第三节 三重积分

第三节

一、三重积分的概念 二、三重积分的计算

三重积分

第十章

一、三重积分的概念

类似二重积分解决问题的思想 , 采用

k k

k

k , , )v (

  





) ,

,

(_k _k  _k

v

k



引例 : 设在空间有限闭区域  _{内分布着某种不均匀} 物质的 ,



(x, y, z)C,_求分布在  _{内的物质的}

可得



 n

k 1

lim0



 M

“ 大化小 , 常代变 , 近似和 , 求极限”

解决方法 : 质量 M .

密度函数为

定义 . 设f (x, y, z) , (x, y, z) Ω ,

k k

k n

k



f k v

  ( , , ) lim

0 1

  



存在 , f (x, y, z)



_ ^{f (x, y, z)dv}

称为体积元素 , v

d dxdydz.

若对  _{作任意分割} 任意取点 :

则称此极限为函数 在 _{上的三重积分} . 在直角坐标系下常写作

三重积分的性质与二重积分相似 .

性质 : 例如

), ,

, 2 , 1

( k n

v_k  

 (



_k ,



_k ,



_k ) v_k ,_下列“乘

中值定理 . 设 f (x, y, z)在有界闭域  _上连续 , 则存在 (,, ) ,_使得



^{f (x, y, z)dv  f (}

^

^,

^

^,

^

^)V

V 为 _的 体积 ,

积和式” 极限

记作

二、三重积分的计算

1. 利用直角坐标计算三重积分

方法 1 . 投影法 (“ 先一后二” )

方法 2 . 截面法 (“ 先二后一” )

方法 3 . 三次积分法

, 0 )

, ,

(x y z 

先假设连续函数 f 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算

最后 , 推广到一般可积函数的积分计算 . 的密度函数 ,

方法 :

z

x y

D



 D dxdy 方法 1. 投影法 (“ 先一后二” )









 D y

x

y x z

z y

x Ω z

) , (

) , ( )

,

: ¹( ²

y x z

z y x

y f

x z

y x

z ^{( , )} ( , , )d d d

) , (

2 1



 





该物体的质量为



_ ^{f (x, y, z)d v}



 





(⁽ ,^, )⁾

2 1

d ) , ,

y (

x z

y x

z f x y z z



^dxdy



^{z2(x,y) f (x, y, z)dz f (x, y, z)dxdy}

细长柱体微元的质量为

) ,

2(x y z

z 

) ,

1(x y z

z 

微元线密度≈

记作

y xd d

O

a 方法 2. 截面法 (“ 先二后一” ) b









 b z

a

D y

Ω (x, ) ^z :

为底 , d z 为高的柱形薄片质量为

Dz

以

该物体的质量为



_ ^{f (x, y, z) dv}

 

 ^b

a



_Dz ^{f (x, y, z)d xd y}





_a^bdz _Dz ^{f (x, y, z)dxdy}

z d

z D_z

 

_Dz ^{f (x, y, z)d xd y}



z z

y x

f ( , , )d 面密度≈



^dz

记作



x y

z

O

投影法

方法 3. 三次积分法

设区域



:

利用投影法结果 ,



  



 

b x

a

x y

y x

D y y

x ( ) ( )

: )

,

( ^{1 2}

) , ( )

,

( ₂

1 x y z z x y

z  

把二重积分化成二次积分即得 :



_ ^{f (x, y, z) dv }



_D ^dxdy



_z^z2₍⁽_x^x_,^,_y^y₎^{) f (x, y, z)dz}



_ ^{f (x, y, z) dv}



_z^z₁²₍⁽_x^x_,^,_y^y₎^{) f (x, y, z)dz}



_y^y₁²₍⁽_x^x₎^{) dy}



 ^b

a dx

当被积函数在积分域上变号时 , 因为 )

, ,

(x y z f

2

) , , ( )

, ,

(x y z f x y z

f 

 )

, ,

1(x y z

 f  f₂(x, y, z) 均为为非负函数

根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算 . 2

) , , ( )

, ,

(x y z f x y z

f 



小结 : 三重积分的计算方

法方法 1. “ 先一后二”

方法 2. “ 先二后一”

方法 3. “ 三次积分”





 ^{( , )}

) , (

2 1

d ) , , ( d

d ^{z x y}

y x z

D x y f x y z z



_ ^{f (x, y, z)d v}







Dz

b

a d z f (x, y, z)dxdy







 ^{( , )}

) , ( )

( ) (

2 1 2

1

d ) , , ( d

d ^{z x y}

y x z x

y x y b

a x y f x y z z

具体计算时应根据



_ ^{f (x, y, z)d v}



_ ^{f (x, y, z)d v}

三种方法 ( 包含 12 种形式 ) 各有特点 , 被积函数及积分域的特点灵活选择 .

