主題1 數線、絕對值與正負整數的四則運算

複數(a+bi) 實數 (b=0)

虛數 (b=0)

有理數

無理數

正有理數 0 負有理數

正整數(自然數) 正分數

正無理數 負無理數

負整數 負分數

純複數(a=0) 非純複數(a=0)

0 1 2 3 4

-1 -2 -3 -4

原點 正向

單位長

正數 負數

越右越大 越左越小

0 6

-6

等距 等距

|－6| ＝ | 6 |

1. 數(有理數)的分類：

負數(小於0的數) 0 正數(大於0的數) 負整數：－1、－2、－3、－4...

負分數： 5

−3、 8

−9、 2 31

− 、...

負小數：－0.007、－3.5、－8.4、...

非正數 非負數

正整數(自然數)：1、2、3、4...

正分數：5 3、

8 9、

2 31、...

正小數：0.007、3.5、8.4、...

補：右表中，紅色部分分類為國中時期的進度

註：循環小數可轉換為分數，故循環小數為有理數。

註：－1為最大負整數、1為最小正整數

2. 數線：

(1) 數線的三要素：原點、正向、單位長。

(2) 在原點右邊的數為正數，在原點左邊的數為負數。

(3) 在數線上，右邊的數必定大於左邊的數。

(4) 欲在數線上描出小數，可以先將小數化成分數較易描出。

例：把4.25化成41

4，把8.375化成83 8等。

註：常用的分數與小數：1

2＝0.5，1

4＝0.25，3

4＝0.75，1

8＝0.125，3

8＝0.375，5

8＝0.625，7

8＝0.875 3. 數線上點的座標之記法：若數線上P點表示的數為a，就稱P點的座標為a，以符號P(A)表示。

4. 性質符號與運算符號：

(1) 性質符號：當「＋」與「－」用來表示一個數是正數或負數時。

(2) 運算符號：當「＋」與「－」用來表示加法或減法運算時。

例：6＋(－3)算式中，「＋」是運算符號，「－」是性質符號。

5. 同號數與異號數：性質符號相同的數稱為同號數，性質符號不同的數稱為異號數。

6. 相反數：數字相同，但性質符號相反的兩個數，就稱他們互為相反數。

(1) 若a、b互為相反數，則a＋b＝0。(相反數相加等於0)

(2) 數線上，位於原點兩側，且與原點距離相等的兩數互為相反數。

例：(1) 9的相反數為－9。 (2)－(－8)的相反數為－8 (3) 0的相反數是0。

單元

01 ^{整數的運算}

主題 1 數線、絕對值與正負整數的四則運算

0 b a

| a |

| b |

a b 0

| a |

| b |

－3 0 5

| 5－(－3) |

a c b

1 1

a＋b 2

7. 絕對值：數線上一點M(x)到原點的距離，即為x的絕對值，以符號| x |表示。

(1) 若|x|＝a (a≥0) ，則x＝a 或 x＝－a，可以簡記為x＝±a。 例：| x |＝6，則x＝±6 (表示數線上有兩個點到原點的距離是6)

例：| x |＝－3，則找不到x，故無解。 (x與原點的距離不可能是負的)

(2) 數線上兩點距離：若數線上有兩點A(A)、B(B)，則此兩點的距離 AB ¯＝|a－b|。 例：數線上有兩點A(5)、B(－3)，則 AB ¯＝|5－(－3)|＝8

(3) 若a、b均為正數 且 |a|＞|b|，則a＞b。 (4) 若a、b均為負數 且 |a|＞|b|，則a＜b。

(5)





<

−

= ≥

0 0

|

| a a

a a a

，當

，當

例：| 9 |＝9 ， |－6|＝－(－6)＝6， 補：| a |的意思等同於 a，即 a＝





<

−

≥ 0 0

a a

a a

，當

，當

(6)





