第二节 换元积分法

二、第二类换元法

第二节

一、第一类换元法

换元积分法

第四章

第二类换元法 第一类换元法

x x

x

f [( )]^( )d

 

^{f (u)du}

基本思路

设

F(u)  f (u), u  (x)

_可导

_,

 





^{f [(x)] (x)dx F[(x)] C}

)

d (

)

(u u _{u x}

f _





)

) (

(u C _{u x}

F  _



 )]

( [

dF  x f [(x)]^(x)dx

则有

一、第一类换元法

定理

1 .

, )

(

有原函数

设

f u u  (x)

可导

,

则有换元 公式

 



^{f [(x)] (x)dx}



^{f (u)du} _{u  (x)}



^{f ((x))d(x)}

(

也称配元法 即 

^{f [(x)]}^(x)dx 

,

凑微分法

)

例

1.

求 

(^ax  ^b)^md^x (^m  1).

解

:

令

u  ax  b ,

则

d u  adx ,

_故

原式

=



^um _a^{1 d u } _a^{1 } _m¹_1^{um1  C}

) 1

) ( 1 (

1  _

  ax b ^m m

a  C

注

:

当

m  1

时

 



_ax^{d x} _{b a}^{1 ln ax  b  C}

注意换回原变量

2 2

1 d

1 ( )_a^x x

 a





例

2.

求 

_a^2d_^x_x^{2 .}

解

:



_a^2d_^x_x²

a , u  x

令 则

x

u a1 d d 



₁^d_^u_u²

a

1 u C

a 

 1 arctan

a C x

a 

 1 arctan( )

想到公式



_1^du_u²

C u 

 arctan ( )_a^x



例

3.

求 

_a^2dx_{ x}^{2 (a  0).}

 



₁^du_u²

想到

arcsinu  C

解

:

2

d

1 ( )_a^x x a 





^{f ((x))d(x) (}

^直接配元

⁾

 



^{f [(x)] (x)dx}

2

d( ) 1 ( )

x a

x a





 a C

x 

 arcsin



_a^2dx_{ x}^{2 }

例

4.

求 

tan ^xd^x.

解

:



_cos^{sin x}_x^{dx  }



^d_cos^cos_x^x

C x 



 ln cos

? d

cot 



^{x x}



^cos_sin^x_x^dx

C x 

 ln sin



 x

x sin

sin d



^{tan xdx} 

类似

a C x

a x

a 



 ln  2

1

例

5.

求

d .

2



_x2 _^x_a

解

:

2 2

1 a x 

 (x  a)(x  a) ) (

)

(x  a  x  a a

2

 1 1 1 )

2 ( 1

a x

a x

a  

 

∴ 原式

=  a 2

1



_x^d_^x_a ^



_x^d_^x_{a }^



 2a

1



^d(_x^x_^_a^a) _^

a



2

 1 ln x  a  ln x  a



^{ C}



_^

 x a a

x )

( d

常用的几种配元形式

:

1)



f a x b(  )d x  _a¹



^{f a x b(  ) d(ax  b)}

2)



f x x( )^{n n}1d x  _n¹



^{f (xn ) dxn}

3) f x( ) dⁿ 1 x

x 



¹_n



^{f (xn)} _x^{1n dxn}

万 能 凑 幂

法

4)



f (sin )cos dx x x 



^{f (sin x) dsin x}

5)



f (cos )sin dx x x  ^



^{f (cos x) dcos x}

 ^{f (tan x)sec xdx}  )

6 ²



^{f (tan x) dtan x}

 ^{f (ex)exdx}  )

7



^{f (ex ) dex}

 ^{f (ln x)1}_x^dx  )

8



^{f (ln x) dln x}

例

6.

求

. ) ln 2 1

(



_{x }d ^x _x



_1^dln_2ln^x _x

解

:

原式

= ^ ₂¹



^d₁⁽¹_^₂²_ln^ln_x^x)

C x 



 ln 1 2ln 2

1

例

7.

求

e³ d . x x



x

解

:

原式

=2



e^{3 x} d x ^ ₃²



^{e3 x d(3 x)}

x  C

 e³ 3 2

例

8.

求 

sec⁶xdx.

解

:

原式

=



(tan² x 1)²^dsec^{tan2 x}xdx

x x

x 2 tan 1) dtan

(tan^{4 2}



^{ }



5 x 5 tan

 1 tan³ x 3

 2  tan x  C

例

9.

