高三下(自)第一次期中考數學題庫(50)

1-1隨機的變數

1.

袋中有　3　顆白球與　1　顆黑球，每次隨機從袋中抽出　1　球，袋中每一球被抽到的機率皆相同，抽出後不放 回，直到抽中黑球時遊戲結束。若在第　k　次抽到黑球，則得到　k　元獎金。此遊戲可獲得獎金的數學期望 值為【　　　　】元。 答案：

5

2

解析：令隨機變數　X　代表所得獎金，可得　X　可能的取值為　1，2，3，4 隨機變數　X　的機率分布表如下： X 1 2 3 4 pX

1

4

3

4

_×

1

3

＝

1

4

3

4

_×

2

3

×

1

2

_＝

1

4

3

4

_×

2

3

×

1

2

_×

1

1

_＝

1

4

∴期望值　E（X）＝ k

∑

＝1 4 x_kp_k ＝1×

1

4

_＋2×

1

4

_＋3×

1

4

_＋4×

1

4

_＝

5

2

_（元）

2.

有　100　元、200　元、300　元、400　元的紅包袋各一個，由甲、乙、丙三人依序各抽取　1　個紅包袋，抽取後 不放回。若每個紅包袋被抽取的機會都相等，則甲、乙、丙三人紅包金額總和的期望值為【　　　　】 元。 答案：750 解析：令隨機變數　X　代表三人紅包金額的總和 X 600 700 800 900 pX

1

C

₃4

1

C

₃4

1

C

₃4

1

C

₃4 ∴E（X）＝600×

1

4

_＋700×

1

4

_＋800×

1

4

_＋900×

1

4

_{＝750（元）}

3.

袋子裡有　3　個球，2　個球上標　1　元，1　個球上標　5　元。從袋中任取　2　個球，即可得到兩個球所標錢數的總 和，則此玩法所得錢數的期望值是【　　　　】元。 答案：

14

3

解析：令隨機變數　X　表示所得錢數，其機率分布表如下： X 2 6

pX C₂2 C₂3 _＝

1

3

1－

1

3

_＝

2

3

∴E（X）＝2×

1

3

_＋6×

2

3

_＝

14

3

_（元）

4.

已知有　4　位同學的數學原始成績為　20　分，30　分，40　分，50　分，老師決定將原始成績乘以　1.2　倍再加　10　 分作為新成績，試求： (１)數學新成績平均數為【　　　　】分。 (２)數學原始成績變異數為【　　　　】。 (３)數學新成績標準差為【　　　　】分。 答案：(１)　52；(２)　125；(３)　6

√

5

解析：(１)數學原始成績平均數為

20

＋30＋40＋50

4

_{＝35（分）} 數學新成績平均數為　1.2×35＋10＝52（分） (２)數學原始成績變異數為

∑

i＝1 4 （x_i－35）2 4 ＝

（20－35）

2

＋（30－35）

2

＋（40－35）

2

＋（50－35）

2

4

＝125 (３)數學原始成績標準差為

√

125

＝5

√

5

（分） 數學新成績標準差為　1.2×5

√

5

＝6

√

5

（分）

5.

摸彩箱裝有若干編號為　1，2，……，10　的彩球，其中各種編號的彩球數目可能不同。今從中隨機摸取一 球，依據所取球的號數給予若干報酬。現有甲、乙兩案：甲案為當摸得彩球的號數為　k　時，其所獲報酬 同為　k，乙案為當摸得彩球的號數為　k　時，其所獲報酬為　11－k（k＝1，2，……，10）。已知依甲案每 摸取一球的期望值為

67

14

_{，則依乙案每摸取一球的期望值為【　　　　】。} 答案：

87

14

解析：令　pk　為抽到　k　號球的機率 則　E（甲案）＝1×p1＋2×p2＋……＋10×p10＝

67

14

E（乙案）＝（11－1）×p1＋（11－2）×p2＋……＋（11－10）×p10 ＝11×（p1＋p2＋……＋p10）－（1×p1＋2×p2＋…＋10×p10）

＝11×1－

67

14

_＝

87

14

〈另解〉 E（11－k）＝11－E（k）＝11－

67

14

_＝

87

14

6.

袋中有　1　號球　1　個，2　號球　2　個，3　號球　3　個，……，10　號球　10　個。今由袋中任取一球，若抽得　k　號球 可得　k　元，則任抽一球的期望值為【　　　　】元。 答案：7 解析：球的總數有　1＋2＋3＋……＋10＝

10（10＋1）

2

_{＝55（個）} 設隨機變數　X　表示取出的球號 隨機變數　X　的機率分布表如下： X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 pX

1

55

2

55

3

55

4

55

5

55

6

55

7

55

8

55

9

55

10

55

E（X）＝ k

∑

＝1 10

k

×

k

55

_＝

1

2

＋2

2

_＋3

2

_{＋⋯⋯＋10}

2

55

_＝

10（10＋1）（2×10＋1）

6

55

_{＝7（元）}

7.

已知隨機變數　X1，X2　的機率分布表如下，試分別求這兩個隨機變數的期望值、變異數與標準差。 X1 1 2 3 4 5

p

_X 1 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 X2 10 20 30 40 50

p

_X 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 解：

答案：E（X1）＝3，E（X2）＝30，Var（X1）＝

6

5

_{，Var（X2）＝120，}

√

Var

（X

1

）

_＝

√

30

5

_，

√

Var

（X

2

）

_＝2

√

30

解析：(１)由定義可得隨機變數　X1　的期望值為 E（X1）＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝3 隨機變數　X2　的期望值為 E（X2）＝10×E（X1）＝10×3＝30 (２)隨機變數　X1　的變異數為 Var（X1）＝（1－3）2×0.1＋（2－3）2×0.2＋（3－3）2×0.4＋（4－3）2×0.2＋（5－3）2×0.1＝1.2 ＝

6

5

隨機變數　X2　的變異數為 Var（X2）＝102_{×Var（X1）＝100×}

6

5

_＝120 (３)隨機變數　X1　的標準差為

√

Var

（X

1

）

_＝

√

6

5

_＝

√

30

5

隨機變數　X2　的標準差為

√

Var

（X

2

）

_＝

√

120

_＝2

√

30

8.

