高雄市明誠中學高三數學平時測驗日期:98.02.09 班級三年班

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：98.02.09 班級 三年 班

範 圍

選修(Ⅰ)

3-3

線性規劃(A) 座號

姓 名 一、選擇題

(

每題

5

分 )

( ) 1. 圖中鋪色部分的點坐標

(

^{x y,}

)

^{代入x−2y=k}﹐則使 值最大的是哪一點﹖

(1) 點 (2)

k A B點 (3)C點 (4)D點 (5)E點﹒

解答 4

解析 x−2y=k表斜率為1

2﹐x截距k之直線 在斜率為1

2之直線中﹐過D點之直線的x截距最大

( ) 2. 在第一象限中滿足x−2y≥ −6﹐7x−2y≤18﹐x+ ≥y 0之所有點

(

^{x y,}

)

^的區域為

(1)空集合 (2)半平面 (3)三角形區域 (4)四邊形區域 (5)五邊形區域﹒

解答 4

解析 作圖如右 ( ) 3.

試問圖中斜線部分（包含邊界）為下列哪一個不等式組之解﹖

(1) 3

4 3 12

2 3 6

x y x y x y

⎧ ≥

⎪ − ≥

⎨⎪ + ≤

⎩

(2) 3

4 3 12

2 3 6

x y x y x y

⎧ ≥

⎪ − ≤

⎨⎪ + ≤

⎩

(3) 3

4 3 12

2 3 6

x y x y x y

⎧ ≤

⎪ − ≥

⎨⎪ + ≥

⎩

(4) 3

4 3 12

2 3 6

x y x y x y

⎧ ≤

⎪ − ≥

⎨⎪ + ≤

⎩

(5) 3

4 3 12

2 3 6

x y x y x y

⎧ ≤

⎪ − ≤

⎨⎪ + ≥

⎩

﹒

解答 2 ( ) 4.

在坐標平面上﹐圖中之斜線區域所代表的不等式組為

(1)

2 10 0 2 0 0

x y

x y y

+ − ≤

⎧⎪ − + ≥

⎨⎪ ≥

⎩

(2)

2 10 0 2 0 0

x y

x y y

+ − ≤

⎧⎪ − + ≤

⎨⎪ ≥

⎩

(3)

2 10 0 2 0 0

x y

x y x

+ − ≤

⎧⎪ − + ≥

⎨⎪ ≥

⎩

(4)

2 10 0 2 0 0

x y

x y x

+ − ≤

⎧⎪ − + ≤

⎨⎪ ≥

⎩

﹒

解答 4

解析 過

( )

^{0,5 ﹐}

(

^{2, 4}

)

^{之直線﹕x+2y−10=0}

過

( )

^{0, 2} ﹐

(

^{2, 4}

)

之直線﹕^{x− + =y 2 0} ；由圖可知﹕ ^{2 2100 0} 0

x y

x y x

+ − ≤

⎧⎪ − + ≤

⎨⎪ ≥

⎩

( ) ( )

( ) 5. (複選)下列數對

( )

^{x y, 何者滿足聯立不等式 2 23 125}

4 3 2

x y

x y x y + ≤

⎧⎪

4

− ≥

⎨⎪ + ≤

⎩

的條件﹖

(1)

(

^−3,5

)

⁽²⁾

(

^−1,1

)

⁽³⁾

( )

^{2,5 (4)}

(

^{− −2, 3}

)

⁽⁵⁾

(

^{1, 2−}

)

^﹒

解答 45

解析 由圖所示(4)(5)在範圍內﹒

( ) 6. (複選)在xy平面上﹐不等式3x +2 y ≤6所表示的圖形為Γ﹐ 其面積為 ﹐則﹕

(1) 為矩形區域 (2) 為菱形區域 (3) A

Γ Γ Γ為平行四邊形區域

(4)A=12 (5)A=6﹒ 解答 234

解析 2 3 1

x y

+ ≤ 之圖形對稱於x軸､ y軸(因為(−x y, ); ( ,x −y)代入 1

2 3

x y

+ ≤ ，原式滿足)

