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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

3.2 3.2 定积分 定积分

高等数学 A

3.2.1 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程• 3.2.2 定积分的概念

3.2.3 定积分的简单性质 中值定理•

第 第 3 3 章 一元函数积分 章 一元函数积分

学 学

3.2 定积分

定 积 分 的 概 念 与 性 质

3.2.1 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 •

3.2.2 定积分的概念

3.2.3 定积分的简单性质 中值定理•

定积分的概念习例 1-3

定积分的性质习例 4-8 定积分的几何意义

本节内容小结

a b x y

o

 ? A 曲边梯形由连续曲线

实例 1 （求曲边梯形的面积）

) ( x

y f ( f ( x )



0 )

_、 x_{轴与两条直线}xa_、

b

x 

_所围成^.

) (x f y 

思考方法 : 利用“矩形面积 = 底高” .

一、曲边梯形的面积 变速直线运动的路程•

a b x y

a b x o

y

o

用矩形面积近似取代曲边梯形面积

显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．

（四个小矩形） （九个小矩形）

观察下列演示过程，注意当分割加细时，

矩形面积和与曲边三角形面积的关系．

播放播放

曲边梯形如图所示，

,

] , [ )

1 (

1 2

1

0 x x x x b

x a

b a

n

n  









  _

内插入若干个分点，

在区间

a b ^x

y

o

^{x1 xi1}_i^{xi xn1}

; ]

, [

] , [

1 1









 _{i i i}

i i

x x

x

x x

n b

a 长度为

， 个小区间

分成 把区间

， 上任取一点

在每个小区间

i

i i x x



] , [

) 2

( _1

i i

i x A

f ( ) 

为高的小矩形面积为 为底，

以[x_i1,x_i] f (_i)

i n

i i

n

i Ai f x

A 













) (

1 1

 曲边梯形面积的近似值为

i n

i

f

i

x A   

 

( ) lim

0 1





时，

趋近于零

即小区间的最大长度 当分割无限加细

) 0 (

} ,

, max{

, )

3 (

2

1   



 

 x x  x_n

曲边梯形面积为

全过程为：分割、近似、求和、取极限 .

实例 2 （求变速直线运动的路程

）

.

, 0 )

( ,

] ,

[

) ( ,

2 1

的路程 体在这段时间内所经过

求物 且

的一个连续函数 上

间隔

是时间 已知速度

设某物体作直线运动



 t v t

T T

t v v

思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．

（ 1 ）分

割

T

¹

 t

⁰

 t

¹

 t

²

   t

_n¹

 t

_n

 T

²

1





 t

_i

t

_i

t

_i

 s

_i

 v ( 

_i

)  t

_i

部分路程值 某时刻的速度

（ 2 ）求

和 ^{i i}

n

i

t v

s   



) (

1



（ 3 ）取极限

  max{  t

₁

,  t

₂

,  ,  t

_n

}

i n

i

v

i

t s   

 

( ) lim

0 1



路程的精确值 

注意 : 上述两例的共同点

(1) 所求量与一个函数及区间有关 . ]

, [ )

(x a b f

A 与

面积    

] ,

[ )

(t T₁ T₂ v

S 与

路程    

(2) 变与不变的矛盾 .

(3) 处理方法一样 : 分割、近似求和、取极限 . (4) 结果一样 : 都是同一形式的和式的极限 .

设函数

f ( x )

_在

[ a , b ]

_上有界，

(3)记





max{



x

₁

,



x

₂

,



,



x

_n

}

_{，如果不论对}

[ a , b ]

(1)在

[ a , b ]

_{中任意插入若干个分点}

b x

x x

x x

a 

₀



₁



₂

  

_n1



_n



把区间[a,b]_分成n_{个小区间，各小区间的长度依次为}

1







x

_i

x

_i

x

_{i ，}

( i



1 , 2 ,



)

_，

(2)在各小区间上任取 一点



_i（



_ix_i）， 作乘积f(



_i)x_i (i1,2,)

并作和 _{i i}

n

i

x f

S







) (

1



_，

1. 定义

二、 定积分的概念、定积分的几何意义

怎样的分法，



a^b

f ( x ) dx ^ I ^

ⁿ _{i i}

i

x f 







( )

lim

0 1





被 积 函

数 ^{被积表达式} 积分变量

积分区间 ]

, [a b

也不论在小区间[x_i1,x_i]_上点



_i^{怎样的取法，}

只要当



0_时，和

S

_{总趋于确定的极限}

I

_，

我们称这个极限I_为函数f(x)_在区间[a,b]_{上的定积分，} 记为 积分上限

积分下限

积分和

注意：⁽¹⁾ 积分值仅与被积函数及积分区间有关，



a^b

f ( x ) dx ^ 

a^b

f ( t ) dt ^ 

a^b

f ( u ) du

而与积分变量的字母无关.