投擲一枚均勻硬幣三次，令隨機變數　X　表示反面出現的次數，試求： (１)隨機變數　X　的機率質量函數。 (２)隨機變數　X　的機率分布表。 (３)繪出隨機變數　X　的機率質量函數圖。 解： 答案：(１)　P（X＝0）＝

1

8

_{，P（X＝1）＝}

3

8

_{，P（X＝2）＝}

3

8

_{，P（X＝3）＝}

1

8

_{；(２)略；(３)略} 解析：(１)投擲一枚均勻硬幣三次，其樣本空間 S＝｛（反，反，反），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反）， （正，反，正），（反，正，正），（正，正，正）｝ 由題意知隨機變數　X　可能的取值為　0，1，2，3 可得　X　的機率質量函數為　P（X＝0）＝

1

8

_{，P（X＝1）＝}

3

8

_{，P（X＝2）＝}

3

8

_{，P（X＝3）} ＝

1

8

(２)隨機變數　X　的機率分布表如下： X 0 1 2 3 pX

1

8

3

8

3

8

1

8

(３)隨機變數　X　的機率質量函數圖，如圖：

9.

隨機變數　X　的期望值　E（X）＝3，變異數　Var（X）＝2，試求　E（2X　2_{＋1）的值。} 解： 答案：23 解析：Var（X）＝E（X　2_{）－〔E（X）〕}2_＝2 ∴E（X　2_{）－9＝2　　E（X}2_）＝11 可得　E（2X　2_＋1） ＝2E（X　2_）＋1 ＝2×11＋1＝23

10.

心安產物保險公司針對某款新車推出一年期的汽車竊盜損失險，保額為　100　萬元，保費為　2500　元。若 由統計資料可知，該款新車在一年內失竊的機率為　0.002，試問心安產物保險公司獲利的期望值為何？（提示： 無論失竊與否，保費　2500　元皆為保險公司的收入） 解： 答案：500　元 解析：保險公司獲利的期望值為

2500＋（－1000000）×0.002 ＝2500－2000＝500（元）

11.

在甲、乙兩箱中各放入　1　組標示　1　號至　4　號的四張卡片，試求： (１)從甲箱中取出　1　張卡片時，取出數字的期望值。 (２)從甲、乙兩箱中各取出　1　張卡片，兩數字和的期望值。 解： 答案：(１)

5

2

_；(２)　5 解析：(１)令隨機變數　X　表示從甲箱中取出卡片的數字， 故隨機變數　X　可能的取值為　1，2，3，4， 其機率分布表如下： X 1 2 3 4 pX

1

4

1

4

1

4

1

4

期望值為　E（X）＝1×

1

4

_＋2×

1

4

_＋3×

1

4

_＋4×

1

4

_＝

5

2

(２)從甲、乙兩箱各取出　1　張卡片的樣本空間 S＝｛（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）｝ 令隨機變數　Y　表示從甲、乙兩箱中各取出　1　張卡片所得到的兩數字和，故隨機變數　Y　可能的取值 為　2，3，4，5，6，7，8，其機率分布表如下： Y 2 3 4 5 6 7 8 pY

1

16

2

16

3

16

4

16

3

16

2

16

1

16

故　E（Y）＝2×

1

16

_＋3×

2

16

_＋4×

3

16

_＋5×

4

16

_＋6×

3

16

_＋7×

2

16

_＋8×

1

16

_＝5

12.

袋中有　1，2，3，4　號球各　1　顆，自其中任取兩球，令隨機變數　X　表示兩球號碼中較大的一數，試求隨 機變數　X　的期望值。 解： 答案：

10

3

解析：隨機變數　X　的機率分布表如下： X 2 3 4 pX

1

6

2

6

3

6

∴期望值為　E（X）＝ k

∑

＝1 3

x

_k

p

_k ＝2×

1

6

_＋3×

2

6

_＋4×

3

6

_＝

20

6

_＝

10

3

1-2 二項分布

1.

某球袋中裝有紅球　1　顆，白球　3　顆，球大小一致，且被取出機會均等。假設每次取球的結果互相獨立， 今自袋中取球　4　次，每次取　1　球，放回後再取，試求取得白球的 (１)期望值為【　　　　】次。 (２)變異數為【　　　　】。 (３)標準差為【　　　　】次。 答案：(１)　3；(２)

3

4

_；(３)

√

3

2

解析：依題意得，每次取得白球機率　p＝

3

4

_{，紅球機率　q＝}

1

4

設隨機變數　X　表示取得白球次數，則 (１)期望值　E（X）＝np＝4×

3

4

_{＝3（次）} (２)變異數為　Var（X）＝npq＝4×

3

4

_×

1

4

_＝

3

4

(３)標準差為

√

Var

（X ）

＝

√

3

4

_＝

√

3

2

_（次）

2.

明杰參加圍棋比賽，已知他每場比賽得勝的機率為

2

3

_{，落敗的機率為}

1

3

_{。今參加五場比賽，規定勝} 一場獎金　1000　元，敗一場罰款　600　元，且每場比賽結果皆互相獨立，則明杰至少贏得　3000　元的機率為 【　　　　】。 答案：

112

243

解析：若明杰五勝，可得獎金　5000　元 四勝一敗，可得獎金　3400　元 其他情況，獎金皆不到　3000　元 P（五勝）＝

(

2

3

)

5 ＝

32

243

P（四勝一敗）＝

C

4 5

(

2

3

)

4

(

1

3

)

_＝

80

243

∴至少贏得　3000　元的機率為

32

243

_＋

80

243

_＝

112

243

3.