<

−

≥

= −

− b a a b

b a b b a

a ，當

，當

|

|

例：若x＝－3，則|x＋5|＋|x－2|＝(x＋5)＋[－(x－2)]＝7 (7) 若|a|+|b|=0，則a＝b＝0

例：|a－3|＋|b＋8|＝0，則a－3＝0且b＋8＝0，所以a＝3，b＝－8。

(8) 設n為正整數，則絕對值小於n的正整數x共有(n－1)個。

例：若x為正整數且|x|＜5，則滿足此式的n有1、2、3、4共4個。

(9) 若n為正整數，則絕對值小於n的整數x有(2n－1)個

例：若x為整數且|x|＜5，則滿足此式的n有0、±1、±2、±3、±4共9個。

(10) 數線上a、b兩點的中點座標C為a＋b 2 。

例：若數線上有兩點A(5)、B(－3)，則A、B的中點為5＋(－3)

2 ＝1

補：分點公式：數線上兩點A、B，今C在A、B之間且 AC ¯： BC ¯＝m：n，則C＝mA＋nb m＋n 8. 遞移律：設a、b、c三數，若 (1) a＝b，b＝c，則a＝c (2) a＞b，b＞c，則a＞c

9. 三一律：若a、b兩數可以比大小，則下列三種關係洽有一種成立：(1)a＞b (2) a＝b (3) a＜b

10. 整數的加法運算：

兩 同 號 數 相 加

步驟1 取這兩數的絕對值，並相加

步驟2 在和前面冠上與兩數相同的性質符號

例：(－5)＋(－9)＝－16 叮嚀：|－5|＝5，|－9|＝9

解：(－5)＋(－9)＝－(5＋9)＝－16 兩

異 號 數 相 加

步驟1 取兩數的絕對值，並比較大小 步驟2 絕對值較大者－絕對值較小者

在差前面加上絕對值較大者的性質符號 註：兩數互為相反數時，其和為0。

例：13＋(－19)＝－6 叮嚀：|13|＝13，|－19|＝19 故|－19|＞|13|

解：13＋(－19)＝－(19－13)＝－6

11. 整數加法運算的運算規律：若a、b、c為任意整數，則：

與零相加 a＋0＝a  任意整數與零相加，結果還是原來的那個數。

例：(－8)＋0＝－8

交換律

a＋b＝b＋a 例：7＋3＝3＋7

例：(－5)＋6＝6＋(－5)

例：(－4)＋(－9)＝(－9)＋(－4) 結合律 a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 例：(－4)＋(－100)＋4＝－100

註：多個數相加時，可利用交換律與結合律將較易計算者先合併計算。

12. 整數的減法運算：若a、b為整數，則a－b＝a＋(－b)，即a減b等於a加上b的相反數。

例：5－13＝5＋(－13)＝－8 13. 去括號法則：

(1)－(a＋b)＝－a－b 例：－(3＋15)＝－3－15＝－18 (2)－(a－b)＝－a＋b 例：－(7－5)＝－7＋5＝－2 (3)－(－a＋b)＝a－b 例：－(－8＋11)＝8－11＝－3 (4)－(－a－b)＝a＋b 例：－(－14－18)＝14＋18＝32

14. 數線上兩點的距離：設A(A)、B(B)為數線上的兩點，則A、B兩點的距離 AB ＝| a¯ －b |＝| b－a | 例：設A(18)、B(－9)為數線上的兩點，則A、B兩點的距離 AB ¯＝|18－(－9) |＝|(－9)－18|＝27

15. 數線上兩點的中點座標：A(A)、B(B)為數線上的兩點，則A、B兩點的中點座標為 2 a b+ 。 例：數線上兩點A(5)、B(－3)，則A、B的中點為5＋(－3)

