第四节 有理函数的积分

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第四节

•

基本积分法

:

换元积分法

;

分部积分法

•

初等函数 求导

积分 初等函数

一、有理函数的积分

二、可化为有理函数的积分举例

有理函数的积分

本节内容 :

第四章

直接积分法

;

一、 有理函数的积分

) (

) ) (

( Q x

x x P

R   ⁿ

n

n a x a

x

a₀  ₁ ^1 

m m

m b x b

x

b0  1 ^1 

有理函数

:

n

m 

_时

,R(x)

为假分式

; m  n

_时

_,R(x)

为真分式 有理函数 相除 多项式

+

真分 式

分解

其中部分分式的形式为

k

k x p x q

N x

M a

x A

)

; ( )

( ²  



 ( k  N^ , p²  4q  0)

若干部分分式之和

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例

1.

将下列真分式分解为部分分式

: ) ;

1 (

) 1 1

( ₂

 x

x ;

6 5

) 3 2

( ₂





 x x

x .

) 1

)(

2 1

( ) 1 3

( ₂

x x 



解

: (1)

用拼凑法

2

2 ( 1)

) 1 (

1

 

 x x

x

x ( 1)²

1

 

x ( 1)

1

 

x x

)2

1 (

1

 

x  ( 1) x

x )2

1 (

1

 

x 1

1

 

x x

 1 )

1 ( 

 x x

) 1 ( 

 x x

(2)

用赋值法

6 5

3

2  

 x x

x

) 3 )(

2 (

3





 

x x

x

 2

 x A

 3

 x B



原 原





 A (x 2)

 2

x 3 2

3 



  x x

x  5



原 原



 (x 3)

B x  3 2 3

3 



  x x

x  6

故

2

5



 

原 原

x

3 6

  x

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(3)

混合法

 

 2 )(1 ) 1

(

1

x2

x 

 x A

2

1 1 x²

C Bx







原 原



 (1 2x) A

21



x  5

 4

代入等式两端 分别令

x  0,1

 C

 5 1 4

2 15

4 6

1   B  C

5

 2

 B

5

 1 C

原式

=

x 2 1

4 5

1

 

 



 ₂ 1

1 2

x x

四种典型部分分式的积分

: C a

x

A  

 ln

) 1 (n  C

a n x

A  _n 

  ( )^1 1



_{x }^A_a ^dx

. 1



_{(x }^A_a)^{n dx}

. 2



_x ^M_^x_p^_x^N_{ q} ^dx

.

3 ₂



_(x ^M_ ^x_p^_{x }^N_q)^{n dx}

.

4 ₂

) 1 ,

0 4

( p²  q  n 

变分子为

) 2

2 ( x p

M   N  ^M₂^p

再分项积分

p

x px q x 

   

2 )

( ²

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例

2.

求

. ) 1

)(

2 1

(

d



_{ x} ^x _{ x}2

解

:

已知

) 1

)(

2 1

(

1

x2

x 

 ^ ₅¹ _^ 1 2x 4

 1 ²

2 x x

 



  ₂ 1

1 x



_^



 x

x 2 1

) 2 1

( d 5

原式

2 ^ ₅¹



^d(₁¹_^_x^x22) ₅¹



_1^dx_x²

x 2 1

5 ln

2 

 ln (1 )

5

1 ₂

 x

  arctan x  C

5 1

例 1(3)

例

1(3)

例

3.

求

d . 3

2 2

2 x

x x



_x ^ _

解

:

原式

x x

x d

3

2 2



_{ }

 ¹₂(2x  2) 3



_^ _^

 2 3

) 3 2

d(

2 1

2 2

x x

x x

3 2

2 ln

1 ₂  

 x x



_{ }^

 _{2 2}

) 2 (

) 1 (

) 1 3 d(

x

x

x   C

 2

arctan 1 2

3

思考

:

如何 求

? ) d

3 2

(

2

2

2 x

x x



_x ^ _

提示

:

变形方法同例

3,

并利用书

P363

公式

20 .

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

_{ }

 x

x

x d

) 4 )(

1

( ^{2 2}

) 4 (

) 1

(x²   x² 

例

4.

求

d .

4 5

5 5

2 2

2 4

2



3 ^ _ ^_ ^

 x

x x

x x

I x



_ ^ _

 x

x x

x

I x d

4 5

5 2

2 4

3 ^



_x⁴²_^x₅²_x^25_{ 4} ^dx



_^ _^

 5 4

) 5 5

d(

2 1

2 4

2 4

x x

x x

4 5

2ln

1 ₄  ₂ 

 x x

arctan 2 2

1 x

  arctan x  C

解

:

说明

:

将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行

但不一定简便

, ,

因此要注意根据被积函数的结构寻求

简便的方法

.