某次數學段考有是非題　5　題，每題　10　分，答錯不倒扣，每題答對與否互相獨立。大雄看不懂題目，只想 一路猜到底，則大雄猜到　30　分以下（含　30　分）的機率為【　　　　】。 答案：

13

16

解析：所求為 5 5 0 2 1       C 5 題全錯 _＋ 4 1 5 1 2 1 2 1             C 5 題答對 1 題 _＋ 3 2 5 2 2 1 2 1             C 5 題答對 2 題 _＋ 5 3

C

2 3

2

1

2

1

























5 題答對 3 題

＝

1

32

_＋

5

32

_＋

10

32

_＋

10

32

_＝

26

32

_＝

13

16

4.

小夫投擲一顆公正的骰子　3　次，並假設每次投擲的結果都是互相獨立的，試求他投擲　3　次恰出現　2　次偶 數的機率為【　　　　】。 答案：

3

8

解析：公正的骰子投擲一次，將出現偶數點視為成功，則成功的機率　p＝

1

2

_{，失敗的機率　q＝}

1

2

則「投擲　3　次恰出現　2　次偶數」表示重複試驗中，恰有　2　次成功，1　次失敗 則　ppq　其排列方法共有

3

！

2

_{！ 1 ！}

_＝

C

₂3 _{種，而每一種機率都是}

(

1

2

)

2

(

1

2

)

故投擲　3　次恰出現　2　次偶數的機率為

C

23

(

1

2

)

2

(

1

2

)

_＝

3

8

5.

中央氣象局長期觀測臺北市　9　月分降雨機率為　25　％，今預測今年　9　月　1　日至　9　月　4　日，且每次預測結果 互相獨立，試問： (１)恰有　2　天降雨的機率為【　　　　】。 (２)至少　3　天降雨的機率為【　　　　】。 答案：(１)

27

128

_；(２)

13

256

解析：(１)將降雨視為成功，則成功機率　p＝25　％＝

1

4

_{，失敗機率　q＝1－25　％＝}

3

4

故所求為

C

2 4

(

1

4

)

2

(

3

4

)

2 ＝6×

1

16

_×

9

16

_＝

27

128

(２)至少成功　3　次的情形，包括恰成功　3　次或恰成功　4　次

故所求機率為

C

34

(

1

4

)

3

(

3

4

)

_＋

C

₄4

(

1

4

)

4 ＝

13

256

6.

某次考試共有　10　道是非題，每題答對得　1　分，答錯倒扣　1　分，不作答得　0　分。設甲生確定會作答的有　4　 題，其餘　6　題不經考慮隨意猜答。如果甲生確定會作答的　4　題都答對了，那麼甲生得分超過　4　分的機率 為【　　　　】。（提示：甲生至少猜對　4　題） 答案：

11

32

解析：得分超過　4　分，代表隨意猜答的　6　題中，至少猜對　4　題， 故所求的機率為

(

1

2

)

6 ＋

C

56

(

1

2

)

5

(

1

2

)

_＋

C

6₄

(

1

2

)

4

(

1

2

)

2 ＝

1

＋6＋15

64

_＝

11

32

7.

投擲一枚均勻的硬幣三次，A　代表第一次是正面的事件，B　代表第二次是反面的事件，C　代表第三次是 正面的事件，試判斷　A，B，C　三事件是否為獨立事件？ 解： 答案：是 解析：A＝｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反）｝ B＝｛（正，反，正），（正，反，反），（反，反，正），（反，反，反）｝ C＝｛（正，正，正），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正）｝ ∴P（A）＝

4

8

_＝

1

2

_{，P（B）＝}

1

2

_{，P（C）＝}

1

2

又　A∩B＝｛（正，反，正），（正，反，反）｝， B∩C＝｛（正，反，正），（反，反，正）｝， A∩C＝｛（正，正，正），（正，反，正）｝ ∴P（A∩B）＝

1

4

_{＝P（A）P（B）} P（B∩C）＝

1

4

_{＝P（B）P（C）} P（A∩C）＝

1

4

_{＝P（A）P（C）} 故　A，B，C　兩兩獨立 而　A∩B∩C＝｛（正，反，正）｝ ∵P（A∩B∩C）＝

1

8

_{＝P（A）P（B）P（C）} ∴A，B，C　三事件互為獨立事件

8.

連續投擲一枚均勻的硬幣　10　次，令隨機變數　X　表示正面出現的次數，求　X　會落在與其期望值相距小於 或等於一個標準差範圍內的機率。 解： 答案：

21

32

解析：此為　n＝10，p＝

1

2

_{的二項分布} E（X）＝np＝10×

1

2

_＝5 Var（X）＝npq＝10×

1

2

_×

1

2

_＝

5

2

∴隨機變數　X　的標準差為

√

Var

（X ）

＝

√

5

2

_＝

√

10

2

_　1.58 與期望值相距小於或等於一個標準差的範圍為　5－

√

10

2

_{≦X 5≦ ＋}

√

10

2

此範圍　X　可能的取值為　4，5，6 ∴P

(

5

－

√

10

2 ≦

X

≦5＋

√

10

2

)

_{＝P（X＝4）＋P（X＝5）＋P（X＝6）} ＝

C

104

(

1

2

)

4

(

1

2

)

6 ＋

C

510

(

1

2

)

5

(

1

2

)

5 ＋

C

610

(

1

2

)

6

(

1

2

)

4 ＝

21

32

9.

一袋中有　2　顆紅球與　1　顆白球，今每次隨機從袋中取出　2　球，取後放回，共取　5　次。令隨機變數　X　表示 抽到兩球都是紅球的次數，試求： (１)　P（X＝3）。 (２)　E（X）。 解： 答案：(１)

40

243

_；(２)

5

3

_次 解析：一次取　2　球，2　球皆為紅球的機率為 C₂2 C₂3 _＝

1

3

則　X　的機率分布為二項分布　B

(

5

，

1

3

)

(１)　P（X＝3）＝

C

35

(

1

3

)

3

(

2

3

)

2 ＝

40

243

(２)　E（X）＝np＝5×

1

3

_＝

5

3

_（次）

10.

