高中數學（三）

19 – 1

3－2  圓與直線的 關係（1）

高中數學 （三）

隨 堂 評 量 卷 ^{第　19　回}

範圍

計算題（每題 20 分﹐共 100 分）

1 設 P 為直線 L：3x − 4y = 25 上任意點﹐而 Q 為圓 C：x² + y² = 9 上任意點﹐試求：

1 線段 PQ 長的最小值• 2 此時之 P 點與 Q 點之坐標•

x：1 圓 C：x²+ y²= 9 之圓心為 O（0﹐0）﹐半徑 r = 3 令 d = d（O﹐L）=∣0 − 0 − 25∣

√

5 = 5 > 3 = r 即 L 與 C 不相交﹐PQ = d − r = 5 − 3 = 2

故所求之最小值為 2

2 此時﹐P 點為圓心 O（0﹐0）在 L 上之投影點

⇨ P：

x = 0 + −（−25）

3²+（−4）² × 3 = 3 y = 0 + −（−25）

3²+（−4）² ×（−4）= −4 而 Q 點為 OQ：QP = 3：2 之分點

⇨ Q（3•3 + 2•0

3 + 2 ﹐ 3•（−4）+ 2•0

3 + 2 ）=（9

5﹐−12 5 ） 故得 P（3﹐−4）﹐Q（9

5﹐−12 5 ）

2 1 試求直線 L：3x − 4y = 3 被圓 C：x²+ y²− 4x + 6y + 1 = 0 所截得之弦長•

2 試求 P（3﹐−4）到圓 C：x² + y² − 4x + 6y + 23 = 0 上切點 T 之距離•

x：1 C：x²+ y²− 4x + 6y + 1 = 0 ⇨（x − 2）²+（y + 3）²= 12 可得圓心為 Q（2﹐−3）﹐半徑 r = 2√3

令 d = d（Q﹐L）= ∣3•2 − 4•（−3）− 3∣

√

5 = 3 < 2√3 = r

故得 AB = 2

√

√

19 –

3 一圓通過點 A（−2﹐4）且與直線 L：3x − y + 2 = 0 相切於點 B（2﹐8）﹐試求此 圓方程式•

x：過圓心 Q 與切點 B 之直線為 M：x + 3y = 26 又 mA^↔B = 8 − 4

2 + 2 = 1﹐AB 中點為 R（−2 + 2

2 ﹐4 + 8

2 ）=（0﹐6）

⇨ N：x + y = 6 為 AB 中垂線（亦過圓心 Q） 由 M﹐N 解得交點 Q（−4﹐10）即為圓心

又 r² = QA² = QB² =（−4 + 2）² +（10 − 4）² = 4 + 36 = 40 故得圓方程式為（x + 4）²+（y − 10）²= 40

4 試判斷下列各組直線 L 與圓 C 的關係（相交於兩點、相切或不相交）：

1 L：x − 2y = 4﹐C：（x − 4）² +（y + 5）² = 16• 2 L：x + y = 3﹐C：x²+ y²+ 4x − 6y + 7 = 0•

x：1 C^：（x − 4）² +（y + 5）² = 16 可得圓心為 Q（4﹐−5）﹐半徑 r = 4 令 d = d（Q﹐L）=∣4 − 2•（−5）− 4∣

√

√5 = 2√5 > 4 = r 故 L 與 C 不相交

2 C：x²+ y²+ 4x − 6y + 7 = 0 ⇨（x + 2）²+（y − 3）²=−7 + 4 + 9 = 6 得圓心為 Q（−2﹐3）﹐半徑 r = √6

令 d = d（Q﹐L）=∣−2 + 3 − 3∣

√

√2 = √2 < √6 = r 故 L 與 C 交於相異兩點

5 1 試求過圓 C：x² + y² = 100 上一點 P（−6﹐8）的切線方程式•

2 試求過點 P（1﹐−2）且與圓 C：x²+ y²− 4x + 10y + 19 = 0 相切的直線方程式•

x：1 過圓 C：x² + y² = 100 上一點 P（−6﹐8）的切線方程式為 （−6 − 0）（x − 0）+（8 − 0）（y − 0）= 100 ⇨ −6x + 8y = 100 故得 3x − 4y + 50 = 0

2 將 P（1﹐−2）代入C ⇨ 左式 = 1² +（−2）² − 4•1 + 10•（−2）+ 19 = 1 + 4 − 4 − 20 + 19 = 0 =右式

∴ P（1﹐−2）∈ C﹐即 P 為圓 C 上一點

1•x +（−2）•y − 2（x + 1）+ 5（y − 2）+ 19 = 0 ⇨ x − 2y − 2x − 2 + 5y − 10 + 19 = 0

故所求切線方程式為 x − 3y = 7