求

. e 1



_d^{x x}

解法

1



_1^dx_e^x x ^x

x x

e d 1

e )

e 1



( ^ _ ^

 ^



dx ^

^

^d₁⁽¹_^_e^{exx )}

 x  ln(1 e^x )  C

解法

2



_1^dx_e^x x ^x x

e d 1



_e^{ }

 ^{ }



^d₁⁽¹_^_e^{exx )}

x  C





 ln(1 e^ )

)]

1 (e

ln[e )

e 1

ln(    

 ^{x x x}

_{两法结果一样}

x x

x dsin

sin 1

1 sin

1

1 2

1



_^ _ ^ _{ }^



例

10.

求 

sec ^xd^x .

解法

1



^{sec xdx }



_cos^cos2x_x ^{dx }



_1^dsin_sin^2x_x



^{ln 1 sin x}

2

1 

 ^{ ln 1 sin x}



^{ C}

x C x 



 

sin 1

sin ln 1

2 1



_

 sec x tan x

解法

2



^{sec xdx }



^sec_sec^{x (sec}_{x  tan}^{x }_x^{tan x)dx}

x x x

x x

x d

tan sec

tan sec

sec²



^ _



) tan (sec

d x  x

C x

x  

 ln sec tan

同样可证



^{csc xdx  ln csc x  cot x  C}

或 

^{csc xdx  ln tan} ₂^{x  C (P199}

^例

^{18 )}

2 2

2 d

) 2 (

1

32 x

a



x _



例

11.

求

d .

) ( ^{2 2 32}



_ 3 ^x

a x

x

解

:

原式

=



 )³² (x² a²

2 2 dx x

2

1 (x²  a²)  a²



^{ }

 ( ) ¹² 2

1 _{2 2}

a

x d(x²  a²)



^{ }

 ( ) ³² 2

2 2 2

a

a x d(x²  a²)

2 2 a x 

 ₂ ² ₂

a x

a

   C

) 2 cos 2

cos 2

1

( ²

14  x  x



例

12 .

求 

cos⁴xdx.

解

: cos⁴ x  (cos² x)² )² 2

2 cos (1 x



) 2

cos 2

1

( ^{1 cos}₂ ⁴

14  x  ^ x



) 4 cos 2

cos 2

(₂³ ₂¹

14  x  x









^{cos4x dx 41}



^{( 23  2cos2x  21 cos4x)dx}

4



 1 ²³



^{dx }



^{cos 2x d(2x)  81}



^{cos 4xd(4x)}

^

83 x

  ₄¹sin 2x  ₃₂¹ sin 4x  C

例

13.

求 

sin²x cos² 3xdx .

解

: sin² xcos² 3x  [¹₂ (sin 4x  sin 2x)]²

x x

x

x 2sin 4 sin 2 sin 2 4

sin^{2 1}_{4 4}^{1 2}

14   



) 8 cos 1

8 (

1  x

  sin² 2xcos 2x  ₈¹ (1 cos 4x)

∴ 原式

= ⁴¹



^{dx  641}



^{cos8x d(8x)}

) 2 (sin d

2 sin²

12



x x

 ^ ₃₂¹



cos 4x d(4x)

4 x

 1  ₆₄¹ sin8x  ₆¹ sin³ 2x  ₃₂¹ sin 4x  C

x

x x

x 1 e

1 e

1

 

 x x

xe^xd  e^xd



 x

x 1)e^xd (

例

14.

求

d . )

e 1

(



_x ^x_^_x1 ^{x x}

解

:

原式

=



_xe⁽x^x₍₁^_¹⁾_x^e_e^xx ₎ ^dx

) e 1

( e

1

x

x x

x 

) e ( d e )

1

1 e

( 1 _{x x} x ^x

x

x  





) e 1

( e

e e

1

x x

x x

x x

x x





 

) e (

d x ^x

 x ex

 ln  ln 1 x e^x  C C x

x

x    ^x 

 ln ln 1 e

分析

:

例

15.

