109 學年度高級中學數學學科能力競賽

109 學年度高級中學數學學科能力競賽

嘉義區複賽試題（二）【解答】

一、【解】

令AB=x, AD=y, 因為面積相同，

可以求得BC右方的矩形邊長為( ,3 ) 3

x y ,

右上矩形的邊長為 4 3 ( , ),

3 4

x y

所以AD左邊的矩形邊長為 4 15 ( , )

15 4

x y

.

而外邊為一正方形，故24 15

15 4

x = y.因此x y: =225 : 96.

二、【解】

 一次試驗:

P(得 2 分)

=P((4 枚硬幣的面額總和大於十五)∩(投擲出現 4 枚同面))

=P(4 枚硬幣的面額總和大於十五)×P(投擲出現 4 枚同面)

=P((1 枚十元、2 枚五元、1 枚一元)∪(1 枚十元、1 枚五元、2 枚一元))×P(投擲出 現 4 枚同面)

=[P(1 枚十元、2 枚五元、1 枚一元) +P(1 枚十元、1 枚五元、2 枚一元)] ×P(投擲 出現 4 枚同面)

1 2 3 1 2 3 4

1 2 1 1 1 2

1+2+3 1+2+3

4 4

= + 2 1

2 C C C C C C

C C

 × × 

    

 

3 6 2

= +

15 15 16

  ×

 

 

= 18 240

= 3 40

P(得 1 分)

=P((4 枚硬幣的面額總和小於十)∩(投擲出現 2 枚正面 2 枚反面))

=P(4 枚硬幣的面額總和小於十)×P(投擲出現 2 枚正面 2 枚反面)

=P(1 枚五元與 3 枚一元)×P(投擲出現 2 枚正面 2 枚反面)

2 3 4 1 3 3+2+1 4

4! 1

= 2!2! 2

C C C

×    

2 6

=15 16× 12

= 240 2

= 40

P(得 0 分)=1- P(得 2 分)- P(得 1 分)=35/40

 獨立重複執行此試驗三次:

P(試驗三次總分高於 1 分)

=1-P(試驗三次總分小於等於 1 分)

=1-P(試驗三次皆為 0 分)-P(試驗三次中有兩次 0 分一次 1 分)

=1-(35/40)³-3×(35/40)²(2/40)

=13775/64000

=551/2560

三、【解】

令a=1707。設d為所求之最大公因數，令

11 101

1

1 4 5

1 , 1

a a a

b b

a a

+ + +

= =

+ + ^{，則由輾轉}

相除法原理可知d b a| ⋅ ⁹⁰−b₁，即

90 4 5

| 1

a a

d a

− −

+ ^，令

90 2

4 5

1

a a

b a

− −

= + ^{。不斷使用此}

方法，可得

2 4 5

| 1

a a

d a

− −

+ ^，即d|1702，其中1702= ⋅ ⋅2 23 37。可注意到23,37均 非1708的因數。

由於

11

10 9 8 7 2

1 1

1

a a a a a a a

a

+ = − + − +…+ − +

+ ^{為奇數，所以}d沒有質因數2。

5 (mod 23)

a≡ 可推得a¹¹+ ≡1 a¹⁰¹+4a+ ≡5 0 (mod 23)。所以23為d的質因數。

5 (mod 37)

a≡ 可推得a¹¹+ ≡1 3 (mod 37)。所以37不為d的質因數。

因此d =23。

四、【解】

如右圖R是在AD上一點使得ER⊥ AD, ER與AD交於G, F是O在AD上的投影 點，H是E在OF上的投影點。記∠OAD=

θ

( )

2

3

1 1

3 3

1= +4(sinθ − cos )θ + ⋅ ⋅2 2(sinθ − cos ) cosθ θ

化簡得²₉ =sin²θ −¹₃sin cosθ θ . 左右兩邊同除以cos²θ

得²₉(1+tan²θ)=tan²θ −¹₃tanθ或

2 0

7 tan θ −3 tanθ − =2 . 解得 3 65 tanθ = ⁺14 .

五、【解】

數列必不含 1 及大於30

2 =15的質數。而與 11, 13 相鄰的只能是 2 的倍數，

它們也必在數列的首尾，一個滿足條件的數列如下：

13, 26, 4,10,5, 25,15, 27,9,3, 21, 7, 28, 2, 6,8,12,14,16,18, 20, 24,30, 22,11 所以答案是 25.

六、【解】

曲線Γ的圖形為一系列半徑為2且圓心在x軸上的半圓所組成(如下圖)。

令C_n表曲線Γ^上位於x軸正向的第n個半圓，其圓心為(4 , 0)n 。 1

y x

= m 欲與Γ^有 101 個相異交點若且唯若 1

y x

= m 與C₅₀交於兩點且與C₅₁不相交，即

2 2

200 204

1 2 1

1 1

m m

m m

< <

+ +

，

解得100²− <1 m² <102²−1，所以m=100,101。