109 學年度高級中學數學學科能力競賽

109 學年度高級中學數學學科能力競賽

嘉義區複賽試題（一）【解答】

一、【解】

設a b, ∈ ^,1≤a b, ≤202,a≠b,且 f a( )≡ f b( ) (mod 202). ( ) ( ) (mod 202)

f a ≡ f b ⇔a²−37a+ ≡5 b²−37b+ (mod 202)5

( a b a b )( 37) 0

⇔ − + − ≡

(mod 202)，有以下 4 種情況：

Case 1. gcd(a−b, 202)=1

則a b, 有相異的奇偶性，此時a+ =b 37或a+ =b 239，即b=37−a或 239

b= −a.

Case 2. gcd(a−b, 202)=2

則a b, 有相同的奇偶性，此時a+ =b 138或a+ =b 340，即b=138−a或 340

b= −a.

Case 3. gcd(a−b, 202)=101

則a b, 有相異的奇偶性，此時a b− =101或a b− = −101，即b= −a 101或 101

b= +a .

Case 4. gcd(a−b, 202)=202

由於−201≤ − ≤a b 201,這個情況不會發生。

對於每一個正整數a，若考慮b必須滿足1≤ ≤b 202， 上述的解b會存在的情況如下圖：

也就是每一個

a

會恰與

3

個b滿足 f a( )≡ f b( ) (mod 202), 但可注意到當b=138−a時，b可能等於a，

此時

a = 69

或

a = 170

，而其餘情形a與此

3

個b兩兩均相異(奇偶性不同)。

因此，所有的相異k值有202 2 4 1 51

− + = .

二、【解】

設

M

是

AB

上一點使得

PM

是它們的公切線，則

AM = PM = BM

, 得

∆ APB

的外接圓

C

是以

AB

為直徑 且圓心是

M

, 且

∠ APB = ° 90

. 所以

90 AXP + PYB = BAP + PBA = °

    ,

得

 AKB =  XKY = ° 90

^{, 即}

K

是在圓

C

上。

反之，若點

K

是在圓

C

上，AK BK, 分別與

C C

₁

,

₂交於 點X Y, . 需證X P Y, , 共線。但

( , ) ( , ) ( , ),

( , ) ( , ) ( , ),

( , ) 90 .

APX AP PX AA AX AB AX

YPB YP PB YB BB YB AB

APX YPB YB XA BKA

= = =

= = =

+ = = = °

   

   

   

所以

, ,

X P Y 共線。

注意，若

K = A

,

AK

理解為過點

A

對圓

C

的切線，情形

K = B

亦同。當

K = P

, ,

X Y皆是

P

, XP YP, 理解為切線

MP

。總結

K

的軌跡是圓

C

.

三、【解】

2 n ≥

1 3

1

3 4

1 1 1 3 4 1 3

1 1

3 5

4 4

1 1 1 5 5

4 4 4 4 5

n n

n

n n n n

n n

a a

a

a a a a

a a

−

−

− − − −

− −

= +

= + + + ≥ ⋅ =

因為

a

_n 皆為有理數，所以a_n > ⁴5. 2∀ ≥n . 現在 ₂ 3 5

4 4 2.

a = + = 假設⁴5<a_k ≤2. 那麼

1 1 3 4 3

1

4

3 5 3 5

4 4 4 2 4( 5 )

3 1

5 2 2 4

k k

k

a a

+ − a

−

= + ≤ ⋅ +

= + ≤

由數學歸法知 ⁴5<a_n ≤ ∀ ≥2 2.n

四、【解】

改寫1−x³−y³ =(x+y)³−x³−y³ =3xy x( + y)=3xy，故

3 3 3 3 3 2

1+x −y =2x + −(1 x −y )=x(2x +3 ).y 對調

x y ,

得1+ y³−x³ = y(2y²+3 )x .因而

3 3 3 3 3 3

2 2

2 2 2 2 3 3

2 2 2 2

(1 )(1 )(1 )

(2 3 )(2 3 )(3 )

3 (4 6(1 ) 9 6)

3 (4 9 6).

x y y x x y

xy x y y x xy

x y x y x y xy

x y x y xy

+ − + − − −

= + +

= − − − + +

= − +

令xy=t,由算幾不等式得 ( ) 1

2 2

x y

xy ≤ + = , 即 1

0≤ ≤t 4. 此時欲證不等式等價於4t²− + ≥9t 6 16t。

考慮函數 f t( )=4t²−25t+ = −6 (t 6)(4t− ， 1)

很明顯當 1

0≤ ≤ 時， ( ) 0t 4 f t ≥ ，且 (1/ 4) 0f = 。因此4t² − + ≥9t 6 16t。得證。

五、【證明】

考慮集合

A

_i

= { , 20 , 400 }, 1 i i i ≤ ≤ i 5

{ , 20 }, 6 101 { }, 102 2020

j

k

A j j j

A k k

= ≤ ≤

= ≤ ≤

則S ={1, 2, 3, ⋅⋅⋅, 2020}可被這些集合組

{ A

_i

: 20  i

^且 1≤ ≤i 2020}分割 這些集合組中 3 個元素有 5 個，

2 個元素有 91 個，

1 個元素有

2020 202 5 − +

個。

設

S

中選取k, 但20k不被選取最多元素的集合為

A

.

則

A

包含所有 1 個元素的集合，2 個元素的集合只能選 1 個，

3 個元素的集合只能選最大的數和最小的數共 2 個。

因此集合

A

的個數為

2020 91 5 1924 − − =

。