擴充神算的簡單機率模型

擴充神算的簡單機率模型

胡 欣

一、 引言

科學研習月刊 2015 年 54 卷 4 期第 48 頁第 6 題神算, 提到一個倒立正三角形, 一共由 n 個紅、 綠、 藍三種球各若干個排成第一列。 在下一列排 n− 1 個球 (每個球插空隙) 成第二 列, 以此類推排第三列 · · · , 直到最後一列只有一個球。 如下圖 1 所示, 其中, 配色規則是兩 顆異色時配第三色, 兩顆同色時配同色:

圖 1: n = 8 例子 (圖片引自參考文獻 [5])

關於這個問題, 第 56 屆全國科展中, 周家萱、 詹雅涵、 黃子恆在神算作品中, 將色球編號, 並以同餘等技巧, 詳細探討此問題, 進而推廣至立體之正四面體。 隨後, 徐祥峻、 郭君逸 (2017) 更一步將其建模為彩球遊戲, 以彩球遊戲求解的觀點, 得到一般性的結果與推廣 [3]。 神算問題 之所以那麼吸引人注目, 在於問題描述簡單, 國小程度的學生都可以讀懂, 但實際解題操作起 來, 確有著如同玩線上遊戲一樣, 魅力無窮讓人著迷, 所以, 我也不例外, 把玩之餘, 突然有一個 念頭, 前述的文獻 [2,3,5] 均未考慮機率, 我為什麼不能結合高中所學的機率, 將原問題推廣變 成帶有機率的問題。

於是我利用高二科學班專題研究課程, 在指導老師龔詩尹老師與楊昌宸老師的指導下, 完 成了簡單機率模型之結果, 並獲得第 61 屆第三區科展特優, 經重新改寫內容, 擬作為拋磚引玉, 希冀激發對這個主題有興趣之讀者, 一起來挑戰更一般的情形。

二、 簡單機率模型與符號設定

極端化原則下, 將神算問題的顏色簡化成只有黑色與白色, 二維模型的配色規則是黑色與 黑色配成白色, 黑色與白色配成黑色, 令 n 表示第一列的球數, p ∈ (0, 1), 隨機變數 Xi 表示 第一列由左到右數第 i 球的球色狀態, 且

X_i =

(1, 黑球, 機率 p, 0, 白球, 機率 1 − p.

假設 X₁, X2, X3, · · · 為獨立。

三維模型假設底座排成一個每邊 n 之正三角形, 如圖 2 所示, 配色規則是三球黑色配成 黑色, 兩球黑色與一球白色配成白色, 兩球白色與一球黑色配成黑色, 三球白色配成白色。

圖2: 三維模型

為方便起見, 這 ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ 球, 由左到右依序排列為 X11, X21, X22, X31, X32, X33, · · · , Xi1, X_i2, · · · , Xii, · · · , Xn1, Xn2, · · · , Xnn, 例如: n = 5 時, 如圖 3 所示:

令 Xij 之取值為

X_ij =

(1, 黑球, 機率 p, 0, 白球, 機率 1 − p.

假設 X₁₁, X21, X22, · · · , Xnn 為獨立。

另一方面, 令 Yn 表示第一列為 n 球之二維模型中, 最底下那顆球的球色狀態, 若為黑色, 則取值 1, 若為白色則取值 0。 同理, Zn 表示底座為每邊 n 球之三維模型中, 最上面那顆球的 球色狀態, 若為黑色, 則取值 1, 若為白色則取值 0。 又對任意 i ∈ N, 令

W = min{i ∈ N : Yi+1= 1}, S = min{i ∈ N : Zi+1 = 1}.

此外, 複習隨機變數 W 與 S 之期望值如下:

E(W ) =

∞

X

n=1

nP(W = n), E(S) =

∞

X

n=1

nP(S = n).

