101.09.19 範圍1-1、2 數與數線(B)、式子的運算班級一年 - 明誠

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：101.09.19 範

圍

1-1、2 數與數線 (B)、式子的運算

班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 )

1.x為自然數﹐滿足|2x − 3| < 10之解共有____________個﹒

解答 6

解析 |2x − 3| < 10 ⇒ − 10 < 2x − 3 < 10 ⇒ − 7 < 2x < 13 7 13

2 x 2

⇒ − < < ﹐

∵x為自然數﹐則x = 1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐6﹐共6個﹒

2.解| − 2x + 1| > 4得x的範圍為____________﹒

解答 5

x>2或 3 x< −2

解析 − 2x + 1 > 4或 − 2x + 1 < − 4﹐⇒ − 2x > 3或 − 2x < − 5﹐∴ 3

x< −2或 5 x>2﹒ 3.若實數x滿足1 < |x − 1| ≤ 2﹐則x之範圍為____________﹒

解答 2 < x ≤ 3或 − 1 ≤ x < 0

解析 （解一）

∵1 < |x − 1| ≤ 2﹐

∴1 < x − 1 ≤ 2或 − 2 ≤ x − 1 < − 1﹐

2 < x ≤ 3或 − 1 ≤ x < 0﹒

2 2

1 1

2 1

0 3

1

（解二）

用距離圖解法﹕1 < |x − 1| ≤ 2 4.若x為實數﹐且 2

| 5 | 3

−x < ﹐則x的範圍為____________﹒

解答 1 4< <x 1

解析 2

| 5 | 3

−x < ﹐即 2

3 5 3

− < − <x ﹐故 2

8 2

− < − < −x ﹐ 即 2

2 8

< <x ﹒ 1

1 4

< <x ﹐故得1

4< <x 1﹒ 5.x ∈ ﹐y= (x−3)² + (x+5)² ﹐則y之最小值為____________﹒

解答 8

解析 y= (x−3)² + (x+5)² = − +|x 3 | |x+5 |﹐

x ≥ 3﹕y = 2x + 2 ≥ 8﹒

 − 5 ≤ x < 3﹕y = 8﹒

x < − 5﹕y = − 2x − 2 > 8﹒

故最小值為8﹒

6.設a﹐b皆為實數﹐若|ax + 2| > b的解為x > 5或x < − 3﹐則a + b = ____________﹒

解答 6

解析 x > 5或x < − 3 ⇒

5 ( 3) 5 ( 3)

| |

2 2

x − + − > − −

⇒ |x − 1| > 4 ⇒ | − 2x + 2| > 8﹐

∴a = − 2﹐b = 8﹐a + b = 6﹒

7.數線上兩點A ( − 4)﹐B (10)﹐

(1)求AB的長為____________﹒

(2)已知P (x)點在AB上且AP BP: =3 : 4﹐求x = ____________﹒

(3)已知Q (y)點為AB外一點且AQ BQ: =3 : 4﹐求y = ____________﹒

解答 (1) 14;(2) 2;(3) − 46 解析 (1)AB=10 − ( − 4) = 14﹒

(2)由分點公式得x =3 10 4 ( 4) 14

3 4 7 2

× + × − = =

+ ﹒

A P B

x 10

4

3 4

(3)∵AQ BQ: =3 : 4﹐∴AQ AB: =3 :1﹐

由分點公式得 3 10 1

4 3 1

× + ×y

− = ⇒

+ − 16 = 30 + y ⇒ y = − 46﹒

Q A B

y 4 10

3 1

4

8.函數f (x) = |x − 4| + |x + 2|﹐

(1)求x之範圍為____________時﹐使f (x)有最小值6﹒

(2)若f (x) = k（k為實數）﹐使x無解﹐求k之範圍為____________﹒

解答 (1) − 2 ≤ x ≤ 4;(2)k < 6

解析 去絕對值

x ≥ 4﹕f (x) =

f x ( ) = ( x − + + 4) ( x 2) =

2x − 2﹐

 − 2 ≤ x < 4﹕f (x)

= − + + (4 x ) ( x 2)

= 6﹐

x < − 2﹕f (x)

= − − + (4 x ) ( x 2)

= − 2x + 2﹐

(1)當− 2 ≤x ≤ 4時﹐f (x)有最小值6﹒

(2)k < 6時﹐x無解﹒

9.|x + 3| + |x + 2| − |x + 1|的最小值為____________﹒

解答 − 1

解析 去絕對值

x ≥ − 1﹕(x + 3) + (x + 2) − (x + 1) = x + 4﹒

 − 2 ≤ x < − 1﹕(x + 3) + (x + 2) + (x + 1) = 3x + 6﹒

 − 3 ≤ x < − 2﹕(x + 3) − (x + 2) + (x + 1) = x + 2﹒

x < − 3﹕− (x + 3) − (x + 2) + (x + 1) = − x − 4﹒

故最小值為− 1﹒

( 1,3) ( 2,0) ( 3, 1)

