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“C43N12” — 2019/3/5 — 11:31 — page 16 — #1
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✐ 數學傳播 43 卷 1 期, pp. 16-18
不存在處處有極限 處處不連續的函數
張海潮
最近有機會到一所明星高中和老師們討論微積分選修課的開立。 由於高中的選修課通常是 兩學分, 因此如何界定核心內容就變得十分要緊。 討論的過程暫且不表, 倒是在結束之前, 一位 老師問我:
有沒有一個函數 f (x), 它在每一點 a 都有極限, 但是極限不等於 f (a)?
也就是說有沒有一個函數 f (x), 處處不連續, 但處處都有極限?
我當時的反應是, 這應該不是微積分教學的重點, 可是, 就純數學而言, 這總是一個問題, 我因此想起一段往事。
有一位同事李教授長年在系裡兼任教微積分。 因為教大班, 系裡為他配置兩位研究生助教, 每週一小時分成兩班上演習。 有一天李教授在辦公室召見兩位助教, 李教授問: 你們是誰在演 習課對學生提出下面的函數?
F(x) =
1, x 是有理數 0, x 是無理數 並且討論它的連續性。 (註一)
兩位助教都承認幹了這件事。 李教授說, 怪不得上課時學生緊張兮兮提問說這個函數到底 是怎麼回事。 李教授教的是管理學院, 學生在高中原本是社會組, 碰到上面的 F (x), 覺得無法 適應。 李教授對兩位助教說, 以後你們少幹這種事, 我們要給學生的是 「健康」 的函數, 而不是
「生病」 的函數。
回到我一開始提出的問題: 有沒有一個函數, 處處有極限, 但處處不連續? 一位同事告訴 我, 這是 Rudin 所著 Principles of Mathematical Analysis 這本高微教科書中的習題 (見 該書第一版 75 頁)。 我於是查了一下 , 覺得 Rudin 提示的處理方式不是很好, 所以我想了一 個比較自然的方法來回答這個問題, 結論是, 不存在這種函數。 以下是筆者要證的定理。
定理: 如果函數 f (x) 處處有極限, 則 f (x) 不連續的點最多是可數的 (countable)。 (註二)
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“C43N12” — 2019/3/5 — 11:31 — page 17 — #2
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✐ 不存在處處有極限, 處處不連續的函數 17
證明: 假設 f (x) 處處有極限, 我們就用這個極限定一個新的函數 g(x), 亦即對所有的 a, 定 g(a) = lim
x→af(x)。
首先觀察到 g(x) 是一個連續函數, 理由如下:
已知 lim
x→af(x) = g(a), 任予一 ǫ > 0 則必存在一個 δ > 0, 在 (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) 上, g(a)−ǫ < f (x) < g(a)+ǫ。 所以如果 0 < |b−a| < δ, 則因在 (a−δ, a)∪(a, a+δ) 上, f (x) 介於 g(a) − ǫ 和 g(a) + ǫ 之間, 而又有 lim
x→bf(x) = g(b), 所以 g(a) − ǫ ≤ g(b) ≤ g(a) + ǫ, 這就證明了 g(x) 是一個連續函數。
既然 g(x) = lim
z→xf(z) 是一個連續函數, 我們令 h(x) = f (x) − g(x),
則 h(x) 就是一個處處有極限, 並且極限值均為 0 的函數。 注意到 h(x) 和 f (x) 的不連續點 集是一樣的。
接下來, 只需在 [0, 1] 上討論。 考慮 h(x) 6= 0, 或 |h(x)| > 0 的點集。 顯然對 n = 1, 2, 3, · · · , 集合 {x : 0 ≤ x ≤ 1, |h(x)| ≥ 1
n} 都只能是有限集。 因為若是對某一個 n, {x : |h(x)| ≥ 1
n,0 ≤ x ≤ 1} 是無限集, 此一集合在 [0, 1] 上會有聚點 (accumulation point) c, 則 lim
x→c|h(x)| ≥ 1
n >0, 這與 h(x) 的極限處處為 0 矛盾。 因此 {x : 0 ≤ x ≤ 1,
|h(x)| > 0} 可以根據 n = 1, 2, 3, · · · 分為 (可能重疊的) 有限集, 結論是不連續點集 {x|h(x) 6= 0, 0 ≤ x ≤ 1} 是一個可數集。 (同見註一)
綜上所述, 不會存在處處不連續而處處有極限的函數。
下面補充說明 Rudin 對此定理建議的證法。 根據他的提示, 證法如下:
不妨考慮集合 E = {x|f (x) > g(x), g(x) = lim
z→xf(z)}。 如下圖, a ∈ E,
a
× p
× f (a)
g(a)
對這樣一個 a, 我們指定給它三個有理數 (p, q, r), 先任取一有理數 p, 使 g(a) < p <
f(a)。 因為 g(a) = lim
x→af(x), 所以另取二個有理數 q, r, q < a < r, 而使當 x 6= a, q < x < r
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“C43N12” — 2019/3/5 — 11:31 — page 18 — #3
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✐ 18 數學傳播 43 卷 1 期 民 108 年 3 月
時 f (x) < p。 整理一下上面的指定, 對 a ∈ E, g(a) < f (a), 指定
有序有理數 (p, q, r) 使得 g(a) < p < f (a), 並且當 x 6= a, q < x < r 時, f (x) < p.
現在要說這樣的指定在集合 E 上是一對一的。
如果 b ∈ E, b 6= a, 並且 b 也被指定有序有理數 (p, q, r) , 則因 q < b < r, b 6= a, 所以 f(b) < p, 這與 g(b) < p < f (b) 矛盾。
因此, 我們在 E 上定了一個到 (p, q, r) 三個有序有理數的一對一對應, 同理也可以對 F = {x|f (x) < g(x)} 作類似的對應, 但是因為 (p, q, r) 的全體是可數的, 因此證得定理。
(註 3)
註 1. 見 Courant and John, Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1, p.109.
註 2. Countable (可數的) 是指一個集合或者只有有限個元素, 或者可以根據 n = 1, 2, 3, · · · 分成 (可能重疊的) 有限集的集合。 它的定義是此集合可以與自然數的全體或部分建立一 個一對一的對應。 注意到 [0.1] 上的實數不是可數的。 因此, 根據本文的定理, 不會存在處 處有極限, 處處不連續的函數。
註 3. 早年微積分教學, 常常會碰到下面這個例子
f(x) =
0, 如果 x 是無理數 1
q, 如果 x 是有理數 p
q, 且 p, q 互質, q > 0.
此一函數 f (x) 滿足極限處處為 0, 而僅在有理數點不連續。 (同見註 1)
—本文作者為台大數學系退休教授—