其中 _{为三个坐标} 例 1. 计算三重积分



_ ^xd^xd^yd^z,

1

2  

 y z

x _{所围成的闭区域 .} 解 :



:



  x d x d y d z





^{  }

 ^{(1 )}

0 1

0

12

d ) 2 1

(

d x ^x x y y

x



¹₀^{x2y d z}



^{ }

 ¹

0

3

2 )d

2 4 (

1 x x x x

y x

z 1 2

0     ) 1

(

0  y  ₂¹  x 1

0  x 



₀^{12(1x)d y}



 ¹

0 x d x

48

 1 面及平面

x1

y z 1

21

O

x

y 例 2. 计算三重积分



_ z² d xd y d z , z

. 1 : ₂²  ₂²  ₂² 

c z b

y a



x 其中

解 :



:







_ ^{z2 d x d y d z}



_ ^

 ^c

c z

c b z

a

z π (1 )d

2 ² ₂²

c z

c  



2 2 2

2 2

2

1

: c

z b

y a

D_z x   



_Dz ^{d x d y}



_^c_c^{z2 d z}

π 3

15

4 abc



a b

c

用“先二后一 ” Dz

z O

x

y z

2. 利用柱坐标计算三重积分 ,

) , ,

(x y z  R³

设 M 将x, y用极坐标



,



代替, _则（



,



, z) 就称为点 M 的柱坐标

.





































z

π 2 0

0









sin

 y

z z 





cos

 x

直角坐标与柱面坐标的关系 :

 常数



坐标面分别为

圆柱面

 常数



_半平面

 常数

z 平面



z M (x, y, z)

^{(x, y,0)}

O

如图所示 , 在柱面坐标系中体积元素 为 d v 



d



d



d z

因此



_ ^{f (x, y, z)dxdydz}



  F(



,



, z)

其中 F(



,



, z)  f (



cos



,



sin



, z ) 适用范围 :

1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 .

z d d

d

 



z

z d







 d d d 

x 

y z

d 

 d

O

2

a

x

y z

O

其中 _为 例 3. 计算三重积分



_ z x^{2 } y² dxdydz

x y

x²  ²  2 z  0, z  a (a  0), y  0 所

解 : 在柱面坐标系下



:



₀^2cos

^

^{2 d}

^





d 3 cos

4 ^π₂

0 2 3



 a





2cos 0  

0 



 ^2

a z 

 0 及平面

z

v d d d

d 

  



₀^{π2 d}

^



 ^a z z

0 d

z z



² d



d



d





原式 

2

9 8a

 由柱面



  2cos

围成半圆柱体 .

O

xO y z

例 4. 计算三重积分

解 : 在柱面坐标系下

h



:



^h₄^{2 d z}



_ ^

 ^{2 h} h

0

2

2 )d

( 4 π 1

2

 





] 4 )

4 1

ln(

) 4 1

π[(

h h

h  





h z 



h 2

0 





π 2 0 







₀^{2 h}_1

^ _

^{2 d}

^



₀^2πd

1 ,

d d d

2



_{ } ^x_x2^y_ ^z_y

z y

x²  ²  4 _与平面 z  h (h  0)_{所围成 .}

其中 _由抛物面

4

2

z

v d d d

d     原式 =

3. 利用球坐标计算三重积分 ,

) , ,

(x y z  R³

设 M _{其柱坐标为}(



,



, z),

就称为点 M 的球坐标 直角坐标与球面坐标的关系.



,



 zOM

  z

 r )

, ,

(r

 

则































π 0

π 2 0

0







r



cos sin

r x 





sin sin

r y 



cos r

z 

坐标面分别为

 常数

r _球面

 常数



半平面

 常数



锥面

, r OM  令

) , ,

(r   M





 r sin



cos r

z 

M

x

y z

O

r d

 d



r d



 d

如图所示 , 在球面坐标系中体积元素为







d d d sin

d v  r² r 因此有



_ ^{f (x, y, z)dxdydz}



  F(r,



,



)

其中 F(r,



,



)  f (r sin



cos



,r sin



sin



,r cos



) 适用范围 :

1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离 .







d d d

2 sin r

r ^x

y z

O

x y z

O 例 5. 计算三重积分



_ (^{x2  y2  z2})d^xd^yd^z ,

2

2 y

x

z  

为锥面 x²  y²  z²  R² 解 : 在球面坐标系下



:

z y x z

y

x )d d d

( ²  ²  ²





_

所围立体 .