先考慮x≥0﹐ 0 1 2 3 x y y≥ ⇒ + ≤

∴經由對稱性質，其圖形如圖所示

∴Γ為菱形﹐亦為平行四邊形 2 3 2 4 12

A ×

= × = ﹒

( ) 7. (複選)在一個牽涉到兩個未知量x﹐ 的線性規劃作業中﹐有三個限制條件﹒坐標平面上符合 這三個限制條件的區域是一個三角形區域﹒假設目標函數

y

ax+by（ ﹐ 是常數）在此三角 形的一個頂點 上取得最大值 31﹐而在另一個頂點

a b

(

^19,12

) (

^13,10

)

^{取得最小值 23﹒現因業務需}

要﹐加入第四個限制條件﹐結果符合所有限制條件的區域變成一個四邊形區域﹐頂點少了

﹐新增了 和

(

﹒在這四個限制條件下﹐請選出正確的選項﹕

(1) 的最大值發生在 (2)

(

^19,12

) )

) (

^17,13

)

^16,11

ax+by

(

^{17,13 ax+by的最小值發生在}

(

^16,11

)

(3)ax+by的最大值是30 (4)ax+by的最小值是27﹒

解答 13 解析

由題意 19 12 31 1

13 10 23 1

a b a

a b b

+ = =

⎧ ⎧

⇒⎨⎩ + = ⇒⎨⎩ = ⇒目標函數x+y 如圖﹐加入第四個限制條件增加

(

^17,13

)

^﹐

(

^16,11

)

⇒L₁為第四個限制條件

過

(

^19,12

)

^之條件為L（亦過2

(

^17,13

)

^）﹐過

(

^13,10

)

^之條件為L3

又新區域為四邊形⇒L₂﹐L₃交點必在L₁之左側﹐見圖

∴x+y最大值發生在

(

^17,13

)

^{﹐M =30﹐最小值發生在}

(

^13,10

)

^﹐m=23

第 2 頁

三、填充題

(

每格

10

分 )

1. 王先生採收酪梨共獲1080粒﹐要打包裝箱上市﹒已知大箱一箱可裝25粒﹐小箱一箱可裝8粒﹔每個 大箱子成本60元﹐每個小箱子成本20元﹒試問能將這1080粒的酪梨剛好裝完﹐所用的箱子成本最 少為____________元﹒

解答 2600

解析 令大箱x﹐小箱y ⇒25x+8y=1080

0 8 16 24 32 40

135 110 85 60 35 10 x

y

求目標函數P=60x+20y之最小值

( )

^,

(

^0,135

) (

^8,110

) (

^16,85

) (

^24,60

) (

^32,35

) (

^40,10

)

60 20 2700 2680 2660 2640 2620 2600

x y x+ y

成本最少為2600元﹒

2. 在條件 的限制下﹐設2

3 2

1

5 2 10

0 0

x y

x y

x y

x y

− ≥ −

⎧⎪ + ≥

⎪⎪ + ≤

⎨⎪ ≥

⎪ ≥

⎪⎩

6

4

x+ y之極大值為M﹐極小值為m﹐則M + =m ____________﹒

解答 18 解析

作圖如右

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, 0,3 0,1 1,0 2,0 ^{1 15}, 2 4

2 4 12 4 2 4 16

x y

x y

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+

最大值M =16﹐最小值m=2

∴M+ =m 18﹒

3. 設一線性規劃的可行解區域為如圖所示之正六邊形內部（含邊界）﹐而目標函數為

﹒若已知 點為此目標函數取得最大值之唯一的點﹐則 值的範圍要有限制﹒

若以不等式表示﹐則a之範圍為____________﹒

y−ax A a

解答 − 3< <a 0

解析 設正六邊形邊長2

目標函數^{P x y}

( )

^{, = − +ax y的斜率a介於AP}

I

與AQ

I

的斜率之間

因AQ

I

_的斜率

1 0

m = ； AP

I

的斜率m₂=tan120° = − 3

∴− 3< <a 0﹒

4. 當平面上的點

( )

^{x y, 之坐標x與 都是整數時﹐稱點y}

( )

