第十一章 傅立叶级数与积分变换 - DrHuang.com

第十一章 傅立叶级数与积分变换

在理论和应用上，常常要考察一个函数与一正交函数系之间的关系.傅立叶级数理论就是

研究在有限区间上的这个关系，对于区间是无限的情况，傅立叶变换理论(包括傅立叶变换，

拉普拉斯变换等积分变换)，就是这一理论的推广.本章重点介绍在有限区间上函数用傅立叶三 角级数表示，在无限区间上函数用某种特殊的积分形式表示，如傅立叶变换，拉普拉斯变换，

梅林变换，汉克尔变换等，这些都是傅立叶分析的重要内容.

傅立叶分析在研究振动和波动现象及解数学物理方程时是个重要的工具.它在物理上还 说明：任意波形总能进行谱分解，即表为不同频率，不同振幅的简谐波的线性叠加.在六十年 代发展了快速傅立叶变换，为傅立叶分析在实际中的广泛应用创造了条件，本章收集了关于 这方面的部分内容.

§1 傅立叶级数

一、 三角级数与傅立叶级数

[正交函数系] 一个函数系

₀(x),₁(x),,_n(x), (1) 其中每个函数都是定义在区间[a,b]上的实函数或实变量的复值函数，如果满足

1 ( ) ( )d 0

_a



^{x x x}

b ⁿ

b

am  ( m  n )

就称函数系(1)为区间[a,b]上的正交函数系，式中_n(x) 是_n(x)的共轭函数.如果再满足 1

d ) 1 (

d ) ( )

1 ( ₂ 

 

_a



^{x x x} _{b a}



^{x x}

b

b a m m

b

am  

就称函数系(1)为[a,b]上的标准(规范)正交函数系.例如









, sin , , 2 sin , sin

, , cos , , 2 cos , cos , 1

x n x

x

x n x

x











 是区间_^ _^

,2 2

T

T 上的正交函数系，式中

T

 ² ，函数系

) , 2 , 1 , 0 2 ,

(

e n   

T

x n

i ^  

是区间_^ _^

,2 2

T

T 上的标准正交函数系.

设给定函数系

) ( ,

), ( ),

( 0 0

0 x _M 1 x _{M N} x

M    

  (2) 其中自变量x取有限个离散值

h N N h

N h

N₀ , ( ₀ 1) , , ( ₀  ) 满足







 





^

 1 ( )

) ( ) 0

( ) 1 (

1 ⁰

0 m n

n kh m

N kh ⁿ

N N

N k

m 

 就称函数系( 2 )为标准正交函数系，式中

N N n N N M m M

h0, ₀   ₀  , ₀   ₀  例如取 M₀  N₀ 0

) , , 1 , 0 1, (d 2

e )

( m N

h N x ^idmx

m  

 

 

 就是一个标准正交函数系.

[三角级数的几种类型]

类 型 表 达 式

实 数 型

余 弦 级 数

正 弦 级 数



^







1

0 ( cos sin )

2 n

n

n nx b nx

a a

式中 a₀,a_n,b_n是实常数



^





1

0 cos

2 n

n nx

a a



^

1

sin

n

n nx

b

复 数 型



^



 n

inx ne

c

式中

2

0 0

c a ,

2

n n n

b i

c a 

 ,

2

n n n

n

b i c a

c 



  ,i 1

[傅立叶级数] 设函数 f(x)在区间[0,2]上绝对可积，且令





























2 0 2 0

) , 2 , 1 ( d

sin ) 1 (

) , 2 , 1 , 0 ( d cos ) 1 (



 n

x nx x f b

n x nx x

f a

n n

以a_n,b_n为系数作三角级数

) sin cos

2 ₁(

0 a nx b nx

a

n n

n 





^



它称为 f(x)的傅立叶级数，a_n,b_n称为 f(x)的傅立叶系数.不管级数(1)是否收敛，或者收敛而 不管它是否等于 f(x)，都记作

) (x

f ～ ( cos sin )

2 ₁

0 a nx b nx

a

n n

n 





^



如果 f(x)的傅立叶级数点点收敛，而且它的和等于 f(x)(除去有限个点外)，那末级数(1)称为

) (x

f 的傅立叶展开，记作

) sin cos

2 ( ) (

1

0 a nx b nx

x a

f _n

n

n 







^



注意：1^o 如果 f(x)在区间[0,2]上绝对可积，那末一定有它的傅立叶级数，但是，不

一定有它的傅立叶展开(可以展开的条件参看本节，四).