三、 研究問題

基於上述動機, 本文之研究問題如下:

(1) 對任意 n ∈ N, 探討 P (Yn= 1) 與 P (Zn= 1) 之值。

(2) 探討 E(W ) 與 E(S) 之值。

四、 二維結果

結論 4.1. 對任意正整數 n,

P(Yn = 1) = 1 2 − 1

2(1 − 2p)^Ψn,

這裡 Ψn 之值, 等於二項係數 C₀ⁿ⁻¹, C₁ⁿ⁻¹, · · ·, C_n−1ⁿ⁻¹ 中, 值是奇數的個數總數。

證明: 根據二維模型之配色規則, 可得

Y_n≡ X1+ C₁ⁿ⁻¹X₂+ C₂ⁿ⁻¹X₃ + · · · + C_n−2ⁿ⁻¹X_n−1+ Xn (mod 2). (4.1) 因為 C₀ⁿ⁻¹, C₁ⁿ⁻¹, · · · , C_n−1ⁿ⁻¹ 中, 共有 Ψn 個的值是奇數, 所以從 (4.1) 式可得,

P(Yn= 1) = P Xi1 + Xi2 + · · · + Xiγ ≡ 1 (mod 2)
, 其中 γ = Ψn, i₁ = 1, iγ = n,

i_k = min{m > ik−1 : C_mⁿ⁻¹ 之值是奇數}, k > 1.

令

an= P (X1+ X2+ · · · + Xn−1+ Xn≡ 1 (mod 2)) . 因為 X₁, X2, X3, · · · 為獨立且具同分佈, 故

P(Yn = 1) = aγ = a_Ψn. 根據 X_n 之取值, 可得遞迴式

a_n= P



X_n = 1,

n−1

X

i=1

X_i ≡ 0 (mod 2)

 + P



X_n = 0,

n−1

X

i=1

X_i ≡ 1 (mod 2)



= P (Xn = 1)P

ⁿ⁻¹ X

i=1

X_i ≡ 0 (mod 2)



+ P (Xn= 0)P

ⁿ⁻¹ X

i=1

X_i ≡ 1 (mod 2)



= p (1 − an−1) + (1 − p)an−1 = p + (1 − 2p)an−1. 因為 a1 = p, 且 an 滿足遞迴關係式

a_n−1

2 = (1 − 2p)



a_n−1−1 2



, ∀n ≥ 2, 故得

a_n= 1 2− 1

2(1 − 2p)ⁿ. 因此

P(Yn = 1) = aΨn = 1 2 − 1

2(1 − 2p)^Ψn.  結論 4.2.

E(W ) = p

1 − p+1 − p p . 證明: 根據 W 之定義, 可得

{W = 2} = {Y2 = 0, Y3 = 1}

= {X1+ X2 ≡ 0, X2+ X3 ≡ 1 (mod 2)}, {W = 3} = {Y2 = 0, Y3 = 0, Y4 = 1}

= {X1+ X2 ≡ 0, X2+ X3 ≡ 0, X3+ X4 ≡ 1, (mod 2)}.

據此歸納得到 n > 3 時,

{W = n} = {Yi = 0, 2 ≤ i ≤ n, Yn+1 = 1}

=

ⁿ⁻¹

\

i=1

{Xi + Xi+1 ≡ 0 (mod 2)}



∩ {Xn+ Xn+1≡ 1 (mod 2)}

= {Xi = 0, 1 ≤ i ≤ n, Xn+1 = 1} ∪ {Xi = 1, 1 ≤ i ≤ n, Xn+1 = 0}, 利用 X1, X2, X3, · · · 為獨立, 交集的機率變成相乘, 故得

P(W = n) = p(1 − p)ⁿ+ (1 − p)pⁿ. 再根據 [1], 第 72 頁, 可得

∞

X

n=1

npⁿ= p (1 − p)²,

∞

X

n=1

n(1 − p)ⁿ= 1 − p p² , 因此

E(W ) =

∞

X

n=1

nP(W = n)

= (1 − p)

∞

X

n=1

npⁿ+ p

∞

X

n=1

n(1 − p)ⁿ

= p(1 − p)

(1 − p)² + p(1 − p)

p² = p

1 − p+ 1 − p p .

五、 三維結果

結論 5.1. 對任意正整數 n,

P(Zn = 1) = 1 2 − 1

2(1 − 2p)^λn, 這裡

λ_n= C₀ⁿ⁻¹ (mod 2)
Ψn+ C₁ⁿ⁻¹ (mod 2)
Ψn−1+ · · · + C_n−1ⁿ⁻¹ (mod 2)
Ψ1, 其中 Ψ1, Ψ2, · · ·, Ψn 之定義, 請參照結果 4.1。

證明: 根據三維模型之配色規則, 逐一計算可得

Z₂ ≡ X11+ X21+ X22, Z₃ ≡ X11+ X31+ X33 (mod 2).