求

d . )

(

) ( )

( )

( ) (

3 2

x x f

x f

x f

x f

x

f 



 

 





解

:

原 式

 





_f^{f (}₍^x_x⁾₎

x x f

x f x f

x f

x

f d

) (

) ( ) 1 (

) (

) (

2 



 









x x f

x f x f

x

f d

) (

) ( ) ( )

(

2 2



 



x C f

x

f 



 

  ²

) (

) ( 2

1

)) (

) d( (

x f

x f



_ 

 ( )

) (

x f

x f

小结 常用简化技巧

: (1)

分项积分

:

(2)

降低幂次

:

(3)

统一函数

:

利用三角公式

;

配元方

法

(4)

巧妙换元或配元

等

x

x ²

2 cos

sin

1  

; ) 2 cos 1

(

sin² x  ¹₂  x

; ) 2 cos 1

(

cos² x  ¹₂  x

万能凑幂法



^{f (xn)xn1 dx}  ¹ⁿ



^{f (xn)d xn}



^{f (xn)1}_x ^dx  ⁿ¹

^

^{f (xn) x1n d xn}

利用积化和差

;

分式分项

;

利用倍角公式

,

如

思考与练习

^1.

下列各题求积方法有何不同

?



₄^d_^x_x

) 1

( ⁽²⁾



_{4 }^dx_x²

x x

x d ) 4

3

(



_{ 2}

x x

x d

) 4 4

(



_² ₂



_{4 }^{d 2}

) 5

( x

x



₄ ^d_ ²

) 6

( x x

x



_^

 x

x 4

) 4

(

d ^



_ ²

2 2 2

1

) ( 1

) d(

x x



_^

 ₂¹ ₂² 4

) 4

( d

x x

 

^x

x d 4

1 4 ₂



^ _



 

 ₄¹

x x  

 2

1 2

1



^dx



_{ }

 4 (x 2)2

) 2 (

d x 



_

 x

x

x d

) 1 (

1

10

2.

求

.

) 1 (

d



_{x x}10^x_

提示

:

法

1

法

2

法

3



_{x (x}^d10x_1) ^{)  x10}



_{x (x}^d10x_1) ^

^

_x¹⁰_(x¹⁰ _1)



_{x (x}^d10x_1) ^



_x¹¹₍₁^d_^x_x^10₎ ^

^

_{1 x}^10

d x10

10 1

10  (x

d x^10

10

1

二、第二类换元法

第一类换元法解决的问题

难求 易求

x x

x

f [( )]^( )d



^



^{f (u)du} u  (x)

若所求积分

x x

x

f [( )]^( )d

 ^易求

^,

则得第二类换元积分法

.



^{f (u)du}

难求，

C x

F 

 ( )

) ( )]

( [ )

(t f  t  t

  ^

定理

2 .

设

x  (t)

_{是单调可导函数}

_,

_且

 (t)  0,

) ( )]

(

[ t t

f   ^

_{具有原函数}

_,

)

1(

d ) ( )]

( [ d

)

(x x f t t t _{t x}

f 



  



^{  }

. )

( )

1(

是 的反函数

其中

t  ^ x x  t

证

:

设

f [ (t)] ^(t)

的原函数为

 (t),

令

]

) ( [

)

(x ¹ x

F   ^

则

F(x) 

t d d

x t d

 d  f [ (t)] ^(t)

) ( 1

 ^ t

  f (x) x

x f ( )d



  [ ^1(x)] C C

t 

[f [] (t)] _{t }(t)d^1t_(tx₎ ¹(_x)





^{  }

则有换元公式

例

16.

求 

^a2  ^x2 d^x (^a  0) .

解

:

令

x  asin t , t ( ₂^π , ₂^π),

_则

t a

a x

a²  ²  ²  ² sin²  acost t

t a

x cos d d 

∴ 原式

^



acost ^{ a cost d t  a2}



^{cos2 t d t}

 

^C

a 

 ²

4 2 sin 2

t t 

a x

2

2 x

a 

t

a

arcsin x  x a²  x²  C 2

1 2

a2



t t

t 2sin cos 2

sin   2

a

 x ^{a2 x2} a

 

2 1 cos 2 2 d

a  t t





例

17.

求

d ( 0).

2

2 



_x ^x _a ^a

解

:

令

x  a tan t , t ( ₂^π , ^π₂ ),

_则

2 2

2 2

2 a a tan t a

x     asect

t t a

x sec d

d  ²

∴ 原式

^



^a_a^sec_sec²_t ^{t d t }



^{sect d t}

tan 1

sec

ln t  t  C



a

2

x

2

a

x 

t



 ln ^x2a^{ a2}

) ln (C  C₁  a



^{x  x  a}



^{ C}

 ln ^{2 2}

 x

a



^{ C}₁

例

18.