2^o 如果在区间[0,2]上有一个三角级数一致收敛(或囿收敛，即部分和点点收敛且一致 有界)于函数 f(x)，那末这个级数就是函数 f(x)的傅立叶展开.

3^o 区间[0,2]上两个绝对可积函数 f(x)，g(x)，如果除去有限个点外处处相等(可以推 广到几乎处处相等 )，那末 f(x)和g(x)的所有对应的傅立叶系数都一致.

4^o 定义 f(x2) f(x)，那末函数 f(x)的定义域可推广到整个数轴，求傅立叶系数的 积分区间可以换成长度为2的任意区间，例如[,]等.

二、 f ( x )在其他区间上的傅立叶级数

[在[,]区间上]

f(x)～

 

^















n

x n i n n

n

n nx b nx c

a a

e )

sin cos

2 1(

0





^

  ^{f t nt t}

a_n 1 ( )c o s d

(n0,1,2,) 



^

  ^{f t nt t}

b_n 1 ( )s i n d

(n1,2,)





 ^ 

  ^{f t e t}

c_n ( ) ^intd 2

1 (n0,1,2,) 或者

f ( x )～



 



^_  

1

d ) ( cos ) 1 (

d ) 2 (

1

n

t t x n t

f t

t

f ^





 

 =

 

^





 

 n

t x n

i t

t

 f

  ^{( )e d}

2

1 ( )

特别，若 f(x)是偶函数，则bn= 0，得到 f(x)的傅立叶余弦级数 )

(x

f ～

  

^















1 0

1 0

0 2 cos ( )cos d

d ) 1 (

2 n cos n

n nx f t t nx f t nt t

a a ^{ }





若 f(x)是奇函数，则a_n 0，得到 f(x)的傅立叶正弦级数 )

(x

f ～

 

^











1 0

1

d sin ) ( 2 sin

sin

n n

n nx nx f t nt t

b ^

 ^

[在[-l , l]区间上]

) (x

f ～

l x c in

l x b n

l x a n

a

n n n

n n





 sin ) exp

cos

2 ₁(

0

 

^















如果除掉一个测度等于零的点集外 f(x)与g ( x )都相等，那末称f(x)与g ( x )几乎处处相等。关 于测度的定义，见第九章§7，一。





^l

n l t

l t t n

l f

a 1 ( )c o s d

(n0,1,2,) 



^l

n l t

l t t n

l f

b 1 ( )s i n d

(n1,2,)





 ^l 

n l t

l t t in

l f

c ( )exp d

2

1 

(n0,1,2,) 或者

f(x)～









 

 

l

l n

l

l t

l t x t n

l f t t

l f 1

)d cos (

) 1 (

d ) 2 (

1 

 

^





 

 

n l

l t

l t x t in

l f ( )d

exp ) 2 (

1 

当 f(x)是偶函数或奇函数时，同区间[,]上的情形一样，分别有余弦级数或正弦级数.

[在[,]区间上]

f(x)～



^

 



 









 





 

1

0 (2 )

) sin 2

cos (

2 n

n n

x b n

x a n

a























^



 



 

n n

x c in









(2 ) exp

^ _



^ ^_^









 ^t

t t n

f

a_n (2 )d

c o s ) 2 (

(n0,1,2,)

^ _



^ ^_^









 ^t

t t n

f

b_n (2 )d

s i n ) 2 (

(n1,2,)

^ _



^{ } _^ ^









 ^t

t t in

f

c_n (2 )d

exp ) 2 (

(n0,1,2,) 或者

f ( x )～ n x t t

t f t

t f

n

)d ( cos2 ) 2 (

d ) 1 (

 

^1

 



 









  











 

^



 



 

n

t t x n t i

f

  





 ^d

) ( exp 2 ) 1 (

三、 傅立叶系数的性质

1^o 绝对可积函数 f(x)的傅立叶系数收敛于零，即

1 ( )c o s d 0

l i m

l i m ²

0 

 









 ^{f t nt t} an n

n

1 ( )s i n d 0

l i m

l i m ²

0 

 









 ^{f t nt t} bn n

n

特别，如果 f(x)在区间[0,2]上有有界变差 ，或者单调上升有界，或在[0,2]上分段单 调，那末都有



 



 



 



 

b n

a_n n _n 1

O 1 ,

O

如果 f(x)及它们一直到k阶的导数在区间[0,2]上都是有界变差函数，或者都单调上升

有界变差定义见第五章 §1.