^{x y,} 為格子點﹒數學家知道﹕坐標平面上三個點 皆為格子點的三角形之面積可以用公式aS+bI+c來表示﹐其中 代表三角形三邊邊上的格子點數﹐I 是落在三角形內部（不含邊上）的格子點數﹐ ﹐ ﹐ 是固定的常數﹒則^{a b c S}

(

^{a b c, ,}

)

⁼____________﹒

解析

由圖⇒ =S 3﹐I=0﹐面積 1

=2 1

2 3a c

⇒ = + ……c

由圖⇒ =S 6﹐I =0﹐面積=2 ⇒ =2 6a+c……d

由圖⇒ =S 8﹐I =1﹐面積=4 ⇒ =4 8a+ +b c……e

由cd 1 a 2

⇒ = ﹐c= −1代入e

∴4= + − ⇒ =4 b 1 b 1﹐∴

(

^{a b c, ,}

) (

^{= 0.5,1, 1−}

)

^﹒

5.

如右圖﹐令R表示由x軸﹐y軸及L₁､L₂兩直線所圍成之四邊形區域（含 邊界及內部）﹒若點P屬於R﹐令d₁﹐d₂﹐d₃及d₄分別表示P至x軸﹐y軸﹐

L1及L₂之距離﹐則d₁+d₂+d₃+d₄之

(1)最大值為____________﹐(2)最小值為____________﹒

解答 (1)64

5 ;(2)102 13 解析

第 4 頁

(1)∵^{P x y}

( )

^{, 在R區域內 ⇒P在 1}

2

: 3 4 12

:12 5 78

L x y

L x y

− = −

⎧⎨ + =

⎩

之正區域 之負區域 (2)作P至x軸﹐y軸﹐L₁﹐L₂距離和

_{1 2 3 4} 3 4 12 12 5 78

| | | |

5 13

x y x y

d d d d y x − + + −

+ + + = + + +

3 4 12

(

^{12 5 78}

)

5 13

x y

x y

y x − + − + −

= + + + 44 12 42

65x 65y 5

= − +

( )

^,

( )

^{0,0 13, 0}

( ) ( )

^{4, 6 0,3}

2

44 12 42 42 64 102

65 65 5 5 5 10 13

x y

x y

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

− +

； 最大值為64

5 ﹐最小值102 13 ﹒

6. 考慮滿足下列兩條件的二位數

(1)個位數的二倍減去十位數字的差大於 2﹒ (2)十位數字的三倍與個位數字的和小於 23﹒

則其中最大的一個二位數為____________﹒

解答 57 解析

設個位數字x﹐十位數字y

2 2

3 23

, 0 ~ 9 x y y x x y

− >

⎧⎪

⇒⎨ + <

⎪⎩ 為 的整數

作圖如右

區域內最大的二位數為57﹒

7.

右圖為一圓（以原點為圓心）﹐以此圓的邊界及其內部為可行解區域﹐點

( )

^{3, 2}

P 為邊界上的一點﹐設目標函數為 ^{f x y}

( )

^{, = −x my+3﹐若P點為使目}

標函數產生最大值M 的唯一點﹐則M+ =m ____________﹒

解答 20 3 解析

OP

I

的斜率2

3﹐則x−my+ =3 M 即為過P的切線﹐斜率為 3 2

−

故 1 3 2 m

=− ﹐∴ 2 m −3

= ﹐ 2 22

3 2 3

3 3

M = + × + =

∴ 20 M+ =m 3 ﹒

解答 31 解析

作圖如右

斜線區域面積=△OAB−△ACD 1 28 1 28

7 6 1

2 3 2 3

⎛ ⎞

= × × − ⎜⎝ − ⎟⎠×

98 5 3 3 31

= − = ﹒

9. 設x﹐y為整數﹐且^{P x y}

(

^,

)