2 ＝1 註：C為A、B的中點，則 AC ¯＝ BC ¯。 16. 數線上與某定點等距離的點座標：設P(s)、Q為數線上相異的兩點，且_PQ＝k，則：

(1) Q P Q s k。

17. 整數的乘除法：

(1) 法則：兩同號整數相乘(除)，其結果必為正數；兩異號整數相乘(除)，其結果必為負數。

口訣：正正得正、正負得負、負正得負、負負得正。

例：兩同號數：3×5＝15 (－7)×(－6)＝42 兩異號數：6×(－2)＝－12 (－8)×9＝－72

(2) 技巧：某幾個整數連乘除時，可先決定最後的性質符號，再取每個數的絕對值連乘除。

要訣：奇數個負整數連乘(除)，其結果為負數；偶數個負整數連乘(除)，其結果為正數。

例：(－1)¹⁰⁰＝1，(－1)⁹⁹＝－1

例：若a為負整數，則：

(1) 當n為偶數時：_aⁿ為正整數 (2)當n為奇數時：_aⁿ為負整數。

18. 整數乘法的指數記法：一個整數a連乘n次所得的積可以簡記成_aⁿ，讀作「a的n次方」， 其中a稱為底數，n稱為指數。

註：－3²為－(3²)省略括號的記法，表示－(3×3)，與(－3)×(－3)＝(－3)²的意義不一樣。

19. 整數乘法的運算規則：若a為整數，則：(1) (－1)×a＝a×(－1)＝－a (2) a×0＝0 20. 交換律、結合律與分配律：

交換律 結合律 分配律

加法 a＋b＝b＋a a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 a－b≠b－a a－b－c＝(a－b)－c≠a－(b－c)

乘法 a×b＝b×a a×b×c＝(a×b)×c＝a×(b×c) a×(b＋c)＝a×b＋a×c (b＋c)×a＝b×a＋c×a 除法 a÷b≠b÷a a÷b÷c＝(a÷b)÷c≠a÷(b÷c) (a＋b)÷c＝a÷c＋b÷c a÷(b＋c)≠a÷b＋a÷c 註：某幾個整數連乘時，可利用交換律與結合律將積較易計算的兩數先合併計算。

例：2與5，4與25，8與125 21. 整數的四則運算：運算順序如下

(1) 指數、絕對值、括號 → 乘、除 → 加、減。

(2) 小括號 → 中括號 → 大括號。

例：(－3)²＋5×2＝(－3)×(－3)＋10＝9＋10＝19

☆★歷屆考題大觀★☆

一、選擇題

❑ 001 【111.教育會考補考選擇第14題】☀ ---♬♫♪♩

（ A ）如圖，數線上A、B、C三點所表示的數分別為－3.2、6.3、c， 且C點在 AB 上。若 AC ＝1

3 AB ，則下列關於c的敘述何者正確？

(A) －0.1＜c＜0 (B) －0.2＜c＜－0.1 (C) －2.2＜c＜－2.1 (D) －2.3＜c＜－2.2

❑ 002 【111.教育會考補考選擇第02題】☀ ---♬♫♪♩

（ A ）算式1＋｜(－5)－(－3)｜之值為何？

(A) 3 (B) 9 (C) －1 (D) －7

❑ 003 【111.教育會考選擇第16題】☀ ---♬♫♪♩

（ A ）緩降機是火災發生時避難的逃生設備，圖是廠商提供的緩降機安裝示意 圖，圖中呈現在三樓安裝緩降機時，使用此緩降機直接緩降到一樓地面 的所需繩長(不計安全帶)。若某棟建築的每個樓層高度皆為3公尺，則 根據圖的安裝方式在該建築八樓安裝緩降機時，使用此緩降機直接緩降 到一樓地面的所需繩長(不計安全帶)為多少公尺？