有界，或在[0,2]上分段单调，那末



 



  1_1

O _k

n n

a , _



 



  1_1

O _k

n n

b

2^o 如果函数 f(x)在[0,2]上平方可积 ，那末

^



^_ ^{ }



1

2 0

2 2

2 2

0 1 [ ( )] d

) 2 n (

n

n b f x x

a a ^



这个公式称为帕塞法耳等式或封闭性方程.

3^o 如果函数 f(x)，g(x)在[0,2]上平方可积，它们的傅立叶级数是

f(x)～



^







1

0 ( cos sin )

2 n

n

n nx b nx

a a g(x)～



^



 

 



1

0 ( cos sin )

2 n

n

n nx b nx

a a 那末有下面的广义封闭性方程

 

^



 

 

 





2

0 1

0

0 ( )

) 2 ( ) 1 (

n

n n n

na b b

a a dx a x g x f

4^o 如果函数 f(x)在区间[0,2]上绝对可积，bn是它的傅立叶级数的正

弦项系数，那末级数



^

1 n

n

n b 收敛.

四、 傅立叶级数的收敛性及在第一类间断点的性质

[傅立叶级数收敛性的判别]

1^o 假设 f(x)的傅立叶级数的部分和为









 ^m

n

n n

m a a nx b nx

x s

1

0 ( cos sin )

) 2 (

如果当m,sm(x)趋于(在某一点x趋于，或在某一区间内一致地趋于)函数 f(x)，那末函数

) (x

f 的傅立叶级数收敛于函数 f(x).

2^o 如果函数 f(x)在开区间(,)内分段单调，并在该区间内有有限个第一类间断点，

那末(i) sm(x)在连续点x收敛于 f(x)；(ii)在第一类间断点x0收敛于

2

) 0 ( ) 0

(x₀   f x₀ 

f ；(iii) 在区间的端点，即x 与x上，等于

2

) 0 ( ) 0

(  f 

f .(狄利克莱定理)

3^o 如果函数 f(x)在区间[,]上分段可微，在连续点上有导数，在第一类间断点 x0处 极限

t x f t x f

t

) 0 ( )

lim ( ^{0 0}

0









 和

t x f t x f

t 











) 0 ( )

lim ( ^{0 0}

0

存在，那末s_m(x)在连续点x上收敛于 f(x)，在间断点x₀上收敛于

平方可积函数的定义见第九章 §7， 一.

2

) 0 ( ) 0

(x₀   f x₀  f

[ 吉 布 斯 现 象 ] 以 2 为 周 期 的 函 数 f(x) 具 有 第 一 类 间 断 点  ， 令 2

) 0 ( ) 0 ) (

(   

  

 ^{f f}

f ，在点函数的跳跃为D f(0)f(0)，假定函数 f(x)在点 的某邻域(,)内没有其他间断点，且有有界变差.令函数 f(x)的傅立叶级数部分和为

sm(x).那末函数 f(x)的傅立叶级数在点处是收敛的，但在该邻域内不一致收敛.这时有一种奇

怪的现象(称为吉布斯现象)出现：

存在点列

 

_m  0，和

 

^m ^0，使得 sm m f D

m     



 ( ) ( 0)

lim

sm m f D

m    



 ( ) ( 0)

l i m

^_



0^{  }0.0 8 9 4 8 9 8 7 2

d 1 s i n

1 t 

t t

因此，sm(x)在间断点的邻域内的振幅的极限为

sm m sm m D D

mlim[ ( ) ( )] 2





它比函数 f(x)在点的跳跃量 D 大2D (约 18%)，或者是

D 的121.17897975倍(图11.1).

