張家翔作品評語
張鎮華教授
國立臺灣大學數學系
這篇論文是在研究下面這個方格盤的問題: 在一個 n × n 方格盤中選取一些最少數量 的方格, 使得方格盤上任一個方格, 都至少與一個被選取的方格相鄰. 這個問題曾經出現 在 1999 年第 40 屆國際數學奧林匹亞 (International Mathematical Olympiad) 競賽試題 第 3 題, 該試題只探討 n 是偶數時 n × n 的方格盤的情況. 這篇論文將 n 是奇數時的 n × n 方格盤的情況解答出來, 得到一般 n × n 方格盤上的答案: 當 n = 4p, 4p + 1, 4p + 2, 4p + 3 時, 所需要的最少方格數分別為 n(n + 2)
4 , (n + 2)2
4 , n(n + 2)
4 , (n + 2)2
4 − 1. 這篇論文並 試圖將研究推廣到 m × n 方格盤, 只是並未得到太多結果. 這篇論文的另一個推廣方向, 是將圖形推廣到正六邊形盤, 得到相當完整的答案.
如果轉換成圖形理論的語言描述, 這篇論文所討論的題目, 等同於在 n × n 方格 圖(n × n grid)中, 找一個最小全控制集, 也就是一個最少點數的頂點集合, 使得圖中的每 一個頂點都與此集合中至少一個頂點相鄰. 圖形理論中的控制集理論源自於運籌學中的 選址問題, 一般是很困難的, 縱使在特殊圖中也常常不容易得到完整的答案. 以一個國中 學生來說, 能夠完全決定 n × n 方格圖的全控制數, 實屬不易.
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