(A) 21.7 (B) 22.6 (C) 24.7 (D) 25.6

❑ 004 【111.教育會考選擇第01題】☀ ---♬♫♪♩

（ A ）右圖數線上的A、B、C、D四點所表示的數分別 為a、b、c、d，且O為原點。根據圖中各點的位 置判斷，下列何者的值最小？

(A)｜a｜ (B)｜b｜ (C)｜c｜ (D)｜d｜

❑ 005 【110.教育會考選擇第02題】☀ ---♬♫♪♩

（ B ）算式(－8)＋(－2)×(－3)之值為何？

(A) －14 (B) －2 (C) 18 (D) 30

❑ 006 【110.教育會考補考選擇第05題】☀ ---♬♫♪♩

（ C ）右圖數線上的A、B、C、D四點所表示的數分別為a、b、c、d。

若b、d互為相反數，則根據圖中各點位置，判斷下列敘述何者正確？

(A)｜a｜＜｜c｜ (B)｜a｜＜｜d｜ (C) a＋c＜0 (D) a＋d＞0

❑ 007 【109.教育會考選擇第01題】☀ ---♬♫♪♩

單元

01 ^{整數的運算}

主題 1 數線、絕對值與正負整數的四則運算

A c C B

-3.2 6.3

A O

Cc Dd a bB

A B C D

a b c d

緩降 機安 裝示 意圖

落地架

勾環 安全帶

安全帶 一樓 一樓地面

二樓 三樓

繩子 緩降機主體

(單位：公尺)

不計 安全 帶 所需 繩長

( )