俊明在夜市看到一個遊戲，其規則如下： 由　O　出發，在每一個交叉點處擲一均勻硬幣，若出現正面則向右下走一格，出現反面則向左下走一格，直 到到達　A，B，C，D，E，F　其中一點，每點可獲得的分數如圖所示，試求： (１)玩　1　次所得分數的期望值與標準差。 (２)玩　2　次所得分數的期望值。 解： 答案：(１)期望值為

3

2

_{分，標準差為}

√

10

4

_{分；(２)　3　分} 解析：(１)設隨機變數　X　的取值表示玩一次所得分數，則 P（X＝1）＝ C25

(

1

2

)

2

(

1

2

)

3 ＋

C

35

(

1

2

)

3

(

1

2

)

2 ＝

5

8

P（X＝2）＝ C1 5

(

1

2

)

(

1

2

)

4 ＋ C4 5

(

1

2

)

4

(

1

2

)

_＝

5

16

P（X＝4）＝

C

05

(

1

2

)

0

(

1

2

)

5 ＋

C

55

(

1

2

)

5

(

1

2

)

0 ＝

1

16

可得隨機變數　X　的機率分布表如下： X 1 2 4 pX

5

8

5

16

1

16

X　的期望值為　E（X）＝1×

5

8

_＋2×

5

16

_＋4×

1

16

_＝

3

2

_（分） X　的變異數為　Var（X）＝

(

1

－

3

2

)

2 ×

5

8

_＋

(

2

－

3

2

)

2 ×

5

16

_＋

(

4

－

3

2

)

2 ×

1

16

_＝

5

32

_＋

5

64

_＋

25

64

_＝

5

8

X　的標準差為

√

Var

（ X ）

＝

√

5

8

_＝

√

10

4

_（分） (２)令隨機變數　Y　的取值表示玩　2　次所得分數的總和 由獨立重複試驗的期望值公式可知

E（Y）＝2E（X）＝2×

3

2

_{＝3（分）}

11.

假設生男、生女的機率均為

1

2

_{。對有　3　個小孩的家庭以隨機變數　X　表示小孩中女生的數量，試求隨機} 變數　X　的期望值、變異數與標準差。 解： 答案：期望值為

3

2

_{個，變異數為}

3

4

_{，標準差為}

√

3

2

_個 解析：由題意知隨機變數　X　可能的取值為　0，1，2，3， 其機率分布表如下： X 0 1 2 3 pX

C

₀3

(

1

2

)

3 ＝

1

8

C

₁3

(

1

2

)

(

1

2

)

2 ＝

3

8

C

₂3

(

1

2

)

2

(

1

2

)

_＝

3

8

C

₃3

(

1

2

)

3 ＝

1

8

X　的期望值為　E（X）＝ k

∑

＝1 4

x

_k

p

_k ＝0×

1

8

_＋1×

3

8

_＋2×

3

8

_＋3×

1

8

_＝

12

8

_＝

3

2

_（個） X　的變異數為 Var（X）＝

(

0

－

3

2

)

2 ×

1

8

_＋

(

1

－

3

2

)

2 ×

3

8

_＋

(

2

－

3

2

)

2 ×

3

8

_＋

(

3

－

3

2

)

2 ×

1

8

＝

9

32

_＋

3

32

_＋

3

32

_＋

9

32

_＝

3

4

X　的標準差為

√

Var

（X ）

＝

√

3

4

_＝

√

3

2

_（個）

12.

某水管網路如圖，管路經設計使得往右的水量為往左水量的　2　倍， 設　A　入口的水量為　1　單位，試求　P　出口流出的水量。（提示：A　→　P　的水流路線共有

C

3 5 種） 解： 答案：

80

243

_單位 解析：水流在每個交叉路口往右的水量是原水量的

2

3

而往左的水量是原水量的

1

3

水欲從　P　出口流出，必定往右　3　次，往左　2　次，其路線共有

C

35 _種

而每條路線的出水量皆為

(

2

3

)

3

(

1

3

)

2 故　P　出口流出的水量為

C

3 5

(

2

3

)

3

(

1

3

)

2 ＝

80

243

_（單位）

1-3 抽樣與統計推論

1.

某班　40　位學生第一次段考數學成績如下： 座號 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 成績 35 50 76 75 65 80 65 50 65 65 座號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 成績 78 6 80 81 85 50 90 70 70 75 座號 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 成績 75 80 80 65 70 90 95 85 55 30 座號 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 成績 50 70 75 77 85 70 50 85 70 80 亂數表 1697 0206 4521 5789 8119 0522 7536 5431 1566 8197 6485 4022 2744 5565 8757 8241 8949 2195 9121 1737 8810 1860 5479 9851 2446 6661 7251 3851 6176 8728 6913 5383 9326 8466 3764 4842 8591 4934 2465 3199 簡單隨機抽樣：從所給的亂數表中第　1　列第　5、6　行為座號，由上往下進行，找出　6　位學生的成績（若不足， 則取　7、8　行，9、10　行，以此類推），求得算術平均數為【　　　　】分。 答案：70 解析：座號取　02，05，21，18，06，22 分數為　50，65，75，70，80，80 算術平均數為

50

＋65＋75＋70＋80＋80

6

_{＝70（分）}

2.

為了解翰林高中的學生對規定穿制服的支持度，進行了一次抽樣訪問，且依選組不同區分，所得結果如 下： 自然組 社會組 對穿制服支持 度的　95％信賴 區間 [　0.4，0.6　] [　0.32，0.48　] 贊成穿制服的 比例

^

p

1

^

p

2 抽樣人數 n1 n2 若合併兩組抽樣訪問的學生資料，令合併後的抽樣總人數為　n，而合併後的支持度為

^

p

， 試求數對（n，

^

p

）＝【　　　　】。 答案：（250，0.44） 解析：自然組同學「支持度」的信賴區間為　[　0.4，0.6　] ∴

^

p

1 _＝

0.4

＋0.6

2

_＝0.5 2

√

0.5×0.5

n

_{1 ＝0.1　}

√

0.25

n

_{1 ＝}

₂₀

1

　n1＝100 社會組同學「支持度」的信賴區間為　[　0.32，0.48　] ∴

^

p

2 _＝

0.32

＋0.48

2

_＝0.4 2

√

0.4×0.6

n

_{2 ＝0.08　}

√

0.24

n

_{2 ＝}

₂₅

1

　n2＝150 合併之後的總人數　n＝n1＋n2＝100＋150＝250

^

p

_＝

100×0.5

＋150×0.4

250

_＝

50

＋60

250

_＝

11

25

_＝0.44 故數對（n，

^

p

）＝（250，0.44）

3.