例

5.

求

d . )

2 2

( ^{2 2}



_{x } ^x2_{x } ^x

解

:

原式

^



^{(x2 }_(x^22x _^ ₂²⁾_x^_⁽₂²₎^{x2 2) dx}



_{ }

 ( 1) 1 d

x 2

x ^



₍^d(_x^2x2_^₂²_x^x_^₂₎²²⁾

) 1 arctan( 

 x

2 2

1

2  

 x x  C

目录 上页 下页 返回 结束 常规法

例

6.

求

解

:

原式

^{ 1}₂



^{(x2 1}_x^)4_^(x₁^{2 1) dx}



_x^4dx_1

(

见

P363

公式

21)

arctan 2 2

2

1 x  ¹_x

  

2 1

2 2

1 ln x  ¹_x  2

1  2

 _x

x  C

x x

x

x d

1 2

1

2 2

2 1



^_1

 x

x x

x d

1 2

1

2 2

2 1



^_1





_{ }

 2 ( ) 2 1

1 2

x x

) d(x  ¹_x



_{ }

 2 ( ) 2 1

1 2

x x

) d(x  ¹_x

注意本题技巧

x x

2 arctan 1

2 2

1 ² 

 C

x x

x

x 







 

1 2

1 ln 2

2 4

1

2

2 (x  0)

本题用常规方法解很繁

二 、可化为有理函数的积分举例

设

R(sin x, cos x)

_{表示三角函数有理式}

, x

x x

R(sin , cos )d



令

t  tan ₂^x

^万能代换

(

参考下页例

7)

t

的有理函数的积分

1.

三角函数有理式的积分

则

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例

7.

求

d . )

cos 1

( sin

sin



1_x^ _ ^x _x ^x

解

:

令

,

tan 2x

t 

则

2 2 2

2 2 2

cos sin

cos sin

sin 2

x x

x x

x  

2 22

tan 1

tan 2

x x

  ₂

1 2

t t

 

2 2 2

2 2 2

2 2

cos sin

sin cos cos

x x

x x

x 

 

2 2 2 2

tan 1

tan 1

x x



  ²₂

1 1

t t



 

 x

d t

t d 1

2

 2



_sin¹_x^₍₁^sin_{ cos}^x _x) ^dx





1 2

1 2

t t

  1 2

2 t

t

 (1 ²₂)

1 1

t t



  t

t ₂ d

1 2

  t

t 1t d 2 2

1 



 

 











  2

1 ₂

2

1t  2t  ln t   C

tan 2 4

1 ₂ x

  tan 2x  x  C tan 2

2ln 1

1 2

sin 2

t x t

 

2 2

1 cos 1

t x t



  t t

x d

1

d 2 ₂

 

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例

8.

求

( 0) . cos

sin

d

2 2

2



_a2 _{x }^x_{b x} ^{a b }

解

:

^原式

^



^{cos 2 x dx}

1

2 2

2 tan x b

a  ^{ 12}



_tan^{d2 tan}_{ ( )}²

ab

x

x a

) tan arctan(

1 x

b a b

 a  C

说明

:

通常求含

sin² x, cos² x

及

sin xcos x

的积分时

, t  tan x

_{往往更方便}

_.

的有理式

用代换

例

9.

求

d ( 0) . )

cos sin

(

1

2 



_{a x}  _{b x} ^{x ab}

解法

1

x t  tan

令

原式

^



_{(a tan x }^dx_b) ² _cos² _x



_

 ₂

) (

d b t

a

t C

b t

a

a 

 

 ( )

1

x C b

x a

a

x 

 

 ( sin cos ) cos

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x b

x

asin  cos

例

9.

求

d ( 0) )

cos sin

(

1

2 



_{a x}  _{b x} ^{x ab}

解法

2 sin , cos

2 2

2

2 

 

 a b

b b

a

令

a





 a² b²



 

 x

b a

x b b

a

a sin cos

2 2

2 2



sin cos

原式

^ _a² _¹ _b²



_cos^2d_(x^x _)

C b x

a  

 1 tan( )

2

2 

b C x a

b

a  

 1 tan( arctan )

2 2

b arctan a

 

例

10.