0.4

0.5 1.6

矮牆

一樓高度二樓高度

❑ 008 【109.教育會考選擇第06題】☀ ---♬♫♪♩

（ A ）右圖數線上的A、B、C三點所表示的數分別為a、b、c， 且原點為O。根據圖中各點位置，判斷下列四個式子 的值何者最大？

(A)｜a｜＋｜b｜ (B)｜a｜＋｜c｜ (C)｜a－c｜ (D)｜b－c｜

❑ 009 【108.教育會考選擇第10題】☀ ---♬♫♪♩

（ D ）數線上有O、A、B、C四點，各點位置與各點所表示的數

如圖所示。若數線上有一點D，D點所表示的數為d，

且 | d－5 |＝| d－c |，則關於D點的位置，下列敘述何者正確？

(A) 在A的左邊 (B) 介於A、C之間 (C) 介於C、O之間 (D) 介於O、B之間

❑ 010 【107.教育會考選擇第10題】☀ ---♬♫♪♩

（ C ）右圖為大興電器行的促銷活動傳單，已知促銷第一天美食牌

微波爐賣出10台，且其銷售額為61000元。若活動期間此款

微波爐總共賣出50台，則其總銷售額為多少元？

(A) 305000 (B) 321000 (C) 329000 (D) 342000

❑ 011 【106.教育會考選擇第01題】☀ ---♬♫♪♩

（ C ）算式 (－2 )×|－5 |－|－3 | 之值為何？

(A)13 (B)7 (C)－13 (D)－7

❑ 012 【105.教育會考選擇第05題】☀ ---♬♫♪♩

（ C ）如圖，數線上的A、B、C三點所表示的數分別為a、b、c。若｜a－b｜＝3，

｜b－c｜＝5，且原點O與A、B的距離分別為4、1，則關於O的位置，

下列敘述何者正確？

(A) 在A的左邊 (B) 介於A、B之間 (C) 介於B、C之間 (D) 在C的右邊

❑ 013 【103.教育會考選擇第05題】☀ ---♬♫♪♩

（ A ）算式743×369－741×370之值為何？

(A)－3 (B)－2 (C) 2 (D) 3

❑ 014 【102.基本學測選擇第01題】☀ ---♬♫♪♩

（ C ）計算12÷(－3)－2×(－3)之值為何？

(A) －18 (B) －10 (C) 2 (D) 18

❑ 015 【102.基本學測選擇第29題】☀ ---♬♫♪♩

（ A ）數線上A、B、C三點所表示的數分別為a、b、c，且C在 AB ¯上。若｜a｜＝｜b｜，

¯ AC ： CB ¯＝1：3，則下列b、c的關係式，何者正確？

(A)｜c｜＝ 1

2｜b｜ (B) ｜c｜＝ 1

3｜b｜ (C) ｜c｜＝ 1

4｜b｜ (D) ｜c｜＝ 3 4｜b｜

❑ 016 【102.基本學測選擇第32題】☀ ---♬♫♪♩

（ D ）若 A＝101×9996×10005，B＝10004×9997×101，則 A－B 之值為何？

(A)101 (B)－101 (C)808 (D)－808。

A B C

❑ 017 【101.基本學測選擇第19題】☀ ---♬♫♪♩

（ A ）下圖數線上的A、B、C、D四點所表示的數分別為a、b、

c、d，且O為原點。根據圖中各點位置，判斷｜a－c｜之值

與下列何者不同？

(A)｜a｜＋｜b｜＋｜c｜ (B)｜a－b｜＋｜c－b｜ (C)｜a－d｜－｜d－c｜ (D)｜a｜＋｜d｜－｜c－d｜

❑ 018 【100.基本學測(二)選擇第06題】☀ ---♬♫♪♩

（ C ）下圖數線上A、B、C、D、E、S、T七點的座標分別為 －2、－1、0、1、2、s、t。若數線上有一點R，其座標

為｜s－t＋1｜，則R會落在下列哪一線段上？

(A)¯ AB (B)¯ BC (C)¯ CD (D) DE ¯

❑ 019 【100.基本學測(一)選擇第16題】☀ ---♬♫♪♩

（ C ）已知數線上A、B兩點坐標分別為－3、－6，若在數線上找一點C，使得A與C的距離

為4；找一點D，使得B與D的距離為1，則下列何者不可能為C與D的距離？

(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6

❑ 020 【99.基本學測(二)選擇第01題】☀ ---♬♫♪♩

（ A ）將此圖數線上－2和－1之間的長度以小隔線分成八等分，A點

在其中一隔線上，則數線上A點表示的數為何？

(A)－11

4 (B)－13

4 (C)－21

4 (D)－23 4

❑ 021 【98.基本學測(一)選擇第01題】☀ ---♬♫♪♩

（ D ）計算12－7×(－32)＋16÷(－4) 之值為何？

(A)36 (B) －164 (C) －216 (D)232

❑ 022 【99.基本學測(一)選擇第18題】☀ ---♬♫♪♩

（ D ）圖中數線上的A、B、C三點所表示的數分別為a、b、c。根據

圖中各點位置，判斷下列各式何者正確？

(A)(a－1)(b－1)＞0 (B)(b－1)(c－1)＞0 (C)(a＋1)(b＋1)＜0 (D)(b＋1)(c＋1)＜0

❑ 023 【98.基本學測(一)選擇第03題】☀ ---♬♫♪♩

（ B ）已知在數線上，O為原點，A、B兩點的坐標分別為a、b。利用下列A、B、O三點在數線上的 位置關係，判斷哪一個選項中的∣a∣＜∣b∣？

(A) (B)

(C) (D)