某校以問卷調查「全面管制手機」辦法的支持度，發現有　95％的信心認為全校師生支持「全面管制手 機」的比例在　72％到　88％之間，則回收有效問卷為【　　　　】張。 答案：100 解析：在　95％的信心水準下，此信賴區間為　[　0.72，0.88　] ∴

^

p

＝

0.72

＋0.88

2

_＝0.80 抽樣誤差為　2

√

^

p

（1－ ^p）

n

_{＝0.08　　2}

√

0.8×0.2

n

_{＝0.08　}

0.4

√

n

_＝0.04

可得　n＝100，故回收的有效問卷為　100　張

4.

某工廠其產品的合格率為　80　％，在　95　％信心水準下，該工廠至少要檢驗【　　　　】個產品，抽樣誤 差為　2　個百分點。 答案：1600 解析：設至少要檢驗　n　個產品 合格率　80　％，在　95　％信心水準下，抽樣誤差為　2　％ 即　2

√

0.8×0.2

n

_＝0.02 ⇒ _n＝1600 所以至少要檢驗　1600　個產品

5.

拜拜擲筊，擲　100　次中，聖筊出現　36　次。試求在　95　％信心水準下，此擲筊出現聖筊的機率　p　之信賴區 間為【　　　　】。 答案：[　0.264，0.456　] 解析：∵p＝

36

100

_{＝0.36，又　2×}

√

0.36×0.64

100

_＝0.096 故所求的信賴區間為　[　0.36－0.096，0.36＋0.096　]，即　[　0.264，0.456　]

6.

投擲一顆公正骰子　100　次，試求出現點數為奇數的次數大於　55　次的機率為【　　　　】％。 答案：16 解析：擲一顆公正骰子　100　次，出現點數為奇數的 期望值　E（X）＝np＝100×

1

2

_＝50 標準差

√

Var

（X ）

＝

√

100×

1

2

×

1

2

_＝5 因為　n＝100　夠大，我們可以利用　μ＝50，σ＝5　的常態分布來估算此二項分布的結果，所以出現點數 為奇數的次數大於　55　次的範圍位於平均數往右一個標準差的右側區域，如圖，根據　68－95－99.7　法 則，所求機率為　16　％

7.

由生產線隨機抽樣　400　個產品，得到產品合格的個數為　360　個，試求： (１)此次抽檢產品的合格率。 (２)在　95％的信心水準下，這次抽檢合格率之信賴區間的抽樣誤差為多少個百分點？ (３)在　95％信心水準下，該產品合格率的信賴區間。 解： 答案：(１)　90％；(２)　3　個；(３)　[　0.87，0.93　] 解析：(１)此次抽檢產品的合格率為

^

p

＝

360

400

_{×100％＝90％} (２)在　95％信心水準下，此信賴區間的抽樣誤差為　2　

√

^

p

（1－ ^p）

n

_＝2

√

0.9

（1－0.9）

400

_＝3％，

故為　3　個百分點 (３)在　95％信心水準下的信賴區間為　[　0.9－0.03，0.9＋0.03　]＝[　0.87，0.93　]

8.

某次考試有　48　題的單選題，每題都有　4　個選項，假設每個題目猜對的機率都是

1

4

_{。宜君對於這　48　題} 單選題從頭到尾都亂猜，設隨機變數　X　代表宜君猜對的題數，試求： (１)　X　的期望值與標準差。 (２)假設　48　題可算夠多，試以　68－95－99.7　法則估計出現猜對題數在　6　題到　18　題之間的機率。 解： 答案：(１)期望值為　12　題，標準差為　3　題；(２)　0.95 解析：(１)猜　48　題，每題猜對的機率都是

1

4

_{，此為獨立的重複試驗} 則　X　的期望值為　E（X）＝np＝48×

1

4

_{＝12（題）} 標準差為

√

Var

（X ）

＝

√

np

（1－p）

＝

√

48×

1

4

×

3

4

_{＝3（題）} (２)因為　n＝48　夠多，我們可以利用　μ＝12，σ＝3　的常態分布來估算此二項分布的結果 猜對題數在　6　題至　18　題之間的範圍位於 期望值　12　題左、右各兩個標準差（6　題）內的區間，如圖所示 根據　68－95－99.7　法則 所求的機率為　95％＝0.95

9.

利用亂數表，模擬投擲一顆不公正的骰子　25　次，假設其出現「6　點」的機率為

3

10

_{，模擬過程如下：} 隨機指定給每位同學亂數表的某一列，該列從左到右依序取　25　個數字；如果數字為　0　或　1 或　2，則視為擲出 點數為　6。某位同學拿到亂數表中第　15　列的前　25　個數字依序為　72324　54402　36565　35662　99654。試求： (１)樣本出現「6　點」的比例。 (２)在　95％信心水準下，真正出現　6　點比例的信賴區間，並檢查是否包含母體的　p＝

3

10

_。 解： 答案：(１)

1

5

_{；(２)　[　0.04，0.36　]，是} 解析：(１)　0　或　1　或　2　出現　5　次，所以

^

p

＝

5

25

_＝

1

5

(２)

^

p

±　2　

√

^

p

（1－ ^p）

n

_＝

1

5

_±　2

√

1

5

×

4

5

25

_{＝0.2　±　0.16} 故在　95％信心水準下的信賴區間為　[　0.2－0.16，0.2＋0.16　]＝[　0.04，0.36　]

而母體出現　6　點的比例為

3

10

_＝0.3， 模擬所得　95％信心水準下的信賴區間　[　0.04，0.36　]　包含　0.3　這個數值

10.

