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3.2 定积分

3.2.5 用换元法计算定积分 3.2.6 用分部积分法计算定积分

一、相关问题

1．如何计算 ^{2 2}

0^a

a  x x a d (  0)



^，



₀^2

^sin

⁵

^{x cos d x x}

^，

^

^01xexdx？

提示令

x a  sin t

目的是为了去掉根号， a²x² a²a²sin²tacost dxa cos t  但是积分限也要换掉，因为积分变量换了，换元就要换限，这是与不定积分的区别。

当x0时t0 当xa时

2

  t



解 ^{2 2 sin 2}

0^a

a  x dx

^{xa t} 0^

a cos t a  cos tdt



^令



^  ^ 

0²

^

2 2 0

2

2

( 1 cos 2 )

cos 2

^



tdt a t dt

a

^{2 2}

0 2

4 ] 1 2 2 sin [ 1

2 t t a

a 

^

 



^

而对 ^{2 5 2 5 6 2}

0 0

0

1 1

sin cos d sin d sin sin

6 6

x x x x x x

  

  

 

，这里是用的凑微分法，没有换

元就不要换限。

应用不定积分的分部积分法得

 xe dx

^x

  xde

^x

 xe

^x

  e dx xe

^x



^x

  e

^x

C ;

用于计算定积分 | ¹ ( 1) 1

0 1 0 1

0 1

0 



 



   



^{xexdx xdex xex exdx e e ；}

通过对比可知，计算上基本是一样的，但在使用分部积分法后的第一项可带入积分限求值，

不必最后求完原函数再带入积分限求值，从而简化计算量。

二、相关知识

1．定积分的换元法与不定积分的换元法的区别与联系？

答：借助牛顿莱布尼茨公式，可将不定积分的换元法用于定积分，换元的函数应用类型一 致。但是定积分换元之后，上限对上限，下限对下限；不引入新的变量记号，积分限不变

反之要变；不定积分的换元法分为凑微分法和第二换元法，换元后求出原函数时要回代变 量。

注：对定积分的换元法



^b f x dx ^



^ f  t ^ t dt

a ( ) ( ( )) ( ) ，

（1） 用换元法时，当用x (t)_{将积分变量}x换成t求出原函数后，t不用回代，

只要积分上下限作相应的变化即可。

（2） x(t)_{必须严格单调}

（3）



可以大于

（4） 从左往右看，是不定积分的第二换元法；从右往左看，可以认为是第一换元 法。

2．定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法的区别与联系？

答：借助牛顿莱布尼茨公式，可将不定积分的分部积分法用于定积分，应用类型一致，且 定积分应用分部积分法后，可代入上、下限计算化简。

三、练习题

1．计算以下定积分(1) ^{1 2}

2

1

x dx

x







 ^，(2)

^

^{0 sin3xsin5xdx，}

解作变量替换x sect_，dx sec tant tdt _，

2

2 2

1 tan

[ ( sec tan ) tan (sec 1) tan

sec

x t

dx t t dt tdt t dt t t C

x t

          

   

^，

因x_{的变化区域是[2，1]，换元}x sect_后，当x 2时，

t_



3

；当x 1时，t0。

所以，利用Leibnitz公式，有原积分 ⁰

3

(tan ) | 3

t t _



3

    _。

(2)解



₀^

sin

³

x ^ sin

⁵

x dx ^ 

₀^

sin

²³

x | cos x | dx

^ 

^

^ 

^

2 23 2

0 23

cos sin

cos

sin x xdx x xdx

^ 

^

^ 

^

2 23 02 23

sin sin

sin

sin xd x xd x

5 ) 4 5 ( 2 5 ] 2 5 sin [ 2 ] 5 sin [ 2

2 25 2

2 0

5

    



^



x

x



提示 sin³xsin⁵x sin³x(1sin²x)sin²³x|cosx|^

在

] , 2 0

[ 

_上|cos x|cos x 在

, ]

[  2 

_上|cos x|cos x

2．设函数



 





 

 ^ 

0 1 cos 1 1 0 )(

2

x x x xf xe

x

 计算



1⁴ f(x^2)dx

解设x2t 则



₁⁴

  

²₁

 

⁰₁

  

₀^{2  2}

cos 1 ) 1

( )

2

( dt te dt

dt t t f dx x

f

^t

2 1 2

1 2 tan 1 2 ]

[ 1 2 ]

[tan

⁰₁



^{2 2}₀

 

⁴



 t

_

e

^t

e

^ 

提示 设x2t 则dxdt 当x1时t1 当x4时t2

3．求



1^1sin2xdx

解 ∵y=sin2x的周期为T=

 





_{ } 2 2 2

∴



1^1sin2xdx=



0^sin2xdx

=



0^sin2 (2 ) 2

1 xd x =

2

1 [-cos2x]^₀ =0

4．求



0⁴

x dx

6

2 cos



解 设t=2x，∴x=

2

t ，∴dx=

2 dt

当x=0时，t=0； 当x=

4



时，t=

2



∴



0⁴

x dx

6

2 cos



=

)

2 ( 1 cos

2 0

6

t dt



^{ =}



0²

^{t dt}

cos

6

2 1

^

=  

64 5 2 2 1 4 3 6 5 2

1     .

5. 求下列定积分

（1）



0^ xcosxdx （2）



0^e1ln(1^ x)dx （3）



0^2e^x cosxdx

解（1） ₀

0^

x cos d x x 

0^

x d sin x x  sin x

^



0^

sin d x x  2

  

（2） ₀ ¹ ₀ ¹ ₀ ¹ ₀ ¹

1

ln(1 ) ln(1 ) 1 1 1

1 1

e e e

x

e

x dx x x dx e dx

x x



  







   



        

  

（3） ^{2 2 2 2}

0^

e

^x

cos xdx 

0^

cos xde

^x

 e

^x

cos x

0^



0^

e

^x

sin xdx

  

 

2 2 2

2 2

0 0 0

2

1 sin 1 sin cos

1 1

2

x x x

e xde e e x e xdx

e

  

 



      

 

 

四、思考题

1．对称区间上奇、偶函数的定积分有什么特点？

答：设 f(x)在关于原点的对称的区间 [-a,a] 上可积，则：

（1）当 f(x)_{为奇函数时，}



^a 

a f(x)dx 0;

（2）当 f(x)_{为偶函数时，}



^a 



a

a f x dx dx

x

f( ) 2 0 ( ) . 2．周期函数的定积分的特点？

答：设 f(x)_是以T为周期的周期函数，且可积，则对任意实数a有：



a^aT f(x)dx ^



0^{T f}(^x)^dx 注意：T周期（最小正周期的整数倍）.