❑ 024 【98.基本學測(一)選擇第26題】☀ ---♬♫♪♩

（ A ）某天，5個同學去打羽球，從上午8：55一直到上午11：15。若這段時間內，他們一直玩雙打 ( 即須4人同時上場 )，則平均一個人的上場時間為幾分鐘？

❑ 025 【97.基本學測(二)選擇第28題】☀ ---♬♫♪♩

（ D ）已知在數線上代表四數a、b、a＋b、a－b的點分別為A、B、C、D。 若｜b｜＞｜a｜＞0，則此四點的關係，下列敘述何者正確？

(A)A到B的距離與C到D的距離相等 (B)A到C的距離與B到D的距離相等

(C)B到C的距離與B到原點的距離相等 (D)A到B的距離與D到原點的距離相等

❑ 026 【97.基本學測(二)選擇第09題】☀ ---♬♫♪♩

（ D ）小明前三次的考試成績分別為87、83、88分。若他在第四次考試後，計算四次的平均分數，

發現比前三次的平均分數多1分，則小明第四次的成績為幾分？

(A)87 (B)88 (C)89 (D)90

❑ 027 【97.基本學測(一)選擇第04題】☀ ---♬♫♪♩

（ A ）圖中表示數線上四個點的位置關係，且它們表示的數 分別為p、q、r、s。若│p－r│＝10，│p－s│＝12，

│q－s│＝9，則│q－r│＝？

(A)7 (B)9 (C)11 (D)13

❑ 028 【97.基本學測(一)選擇第28題】☀ ---♬♫♪♩

（ A ）小嘉全班在操場上圍坐成一圈。若以班長為第1人，依順時針方向算人數，小嘉是第17人；

若以班長為第1人，依逆時針方向算人數，小嘉是第21人。求小嘉班上共有多少人？

(A)36 (B)37 (C)38 (D)39

❑ 029 【96.基本學測(二)選擇第12題】☀ ---♬♫♪♩

（ C ）如圖，將2、4、6、8、10五個數字分別填入圖中的五個圓圈中，使得L1上 三個數字與L2上三個數字和相等。

請問中央的圓圈中不能填入下列哪一個數字？

(A) 2 (B) 6 (C) 8 (D) 10

❑ 030 【96.基本學測(二)選擇第05題】☀ ---♬♫♪♩

（ D ）已知10×11×12×13×14＝240240，則（－11）×（－12）×（－13）×（－14）×（－15）＝？

(A) 320320 (B) 360360 (C)－320320 (D)－360360

❑ 031 【96.基本學測(一)選擇第06題】☀ ---♬♫♪♩

（ B ）已知119×21＝2499，求119×21³－2498×21²＝？

(A) 431 (B) 441 (C) 451 (D) 461

❑ 032 【96.基本學測(一)選擇第01題】☀ ---♬♫♪♩

（ B ）計算19－(－2)×[(－12)－7]之值為何？

(A) －1 (B) －19 (C) 19 (D) 47

❑ 033 【95.基本學測(一)選擇第07題】☀ ---♬♫♪♩

（ D ）圖中為五個公車站P、O、Q、R、S在某一筆直道路上的位置。今有一公車距離P站

4.3公里，距離Q站0.6公里，則此公車的位置會在哪兩站之間？

(A)R站與S站 (B)P站與O站 (C)O站與Q站 (D)Q站與R站

❑ 034 【95.基本學測(一)選擇第01題】☀ ---♬♫♪♩

（ B ）計算(－12)＋(－18)÷(－6)－(－3)×2之值為何？

(A)－15 (B)－3 (C)11 (D)16

❑ 035 【93.基本學測(一)選擇第23題】☀ ---♬♫♪♩

（ C ）求536×0.52－364×0.48＋364×0.52－536×0.48之值為何？

(A)0 (B)20 (C)36 (D)40

❑ 036 【92.基本學測(二)選擇第16題】☀ ---♬♫♪♩

（ C ）在數線上，O為原點，A點的坐標為a，B點的坐標為b。利用下列三個已知條件，

判斷A、B、O三點在數線上的位置關係。(1) a＋b＜0 (2) a－b＞0 (3) ab＞0

下列圖形何者正確？

(A) (B) (C) (D)

❑ 037 【92.基本學測(一)選擇第04題】☀ ---♬♫♪♩

（ A ）如圖，數線上O為原點，數線上的點P、Q、R、S 所表示的數分別為a、b、c、d。

請問下列哪一個大小關係是不正確的？

(A)｜a｜＜｜d｜ (B)｜b｜＝｜c｜ (C)｜a｜＞｜b｜ (D)｜0｜＜｜b｜

❑ 038 【91.基本學測(二)選擇第01題】☀ ---♬♫♪♩

（ A ）計算9＋(－2)×[18－(－3)×2]÷4之值為何？

(A)－3 (B)3 (C)21 (D)42

❑ 039 【90.基本學測(一)選擇第09題】☀ ---♬♫♪♩

（ B ）若「⊕」是一個對於1與0的新運算符號，且其運算規則如下：

1⊕1＝0，1⊕0＝1，0⊕1＝1，0⊕0＝0，則下列四個運算結果哪一個是正確的？

(A)（1⊕1）⊕0＝1 (B)（1⊕0）⊕1＝0 (C)（0⊕1）⊕1＝1 (D)（1⊕1）⊕1＝0