求

d . sin

sin 1

cos 2

cos

4 2



_ 3 ^{x }_{x } ^x_x ^x

解

:

因被积函数关于

cos x

为奇函数

,

可令

, sin x t 

原式

^



1_ sin2_{x } sin4 _x

x x x 2)cos d (cos² 



_ ^_



 x x

x

4 2

2

sin sin

1

)

1 (sin



_^ _



 ² _{2 4}

1

d ) 1 (

t t

t

t t

t t

t d

1 1

2 2

2 1

1



_^ _



 ^{ }



₍ ^d(_ 1₎^2 _⁾ ₃ 1 t

t

t t

t _t C

 



 arctan 3

3

1 ¹

x C x 

 3sin

arctan cos 3

1 ²

x sin d

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2.

简单无理函数的积分

, d ) ,



^R(^{x n ax  b x}

^令

^{t  n ax  b} ,

d ) ,



^R(^{x n caxxdb x}

^令

^{t  n caxxdb}

被积函数为简单根式的有理式

,

可通过根式代换 化为有理函数的积分

.

例如

:

, d ) ,

,



^R(^{x n ax  b m ax  b x}

p ax b ,

t  

令

p

为

m,n

的最小公倍数

.

例

11.

求

. 2 1

d



_ 3 _x^x _

解

:

令

u  ³ x  2 ,

则

x  u³  2, dx  3u² du

原式

^



₁³_^u2_u ^{du  3}



^(u2₁^_¹_u^{) 1du}

u u

u )d

1 1 1

(

3   







 3 ₂¹ u²  u  ln 1 u



^{ C}

3 2

23 (  2)

 x  3 ³ x  2

3 2

1 ln

3  

 x  C

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例

12.

求

d .



_{x }^x3 _x

解

:

为去掉被积函数分母中的根式

,

取根指数

2 , 3

最小公倍数 的

6 , x  t⁶,

_则有

原式

^



_t^63t_^{5 d}_t ^2t

t t t

t )d

1 1 1

(

6



^{2   } _





 6 ₃¹t ³  ¹₂ t ²  t  ln 1 t



^{ C}

C x

x x

x     

 2 3³ 6⁶ 6ln (1 ⁶ )

令

例

13.

求

1 1 d .



_x ^_x ^{x x}

解

:

令

1 , x

t   x

^则

,

1 1

2 

 t

x _{2 2}

) 1 (

d d 2



  t

t x t

原式

^



^{(t 2 1)t } _(t ^2 _²₁^t₎^{2 d t}

t t

t d

2 ₂ 1



_2



  2t

1 ln 1



 

t

t  C

x

 x



 1

2  ln 2x  2x x 1 1  C

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内容小结

1.

可积函数的特殊类型 有理函数

分解

多项式及部分分式之和

三角函数有理式

万能代换

简单无理函数

根式代换 三角代换

2.

特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出

,

但不一定 要注意综合使用基本积分法

,

简便计算

简便

. ,

思考与练习

如何求下列积分更简便

? ) 0 (

d .

1 _{6 6}

2 



_a ^x _x ^{x a 2.}



_sin^3d_x^x_{cos x}

解

: 1.

^原式

^{ 1}₃



_(a³₎^2d_^x3_(x³₎^{2 } ₆₆^_a¹_a^133lnln_x^x_x^x3333_^_^a_aa^{a3333 CC}

2.

原式

^



^sin_sin^{2x3 }_{x cos}^cos2_x ^{x dx }



_{sin x}^d_cos^x _x ^



_sin^cos3x_x ^dx



 x

x tan

tan

d ^



^d_sin^sin3 _x^{x  ln tan x  1}_{2 sin}¹² _x ^{ C}

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作业

P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 24

第五节

备用题 1. 求不定积分 解 ：

. ) d

1 (

1

2



_x6 _{ x} ^x

令

1 ,

t  x

_则

1,

x  t t

x t1 d

d   ₂ ^,

^故

 



_x⁶₍₁¹ _x²₎ ^dx



¹

6

1

t 1 )

1

( ₂

 t t

t1 )d

( ₂ ^{ }



_1^t6_t^{2 dt}



^{  } _



 t

t t

t )d

1 1 1

( ^{4 2} ₂

5

5 1t



 ³

3 1t

 t  arctant  C x C x x

x    



 1

arctan 1

3 1 5

1

3 5

分母次数较高

,

宜使用倒代换

.

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2.

求不定积

分 解 ：

. cos d

3

sin



1_^{ x}_x ^x

原式

=

tan 2^x

u 

前式令



_{3 cos}¹ _x ^{dx }



_{3 }^sin_cos^x _x ^dx





 



2 2

1

3 1

1

u

u u

u d 1

2

 2





_

 u

u d

2 1

2

arctan 2 2

1 u





_ ^

 d(3 cos ) cos

3

1 x

x x

cos 3

ln 



;

后式配元

C x 



 ln3 cos 2)

2 tan arctan( 1

2

1 x

  ln3 cos x  C