) 4

x y xy

y z yz

z x zx

 

  

  



同除以xyz

1 1 5 6 1 1 3 2 1 1 4 3 y x

z y

x z

  



  



  



∴(x,y,z)  (3,2,1)﹒

由(1)(2)可得﹐(x,y,z)  (0,0,0)或(3,2,1)﹒

8.三平面為

2 1 2 1

2 1

ax y z x ay z x y az

  

   

   



﹐若此三平面相異﹐而兩兩交線互相平行﹐則 a  ____________﹒

解答  3

解析 SOL 一：

2 1 2 1

2 1

ax y z x ay z x y az

  

   

   















2

( 1) (1 ) 0 2 ( 2) ( 4) 2

a x a y

a a x a y a

    

       

 

 

兩兩交線互相平行即無解 ₂

1 1 0

2 4 2

a a

a a a

 

 

  

(

a2

 2)(1 

a

)  (

a

 1)(

a

  4) (

a

 1)(

a

 2)(

a

  3) 0

 a   3﹐1﹐2﹐

但 a  1 或 a  2 表其中兩平面重合﹐故不合﹐∴a   3﹒

SOL 二：兩兩交線互相平行即無解  ﹐ 0 1 2

1 2

1 2 a

a a

   (a  3)

1 1 2

1 2

1 2 a

a

 (a  3)(a²  3a  2)  0  a   3﹐1﹐2﹐

但 a  1 或 a  2 表其中兩平面重合﹐故不合﹐∴a   3﹒

20.空間中三平面 E1 : 2x  3y  z  2､E2 : 3x  2y  z  1､E3 : ax  by  z  1﹐若三平面相交情形為其 中兩平面平行與另一平面各交一線﹐則 a  b  ____________﹒

解答 5

解析 若 E1 // E3

2 3 1 2 1 1

a     a  2﹐b  3  a  b  5﹒ b

若 E2 // E3

3 2 1 1 1 1

a b

   （不合﹐∵E2與 E3重合）﹒

◎21.若三平面 x  py  z   2､px  5y  z  0､x  7y  3z  q 交於一直線 L﹐實數對(p,q)  __________﹒

解答 (1,  4)

解析 ∵  ﹐∴0

1 1

5 1 0

1 7 3

p p



  



15  7p  p  5  7  3p²  0  p  1﹐1﹐

∵  ﹐∴_x 0

2 1 1

0 5 1 0

7 3

q

 

  



 30  q  5q  14  0  q   4﹐∴(p,q)  (1,  4)﹒

◎22.空間中三平面 E1 : x  y  z  1､E2 : 2x  3y  az  3､E3 : x  ay  3z  2﹐求 (1)若三平面恰交於一點 A﹐則點 A 坐標為____________﹐（以 a 作答）

(2)若三平面兩兩交一直線且三交線互相平行﹐則 a  ____________﹒

解答 (1)( 1 1, ,

3 a

1 3

a );(2)  3

解析 (1)

1 1 1 2 3

1 3

a a



    a²  a  6   (a  3)(a  2)﹐

1 1 1 3 3

2 3

x a

a



    a²  a  6   (a  3)(a  2)﹐

1 1 1 2 3 1 2 3

y a



    (a  2)﹐

1 1 1 2 3 3

1 2

z

a

    (a  2)﹐

∴(x,y,z)  (^x ,^y ,^z

   )  ( 1 1 1, ,

3 3

a a )﹒

(2)a  2 時﹐有無限多解﹐

a   3 時﹐  0﹐且 y﹐z  0

1

2 3 3 3

3 3 2

x y z

x y z

x y z

  

   

   



﹐∴a   3 時﹐三平面兩兩交一直線﹐且三交線互相平行﹒

23.已知二次函數 f(x)過點 A(2,  11)﹐B(  8,  371)﹐C(6,  147)﹐則 f(x)  ____________﹒

解答  5x²  6x  3 解析 設 f(x)  ax²  bx  c

過(2,  11)  4a  2b  c   11……

過(  8,  371)  64a  8b  c   371……

過(6,  147)  36a  6b  c   147……

  得 60a  10b   360  6a  b   36……

  得 28a  14b   224  2a  b   16……

  得 4a   20  a   5 代入

 10  b   16  b  6 代入

 20  12  c   11  c   3 故 f(x)   5x²  6x  3﹒

24.設 2x  3y  4z  x  y  2z  3x  y  2z﹐求 2

x y z x y z

  

  ____________﹒

解答 1

解析 2 2 0

4 6 0

x y z

x y z

  

   

 x : y : z  2 : 4 : 3﹐

設 x  2k﹐y  4k﹐z  3k﹐∴ 2 4 3

2 4 4 3 1

x y z k k k

x y z k k k

   

 

    ﹒

25.設 xyz  0 且 6x  y  3z   2x  5y  9z  8x  5y  z﹐則x²₂ y²₂ z²₂

x y z

 

  ____________﹒

解答 33 35

解析 6 3 2 5 9

6 3 8 5

x y z x y z

x y z x y z

     

     

  8 6 6 0

2 4 2 0

x y z

x y z

  

   











  3     2x  6y  0  x   3y 代入得 z   5y﹐

∴x : y : z  (  3) : 1 : (  5)﹐設 x   3k﹐y  k﹐z   5k﹐

2 2 2

2 2 2

9 1 25 33 9 1 25 35

x y z

x y z

   

 

    ﹒

26.若三元一次聯立方程式

3 2

5 3

2 3 2 9

3 4 3

x y z

x y z k

x y z

x y z

   

   

   

   



有解﹐則 k  ____________﹒

解答 4

解析 解

3 2

2 3 2 9

3 4 3

x y z

x y z

x y z

   

   

   















2 : 4 3 5 : 4 7 1

x y

x y

   

    

 

 

2 1 x y

 

     z  1﹐

(x,y,z)  (2,  1,1)代入 x  5y  3z  k﹐∴k  2  5(  1)  3  4﹒