分數

數學

分

科

國

分數

數

教

國中

單

數的

數學

2018 年

師

中課

單元２

的

學新世

年 08 月

共

課程

２

的運

世界

月 編印

備

程

運算

界

印

手

算

冊

 教學共備 memo 一、 共備模式

（一） 單元共備單

此模式為教師們透過單元共備單之反思、核心概念、概念發 展教學脈絡的討論，形成本身的概念發展教學脈絡而實踐於 教學。

（二） 觀摩教學知能影片

此模式為備課階段的共備，旨在掌握數學知識的本質內涵與 觀摩概念發展教學如何進行，從中重新認識數學概念知識，

形成教師本身的教學脈絡。

（三） 學習單實踐教學

此模式為觀課、議課階段的共備，旨在實踐以概念發展為主 軸的教學，於過程中再次釐清知識本質內涵，不斷修正與精 進教學知能。

二、 共備流程

單元共備單 觀摩教學知能影片 學習單實踐教學

共備前 共備前 共備前

單元共備單反思

1.第 1 次反思單撰寫 2.CA 教學或教專研習影

片觀摩

3.撰寫觀摩影片記錄

1.撰寫與編修單元學習單 2.確立學習單教學脈絡與

設計想法

3.使用學習單教學

共備 共備 共備

1.討論單元共備單 2.釐清數學概念知識 3.確立單元教學脈絡

1.討論觀摩影片記錄 2.釐清數學概念知識 3.確立單元教學脈絡

1.分享教學心得感想 2.討論觀課記錄

3.發想概念發展教學設計

共備後 共備後 共備後

1.核心概念細部分析 2.概念發展的教學脈

絡細部調整

1.第 2 次反思單撰寫 2.編修單元學習單

1. 編修單元學習單 2. 再次使用學習單教學

三、 共備紀錄表（參考版）

共備單元：____________________ 共備日期：________________

本次共備主持人：_____________ 共備紀錄：________________

本次共備討論素材：

□單元共備單

□單元概念反思單

□觀摩教學或研習影片（影片名稱：_________________________）

□生根單元學習單（學習單名稱：__________________________ ）

□其他 ________________________

討論內容：

一、針對「單元共備單」、「單元概念反思單」、「觀摩教學影片紀錄」、「觀 摩研習影片」或「生根單元學習單」進行想法交流。

二、本單元概念核心本質與內涵。

三、本單元概念教學脈絡。

四、本單元教學巧思與眉角。

五、本單元學生常見學習迷思解決之道。

六、學習單修改建議與實際教學建議。

七、其他

ii

分數的運算

一、單元名稱：分數與分數四則運算、因數、倍數、質數、短除法 二、反思提問：

1. 我們什麼時候會用到分數？分數本質上想用來表示什麼？

2. 將下面 7 塊蛋糕平分給 2 人，你會怎麼分呢？每個人可以拿到多少？

怎麼講呢？

3. 「²

3」應該怎麼念？

(1)三，分之二 (2)三分，之二 (3)三分之，二。

4. 請問¹

2張Pizza 比較大，還是¹

4張Pizza 比較大？

5. 請算出下面圖示中灰色部分的大小。

+ =

CA 陳梅仙 白晨如

20180617

6. 右邊的圖示中 2

1這個數字想要表達的意思是什麼呢？先唸 唸看，如果覺得怪怪的，那麼，要怎麼改比較好？

7. 右圖紅色框框內的蛋糕大小算不算是 1 塊蛋糕的¹ 3 呢？怎麼檢查呢？

8. 有 1 盒 Pizza 平分成 8 片，被吃掉 5 片，下面有兩種方式來表現剩下的 Pizza，在什麼情況下你會用(1)？在什麼情況下你會用(2)？

(1) 剩下 3 片 (2) 剩下³ 8盒。

9. 分數，是「先分再數 suˇ」，以這樣的觀點來看「真分數」和「假分數」

的真和假，它的道理是什麼？

10. 哥哥和姊姊各有 1 塊相同大小的蛋糕，如果哥哥分給弟弟¹

2塊，姊姊分 給弟弟¹

3塊，弟弟會怎麼說他拿到多少的蛋糕呢？

2

11. 我們在操作什麼計算時，會較頻繁的使用因數、倍數和質數呢？

12. 「1」不是質數也不是合數的道理是什麼？質數和合數的差別是什麼？

『質』數是想要用來標記數的什麼性質？