例 函数





























0 2,

, 0 ,

0

0 2,

) (

x x

x x

f

 



 

的傅立叶级数为

) (x

f ～



^

 



1 2 1

) 1 2 2 sin(

n n

x n 点x=0为 f(x)的第一类间断点,其跳跃D=π



 

 ^m 

n

m n

x x n

s

1 2 1

) 1 2 2 sin(

) ( y = s_m(x) (m=1,2,3,4,5,6)的曲线如图11.2.

存在点列 0

2 

 m

m

  , 0

2 



 m

m

  , 使得



^

 



 

0 sin d 1.85193706

) (

lim t 

t s_{m m} t

m



^{ }



 



 

0 sin d 1.85193706

) (

lim t 

t s_{m m} t

m

当m时，sm(x)的极限图形如图11.3(注意在点x=0的形状).

五、 傅立叶级数的逐项积分与微分

[逐项微分] 假定在区间[,]上绝对可积函数 f(x)的傅立叶级数是

) (x

f ～ 

2 a0



^





1

) sin cos

(

n

n

n nx b nx

a

那末不管它是否收敛于f ( x )，都可逐项积分. 即对任意区间[a,b] (其中 ab)，下 列关系成立：



 





























1 0

1 0

)]

cos (cos

) sin (sin

1[ ) 2 (

d ) sin cos

( 2 d

d ) (

n

n n

b

a n

b

a n n

b a

na nb

b na nb

n a a

a b

x nx b

nx a

a x x x f

[逐项微分] 假定函数 f(x)在区间[,]上连续， f() f(),并有绝对可积的导数

) ( ' x

f (可能有有限个点没有导数) ，那末函数 f '(x)的傅立叶级数可由逐项微分 f(x)的傅立叶

级数得到，即

) ( ' x

f ～



^















1 1

) sin cos

( '

) sin cos

(

n n

n n

n

n nx b nx n b nx a nx

a

这里没有指出右边级数是否收敛于 f '(x) , 对具体问题还应作具体判断.

六、 函数的傅立叶级数展开式表

1^o























































l x b a

b a x a

a x a

a x b a

b a x l y

, 0

, 1

, 0

) ( , 1

) ( ,

0

l x n l

b a n l

b n n l

y b

n







 2 ^cos

) 2 cos ( sin 2

1 4

1



^



 

 2^o

























































l x b a

b a x a

a x a

a x b a

b a x l y

, 0

, 1

, 0

) ( , 1

) ( ,

0

l x n l

b a n l

b n y n

n







 2 ^sin

) 2 sin ( sin 2

1 4

1



^



  3^o

























 















 



 





 

x x

x y

2, 2 , 2,



^





1

c o s s i n

n

n nx

y n

4^o



































l l x

c

x l b l

x l l a y

, 3

3 , 3

, 3



^

 

    

 

 

1

3 sin sin2 ) ( 2 cos

) 2

3 ( 1sin 1

3 _n l

x n a n

l c x c n

a n b

n c

b

y a    

 5^o yx, lxl



^



 



1

1

s i n )

1 ( 2

n

n

l x n n

y l 



6^O

















 



 

 



a l x a

a x a a

x y

2 ,

0

, 2 1

1



^











 



 







1 1

2

2 1 sin cos sin

cos 1sin

1

2 n n l

x n l

a n l

a n l

a n n

a l l

x n l

a n n n l

y a    





 7^o















































 2 2

, 2

2 ,

0 ,

x x

x x

x x

y



^





1

s i n c o s 2

n

n nx

y n

8^o



















 



















2 ,

) (

, ) (

x x

x y x



^





1

2 s i n s i n 2

n

n nx

y n

9^o y  x , l xl



^





 



1

2 2

) 1 2 cos( ) 1 2 (

1 4

2 _n l

x n n

l

y l 

 10^o









































l l x

x l

x l x l

x l l x l y

, 2

2 , 2

, 2



^



 



 

1

2 1 2

) 1 2 s i n( ) 1 2 (

) 1 ( 4

n

n

l x n n

y l 



11^o





















 

a l x a

a a x a a

x y

2 ,

0

0 , ,

1



^





 

 