10.設a﹐b為整數﹐若|a − 1| + 3|b + 2| = 4﹐則(a,b)共有____________組解﹒

解答 6

解析 a﹐b為整數

⇒ + b 2, a − 1

亦為整數

(1)|b + 2| = 1﹐|a − 1| = 1時﹕(a,b) = (2, − 1)﹐(2, − 3)﹐(0, − 1)﹐(0, − 3)﹒

(2)|b + 2| = 0﹐|a − 1| = 4時﹕(a,b) = (5, − 2)或( − 3, − 2)﹒

由(1)(2)知共6組解﹒

11.設x為實數﹐且|x − 1| + |x − 2| = 5﹐則x = ____________﹒

解答 4,

− 1

解析 (I)1 ≤ x ≤ 2時﹕

1 − + − = ⇒ = − x 2 x 5 x 1

（不合）﹒

(II)x > 2時﹕

x − + − = ⇒ = 1 x 2 5 x 4

﹒ (III)x < 1時﹕

1 − + − = ⇒ = − x 2 x 5 x 1

﹒

12.設x為實數﹐且|x − 1| + |x − 2| + |x − 3| = 5﹐則x = ____________﹒

解答 1 3或11

3

解析 去絕對值

(I)x < 1時﹕

1

1 2 3 5

x x x x 3

− + − + − = ⇒ =

﹒

(II)1 ≤ x < 2時﹕

x − + − + − = ⇒ = − 1 2 x 3 x 5 x 1

（不合）﹒

(III)2 ≤ x < 3時﹕

x − + − + − = ⇒ = 1 x 2 3 x 5 x 5

（不合）﹒

(IV)x > 3時﹕

x − + − + − = ⇒ 1 x 2 x 3 5

¹¹

x= 3 ﹒ 13.設x﹐y為實數﹐若(x − 2)² ≤ 1﹐ 7 13

| |

2 2

y− ≤ ﹐且x − 2y的最大值為M﹐最小值為m﹐則(M,m) = _______﹒ 解答 (9, − 19)

解析 (x − 2)² ≤ 1 ⇒ |x − 2| ≤ 1 ⇒

− ≤ − ≤ ⇒ 1 x 2 1

1 ≤ x ≤ 3﹐

7 13 13 7 13

| | 3 10 20 2 6

2 2 2 2 2

y− ≤ ⇒ − ≤ − ≤y ⇒ − ≤ ≤y ⇒ − ≤ − y≤ ﹐

∴ − 19 ≤ x + ( − 2y) ≤ 9﹐M = 9﹐m = − 19﹒

14.設x﹐y為實數﹐且 − 1 ≤ x ≤ 2﹐2 ≤ y ≤ 3﹐若 x

y 有最大值M及最小值m﹐則M

m 的值為____________﹒

解答 − 2

解析 1 1 1

3≤ ≤y 2﹐ − 1 ≤ x ≤ 2﹐∴ 1 1 2 x 1

y

− ≤ ⋅ ≤ ﹐M = 1﹐ 1

m= −2﹐故M 2 m = − ﹒ 15.設f (x) = |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + … + |x − 50|﹐則f (x)的最小值為____________﹒

解答 625

解析 在

25 ≤ ≤ x 26

時﹐f (x)為最小﹐f (25) = (0 + 1 + 2 + … + 24) × 2 + 25 = 625﹒

16.滿足絕對值不等式|2x − 3| ≤ |x + 1|之x範圍是____________﹒（請用x的不等式表示）

解答 2

3≤ ≤x 4

解析 SOL一:去絕對值

若 3

x≥2﹐則2x − 3 ≤ x + 1 ⇒ x ≤ 4﹐∴3

2≤ ≤x 4﹐

若 3

1 x 2

− ≤ < ﹐則 2

(2 3) 1

x x x 3

− − ≤ + ⇒ ≥ ﹐∴2 3

3≤ <x 2﹐

若x < − 1﹐則 − (2x − 3) ≤ − x − 1 ⇒ x ≥ 4﹐∴無解﹐

由可知2

3≤ ≤x 4﹒ SOL二

平方

(2 x − 3)

²

≤ ( x + 1)