13. 我們會利用短除法計算兩數以上的最大公因數和 最小公倍數，怎麼說明短除法的計算過程，才能讓 學生可以理解這個做法，每一個步驟背後的涵義，

而不是背下短除法的寫法。

14. 教分數的加減法，最主要應該好好談清楚的核心概念是什麼？在什麼 情況下，分數的運算跟整數一模一樣？

15. 教分數的乘法，最主要應該好好談清楚的核心概念是什麼？

怎麼跟學生說明^{3 4}=1

4 3× 和^{2 5 2 5}= 3 7 3 7

× ×

× ？

12 18 15 3

4 6 5 2

2 3 5

16. 整數的除法和分數的除法，它們的異同是什麼？

在做小數的除法時，我們是如何進行的？其核心想法是什麼？

17. 怎麼跟學生說明^{2 5 2 7}=

3 7 3 5÷ × ，才不會只是在記「乘以一個分數等於乘

上它的倒數」這個算則？

18. 請列出學生學習這個單元常見的錯誤想法，我們可以怎麼說清楚來幫 助學生澄清概念？例如：

(1) 將 3 1 2

1+ 計算成 3 2

1 1

+

+ 。 (2) 題目：

( )

6 3 2 3 2

+

= + ，將( )內的數字也寫 6。

4

三、試著撰寫下面名詞的核心概念。

分數

分數的運算 因數

倍數 質數 短除法

四、試著根據概念發展的三個階段草擬下面名詞的概念發展脈絡。

概念 認知 形成 使用

分數

分數的運算

因數

倍數

質數

短除法

五、觀摩、討論&修改 1.參考影片

※透過 YouTube 查詢數學新世界，再進入 New Horizon of Mathematics 即可透過關鍵字查詢下面影片。

(1)數學新世界--CA 談數學--20180613 彰化縣大湖國小 教案設計討論 (分 數1:02:20~1:20:20)

(2)數學新世界--CA 談數學--20180319 臺東縣初來國小 入班教學 五年級 分數的意義和分數乘法

(3)數學新世界--CA 談數學--20180528 彰化縣豐崙國小 四年級 入班教學 等值分數 part2

(4)數學新世界--CA 談數學--20180319 臺東縣初來國小 入班教學 六年級 分數除法

(5)談「短除法」擷取自 數學新世界--CA 談數學--20170920 彰化縣民生國 小 除法 短除法 part2

2.針對單元核心概念、概念發展的教學脈絡進行細部分析或調整。

3.找出屬於自己最自在的概念發展的教學脈絡。

六、學習單：完整版請參考數學新世界五、六、七年級教材

6

分數

1. 我們會使用數字 3 講出 3 個人、3 杯飲料、3 瓶水、3 朵花、3 碗飯…，

如果把3 換成 4，會變成什麼呢？3 或 4 這樣的數字發揮了什麼作用呢？

2. 下面有幾種錯誤表示 2

1的圖形，請你修正成正確的。

3. 阿寶家裡有 3 個小孩，糖果要買幾個才不會有分配不公平的問題呢？有 哪幾種買法？

4. 把相同大小的橡皮筋串成一串，將橡皮筋一起拉長或一起變短的時候，

什麼改變了，但什麼關係不會改變呢？

3

2 1

2 1

2 1

2 1

CA 陳梅仙

20171009

5. 請利用畫圖畫出 3 1 2 1+

6. 分得越細，拿得越多；併的越多，拿得越少  才能保證拿到一樣大 (1) 填入適當的數字讓等號成立

) ( 3

) ( 2 ) ( 3

) ( 2 ) ( 3

) ( 2 2 3

2 2 3 2

×

= ×

×

= ×

×

= ×

×

= ×

(2) 填入適當的數字讓等號成立

) ( 36

) ( 24 ) ( 36

) ( 24 ) ( 36

) ( 24 2 36

2 24 36 24

÷

= ÷

÷

= ÷

÷

= ÷

÷

= ÷

小結論：

1 5

2 3 2 5 10

3 3 5 15

= × =

× 把 再分成 份

擴分

，

1 1

5 1

5 3

10 2 5 2

15 3 5 3

= × =

×

把 個 併成 個

約分 7. 請將下面的分數變成最簡單的分數

提示：從比較小的數字做分解，再檢查是不是可以和比較大的數字進行 約分

(1) 10

8 (2)

15

12 (3)

18

1 (4)