如果存在 , 它就是一个确定的数值 !

(2)当函数f(x)_在区间[a,b]_{上的定积分存在时，} 称

f ( x )

_在区间

[ a , b ]

_上可积.

, )

( )

( ,

:

) 3

( ^{规定 当a  b时}



_a^{b f x dx  }



_b^{a f x dx}

. 0 )

( )

(

,  

 ^b



_a^{b f x dx}



_a^{a f x dx}

a 时 当

; ,

0 )

4

( 当  时 n   _但n  _{时不一定有}  0. ,

) (

) 5

( ^{曲边梯形的面积 A }



_a^{b f x dx 路程 S }



_T^T₁^2v(t)dt.

(6)定义中区间的分法和



i^{的取法是任意的.}

. )

(

,则 在区间上不可积 存在

积分和的极限不同或不

的不同的取法所得到的 与

若对区间的不同的分法

x f

i

如 Dirichlet 函数的讨论 .

若定积分存在 , 则可用特殊的区间分法和点的取法 来计算定积分 .

(7) 定积分的存在性有以下两个定理 ( 不加证明 )

定理 1 若f (x)在[a,b]上可积,则f (x)在[a,b]上有界.

定理 2

: ]

, [ )

(

, ]

, [ )

(

上可积 在

则

上满足下列条件之一 在

若

b a x

f

b a x

f

. ]

, [ )

( ) 3 (

; ]

, [ )

( ) 2 (

; ]

, [ )

( ) 1 (

上单调 在

断点 上只有有限个第一类间

在

上连续 在

b a x

f

b a x

f

b a x

f

(8) 定积分是一个构造性的定义 , 可利用定义求一些简单 函数的定积分 ; 同时可利用定义求 n 项和的极限 .

 

 



 

 



ⁿ

n i b

a

n

a b

n a b

a i f

dx x

f

1

) ] [ (

lim )

(

 

 







ⁿ

n i

n n

f i dx

x f

1 1

0

) 1 (

lim )

(

, 0 )

(x 

f



^



^{ }

  b

a

n

i f i xi A dx

x f

0 1 ( ) lim

)

( 

 曲边梯形的面积

, 0 )

(x 

f



^



^{  }



^{  }

 

  b

a

n

i i i

n

i f i xi f x A

dx x

f

0 1

0 1 ( ) lim ( )

lim )

(  





曲边梯形的面积的负值

a

A2 A³

A4

4 3

2

)

1

( x dx A A A A

b

f



a

^{ }

^

^

A1 _b

2. 定积分的几何意义

几何意义：

积取负号．

轴下方的面 在

轴上方的面积取正号；

在

数和．

之间的各部分面积的代 直线

的图形及两条 轴、函数

它是介于

x x

b x

a x

x f x



 ,

) (

 

 

例 1 ^{利用定义计算定积分}



_a^be^xdx.

例 2 已知 ,求

4 6 1

1

0 2

 



 ^dx x

4 ).

1 2

4 1 1

4 ( 1

lim _{2 2 2 2 2 2}

n n

n n

n   

 





 

例 3

. 0

, 2

, 1 ,

1 所围成的图形的面积 利用定积分的定义计算









 y

x

x x

y 3. 定积分的概念习例

. dx

be

a



x

利用定义计算定积分 解

);

, ,

2 , 1 (

), (

, ,

] , [ )

1 (

n n i

a b

a i x

n a x b

n b

a

i

i

 

 



 

 分点为

各小区间长度为 等分

分成 将

则 即

为区间的右端点

取 ( ), ,

) 2

( n

a b

a i x_i

i i

 



 



i n

i i n

i f i x  e ⁱx

1 1

)

( ^

n a e b

n i

n a b

a i  

 



  1

) (







 

 ⁿ

i

n a b i

a e

n e a b

1

) (

n a b

a n b

a b a

e e e e

n a b









 

 



1

) 1

(

例 1

1 ) 1 lim (

) ( lim

0 1



 

 





 _ ^





 





n a b

a n b

a b a

n n

i i i

e e e e

n a x b

f 



n a b

e e n

a

b _a ^{b a}

n 

 

 

 ^





) 1 lim (

a

b e

e 



a.

b b a

xdx e e

e  





求

已知 ,

4 6 1

1

0 2

 



 ^dx x

4 ).