1 2

2 1 1 c o s c o s

2

2 n l

x n l

a n n

a l l

y a  



12^o





















 



 x

x x

y

, 2 0

2 , 2



^





 



  





1

2

2 2 c o s

s i n2 c o s2

2 1

8 n

x n n

n n n

y n   



 13^o































































 









x x

x x

x

x x

y

2 1 1

2 1 2

1 1

2 1

2 1 1

, ) (

, ) 2(

0 ,

) (

_



 



   

0 ₂ ₁ 2

nx

n n y n

n

s i n s i n

s i n 2

1

2 2



^ 1



  

14^o





































 







 



x x x

x y

, 2 2

2 , 2

, 2 2



^











 



 

 

1 1

2 1 1

) 1 2 s i n ( )

1 2 (

) 1 ( s i n 2

) 1 (

n n

n n

x n n

n nx

y 

15^o















 

















 









 

x x a

x a

x ax

y

), (

,

0 ,



^



 

 

1

2 s i n (2 1) )

1 2 (

) 1 2 s i n ( 4

n

x n n

n

y a 





16^o y x² x,   x



^



 



 



 







1

2 1

2 sin 2cos

) 1 ( 3 2n

n

n x n n

x y  n

17^o y x², l xl



^



 



1 2 2

2 2

c o s ) 1 ( 4

3 _n

n

l x n n

l

y l 



18^o

















 

l x x

x l y x

0 ,

0 ,

2 2



 



 



 





 





^ 



l x n n

l x n n

n y l

n





 



s i n2 2

) 1 2 s i n( )

1 2 (

4 1

2 2

2 1

3 2

3 2

19^o

















 









x x

x

x x

y x

0 ),

(

0 ,

) (



^



 



1

3 s i n (2 1) )

1 2 (

1 8

n

x n n

y  20^o



















 









x x

x

x x

y x

0 ),

(

0 ,

) (



^







1 2 2

2 c o s 1

6 n

n nx y 

21^o





















 















x x

x y x

, ) (

0 ,

) (

2 2

2 2



^







1 2 2

c o s c o s 3 4n

n nx

y  n

22^o















 



 x x

x y x

0 ,

c o s

0 ,

c o s



^

  



1

2 s i n ) 1 2 )(

1 2 ( 8

n

n nx n

y n



23^o y  s i nx ,   x



^

  





1

2 c o s ) 1 2 )(

1 2 (

1 4

2

n

n nx y n





24^o













 



 x x

y x

0 , s i n

0 ,

0



^

  







1

2 )cos 1 2 )(

1 2 (

1 2

2 sin 1

n

n nx n

y x





25^o yx³,  x



^



 

 

1

3 2 2 1

s i n ) 6 (

) 1 2 (

n

n

n nx

y n 

26^o

















 



 x x

x y x

0 ,

0 ,

3 3



^

 



   



 





 

 



1

2 2 4

2 2 3

2 4 cos )

1 2 ( ) cos 1 2 (

4 )

1 2 ( 6

4 n

n nx x n n

y n 





27^o yx(² x²),  x



^



 



1 3

1

s i n )

1 12 (

n

n

n nx y

28^o yx(x)(x2), 0x2



^





1

3 s i n 12 1

n

n nx y

29^{o yx2}



^{3 2 x}



^{,  x}



^



 





1

4 3

) 1 2 c o s ( )

1 2 (

1 48

2 n

x n n

y 



30^o yx²(x2)² , 0x2



^







1 4 4

c o s 48 1

15 8

n

n nx

y 

31^o yx²(2² x²),  x



^



 



1 4 4

c o s ) 1 48 (

15 7

n

n

n nx

y 

32^o ysinax, x (a不是整数，下同)



^

 

 

1

2 21) s i n s i n (

2

n

n

n nx a a n

y 



33^o yc o sax,  x





 







 





^

1(21) 2 cos 2

sin 1 2

n

n

x n n

a a a a

y 

 34^o















 



 x x

a

x x

y a

0 ,

s i n

0 ,

s i n



^

 



 

 

1

2

2) c o s c o s 1

( 2 1

c o s 1

n

n

n nx a a a

a

y a 







35^o















 



 x x

a

x x

y a

0 ,

c o s

0 ,

c o s

nx

n a

n y a

n

n

s i n ] 1 cos ) 1 2 [(

1

2



^ 2

 