²

⇒ 3 x

²

− 18 x + ≤ 8 0

(3 2)( 4) 0

2 4

3

x x

x

⇒ − − ≤

⇒ ≤ ≤

17.解 | 1| 3

| 2 1| 5 x

x + >

 − <

 ﹐得x的範圍為____________﹒

解答 2 < x < 3

解析 | x + 1 | > 3 ⇒ x > 2或x < − 4﹐

| 2x − 1 | < 5 ⇒ − 2 < x < 3﹐

由重疊圖知2 < x < 3﹒

4 2 2 3

18.設x是實數且|x − 2|：|x + 4| = 2：1﹐則x = ____________﹒

解答 − 2或 − 10

解析 令A(2)﹐B( − 4)﹐P(x)

|x − 2|：|x + 4| = 2：1⇒AP：BP=2 1：

P在AB之間﹕ 2 ( 4) 1 2

2 1 2

x= × − + × = −

+ ﹒

P不在AB之間﹕ 2 ( 4) 1 2

2 1 10

x= × − − × = −

− ﹒

19.設a為1至9的正整數﹐且13 14 0.1 2a

< < ﹐則a = ____________﹒

解答 3 解析 13

0.13 0.131

99= = ﹐14

0.14 0.141

99= = ﹐0.131 0.1 2< a <0.141⇒ =a 3﹒

20.有一個最簡分數﹐其分子與分母之和為20﹐若將此分數化為小數﹐並將第三位小數四捨五入得0.54

一數﹐則此分數為____________﹒

解答 7 13

解析 設此最簡分數為20 p

p

− （p為正整數﹐1 ≤ p < 20﹐(p,20 − p) = 1）﹐

則 20

0.535 p 0.545 0.535 20 0.545

p p p

p

≤ − < ⇒ ≤ − < ﹐

左式0.535p≤20−p ⇒ p ≤ 13.…﹐右式 20− <p 0.545p⇒ p > 12.…﹐∴p = 13﹐

所求分數 7

=13﹒

21.設a﹐b為有理數﹐且(a + b 2 )(1 + 2 2 ) = − 1 + 5 2﹐求數對(a , b) = ____________﹒

解答 (3 , − 1)

解析 (a + b 2 )(1 + 2 2 ) = a + 2a 2+ b 2+ 4b = (a + 4b) + (2a + b) 2= − 1 + 5 2﹐

∵a﹐b為有理數 ∴ 4 1 3

2 5 1

a b a

a b b

+ = − =

 

 + = ⇒ = −

  ﹐故(a , b) = (3 , − 1)﹒

22.已知AB=15﹐在AB上取一點C使AC=7﹐又過C點作AB的垂直線與以AB為直徑的半圓交於D

點﹐則CD=____________﹒

A C B

D

解答 2 14

解析 CD² =AC×BC= × =7 8 56⇒CD= 56=2 14﹒

A C B

D

7 8

23.

1

4 − 12

^{的純小數部分為}

^t

^﹐則

1 1

1 t − t =

+

____________﹒

解答 2

解析

1 1 1 3 1

3 1 2 4 12 4 2 3

= = = +

− − −

3 1 1.

2

+ = 

^﹐整數

= 1

﹐純小數部分

3 1

t = 2 −

1 1 2 2

( 3 1) ( 3 1) 2

1 3 1 3 1

t − t = − = + − − =

+ − +

^﹒

24.若

x

²

+ (8 x − 7) 3 = − (5 4 ) x + x

²

3

且

x

為有理數﹐則

x =

____________﹒

解答 1 解析

2

2

5 4 8 7

x x

x x

 = −

 

 − =

( 5)( 1) 0 ( 7)( 1) 0

x x

x x

+ − =

⇒    − − =

1 5

1 7 x

x

= −

⇒    = 或

或

∴

x = 1

﹒

25.

a = 17 − 11

﹐

b = 23 − 17

﹐

c = 16 2 55 −

﹐則

a

﹑

b

﹑

c

之大小順序為____________﹒

解答 b<a<c

解析

a = 17 − 11

﹐

b = 23 − 17

﹐

c = 11 − 5

⇒

1 17 11

6 a

= +

﹐

1 23 17 6 b

= +

﹐

1 11 5 6 c

= +

⇒

1 1 1 b > > > a c 0

∴

b < < a c

﹒

26.已知 3

28化成小數時﹐在小數點以下第n位的數字為7﹐且n ≥ 100﹒試問﹕滿足上述條件的最小n 值為____________﹒

解答 105 解析 3

0.10714285

28= ﹐而100 − 2 = 6 × 16 + 2

小數點以下第100位數字為1﹐因此再5位數出現數字7

所以

n

的最小n值為105﹒