Z₄ ≡ X11+ X21+ X22+ X31+ X33+ X41+ X42+ X43+ X44 (mod 2).

Z₅ ≡ X₁₁+ X₅₁+ X₅₅ (mod 2).

Z₆ ≡ X₁₁+ X₂₁+ X₂₂+ X₅₁+ X₅₅+ X₆₁+ X₆₂+ X₆₅+ X₆₆ (mod 2).

Z₇ ≡ X11+ X31+ X33+ X51+ X55+ X71+ X73+ X75+ X77 (mod 2).

歸納發現計算 Zn 時, 底座每邊 n 球之三維模型, 由左到右依序排列為 X11, X21, X22, X31, X₃₂, X33, · · · , Xi1, Xi2, · · · , Xii, · · · , Xn1, Xn2, · · · , Xnn, 乘在 Xij 前面的係數, 剛好對 應底下三角形之第 i 行第 j 列之數 (在同餘 2 之下的取值):

C_n−1ⁿ⁻¹C₀⁰,

C_n−2ⁿ⁻¹C₀¹, C_n−2ⁿ⁻¹C₁¹,

C_n−3ⁿ⁻¹C₀², C_n−3ⁿ⁻¹C₁², C_n−3ⁿ⁻¹C₂²,

· · · ,

C₂ⁿ⁻¹C₀ⁿ⁻³, C₂ⁿ⁻¹C₁ⁿ⁻³, C₂ⁿ⁻¹C₂ⁿ⁻³, · · · , C₂ⁿ⁻¹C_n−3ⁿ⁻³,

C₁ⁿ⁻¹C₀ⁿ⁻², C₁ⁿ⁻¹C₁ⁿ⁻², C₁ⁿ⁻¹C₂ⁿ⁻², · · · , · · · , C₁ⁿ⁻¹C_n−2ⁿ⁻²,

C₀ⁿ⁻¹C₀ⁿ⁻¹, C₀ⁿ⁻¹C₁ⁿ⁻¹, C₀ⁿ⁻¹C₂ⁿ⁻¹, · · · , · · · , · · · , C₀ⁿ⁻¹C_n−1ⁿ⁻¹, 也就是

Z_n ≡

n

X

i=1 i

X

j=1

C_n−iⁿ⁻¹C_j−1ⁱ⁻¹ (mod 2)
Xij (mod 2). (5.1) 接著, 利用 X₁₁, X21, X22, · · · , Xnn 為獨立且同分佈, 此時, 如同結果 4.1 之證明, 只要知道 幾個非 0 的 Xij 留在 (5.1) 式中即可。 實際比對發現共有 λn 個非 0 的 Xij 留在 (5.1) 之表 達式中, 故

P(Zn = 1) = 1 2 −1

2(1 − 2p)^λn.  結論 5.2.

E(S) =

∞

X

n=1

nP(S = n), 這裡

P(S = n) = p 1 2 +1

2(1 − 2p)^Ψn+1

 ⁿ Y

i=2

 1 2 − 1

2(1 − 2p)^Ψi



+ q 1 2 −1

2(1 − 2p)^Ψn+1

 ⁿ Y

i=2

 1 2+ 1

2(1 − 2p)^Ψi

 , 其中 q = 1 − p 且 Ψ1, Ψ2, · · ·, Ψn, Ψn+1 之定義, 請參照結果 4.1。

證明: 根據 S 之定義, 可得 {S = 2} = {Z2 = 0, Z3 = 1}

= {X11+ X21+ X22 ≡ 0, X21+ X22+ X31+ X33≡ 1 (mod 2)}, {S = 3} = {Z2 = 0, Z3 = 0, Z4 = 1}

= {X11+ X21+ X22 ≡ 0, X21+ X22+ X31+ X33≡ 0, X₃₁+ X33+ X41+ X42+ X43+ X44≡ 1 (mod 2)}, {S = 4} = {Z2 = 0, Z3 = 0, Z4 = 0, Z5 = 1}