一副撲克牌中，有黑桃、梅花、紅心、方塊四種花色，今小明發　25　張牌中，出現　9　張黑桃。假設此撲 克牌出現黑桃的機率為　0.25，試求： (１)樣本出現黑桃的比例為【　　　　】。 (２)在　95　％的信心水準下，真正出現黑桃比率的信賴區間，並檢查是否包含母體的　p＝0.25。 解： 答案：(１)　0.36；(２)信賴區間為　[　0.168，0.552　]，是 解析：(１)黑桃出現　9　次，所以

^

p

＝

9

25

_＝0.36 (２)

^

p

　±　2

√

^

p

（1－ ^p）

n

_{＝0.36　±　2}

√

0.36×0.64

25

¿ _{0.36　±　0.192} 故在　95　％信心水準下的信賴區間為 [　0.36－0.192，0.36＋0.192　]＝[　0.168，0.552　] 母體出現黑桃的機率為　0.25 而此試驗在　95　％信心水準下的信賴區間為　[　0.168，0.552　] 包含　0.25　這數值

11.

某校高三學生　600　人，第一次段考數學成績呈常態分布，平均成績　70　分，標準差　10　分， (１)試估計大約有多少人不及格？ (２)若小沛此次考　90　分，試問他的數學排名大約為何？ 解： 答案：(１)　96　人；(２)　15　名 解析：(１)常態分布曲線為左右對稱的圖形，其平均分數　70　分位於圖形中心位置 不到　60　分的範圍為平均成績　70　分往下一個標準差的左側區域，如圖所示 根據　68－95－99.7　法則 所求人數約占全部人數　50％－

68

％

2

_＝16％ ∴不及格的人數約有　600×16％＝96（人） (２)小沛考　90　分，比平均成績　70　分多兩個標準差，如圖所示 根據　68－95－99.7　法則

大於或等於兩個標準差的右側區域占全部人數

5

％

2

_{＝2.5％，約　600×2.5％＝15（人）} ∴小沛的數學排名大約是　15　名

12.

吳師傅嚴選其烘焙的荔香麵包，發現重量呈現平均值為　500　克，標準差為　10　克的常態分布（以　68－95 －99.7　法則估算），假設王老闆批購　1000　個荔香麵包，試問： (１)重量超過　480　克的荔香麵包約有幾個？ (２)若麵包每個成本　50　元，重量超過　480　克的每個賣　100　元，其餘的淘汰不賣，則王老闆利潤的期望值為 多少元？ 解： 答案：(１)　975　個；(２)　47500　元 解析：(１)常態分布曲線為左右對稱的圖形，其重量平均值　500　克位於圖形中心位置， 480　克距平均值　500　克兩個標準差，如圖所示 根據　68－95－99.7　法則 重量超過　480　克的荔香麵包占全部　100％－

5％

2

_{＝97.5％，} 故　1000　個荔香麵包中重量超過　480　克的約有　1000×97.5％＝975（個） (２)王老闆利潤的期望值＝（平均售出總金額）－（成本） ＝975×100－1000×50 ＝97500－50000＝47500（元）

第一章 綜合演練

1.

連續投擲一公正骰子　3　次，以隨機變數　X　表示出現點數為　2　或　6　的次數，則： (１)　X　的期望值為【　　　　】次。 (２)　X　的變異數為【　　　　】。 (３)　X　的標準差為【　　　　】次。 答案：(１)　1；(２)

2

3

_；(３)

√

6

3

解析：此為　n＝3，p＝

1

3

_{的二項分布} (１)　X　的期望值　E（X）＝3×

1

3

_{＝1（次）} (２)　X　的變異數　Var（X）＝3×

1

3

_×

2

3

_＝

2

3

(３)　X　的標準差

√

Var

（X）

＝

√

2

3

_＝

√

6

3

_（次）

2.

某市為了籌措經費而發行公益彩券，該市決定每張彩券的售價為　100　元，且每發行一百萬張彩券，即附 有壹仟萬元獎　1　張，壹佰萬元獎　9　張，壹拾萬元獎　90　張，壹萬元獎　900　張，壹仟元獎　9000　張。試問當 購買一張彩券時，預期會損失【　　　　】元。 答案：54 解析：中獎金額期望值為　107_×

1

10

6 ＋106_×

9

10

6 ＋105_×

90

10

6 ＋104_×

900

10

6 ＋103_×

9000

10

6 ＝10＋9＋9＋9 ＋9＝46 購買一張彩券的期望值為　46－100＝－54（元） 故預計會損失　54　元

3.

袋中有紅球　2　個，黑球　3　個，球大小一致且被取出的機會均等，連續自袋中取球　5　次，每次取一球，取 出後放回，且每次取球結果互相獨立，則： (１)取得紅球次數的期望值為【　　　　】次。 (２)取得紅球次數的標準差為【　　　　】次。 答案：(１)　2；(２)

√

30

5

解析：設隨機變數　X　表示取球　5　次可獲得的紅球數 此為　n＝5，p＝

2

5

_{的二項分布；q＝1－p＝}

3

5

(１)取得紅球次數的期望值　E（X）＝np＝5×

2

5

_{＝2（次）} (２)取得紅球次數的變異數　Var（X）＝npq＝5×

2

5

_×

3

5

_＝

6

5

故標準差為

√

6

5

_＝

√

30

5

_（次）

4.

