101 學年度高級中學數學科能力競賽決賽

101 學年度高級中學數學科能力競賽決賽

筆試試題（二） 【參考解答】

一、【參考解答】

設ADuAB,BEvBC,CF wCA 則 xu(1w),yv(1u),zw(1v) 因此

)]

1 ( ) 1 ( ) 1 ( [ ) 1 )(

1 )(

1 ( )

(x y z uvw u v w u w v u w v

xyz            

注意到：

1 3

(1 )(1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

uvw u v w u u v v w w     4

另外，令 u(1w)v(1u)w(1v)a1 (1) 當 ,

4

 3

a ^{由算幾不等式知}

3 3

(1 ) (1 ) (1 )

(1 ) (1 ) (1 )

3 3

u w v u w v a

u w v u w  v            

因此

3 4

4

1 3 3

( )

3 27 4 4

xyz x  y z    a  a     

注意：當 ,

2

1



v w

u 則

4

 3

a 且 ₄

4 ) 3 (x y z  xyz

(2) 當 , 4

 3

a 觀察

) 1 )(

1 )(

1 ( 1

) 1 ( ) 1 ( ) 1

( w v u w v uvw u v w

u

a           

令uvw(1u)(1v)(1w)b, ^則

4 0b1 由算幾不等式得知

2 2

(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )

2 2

uvw u v w b

uvw u v w           

因此

2

( ) (1 )

2

xyz x  y z    b b

( ) 4

1 _{2 3}

b b 



2 3

1 1 1

4 4 4

    

        (註)

₄ 4

 3

故知xyz(x yz)^{的最大值為} ₄ 4

3

(註)可以證明 ]

4 ,1 0

3 [

2 b b

b 在 是遞增的

設 0,

4

1hk  則

) )(

( ) )(

( ) (

)

(h² h³  k² k³  hk hk  hk h² hk k² )

)(

(hk hk h² k² hk



) ) 1 ( ) 1 ( )(

(hk h h k k hk



0

二、【證明】

設D14c

由 知 。接著證 ：

若 或 ，可分別以 及 取代，其中 為 除以 的餘數，故可

以假設 。

若 ，則 ，此時

若 ，則由 的定義知 為質數

因此 ，得 ，得 ， ，則 ，矛盾

所以若 ，則 ，得證。

現假設 ：

若 為偶數，則以 取代 ，因此可假設 為奇數。

設 ，

且

由 ，知 ，則

若 ，則由 的定義知 ，得到 ，

矛盾。

所以 ，得證。

( 1) 2

f c c k c k p

b p b p b0 br r b p

0 b p 0

b p│D

1 2

( ) 0 (mod )

2 4

p p D

f   p

 

1 2

k p k

2

4 p D

2

4 p D

 p

 0 D p²4p p3 D 3 c1

0

b ¹

2 k p  p

0 b p

b px b b

2 1

b m m0 (2 1) (mod )2

D m p

2

2 1 (2 1)

( ) 0 (mod )

4 4

D m D

f m m m    p

    

( 1 ) ( ) 0 (mod ) f p m  f m  p

0 b p 1

0 2

m p

  f m( ) f p(  1 m) 1

p  m k k f p(  1 m) p f p(  1 m) p f m( )

1 1

p    p m k

三、【參考解答】

答案是2201324024

底下證明 A r 的更一般情形。 設 A{a₁,a₂,,a_r}, 其中 a_i 且

k j

i a a

a   。 (1)構造

} 2 2 , , 2 , 1 , , 1

{     

 r r r r r

A ,

可證明符合條件。

(2)令 amax A. 下面證明 a2r2.

反證，設a2r3.

1.若a2k2r3. 考慮以下 kr組：

) ( ), 1 , 1 ( , ), 2 2 , 2 ( ), 1 2 , 1

( k k   k k k ^.

因為A中除了a之外還至少要選k 1數，因此至少有一個數對會被選到，

此時兩數之和為2k，矛盾。

2 若a2k 12r3..考慮以下 k組：

).

1 , ( , ), 1 2 , 2 ( ), 2 , 1

( k k  k k

因為A除了a之外還要選k 1數，因此至少有一個數對會被選到，此時兩 數之和為2k 1，矛盾。

因此amaxA2r2.

故由(1)(2) A中的最大數的最小值為 2r 2.原題為 r2013的情 形。