20 30 6

4

|| || || ||

) (

) (

) (

) (

) (

) ( 2

× 1

3

× 1

＋ ＝

小提問1：

哪一種說法比較好？

□ 3

1 2

1+ 等於 2 塊

□ 3

1 2

1+ 等於 1 小塊+1 大塊

小提問2：

從分開算到一起算

怎麼把不一樣大塊(分開算) 變成一樣大塊(一起算)呢？

18 12

|| || || ||

) (

) (

) (

) (

) (

) (

數字分解是為後面的通分求公倍數做準備 6

2 1 6 2 3

1= = ×

6 3 1 6 3 2

1= = ×

從不一樣大塊 變成一樣大塊

= +2

1 3

1 5 個

6 1

8

8. 請仿照數字 1-10 的分解，完成 11-50 數字的徹底分解

1 不用考慮 11 21 31 41

2 無法分解 12 22 32 42

3 無法分解 13 23 33 43

4=2×2 14 24 34 44

5 無法分解 15 25 35 45

6=2×3 16 26 36 46

7 無法分解 17 27 37 47

8=2×4=2×2×2 18 28 38 48

9=3×3 19 29 39 49

10=2×5 20 30 40 50

9. 想求 4 3 6

5 + 的數值

6 ...

6 6 5 5 6

5 5 4 6

4 5 3 6

3 5 2 6

2 5 6

5 =

×

= ×

×

= ×

×

= ×

×

= ×

×

= ×

6 ...

4 6 3 5 4

5 3 4 4

4 3 3 4

3 3 2 4

2 3 4

3 =

×

= ×

×

= ×

×

= ×

×

= ×

×

= ×

10. 想求

24 5 30

11+ 的數值

把分母變成一樣大最簡單的算法 如下：

24 30

24 11 30 11

×

= ×

30 24

30 5 24

5

×

= ×

但是，數字越小越好算，有機會 讓分母變小嗎？

11. 把公倍數變小！

30×24 是 30 的 24 倍也是 24 的 30 倍 所以，24×30 是 30 和 24 的公倍數

30 和 24 的公倍數

從24×30 簡化為 2×2×2×3×5

24 最少必須多乘_____變成 30 跟 24 的公倍數 30 最少必須多乘_____變成 30 跟 24 的公倍數 我們稱________________是 30 和 24 的最小公倍數 我們稱________________是 30 和 24 的最大公因數

因此 120

79 120

35 44 5 24

5 7 4 30

4 11 24

7 30

11 = + =

× + ×

×

= × + 12

10^{|| || || || ||}

18 15

24 20

30 25

36 30

8

|| 6 || || || ||

12 9

16 12

20 15

24 18

24 × 30 2×2×2×3 × 2×3×5 徹底分解

相同共用 2×2×3 2 3×5

相同共用 2×2 2 3 5

少×2 少×3

共用的

12. 請仿照第 11 題把公倍數變小的做法，計算

30 7 45

8 + 的數值。

小結論：

1. 短除法—把公倍數變小的簡化寫法

2. 通分就是分數分別擴分成相同分母的公倍數 分母一樣大代表一樣大塊才能一起算

13. 計算

40 9 36

7 24

5 + + 的數值。

短除法做到這裡，已經做出了什麼呢？

短除法做到這裡，公倍數還可以再簡化嗎？

14. 負數的負代表什麼意思？負數又具有什麼功能呢？「－a」是正數還是 負數呢？

15. 為什麼

3 -2 3 -

2 3

2

- = = ？

16. 3 21

− 應該唸成「負的2 又 3

1」=「−(2 + )」，還是「負2 又 3

1」=「−2 + 」 呢？

17. ) 2 (-1 3

2+ = 18.

15 - 2 12

- 5 = 19. ) 2 -1 3 (2 5-

-3 =

− 可唸成「負 」，也可以唸成「負的 」 24 × 30

2

12 × 15 3

4 × 5

×

×

 2 24 30 12 15 3

4 5

24 36 2

12 18 2

6 9

40 20

10

10

20. 請利用畫圖畫出 3 1 2

1× 21. 請利用畫圖畫出 2 1 3 1×

22. 請寫出右邊計算的想法

35 6 7 5

2 3 7 1 5 2 1 7 3 2 1 5 3 1 7 2 5

3 =

×

= ×

×

×

×

=

×

×

×

=

×

23. × )= 7 (-4 3

2 24. × )= 12 (- 7 5

-3 25. × × )= 4 (-3 2) (-3 5 -4

26. 我們從第 4 題知道橡皮筋一起拉長一起變短時，長度會改變，但是彼 此之間的倍數不會改變。

想想看，下面的運算過程的想法是什麼？

27. ÷ )= 7 (-4 3

2 28. ÷ )= 12 (-7 5

-3 29. ÷ × )= 4 (-3 2) (-3 5 -4 2

× 1

3

× 1

3

× 1

2

×1

5

3 ÷

7 2

×7

×7 5 7

3× ÷ 2

2

×1 2

×1

2 7 1 5

3× × _÷ 1

＝

＝

2 7 5 3×

＝

2

×7

小提問：

除以一個數相當於是乘以這個數的倒數 乘以倒數的目的是什麼呢？

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