109 學年度高級中學數學學科能力競賽

(1)

109 學年度高級中學數學學科能力競賽

中投區複賽試題（二）解答

一、【解】

cosA: cosB: cosC=1:1: 2 180

A B C A B

∠ + ∠ + ∠ = ° ⇒ ∠ = ∠ CD垂直平分 AB ，AC = BC

令CD =x

2 1 cos 1 2cos

cos 2 2 2

C + C + A

  = =

 

 

2 1

2 c

x b

b

  = +

  

在 ACD∆ 中，sin x A= ，b

2

2 2

2

c x b

  + =

  

1 1 2

2 4 1 c b c

b + +    =

  1 3

c

b = − +

2

3 4 3

2 4

x x

b b

  = ⇒ =

  

二、【解】

設a_n表示n格的停車方式，則a₁ =0,a₂ =2,a₃ =1,a₄ =4,a₅ =3, 可以證明a_n滿足以下遞迴式：

5 2 3 , 1

n n n

a ₊ = a ₊ +a n≥ (*) 依(*)分別計算a a₆, ₇,a₁₂,

(2)

6 4 1

7 5 2

8 6 3

9 7 4

10 8 5

2 2 4 0 8

2 2 3 2 8

2 2 8 1 17

2 2 8 4 20

2 2 17 3 37

a a a

= ⋅ + = ⋅ + =

三、【解】

令a 為滿足² s≤ ≤ +t² s 2012最小完全平方數。

由題目可知，(a−1)² < 且s (a+22)² ≤s=2012,(a+23)² > +s 2012 (I)

2 2

2012 ( 22) 44 484 44 484

44 1528 34.73 34

s a a a s a

a a a

+ ≥ + = + + ≥ + +

≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤

(II)

[ ]

²

2 2

2012 ( 23) ( 1) 24 ( 1) 48( 1) 576 48( 1) 576 s+ < a+ = a− + = a− + a− + < +s a− +

48( 1) 576 2012 48( 1) 1436 1 29.92 30.92 31

a a

a a a

⇒ − + > ⇒ − >

⇒ − > ⇒ > ⇒ ≥

by(I)(II) 31,32,33,34,

a= 取最小的 31

2 2 2 2 2

30 s 31 ,32 , 53 s 2012 54

⇒ < ≤  ≤ + <

⇒s的最小值為30 +1=901 ²

(3)

四、【解】

設 2 ₁ ₂ ₉₀₀ 2

- ,

3≤x x x ≤ 3 因

900

3 2 3

1

2 2 2

9 3 ( )(3 1) 0, (9 3 ) 0

3 3 i ⁱ ⁱ 3

x x x x x x

=

− + + − ≥

∑

− + ≥ ^，

故

900

1

3 _i 600 0

i

x

=

−

∑

+ ≥ 即

900

1

i 200

i

x

=

∑

≤ ^當^xⁱ ⁼^⁼^x¹⁰⁰ ^{= −}²₃^,^x¹⁰¹ ⁼^⁼^x⁹⁰⁰ ⁼¹₃ 則

900

3 3

1

( 2) 800 0

i 3

i

x

=

− × =

∑

^且 ⁹⁰⁰

1

200 800 3 200

i j

x

−=

− +

= =

∑

^{可達最大值}

五、【解】

2 3 4 2 3 4 3 2 3 2

2 3 2 4 3 4 3 2 3 2

( )

x x y x x y

y x y y x y

+ = +

令 a= ³ x b², = ³ y² 則

由 1. a a²( +b)+ b a²( +b) =8

所以8² =( a a²( +b)+ b a²( +b)² =(a+b)³ 故a+ =b ³8² =4

由 2.a³ +b³ =40

因為4³ =(a+b)³ =a³ +b³ +3ab a( +b)=40 12+ ab 得ab= 2

4 4 6 6

x + y =a +b

=(a³ +b^{3 2}) −2a b^{3 3} =40² − ⋅2 2³ =1584

(4)

六、【解】

在原方程式兩邊同乘以y ²

得

2 2

1 2 2

1 y

y y x

x x y

x

  

    + +   = +   

 

令 y

A= ，上式可經整理得x A⁴ +2A³+ A² +2A+ = 1 0 即有(A² + +A 1)² −2A =0²

A²+(1+ 2)A 1=   A² +(1- 2)A+1=0 若A² + +(1 2)A+ =1 0,此時

2 2

(1 2) (1 2) 4 (1 2) 2 1

2 2

A= − + ± + − = − + ± −

注意： x > y,所以 y 1 x <

因此 (1 2) 2 2 1 A= − + 2+ −

若A² + −(1 2)A+ =1 0 此時，判別式(1− 2)² − <4 0, A 非實數，不符題意。

故 (1 2) 2 2 1 2

y x

− + + −

=

(5)

七、【解】

如圖 7

則PA= 3,CQ =3,QD=3 3, 所以 AR= ² 3以及 3 (6 3) 3 9

RD=PQ= + − + = 因此 AD= 2 3 +9 = 93² ²