= {X₁₁+ X₂₁+ X₂₂ ≡ 0, X₂₁+ X₂₂+ X₃₁+ X₃₃≡ 0, X₃₁+ X33+ X41+ X42+ X43+ X44≡ 0,

X₄₁+ X42+ X43+ X44+ X51+ X55≡ 1 (mod 2)}, 歸納可得

{S = n} = {Zi= 0, 2 ≤ i ≤ n, Zn+1 = 1}

= {X11+ X21+ X22 ≡ 0, X21+ X22+ X31+ X33≡ 0, X₃₁+ X33+ X41+ X42+ X43+ X44≡ 0,

X₄₁+ X42+ X43+ X44+ X51+ X55≡ 0,

· · · ·

X_nα1+Xnα2+· · ·+Xnα_Ψn+X(n+1)β1+· · ·+X(n+1)β_Ψn+1≡ 1 (mod 2)}, 這裡 α₁ = 1, β₁ = 1,

αi = min{i > αi−1 : C_iⁿ⁻¹ 之值是奇數}, βi = min{i > βi−1 : C_iⁿ 之值是奇數}.

進一步將 X11 的取值拆成 X11= 1 與 X11 = 0 兩部份, 且觀察一節一節的下列事件之取值, 在同餘 2 之下是 0 或 1, 以及每一個事件是幾個 X 相加:

{X21+ X22}, {X31+ X33}, {X41+ X42+ X43+ X44}, {X51+ X55}, · · · , 則如同結果 4.2 處的證明, 利用 X₁₁, X₂₁, X₂₂, · · · , Xnn 為獨立, 可得

P(S = n) = p 1 2+ 1

2(1 − 2p)^Ψn+1

 ⁿ Y

i=2

 1 2 −1

2(1 − 2p)^Ψi



+ q 1 2− 1

2(1 − 2p)^Ψn+1

 ⁿ Y

i=2

 1 2 +1

2(1 − 2p)^Ψi

 ,

其中 q = 1 − p。 最後, 將上式代入 S 的期望值定義中即可。 

六、 結語

本文探討 P (Yn = 1) 之主要理由, 是想了解隨機配置第一列後, 機率如何刻畫最底下那 顆球的狀態, 且隨著 n 值增加, 想了解機率的起伏情形。 而探討 E(W ) 之主要理由, 是源自數 學課堂作業, 老師給我們練習收集贈券, 剛好收集到一套時, 就停止購買, 請問平均購買次數之 問題。 同理, 這樣的思維類化到三維, 即計算 P (Zn= 1) 與 E(S) 之理由。

另外, 從本文所得之 4 個結果, 看得出 {Ψn}^∞_n=1 所扮演的重要角色, 有關它的實際計算, 請參閱張鎮華教授 [4] 之文章。

如同引言所述, 神算問題是一個看似簡單, 但其實是內涵豐富的題材, 本文所建立的簡單 機率模型, 亦充滿無限可延伸推廣的可能性, 有興趣的讀者, 可以繼續挑戰多球色的機率模型, 或是更一般的配色規則。

從應用的角度來看, 本文所建立的機率模型, 因可以具體實驗操作, 且考慮到彼此相鄰的 交互作用, 因此, 非獨立的隨機變數列 {Yn}^∞_n=2 與 {Zn}^∞_n=2, 可作為有交互作用的模型來使用, 進而再結合統計技術, 這方面亦可期待很多後續可進行的研究。

本文再次感謝科展指導老師龔詩尹老師、 楊昌宸老師, 以及專題課程指導老師中興大學應 用數學系李林滄教授之耐心指導, 最後, 本文感謝匿名審查委員的指正與提供寶貴之修正意見。

參 考文獻

1. 林宜嬪、 張福春。 級數求和、 對消和與對消乘積 (上)。 數學傳播季刊, 36(3), 59-73, 2012。

2. 周家萱、 詹雅涵、 黃子恆。 神算。 第 56 屆全國科學展覽國小組最佳創意獎, 科展群傑廳, 2016。

3. 徐祥峻、 郭君逸。 單人彩球遊戲。 數學傳播季刊, 41(3), 39-50, 2017。

4. 張鎮華。 組合數學與電腦的關係。 數學傳播季刊, 10(2), 10-19, 1986。

5. 游森棚。 十二個課堂遊戲探索問題。 科學研習月刊, 54(4), 46-49, 2015。

—本文作者投稿時就讀國立彰化高級中學科學班三年級—