第二章导数与微分导学（2013年5月9日星期四）

(1)

4.4 函数展开成幂级数

一、相关问题

1.若函数 f(x)_是n1阶可导，则可知函数在x0I处能作Tylor展开，而若函数任

意阶可导，相应的 Taylor展开式是怎样的形式？

解此时函数可以无穷项展开下去，即作Taylor级数展开。

二、相关知识

1. f(x)_{在该邻域内能展开成}Taylor级数的充分必要条件是什么？

2.Maclaurin级数跟Taylor级数的联系是什么？

3.什么函数可以用直接展开法展开？

解见教材。

三、练习题

1.试在x 0处，展开 f(x)e^x为Taylor级数。

解 f(x)e^x 显然有各阶连续导数，且 f^{( )}ⁿ ( )x e^x，于是 f^{( )}ⁿ (0)e⁰ 1，

　　 1 ² 1 ¹

1 2! ! ( 1)!

x n e n

e x x x x

n n

 

     

  ^，其中_在₀_到x_之间，

1 1

1 | |

0 lim | ( ) | lim | | lim | | lim

( 1)! ( 1)! ( 1)!

n n

n

n n n n n

e x e x

R x x e

x x x

 

  



   

   

  

对指定的x_来说，| | | |  x ，e^是非零有界变量，用正项级数比值判别法可知，对任意

的 x R 级数

1

0

| | ( 1)!

n

x n

 

 



都收敛，因而

| | 1

lim 0

( 1)!

n n

x n



 

 ，由两边夹定理有

lim | R ( ) | 0_n

n x

  _{于是，对任何实数}x_，都有

0

e !

n x

n

x n







2.试展开 ₂

2 1

x ^为^Maclaurin^级数。

解注意到 ( ) , 1 1 )

( 1

1 1

1

0





 

 





^



t t t

t n

n ；那么就有

2 2 2

2 ) ( 1 1

1 2

1 2 1 1

1 2 1 2

1

x

x x 









 

　　　　　 ( 2 2)

2 ) 1 ) (

2 ( 1 ) 1 2 (

1 ₂

0 1

2 0



 







 

^

 





x x

x ⁿ

n n

n

3.将函数 f(x)ln(1x)_展开成

x

的幂级数。

1

(2)

解因为 ^' 1 (x) 1

f  x

 ^{, 而} 1

1x^{是收敛的等比级数} 0

( 1)ⁿ ⁿ

n

 x





 ^，^{( 1 x 1)}^{  } ^{的和函数：}

2 3

1 1 ( 1) x

1

n n

x x x

x        

  ^.

所以将上式从0到x逐项积分, 得

2 3 4 1

ln(1 ) x ( 1)

2 3 4 1

n

x x x n x

x n

         

  ^。

4.将函数 f x( ) sin x展开成( )

x4 的幂级数。

解因为

2

sin sin[ ( )] [cos( ) sin( )]

4 4 2 4 4

x   x   x  x ^,

并且有

1 ² 1 ⁴

cos( ) 1 ( ) ( )

4 2! 4 4! 4

x   x  x ⁽^{   }^x ⁾

1 ³ 1 ⁵

sin( ) ( ) ( ) ( )

4 4 3! 4 5! 4

x  x  x  x  ⁽^{   }^x ⁾

所以 2 1 ² 1 ³

sin [1 (x ) (x ) (x ) ]

2 4 2! 4 3! 4

x        ⁽^{   }^x ⁾

5.计算⁵ 240的近似值, 要求误差不超过0.0001。

解因为⁵ ⁵ 1₄ ^1/5 240 243 3 3(1 )

   3 ，

所以在二项展开式中取 1

m5, 1₄

x 3 , 即得

5

4 2 8 2 12

1 1 1 4 1 1 4 9 1

240 3(1 )

5 3 5 2! 3 5 3! 3

  

     

  

这个级数收敛很快，取前两项和作为⁵ 240的近似值, 其误差(也叫做截断误差)为

₂ 1 1₄ 1 4 1₂ ₈ 1 4 9 1₂ ₁₂ 1 4 1₂ ₈ 1 1 ²

| r | 3( ) 3 [1 ( ) ]

5 3 5 2! 3 5 3! 3 5 2! 3 81 81

   

         

    

⁸

6 1 1 1 1

25 3 1 1 25 27 40 20000 81

    

 

 ^。

于是取近似式为⁵ 1 1₄

240 3(1 )

  5 3 , 为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差) 与截断误差之和不超过 10^4，计算时应取五位小数，然后四舍五入，因此最后得

5 240 2.9926 。

2

(3)

6.利用 ³ 3

sinx x1x _求sin9⁰的近似值，并估计误差。

解首先把角度化成弧度：

9⁰ 9( )= ( )

180 20

 

 

弧弧弧弧

，从而 1 ³

sin ( )

20 20 3! 20

     ，

其次，估计这个近似值的精确度。在sinx的幂级数展开式中令

x_ 20

，得

3 5 7

1 1 1

sin ( ) ( ) ( )

20 20 3! 20 5! 20 7! 20

         

等式右端是一个收敛的交错级数, 且各项的绝对值单调减少，取它的前两项之和作为 sin20

 的近似值，取误差为 ₂ 1 ⁵ 1 ⁵ 1

| r | ( ) (0.2)

5! 20 120 300000

     ，取 0.157080

20

  ，

( )3 0.003876 20

  ，得sin 9⁰ 0.15643，这时误差不超过10^5。

四、思考题

1.幂级数展开式是否具有唯一性？解是。

2.多项式函数的幂函数展开式是什么样？解就是它本身。

3.由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系。因此，数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题。试证明：

) 1 ln 3

1 2 1 1 (

lim n

n

n     



  存在。（此极限值称为Euler常数）

证设 n

a_n n1 ln

3 1 2

11   

  ^，则 1

|a_n a_n | |1 [lnn ln(n 1)] |

 n

    

对函数 ylnt 在 [n1, ]n 上应用 Lagrange 中值定理得

ln ln( 1) 1 n n 1

n 

  

  ⁽⁰  ¹⁾_，

所以： 1 2

1 1 1 1

| | | | | |

1 ( 1 ) ( 1)

n n

a a

n n n n n



 



     

    

因为 ₂

2

1 ( 1)

n n



 



^{收敛，由比较判别法知} ¹

2

| _n _n |

n

a a









 ^也收敛，

所以lim _n

n a

 存在，即 1 1 1

lim(1 ln )

2 3

n n

n

      ^存在。

3

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