第三节 函数的极限

第一章

一、自变量趋于有限值时函数的极限

第三节

, ) (x f y  对

) 0

1

( x  x

 ₀

) 2

( x x

 ₀

) 3

( x x



 x

) 4 (



 x

) 5 (



 x

) 6 (

自变量变化过程的六种形式 :

二、自变量趋于无穷大时函数的极限

本节内容 :

函数的极限

一、自变量趋于有限值时函数的极限

1. x  x_{0 时函数极限的定义}

引例 . 测量正方形面积(. 真值 :边长为

x

₀

;

面积为 A )

边长

面积 x² 直接观测值

间接观测值 任给精度  ,

要求 x²  A 



确定直接观测值精度  :





 x₀ x

x

0

A

x

定义 1 . 设函数f (x) 在点 x₀ 的某去心邻域内有定义 , ,

 0





^



^{ 0,}当 0  x  x₀ 



_{时 , 有}f (x)  A 



则称常数 A 为函数

f ( x )

_当

x  x

_{0 时的极限} , A

x

x f

x 

 ( ) lim

0 或 f (x)  A (当x  x₀)

即 



 0, 



 0,_当x U^ (x₀ ,



) 时 ,

有 若

记作





 A x

f ( ) A

x

x f

x 

 ( ) lim

0

极限存在 函数局部有界

(P36 定理 2)

这表明 :



 A



 A

几何解释 :

O A

0 x x

y y  f (x)

例 1. 证明lim ( )

0

为常数 C

C

x C

x 



证 : f (x)  A  C  C  0

故



 0, 对任意的



 0, 当0  x  x₀ 



_时 ,







 C 0 C

因此 C C

x

x 

 ₀

lim 总有

例 2. 证明lim(2 1) 1

1  

 x

x

证 : f (x)  A  (2x 1) 1  2 x 1 欲使

,

 0





取







2, _则当 0  x 1 



_时 , 必有











 (2 1) 1 )

(x A x

f 因此

, )

(x  A 



f _{只要 x }1 _



2 ,

1 )

1 2

(

lim1  

 x

x

例 3. 证明 2 1

lim 1

2

1 





 x x

x

证 : f (x)  A 2 1

2 1

 

 

x

x  x 1 2

故 



 0, 取







, _当0  x 1 



_{时 , 必有}





 

 2 1

2 1 x x

因此 2

1 lim 1

2

1 





 x x

x

1

 x

例 4. 证明 : 当x₀  0

证 : f (x)  A  x  x₀

0 0

1 x x

x 

 欲使

,

 0





且

.

 0

x _而 x  0 可用





 x₀ x

因此

, )

(x  A 



f _只要 x  x₀  x₀



,

0 0

lim x x

x

x 



.

lim ₀

0

x

x x

x 

时 

0 0

x x

x x



 



^,



^, 故取

min x₀ x₀

  则当 0  x  x₀ 



_时 ,

0

0 x

x

x   _{保证 .}

必有

O

x x

₀ x

2. 保号性定理

定理 1 . 若lim ( ) ,

0

A x

x f

x 

 且 A > 0 ,

, )

,

( ₀ 时

使当x U^ x



f (x)  0. ) 0 )

(

( f x  证 : 已

知

, )

( lim

0

A x

x f

x 

 即



 0,  U^ (x₀ ,



),_当 时 , 有A 



 f (x)  A 



.

当 A > 0 时

, 取正数



 A ,

则在对应的邻域 上 .

0 )

(x  f

(< 0) (



 A)

( A < 0 ) 则存在U^ (x₀ ,



),

) ,

(x₀



U

x  ^

) ,

(x₀



U^

(P37 定理 3)

) ( 0



 A



 A



0 

 x x0

A

0 x x

y y  f (x)

O





  

 f x A

A ( )

:

 0 A

:

 0 A

若取 ^, 2

 A

 则在对应的邻域 上 若 lim ( ) 0,

0



 f x  A

x

x 则存在 使当

时 , 有 ^. ) 2

( A

x

f 

推论 :

2 ) 3

2 (

x A A  f 

) 2 2 (

3 A

x A f









) ,

(x₀



U^

, ) ,

(x₀



U^

) ,

(x₀



U

x  ^{ (P37 定理 3´)}

分析 :



 A



 A



0 

 x x0

A

0 x x

y y  f (x)

O

定理 2 . 若在

x

0 _{的某去心邻域内}

_{f ( x )  0}

) 0 )

(

( f x 

, 且

, )

( lim

0

A x

x

f

x



 则 A  0.