同時擲三顆公正骰子一次的遊戲，每次輸贏規則如下：若三顆骰子的點數全都是　6，則可贏　7　元；恰有 兩個點數為　6，則可贏　4　元；恰有一個點數為　6，則可贏　1　元；而沒有點數為　6，則輸　2　元。如此，玩一 次的期望值（贏為正，輸為負）為【　　　　】元。 答案：－

1

2

解析：設隨機變數　X　表示擲三顆骰子一次所得到點數為　6　的個數 P（X＝k）＝

C

3k

(

1

6

)

k

(

5

6

)

3－k ，k＝0，1，2，3 金額 7 4 1 －2 P （X＝k）

1

6

3

5×3

6

3

5

2

×3

6

3

5×5×5

6

3 ∴期望值為　7×

1

6

3 _＋4×

5×3

6

3 ＋1×

25×3

6

3 －2×

125

6

3 ＝－

1

2

_（元）

5.

隨機抽取　400　個隨身碟，發現其中有　8　個不良品。試求在　95　％信心水準下，此種隨身碟真正的不良率　p　 的信賴區間為【　　　　】。 答案：[　0.006，0.034　] 解析：∵p＝

8

400

_＝

1

50

⇒ _{標準差　σ＝}

√

1

50

(

1－

1

50

)

400

∴p　的　95　％信賴區間為

1

50

_±　2×

√

1

50

(

1

－

1

50

)

400

_{＝0.02　±　0.014} 即　0.006≦p 0.034≦ 故在　95　％信心水準下的信賴區間為　[　0.006，0.034　

]

6.

調查顯示有　50　％的大學生曾有打工經驗，現抽取　5　位大學生，且每位大學打工與否互相獨立，則至少有 4　位曾有打工經驗的機率為【　　　　】。 答案：

3

16

解析：此為　n＝5，p＝50　％＝

1

2

_{的二項分布} 因此至少有　4　位曾有打工經驗的機率為

C

₄5

(

1

2

)

4

(

1

2

)

_＋

C

₅5

(

1

2

)

5 ＝

5

32

_＋

1

32

_＝

3

16

7.

某次考試，有一多重選擇題，有(Ａ)，(Ｂ)，(Ｃ)，(Ｄ)，(Ｅ)五個選項，給分標準為完全答對給　5　分， 只答錯　1　個選項給　3　分，答錯　2　個或　2　個以上的選項得　0　分，未作答不給分。若某一考生對該題的(Ａ)、 (Ｂ)選項已確定是應選的正確答案，但(Ｃ)、(Ｄ)、(Ｅ)三個選項根本看不懂，決定這三個選項要用猜的 來作答，則他此題所得分數的期望值為【　　　　】分。 答案：

7

4

解析：剩下(Ｃ)，(Ｄ)，(Ｅ)三個選項，隨機變數　X　表示得到的分數 X 5 3 0 pX

(

1

2

)

3 ＝

1

8

C

₂3 _×

(

1

2

)

3 ＝

3

8

C

₁3 _×

(

1

2

)

3 ＋

C

₀3 _×

(

1

2

)

3 ＝

4

8

全對：5×

(

1

2

)

3 ＝

5

8

對　2　個：3×

C

23 _×

(

1

2

)

3 ＝

9

8

對　1　個以下：0×

[

C

₁3

×

(

1

2

)

3 ＋

C

03 _×

(

1

2

)

3

]

＝0 E（X）＝

5

8

_＋

9

8

_＝

14

8

_＝

7

4

_（分）

8.

擲一枚均勻硬幣兩次，若每出現一個正面得　3　元，一個反面賠　x　元，則所得總額之期望值為　2　元，試求　 x＝【　　　　】。 答案：1 解析：擲一枚均勻硬幣一次平均可得

1

2

_×3＋

1

2

_{×（－x）＝}

3

－x

2

_（元） ∴擲一枚均勻硬幣兩次之總額期望值為　2×

3

－x

2

_{＝2（元）} 故　x＝1

2-1_{一般三角函數的性質與圖形}

1.

兩條公路　k　及　m，如果筆直延伸將交會於　C　處成　60°夾角，如圖所示。為銜接此二公路，規劃在兩公路 各距　C　處　450　公尺的　A，B　兩點間開拓成圓弧型公路，使　k，m　分別在　A，B　與此圓弧相切，則此圓弧長 為【　　　　】公尺。（公尺以下四捨五入，

√

3

　　1.732，π　　3.142）（提示：設　O　為

AB

所對應的 圓心，則∠AOB＝120°） 答案：544 解析：設　O　為

AB

所對應的圓心 則∠AOB＝360°－60°－90°－90°＝120°＝

2 π

3

_弧度 又

AC

＝450　且∠ACO＝30°，故

OA

＝450×tan30°＝450×

1

√

3

_＝150

_√

3

AB

_{弧長為　rθ＝}

OA

_×

2 π

3

_＝150

_√

3

×

2 π

3

_＝100

_√

3

_{π　　544（公尺）}

2.

如圖所示，有三個水管的橫截面其半徑皆為　1　公分。今用塑膠繩綑起來，試求塑膠繩的長度為【　　　 】公分。 答案：6＋2π 解析：連接

O

1

O

2 _，

O

2

O

3 _，

O

1

O

3 則△O1O2O3　為正三角形且∠O2O1O3＝

π

3

再連接圓　O1，圓　O2，圓　O3　的外公切線

AB

，

CD

，

EF

得

AB

＝

CD

＝

EF

＝2 且劣弧

AC

＝

BE

＝

DF

＝

2 π

3

所求塑膠繩長為　3

(

2

＋

2π

3

)

_{＝6＋2π（公分）}

3.

設　0＜θ＜

π

4

_{，且　2＋}

_√

3

_為　x2_{－（tanθ＋cotθ）x＋1＝0　的一根，求　tanθ＝【　　　　】。}

(

提示 ： 0 θ

＜ ＜

π

4

時 ， 0＜tanθ＜1

)

答案：2－

√

3

解析：設另一根為　α，由二次方程式根與係數的關係可知： α ×（2 ＋√3）＝ 1 α＋ （2 ＋√3）＝ tan θ＋cot θ ¿ {_{¿ ¿ ¿} ¿ 　∴α＝

1

2

＋

√

3

_＝2－

_√

3

可得　tanθ＋cotθ＝（2－

√

3

）＋（2＋

√

3

）＝4　又　cotθ＝

1

tan θ

∴tanθ＋

1

tan θ

_＝4 ⇒ _tan2_{θ－4　tanθ＋1＝0}

⇒ _tanθ＝

4±

_√

12

2

_＝2　±

_√

3

_{，但　0＜θ＜}

π

4

_{（即　0°＜θ＜45°）} 可知　0＜tanθ＜1　∴tanθ＝2－

√

3

4.