1 2

4 1 1

4 ( 1

lim _{2 2 2 2 2 2}

n n

n n

n   

 





 

例 2

解













 

 

 

 

n n i

n

i n

n n

n n

1 2 2

2 2

2 2

2 2

4 lim 1

4 ) 1 2

4 1 1

4 ( 1

lim 

n n

i

n n i

1 )

( 4

lim 1

1 2









 



x dx



_

 ₀¹ ₂ 4

1 .

6

 

. 0

, 2

, 1 ,

1 所围成的图形的面积 利用定积分的定义计算









 y

x

x x

例 3 y

解

x y

o 1 2 dx

x

S ^



₁^{2(  1)}

依题意

n n

i

n n i

] 1 1 )

1 [(

lim

1











 



2.

 5

证



a^b

[ f ( x ) ^ g ( x )] dx

ⁿ _{i i i}

i

x g

f  

 

 

[ ( ) ( )]

lim

0 1

 



i i

n

i

x f 

 

 

( ) lim

0 1



 ^{i i}

n

i

x g 

 

 

( ) lim

0 1









^b

a

f ( x ) dx ^ 

a^b

g ( x ) dx .



a^b[f(x)^g(x)]dx^



a^bf(x)dx^



a^bg(x)dx^.

( 此性质可以推广到有限多个函数作和的情况 ) 性质 1

三、定积分的简单性质 中值定理•

( 定积分对积分区间具有可加性 )



 ^

a^b

b

a

kf ( x ) dx k f ( x ) dx

(

k

_为常数).

证



a^b

kf ( x ) dx

ⁿ _{i i}

i

x kf 

 

 

( ) lim

0 1





i i

n

i

x f

k 

 

 

( )

lim

0 1



 ^{i i}

n

i

x f

k 

 

 

( ) lim

0 1





. )

 (



^b

a

f x dx k

性质 2



a^b

f ( x ) dx ^  ^ 

c^b c

a

f ( x ) dx f ( x ) dx

^.

补充：不论 的相对位置如何

a , b , c

, 上式总成立 .

假设

a  c  b

性质 3

证 : 当a  c  b_{时 ,}

因f (x) _在 [a,b] _上可积 ,

所以在分割区间时 , 可以永远取 c 为分 点 ,

于是



^

] , [

) (

b

a f



i xi _



_{ }

] , [

) (

c

a f



i xi



^

] , [

) (

b

c f



i xi

a c _b

 0 令





_a^{b f (x)dx} 



_a^{c f (x)dx }



_c^{b f (x)dx}

a _b c

当 a , b , c 的相对位置任意时 , 例

如

a  b  c ,

则有



_a^{c f (x)dx} 



a^b f (x)dx ^



_b^{c f (x)dx}



 ^c

a f (x)dx



 ^b

a f (x) dx ^



b^c f (x)dx



 ^c

a f (x)dx ^



_c^{b f (x) dx}

b

dx

a



 ^{1 } 

a^b

^{dx  b  a}

^.

则



a^bf(^x)^dx0. (ab)

证 

f ( x )



0 ,  f ( 

_i

)  0 , ^{( i}

^

^{1 , 2 ,}

_

^{, n )} ,

 0

 x

_i

 ( ) 0 ,

1







 

 i i

n

i

x f

} ,

, ,

max{  x

₁

 x

₂

 x

_n

 





 ^b

a f (x)dx 性质 4

性质 5 如果在区间[a,b]_上f(x)0_，

. 0 )

( lim

0 1  





  i i

n i

x f 



) (b a c

bcdx

a  



性质 5 的推论 1

：

证 

f ( x )



g ( x ),



g ( x )



f ( x )



0 , ,

0 )]

( )

(

[  

 

a^b

^{g x f x dx}

, 0 )

( )

(   



a^b

b

a

g x dx f x dx

于是 ^b

f x dx



a

^{( ) } 

a^b

^{g ( x ) dx}

^.

则^bfxdx



a ^{() }



a^{bg(x)dx. (ab)}

如果在区间

[ a , b ]

_上

f ( x )  g ( x )

_，

（ 1 ）

dx x

b

f



a

^{( ) } 

a^b

^{f ( x ) dx}

^.