) 0 ( A 

证 : 用反证法

. 则由定理 1

,

x

0_{的某去心邻域} , 使在该邻域内

f ( x )  0 ,

_与已知

所以假设不真 ,

A  0 .

( 同样可证

f ( x )  0

_{的情形 )}

思考 : 若定理 2 中的条件改为

f ( x )  0 ,

_{是否必有 A  0?}

不能 !

lim

²

0

0





x

x

存在

如

假设 A < 0 ,

条件矛盾 , 故

时

,

当 f ( x )  0

3. 左极限与右极限

左极限 :

f ( x

₀^

)  f x A

x

x



 

( ) lim

0

,

 0

 

^



^{ 0,}当

x  ( x

₀

  , x

₀

)

时 , 有

f ( x )  A   .

右极限 :

f ( x

₀^

)  f x A

x

x



 

( ) lim

0

,

 0

 





 0, 当

x  ( x

₀

, x

₀

  )

时 , 有

f ( x )  A   .

定理 3 .

A x

x

f

x





( ) lim

0

A x

f x

f

x x

x

x

 



 



( ) lim ( ) lim

0

0 ( P39 题 ^*11 )

例 5. 给定函 数



















0 ,

1

0 ,

0

0 ,

1 )

(

x x

x x x

x f

讨论 x  0 _时

f ( x )

_{的极限是否存在} . 解 : 利用定理 3 .因为

) ( lim

0

f x

x ^

lim ( 1 )

0





 

x

x

  1

) ( lim

0

f x

x ^

lim ( 1 )

0





 

x

x

 1

显然

f ( 0

^

)  f ( 0

^

) ,

所以

lim ( )

0

f x

x 不存在

x y

O 1

1

 x y

1 y  x 1

X

 X



 A





A O x

y

) (x f y 

A

定义 2 . 设函数f (x)当 x _{大于某一正数时有定义 ,若} ,

 0

 X 当 x  X 时,有 f (x)  A 



, _则称常数 时的极限 ,

A x

x f 



 ( )

lim 或 f (x)  A (当x  )

几何解释 :



   

 f x A

A ( )

X x

X

x   或 

记作

直线 y = A 为曲线y  f (x) _{的水平渐近线} ,

 0







 x

x

f ( )当 A 为函

数

二、自变量趋于无穷大时函数的极限

例 6. 证明 1 0.

lim 



 x

x

证 : 1  0

x x

 1

取 1 ,





X 当 x  X 时, 1  0 



x

因此 1 0

lim 



 x

x

注 :

就有 故 



 0, 欲使 1  0 



,

x ^只要 1 ,





x

1 .

0为 的水平渐近线 y x

y  

O x

y

y  1x

O x y

x 1

 x 1

x 1

x x g

x

f   

1 ) 1

( 1 ,

) (

直线 y = A 仍是曲线 ^{y = f (x)} 的渐近 线 .

两种特殊情况 : A

x

x f 



 ( )

lim 



 0,  X  0, _当 x  X _时 , 有





 A x

f ( ) A

x

x f 



 ( )

lim 



 0,  X  0, _当 x  X _{时 ,}



有



 A x

f ( ) 几何意义 :

例如，

都有水平渐近线 y  0;

x

x g x

x

f ( ) 1 2^ , ( ) 1 2 都有水平渐近线

y  1 .

又如， O x

y 1 2^x

x

 2 1

内容小结

1. 函数极限的"







" _或"



 X" _{定义及应用} 2. 函数极限的性质 保号性定理:

与左右极限等价定理

思考与练习

1. 若极限 lim ( )

0

x

x f

x 存在 , lim ( ) ( ₀)

0

x f x

x f

x 



2. 设函数f (x)  ^且 lim ( )

1 f x

x 存在 , 则

.



a

3

例 3

作业

P37 1 ; 4 ;

^*

5

⁽²⁾

;

^*

6

⁽²⁾

;

^*

9

Th1

Th3 Th2

是否一定有

1 ,

1 2

1

2,



 

x x

x x

a

？