  



36^o





































 





 

x x x

x y

, 2 1

2 , 2

s i n , 2 1



^

 



  



 





 





 



 



 



1

2 sin2(2 1)

1 2

1 1 ) 1 2 ( 4

) 1 2 ( 2 )

1 4 )(

1 4 (

4 sin 4 1

2 ) 1 2 sin(

2 2 sin

n

x n n

n n n

n

nx n

n x n y x

 37^o











 



 

 





 



 

 



 

 

x x

a

x x

a y

0 2 ,

s i n

0 2 ,

s i n



^



 

 

1

2

2 cos(2 1)

) 1 2 (

1 cos 2

4

n

x a n

n a

y a 

 38^o











 



 

 







 



 

 



 

 

x x

a

x x

a y

0 2 ,

c o s

0 2 ,

c o s



^



 



 

1

2

2 s i n(2 1) )

1 2 (

1 2 cos 2

4

n

x n n

a n

y a

 39^o















 



 x x

k

x x

y k

0 ,

2 cos

0 ,

2

cos (k为正整数，下同)



^



 



 

1

2

2 s i n(2 1) )

1 2 ( 4

1 2 4

n

x n n

k y n

 40^o



















 



 x x

k

x x

y k

0 , ) 1 2 ( c o s

0 ,

) 1 2 ( c o s



^

  



1

2 2 s i n2

4 ) 1 2 ( 4

n

n nx k

y n



41^o yxs i nx, x



^

 

 





2

2 c o s 1 ) 1 2 (

2 c o s 1

n

n

x n n

y x

42^o yxcosx,  x



^

 

 





2

2 s i n 1 ) 1 2 (

2 s i n

n

n

x n n

n y x

43^o



















 









x x

x

x x

y x

0 ,

s i n ) (

0 ,

s i n ) (

nx

n y x

n

c o s 1 2 1

2 c o s 1

2



^ 2

 







44^o











 



 

 





 



 

 





 

 

x x

x

x x

x y

0 ,

c o s 2

0 ,

c o s 2



^



 

 



2

) 1 2 ( s i n ) 1 (

1 2 2 1 2 s i n

n

x n n

n n y x

45^{o y }



^{  x}



^{s i nx,  x}



^

 





1

2 2 s i n2

) 1 4 ( sin 16

n

x n n

x n

y  

46^o y e^ax,   x





 



 



 





^

1 (2 1) 2 ( cos s i n ) 2

sh 1 2

n

n

nx n nx n a

a a a

y 

 47^o

















 





 x e

x y e

x a

x a

0 ,

0 ,



^

 



 

1

2

21) ] s i n (

1 [ 2

n

a n

n nx a

n y e





48^o ye^{a x} ,  x



^

 



 

 

1

2

21) ] cos

( 1 [ 2 1

n

a n a

n nx a

a e a

y e







 49^o

















 



l x e

x l y e

x x

0 ,

0 ,



^

 



 

1

2 2

2( 1) ] s i n 1

2 [

n

l n

l x n n

l

n

y e 

 

50^o ye ^x , lxl



^

 



 

 

1

2 2 2

2 1 ( 1) c o s

) 2 1 (

n

l n l

l x n n

l

e l

y e 

 



51^o , 0 2

s i n2 2

ln   



 



  x x

y



^







1

c o s 1

n

n nx y

52^o    



 



  x x

y ,

c o s2 2 ln



^



 



1

1

c o s )

1 (

n

n

x n n

y

53^o , , 0

c o t2

ln     









  x x x

y  



^



 



1

) 1 2 ( c o s 1 2 2 1

n

x n n

y

54^o , 0 2

s i n2 2 ln

sin   



 



  x x

x y



^

 





2

2 s i n

1 1 4

s i n

n

n nx y x

55^o

2 3 , 2

4 c o t2

ln  _ _{ } 



 



 

 x x

y



^



 



 

1

1

) 1 2 ( s i n 1 2

) 1 2 (

n

n

x n n

y

56^o yshax, x



^







 

1

2 2

1

s i n )

1 sh (

2

n

n

n nx a a n

y 