求

d ( 0).

2

2 



_x ^x _a ^a

解

:

当

x  a

时

,

_令

x  asect , t  (0, ₂^π),

则

2 2

2 2

2 a a sec t a

x     a tant

 x

d asect tan t d t

∴ 原式

^



^a_a^sec_tan^t _t^{tant d} t ^



^{sect d t}

tan 1

sec

ln t  t  C



a

x

_x² _{ a}²

t

1

ln  C



C a

x

x   

 ln ^{2 2} (C  C  ln a)

2 2 a x 

 a x a

时

,

当

x  a

_令

x  u ,

则

u  a,

^于是



_x^2d_^x _a^{2  }



_u^2d_^u _a²

C a

x

x   

 ln ^{2 2}



_x^2dx_{ a}²

， 时

a

x 

2 1

ln u  u2  a  C





2 1

ln  x  x2  a  C





2 1 2

2

ln C

a x

x

a 





 



) ln 2

(C  C₁  a C

a x

x   

 ln ^{2 2}

说明 :

1.

被积函数含有

x²  a²

或

x²

－

a²

时， 除采用三角

1

sh

ch² t  ² t 

采用双曲代换

t

a x  sh

消去根式

,

所得结果一致

. ⁽

^参考

P204 ~ P205 )

t a

x  ch

或

代换外

,

还可利用公式

2 e sh e

x x

x

 

C  x  ch



^{ch xdx}  )

15

( sh x  C



^{sh xdx}  )

14 (

2 e ch e

x x

x

 

 2.

再补充两个常用双曲函数积分公式

原式

^{ } ₂¹_a²



^{(a2t2 1)21}

例

19.

求 

^a2_x4^{ x2} d^x .

解

:

令

x  ¹_t ,

^则

x t

t d d  ^₂¹

原式

^



^ _t^{21d t  }



^{(a2t2 1)21 t d t}

, 0

时 当

x 

4

2

1 2 1

t

a  t

a C t

a  



 ^{2 2} ₂ 3

) 1

( ²³

当

x < 0

时

,

类似可得同样结果

x C a

x

a  



 ² ₂ ²₃ 3

)

( ²³

) 1 (

d a²t² 

小结 :

1.

第二类换元法常见类型

: ,

d ) ,

( )

1  ^{f x n ax  b x}

^令

^{t  n ax  b}

, d ) ,

( )

2  ^{f x n caxxdb x}

^令

^{t  n} _c^a_x^x_^_d^b

, d ) ,

( )

3  ^{f x a2  x2 x}

^令

^{x  asin t}

^或

^{x  a cost}

, d ) ,

( )

4  ^{f x a2  x2 x}

^令

^{x  a tan t}

^或

^{x  asht}

, d ) ,

( )

5  ^{f x x2  a2 x}

^令

^{x  asect}

^或

^{x  ach t}

第

四

节

讲



^{tan x d x }

) 16 (



^{cot xdx}  )

17 (



^{sec xdx }

) 18 (



^{csc xdx }

) 19 (

C x 

 ln cos

C x  sin

ln

C x

x  tan  sec

ln

C x

x  cot  csc

ln

2.

常用基本积分公式的补充

(P205 ~ P206)

7)

分母中因子次数较高时

,

可试用倒代换

,

d ) (

)

6  ^{f ax x}

^令

^{t  ax}

 



_a ¹ _x ^{d x}

) 20

( _{2 2}

 



_a ¹ _x ^{d x}

) 22

( 2 2

 



_x ¹ _a ^{d x}

) 23

( 2 2

 



_x ¹ _a ^{d x}

) 21

( _{2 2}

a C x a arctan  1

a C x

a x

a 

 ln 

2 1

a C x  arcsin

C a

x

x   ) 

ln( ^{2 2}

 



_x ¹ _a ^{d x}

) 24

( 2 2 ln x  x²  a²  C

3 . 2

d



_x2 _ ^x_{x }

解

:

原式

x

x d

2 )

1 (

1



_ 2 _

 ₂

) 2

( d(x 1)

2

 1 arctan

2

1

x  C ^(P206

公式

(20) )

例

20.

求

例

21.

求

. 9 4

d



2 _

 x

I x

解

: ^



_{2  2}

3 )

2 (

) 2 ( d 2

1

x

I x  ln 2x  4x  9  C

2

1 ₂

(P206

公式

(23) )

例

22.