^{( a  b )}

证  

f ( x )



f ( x )



f ( x ) ,

, )

( )

( )

( x dx f x dx f x dx

f

^b

a b

a b

a

 

 ^{ }





即^b

f x dx



a

^{( ) } 

a^b

^{f ( x ) dx}

^.

说明： 可积性是显然 的 .

|

f ( x )

^|_在区间

[ a , b ]

_上的

性质 5 的推论 2 ：

（ 2

）

设M_及m_{分别是函数}

证 

m



f ( x )



M ,

, )

( 



 ^{ }



^b

a b

a b

a

m dx f x dx Mdx

).

( )

( )

( b a f x dx M b a

m

^b

a

 



 

（此性质可用于估计积分值的大致范围）

则

m ( b a )

^b

f ( x ) dx M ( b a )

a  







^.

)

( x

f

_在区间

[ a , b ]

_{上的最大值及最小值，} 性质 6

如果函数f(x)_在闭区间[a,b]_上连续，

证

M dx

x a f

m b

^b

a



 

 ¹  ^{( )}

) (

) ( )

( b a f x dx M b a

m

^b

a

 



 



由闭区间上连续函数的介值定理知

则在积分区间[a,b]_{上至少存在一个点}



^，

使^b

f x dx



a

^{( )}

^

^{f (  )( b}

^

^{a )}

^.

^{( a}

^

^

^

^{b )}

性质 7 （定积分中值定理）

积分中值公式

在区间

[ a , b ]

_{上至少存在一个点}



^，

使 1 ( ) , )

(^{ } _



a^b f x dx a

f b

dx x

bf



a ^{( ) f(}

^

^)(ba).

^{( a    b )}

在区间

[ a , b ]

_{上至少存在一}

个点



^，

即

积分中值公式的几何解释：

x y

o a



b

) (

f 使得以区间

[b a , ]

_为

以曲线

y



f ( x )

底边，

为曲边的曲边梯形的面积

等于同一底边而高为

^f (  )

的一个矩形的面积。

o a b x y y  f (x)

说明 :

都成立. 或a b

b

a  

• 可把 ( )d ( )



a f

b

x x

b f

a 





. ]

, [ )

( 在 上的平均值 理解为 f x a b

故它是有限个数的平均值概念的推广 .



• 积分中值定理对

a b

x x

b f

a





^{( )d}

因

n a f b

a b

n

i n i

 

 



 

 ( )

1 lim

1



_lim ¹ _{( )}



1

 

  ⁿ i

n f i

n



例 6 不通过计算能否得出下面积分的值 :



¹₁ x³dx. 定积分的性质习例

解 令

f ( x )



e

^x 

x , x



[ 2 , 0 ] ,

0 )

( x





f

⁰

( ) 0 ,

2

 

 



e

^x

x dx dx

e

^x







⁰

2 ⁰

,

2

x dx







于是



0^2

e

^x

dx

²

.

0

x dx



^



解

, sin

3 ) 1

(

₃

x x

f  

_

_x

_

_{[ 0 ,}

_

_], ,

1 sin

0 

³

x  ,

3 1 sin

3

1 4

1

3



 

x

3 , 1 sin

3

1 4

1

0

0 3

0 dx dx

dx



x





^{  } _ ^{ }

3 . sin

3

1

4 ^{0 3}

 

 

 



^ _x^dx

例 6 ^{不通过计算能否得出下面积分的值} :



_¹₁ ^x3dx. 解 ^{能！ 如图 .}

x y

o

 1

1

1

,

0 0 3

1

3

dx x dx

x 



_

^{ }

1

0

0 0 3

1

3

 

 

_

^{x dx}  ^{x dx}

.

1

0

1

3





_

^{x dx}

即

解 由积分中值定理知有 

[ x , x



2 ],

使

f t dt

t t

x



x ^2

^{sin 3 ( )   sin 3} _ ^{f (  )( x  2  x ),}

dt t

t f

x

t

x

^lim

_



x ^2

^{sin 3 ( )  2}

_

^lim

_

^{ sin} _ ^{3 f (  )}

) ( 3 lim

2 



f



 

 6 .

内 容 小 结

１ . 定积分的实质：特殊和式的极限

．２ . 定积分的思想和方法：

分割 化整为零

求和 积零为整

取极限 精确值——定积分

求近似以直（不变）代曲（变）

取极限

3. 定积分的性质