教育部九十六學年度高級中學數學競賽

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嘉義區複賽試題（一）【參考解答】

一、【解】

(1) 從 F 向 EB 的長線作垂線 FK。因直角三角形ABC, BFK中，BCBF, ABC KBF

   , 故ABC KBF. AB KB, AC KF

  

E K E B B K 2 A B 在直角三角形 EFK 中，

2 2 2 2 2

FE EK KF (2AB) +(AC) 同理 ABC LCG

2 2 2

(HG) (2AC) (AB)

2 2 2 2 2

(EF) (HG) 5(AB) 5(AC) 5(BC) . (2)^GD2 ^BG2^DB22BG DBcos 90





^{2 BC}





^{2 BC}





同理，^{IF2 2 BC}





^GD2^{FI =6BC2 2}8AC AB 10BC  ²4 AC AB













故若GD²FI²為BC²之整數倍，則 8AC AB BC² AB²AC² 或 ^{8AC AB 2 AB}





或 ^{8AC AB 3 AB}





或 ^{8AC AB 4 AB}





故 ^AC 1

AB , ^{4 7}, 2 3, 4 15.

3 3  

二、【證】

可設 f x( )及g x( )的最高次係數為 1，且 f x( )(x)(x)(x)。若 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 為 f g x( ( ))0 的解，則

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

g x x l x l x l

g x x m x m x m

g x x n x n x n







    

    

    

。

因此 (x l ₁)(x l ₂)(x l ₃), (x m ₁)(x m ₂)(x m ₃), (x n ₁)(x n ₂)(x n ₃) 除常數項外係數均相等。故

1 2 3 1 2 3 1 2 3 15

l   l l m m m   n n n  ，

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 95

l l l m m m n n n  。

若 n₁9，則 n₂²n₃² 14，由此得 (n₂n₃)²2(n₂²n₃²)28，但這與n₂n₃ 6 矛盾。

三、【解】

設任何兩個3 3 子方陣其數字和相等，則任一行或列其中三個數字和均相等(考慮 在一3 4 子方陣中的所有3 3 子方陣)，由此知所有數字均相等，與假設矛盾。（註：

所謂3 3 子方陣，是任意三行、三列所交成的方陣，不要求是由連續的三行及連 續三列所構成的）

四、【解】

可假設 0

4

   。令 t²  2 cos ,  s²  2 sin，t s, 1。則(2t^{2 2})  (2 s^{2 2}) 1， 此可改寫為 2t s^{2 2} (t² s² 2)²3。而

2 2

2 2 (cos sin ) 2 2 sin(45 ) 2 2

t s  



    

  

 

故 t s^{2 2} ¹₂(t² s² 2)²3¹₂(9 4 2) 。因

2

2 2

2

1 1 4 ( ) 16

16( ) 5( ) 0 ( ) 5

5

t s

ts t s

t s ts

         ，

而

2 2 2 2 2 2 2

2

16( ) 5( ) 5( 1) 11( ) 10 5 11( ) 10 5

ts t s t s t s ts ts

ts ts

        

   ，

故若 11( )ts ²10ts 5 0 要證的不等式成立。若 ^{5 80}

ts 11 ，則11( )ts ²10 ts  5 0 。 但

2 2

2 2 1

2

5 81 5 80 (9 4 2)

11 11

t s        

    ，故得證。