求

. 1

d



_{ x}^x_{ x}2

解

:

原式

=



₍ ^d₎⁽² _{ (} ⁾ ₎²

21

 x

(P206

公式

(22) )

25 x  12

x   C

 5

1 arcsin 2

例

23.

求

. 1 e

d



2^xx_

解

:

原

式

^{ }



₁^d_^e_e^{x2x  arcsinex  C}

(P206

公式

(22) )

例

24.

求

d .

2 2



_x2 _x ^x_{ a}

解

:

令

x  ¹_t ,

得

原式

t

t a

t d

2 1



2 _







_^



 1

) 1 (

d 2

1

2 2

2 2

2 a t

t a

a a t C

a  



 1 _{2 2} 1

2

x C a

a

x  



 ²₂ ²

t t t

t

d 1 )

1( ²

1 3

2

 





例

25.

求

. 2 )

1 (

d

2



_{x } 3 ^x_{x  x}

解

:

原式

^



_{(x 1)}^{3 d}₍^x_{x 1)}² _1

^令

^{x 1  1}_t

t t

t d

1 ²



_2





t t

t d

1

1 )

1 (

2



^ _2 ^

 ^



1^ t² d t ^



₁¹_{ t}^{2 dt}

例

16

t t

t 1 ^{2 1}₂ arcsin

12  

  arcsin t  C

x C

x  

 ^{1 2 2 1} arcsin ¹_

思考与练习

1.

下列积分应如何换元才使积分简便

? x x

x d

) 1 1

( 2



_5 ⁽²⁾



₁^d_^x_e^x



₍ ^d _{ 2)}

) 3

( ₇

x x

x

令

t  1 x²

_令

t  1 e^x

令

t  1x

2.

已知 

x⁵ f (x)dx  x² 1 C ,

^求 

^{f (x)dx.}

解

:

两边求导

,

得

x⁵ f (x)  ,

2 1 x

x

则





^{f (x) d x } _x^{4 d}_x^x2 _1 ⁽

^令

^{t  1}_x⁾



^ _

 2

3

1 d

t t

t ₂

2 2

1 d 2

1 t

t



^ t_

 ( 1 ) 1

) 1

( d )

1 2 (

1 ₂ ¹_{2 2}

t

t 

 





^{ 1}₂



^{(1 t2)21 d (1 t2)}

23

) 1

3 (

1 ₂

 t

   (1 t²)²¹  C   ⁽

^{代回原变量}

⁾

P207

2

(4) , (5) , (9) , (11) , (12) , (16) , (20) , (21) , (23) , (28) , (29) , (30) , (32) , (33) , (35) , (36) , (38), (40) , (42) , (44)

作业

x x

x d

1 ) 1

1 3



2 _

备用题 1. _{求下列积分}

:

) 1 (

1 d 1

3

1 ₃

3 





_x  ^x C x  

 1

3

2 ₃

x x x

x d

2 1

3 ) 2

2



_ ^_ 2 ^



^{ (}₁²_^₂²_x^x_^{) }_x2^{5 dx}



^_ ^_



 2

2

2 1

) 2

1 d(

x x

x

x ^{ 5}



₂^d(_^x_(x^ _¹⁾₁₎²

2 2

1

2  x  x



  x 1 C

arcsin 5

2.

求不定积分 解：

. sin d

2

sin 1

cos sin

2

2

2

x x

x x



x _ ^

利用凑微分法

,



₂¹_^_sin^sin22_x^x

原式

= d(1 sin² x)

令

t  1 sin² x



_

 t

t

t d 1

2

2

2 ^{ 2}



^(1_1¹_t^{2 )dt}

t

 2  2arctant  C



^{ x   x}



^{ C}

 2 1 sin² arctan 1 sin²

得

分子分母同除以

3. _{求不定积分}

解

:

. 1 d

) 1

(

1

2



_{ x}2 _{ x} ^x

令

x  sin t , 1 x²  1 sin² t , dx  costd t

原式

^



_{(1 sin}^cos2 _t^t_)cost ^{d t}



_{1 sin}^{1 2} _t ^{d t}

2 t cos



_

 t

t dtan tan

2 1

1

2



_

 t

t d tan )

tan 2

( 1

1

2 2

2 1

C t 

 arctan( 2 tan ) 2

1 C

x

x 

 

1 2

arctan 2 2

1



_

 t

t t

t d

tan sec

sec

2 2

2