4π

0 



 R r 

 0

π 2 0 





其中 与球面





 d d d sin

d v  r² r



₀^{R r4 d r}

) 2 2

( 5 π

1 ₅ 

 R



₀^π4sin

^

^d

^



 ^2π

0 d



4π

R r 

例 6. 求曲

面 (x²  y²  z²)²  a³z (a  0)_{所围立体体积 .} 解 : 由曲面方程可知 , 立体位于 xOy 面上

部 ,

, cos 0

: ³ 

  r  a

利用对称性 , 所求立体体积为



  v

V d

r

a r

3 cos d

0



^ 2





 cos d sin

3 π

2 ^π₂

0 3



 a π ³

3

1 a



3 cos a

r  2,

0    π _{0 }  _{ 2 π}



₀^{π2sin d}



 ^π2

0 d

4 

yOz 面对称 , 并与 xOy 面相

切 , 故在球坐标系下所围立体为 且关于 xOz





d d d sin

dv  r² r

y z

x a

O

r





内容小结

z y xd d d

z d d

d

 









d d d

2 sin r r

积分区域多由坐标面 被积函数形式简洁 , 或

坐标系 体积元素 适用情 直角坐标系况

柱面坐标系 球面坐标系

* 说明 :

三重积分也有类似二重积分的换元积分公式 :

) , , (

) , , (

w v u

z y J x



  对应雅可比行列式为





_ ^{f (x, y, z)dxdydz } _ ^{* F(u,v, w) J dudvdw}

变量可分离 . 围成 ;

2 , 

 x z z

1. 将

. ) (

) , ,

(x y z C



f 

用三次积分表示 , ,

2 ,

0 

 x

x y 1, x  2y  4, v

z y x f

I ^



_ ( , , )d ^{其中 由}

所

提示 :

2 0  x 

x y 2 ¹₂ 1  

 2

 z x



I



₀^{2d x}



₁^{221x d y}



_x^{2 f (x, y, z)dz}

思考与练习

六个平面 围成

,



:

2. 设



: x²  y²  z²  1, _计算



_ ^{z ln(}_x^2x_^{2 }_y^2y_^{2 }_z^2z_² ₁^{1) d v}

提示 : 利用对称性

原式 =





 ² 1

2

d d

y x

y x

 0

奇函数



^







   





2 

2

2 2

1 1

2 2

2

2 2

2

1 d ) 1

y ln(

x

y x

z z y

x

z y

x z

3. 设 _由锥面z  x²  y² _和球面 x²  y²  z²  4 所围成 , 计算I 



_ (x  y  z)² d v.

提示 :

z

xO y 2

4

利用对称性

v z

y

x ) d

( ²  ²  ²





_

v z

x z

y y

x z

y x

I 



_ ( ²  ²  ²  2  2  2 )d

用球坐标

r r⁴ d



2





^{4 sin} ^d







^{2d  64}

^

^{1 2}

^

^

作业

P162 1 (2),(3),(4) ; 4; 5;

7; 8; 9 ⁽²⁾ ;

*10 ⁽²⁾ ; 11 ^{(1), *(4)}

备用题

^1. 计

算 I ^



_ y 1^ x² d xd y d z , 所围成 .

其中 _由 1

, 1 ,

1 ²  ^{2 2}  ²  



 x z x z y

y

分析：若用“先二后一” , 则有 z x

x y

y I

Dy 1 d d

d ²

0

1





^

 

z x

x y

y

Dy 1 d d

d ²

1

0





^



计算较繁 ! 采用“三次积分”较好 .

1

z

x

y 1

O 1

 :

45

 28

  1

1 ²  ²  

 x z y

2 2

1 x z 1 x

    

1 1  

 x

x x d

1 ²

1

1









z

x

x

d

2

2

1

1



^





y y

z x

d

1

1 ^{2 2}









2 2 2 2

1 , 1, 1

y x z x z y

由        所围 , 故可

思考 : 若被积函数为 f ( y ) 时 , 如何计算简便 ? 表为

解 :

1

z

x

y 1

O 1 z

y x

x y

I 



 1 ² d d d

4 z

x y

1 O

2. 计算I 



_ ( x²  5xy² sin x²  y² )d x d y d z,^其中 .

4 ,

1 ),

2(

1 _{2 2}

围成 由 z  x  y z  z 



解 :I ^



_ x² d x d y d z 利用对称性

z y

x y

x )d d d

2 (

1 ₂  ₂





_

y x

y x

z

Dz( ) d d

2 d

1 ⁴ _{2 2}

1 



 







^{ }

 1 ⁴d z ² d ^2z r³ d r



 21

Dz

z y

x y

x y

x sin d d d

5



^{2 2  2}

 

 0