為滿足聯立不等式

0

3 2 18

2 0

2 0

x y

x y

y

+ − ≤

⎧⎪ − ≥

⎨⎪ + ≥

⎩

的格子點﹐則如此的P點共有____個﹒

解答 33 解析

作圖如右﹐∴− ≤ ≤2 y 2﹐ 18 2

2 3

y≤ ≤x − y

2

y= ﹐ 14

4≤ ≤x 3 ﹐∴x= ⇒4 1個

1

y= ﹐ 16

2≤ ≤x 3 ﹐∴x=2﹐3﹐4﹐5⇒4個 0

y= ﹐0≤ ≤ ⇒x 6 7個 1

y= − ﹐ 20

2 9

x 3

− ≤ ≤ ⇒ 個

2

y= − ﹐ 22

4 12

x 3

− ≤ ≤ ⇒ 個

共有1 4+ + + +7 9 12=33﹒

10. 設點

( )

x y, 滿足3 2 ﹐ ﹐ ﹐ 四個不等式﹐則 (1)點

( )

12

x+ y− ≤0 x+ − ≥y 3 0 x≥0 y≥0 ,

x y 在xy平面所成圖形之面積為____________﹒

(2)若m≤ +x 2y≤M ﹐則數對

(

^{m M,}

)

⁼____________﹒

解答 (1)15

2 ;(2)

(

^3,12

)

解析

第 6 頁

作圖如右

(1)面積 ¹

(

^{4 6}

)

¹

(

^{3 3}

)

¹⁵

2 2 2

= × − × = ﹒

(2)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 0,6 12

0,3 6

3,0 3 4, 0 4

x y

M m +

∴

(

^{m M,}

) (

^{= 3,12}

)

^﹒

11. 設x≥ ≥ ≥ −y z 2且3x+2y− =z 4﹐試求(1)x+2y+z之最大值為_______﹒(2)此時

(

^{x y z, ,}

)

^=________﹒

解答 (1)4;(2)

(

^1,1,1

)

解析

3x+2y− = ⇒z 4 z=3x+2y−4代入x≥ ≥ ≥ −y z 2 0

3 2 4 2 3 4 0

3 2 2 0

x y

x y x y x y

x y

⎧ − ≥

⇒ ≥ ≥ + − ≥ − ⇒⎪⎨ + − ≤

⎪ + − ≥

⎩

此時^{x+2y+ = +z x 2y+}

(

^3x+2y−4

)

^=4x+4y−4

( ( ) )

( )

, 4 4 4

2, 2 4

1,1 4

2 2 4

5 5, 5

x y x+ y−

− −

⎛ ⎞ −

⎜ ⎟

⎝ ⎠

(1)在點

( )

1,1 得最大值為4﹐(2)此時

(

x y z, ,

) (

= 1,1,1

)

﹒

12. 三直線L x₁: − + =y 2 0﹐L₂: 2x+3y+ =9 0﹐L₃: 8x+3y−27=0圍成△ABC﹒若^P

(

^3,a

)

在所圍三角形 ABC之內部﹐試求 的範圍為____________﹒ a

解答 − < <5 a 1 解析

由L₁､L₂､L₃所圍△ABC﹐如圖所示﹕

因^P

( )

^{3,a 位於△ABC之內部得}

2 0

2 3 9 0

8 3 27 0

x y x y x y

− + >

⎧⎪ + + >

⎨⎪ + − <

⎩

即

3 2 0

6 3 9 0

24 3 27 0 a

a a

− + >

⎧⎪ + + >

⎨⎪ + − <

⎩

5 5 1 a a a

⎧ <

⇒⎪⎨ > −

⎪ <

⎩

故得− < <5 a 1﹒

13. 某肥料公司有兩家工廠生產同一產品﹐甲工廠每月最多可生產180公噸﹐乙工廠每月最多可生產120 公噸﹐該公司希望每月總共最少要生產220公噸﹒依據經驗﹐甲工廠每生產1公噸的產品﹐則產生 15公斤的一氧化氮飄入空間中汙染空氣﹐而乙工廠每生產1公噸的產品﹐則產生30公斤的一氧化氮 飄入空間中汙染空氣﹒則甲､乙兩工廠各生產____________公噸的產品才能符合需求﹐且對空氣的汙 染減至最低﹒

解答 甲廠生產180公噸﹐乙廠生產40公噸 解析

設甲生產x公噸﹐乙生產 y公噸

則

0 180

0 120

220 x y x y

⎧ ≤ ≤

⎪ ≤ ≤

⎨⎪ + ≥

⎩

作圖如右

目標函數使 f x y

( )

, =15x+30y為最小

( ) ( )

( )

( )

( )

, 15 30 15 2

180, 40 15 260

180,120 15 420

100,120 15 340

x y x+ y= x+ y

× ←

×

×

最小

即甲廠生產180公噸﹐乙廠生產40公噸﹐才能符合需求﹐且對空氣的汙染減至最低﹒

14. 某公司所生產的產品﹐存放在甲､乙兩倉庫分別有50單位﹐40單位﹐現在市場A､市場B分別的需 求量是20單位､30單位﹐下表是各倉庫運輸到各市場的每單位運輸成本﹕

市場A 市場B 倉庫甲 500元 450元 倉庫乙 400元 300元

在滿足A﹐B市場的需求下﹐最節省的運輸成本為____________元﹒

解答 18000 解析

第 8 頁

設甲倉庫運到 A市場x單位⇒乙倉庫運到 A市場

(

^20−x

)

^單位

甲倉庫運到B市場 y單位⇒乙倉庫運到B市場

(

^30−y

)

^單位

( ) ( )

0 20 0 20

0 30 0 30

50 50

20 30 40 10

x x

y y

x y x y

x y x y

⎧ ≤ ≤ ⎧ ≤ ≤

⎪ ≤ ≤ ⎪ ≤ ≤

⎪ ⎪

⇒⎨⎪ + ≤ ⇒⎨⎪ + ≤

⎪ − + − ≤ ⎪⎩ + ≥

⎩

目標函數^{=500x+400 20}

(

^−x

)

^{+450y+300 30}

(

^−y

)

=100x+150y+17000

∴取x=10﹐y=0有最少運輸成本18000 元﹒

15. 一玩具工廠生產A﹐B兩種玩具﹐玩具A每個可獲淨利300元﹐玩具B每個可獲淨利360元﹒假設製 造玩具的成本共分3部分﹕設計費﹐材料費與工資﹐而A﹐B兩種玩具每個的成本分別如下﹕

設計費 材料費 工資

A 30 10 10

B 10 10 20

在設計費不超過9000元﹐材料費不超過4000元﹐工資不超過7000元的原則下﹐生產的總淨利最高 為______元﹒

解答 138000 解析

設生產 A玩具x個､B玩具 y個

0 0

0 0

30 10 9000 3 900

10 10 4000 400

10 20 7000 2 700

x x

y y

x y x y

x y x y

x y x y

≥ ≥

⎧ ⎧

⎪ ≥ ⎪ ≥

⎪ ⎪

⎪ + ≤ ⇒⎪ + ≤

⎨ ⎨

⎪ + ≤ ⎪ + ≤

⎪ ⎪

+ ≤ + ≤

⎪ ⎪

⎩ ⎩

( )

( )

( )

( )

300 360

0,350 126000

100,300 138000 250,150 129000

300, 0 90000

x+ y

→最大值

∴最高淨利為 138000元﹒

16. 某工廠生產A與B兩種產品﹐其總產能為每年2萬公斤﹒假設生產A的成本為每公斤10美元﹐生產B 的成本為每公斤5美元﹐而今年工廠可用資金為15萬美元﹒若A的淨利為每公斤30美元﹐B的淨利 為每公斤20美元﹐試問最大利潤為____________萬美元﹒

解析

設A今年生產x公斤﹐B生產y公斤 20000

10 5 150000

0, 0

x y

x y

x y

⎧ + ≤

⎪ + ≤

⎨⎪ ≥ ≥

⎩

作圖如右

求^30x+20y−

(

^10x+5y

)

^{=20x+15y的最大值}

( )

^,

( ) ( ) (

^{0, 2 1,1 1.5, 0}

)

20 15 30 35 30

x y

x+ y ，∴最大利潤為35 萬美元﹒

第 10 頁