若

3 π

2

_{≦θ 2π≦ ，且　secθ＝}

5

4

_，試求： (１)　sec（－θ）＝【　　　　】。 (２)　sec

(

π

2

－

θ

)

_{＝【　　　　】。} (３)　cot（π－θ）＝【　　　　】。 答案：(１)

5

4

_；(２)－

5

3

_；(３)

4

3

解析：(１)　sec（－θ）＝secθ＝

5

4

(２)　sec

(

π

2

－

θ

)

_{＝cscθ＝－}

5

3

(３)　cot（π－θ）＝－cotθ＝

4

3

5.

(１)設　cotθ＝2，試求

2 cosθ

－ sinθ

cosθ－sin θ

_{＝【　　　　】。} (２)　tan2

π

13

_－sec2

π

13

_{＝【　　　　】。}

(３)　csc2

π

19

_－cot2

π

19

_{＝【　　　　】。} 答案：(１)　3；(２)－1；(３)　1 解析：(１)

2 cosθ

－ sinθ

cosθ－sin θ

_＝

sin θ

(

2 cosθ

sin θ

－1

)

sin θ

(

cos θ

sin θ

－1

)

_＝

2cot θ

－1

cot θ－1

_＝

4

－1

2

－1

_{＝3 (２)－1 (３)　1}

6.

如圖，一扇形之半徑為　6，中心角為　30°，試求： (１)扇形面積為【　　　　】。 (２)扇形弧長為【　　　　】。 (３)扇形周長為【　　　　】。 答案：(１)　3π；(２)　π；(３)　12＋π 解析：30°＝

π

6

(１)扇形面積為

1

2

_×62_×

π

6

_＝3π (２)扇形弧長為　6×

π

6

_＝π (３)扇形周長為　6＋6＋π＝12＋π

7.

試求　cot

π

3

_，sec

π

3

_，csc

π

3

_的值。 解： 答案：cot

π

3

_＝

√

3

3

_，sec

π

3

_＝2，csc

π

3

_＝

2

√

3

3

解析：由

π

3

_{弧度＝60°，如圖所示} 在　30°－60°－90°的直角三角形中三邊長的比例為　1：

√

3

：2 故由定義可得　 cot60°＝

√

3

3

sec60°＝2 csc60°＝

2

√

3

3

8.

將下列各弧度化成度。 (１)

7 π

6

_。 (２)－

5 π

4

_。 (３)

π

5

_。 (４)　3（四捨五入至小數點後第　2　位）。 解： 答案：(１)　210°；(２)－225°；(３)　36°；(４)　171.89° 解析：(１)

7 π

6

_＝

7

6

_{×180°＝210°} (２)－

5 π

4

_＝

(

－

5

4

)

_{×180°＝－225°} (３)

π

5

_＝

1

5

_{×180°＝36°} (４)　3＝3×

180

°

π

_{　3×57.296°　　171.89°}

9.

將　y＝tanx　與　y＝cotx　的圖形畫在同一平面上，並利用圖形回答下列問題： (１)在　0≦x π≦ 　時，y＝tanx　與　y＝cotx　的圖形有幾個交點？ (２)在　0≦x π≦ 　時，解　tanx＝cotx。 (３)在　0≦x π≦ 　時，何時　tanx cot≦ x？ 解： 答案：(１)　2　個；(２)　x＝

π

4

_和　x＝

3 π

4

_{；(３)　0＜x≦}

π

4

_或

π

2

_＜x≦

3 π

4

解析： 將　y＝tanx　與　y＝cotx　的圖形畫在同一平面上，如圖所示觀察圖形可得： (１)在　0≦x π≦ 　時，兩圖形有兩個交點 (２)上述兩個交點的　x　坐標是　x＝

π

4

_和　x＝

3 π

4

(３)在　0＜x≦

π

4

_或

1

2

_＜x≦

3 π

4

_{時，tanx cot≦ x}

10. 試計算下列各式的值： (１)

1

1

＋sinθ

_＋

1

1

＋cscθ

_。 (２)　tan20°tan70°－sec2_31°＋cot2_59°。 解： 答案：(１)　1；(２)　0 解析：(１)

1

1

＋sinθ

_＋

1

1

＋cscθ

_＝

1

1

＋sinθ

_＋

1

1

＋

1

sinθ

_＝

1

1

＋sinθ

_＋

sin θ

1

＋sinθ

_＝1 (２)由餘角關係可知　tan70°＝cot20°，cot59°＝tan31°

故　tan20°tan70°－sec2_31°＋cot2_{59°＝tan20°cot20°－sec}2_31°＋tan2_31° ＝tan20°

1

tan 20

∘ －（sec2_31°－tan2_31°） ＝1－1＝0 11. 試求　cot

2 π

3

_，sec

2 π

3

_，csc

2 π

3

_的值。 (２)下列三角函數值何者為正？　(Ａ)　sin

π

2

_{(Ｂ)　cosπ　(Ｃ)　tan}

3 π

2

_{(Ｄ)　sec2π　(Ｅ)　csc2π}2_。 解： 答案：(１)cot

2 π

3

_＝

－

√

3

3

_，sec

2 π

3

_{＝－2，csc}

2 π

3

_＝

2

_√

3

3

_{；(２)(Ａ)(Ｄ)(Ｅ)} 解析：(１)標準位置角

2 π

3

_{弧度＝120°} 在標準位置角

2 π

3

_{的終邊上取一點　P} 由　P　點向　x　軸作垂線，垂足為　Q　點，如圖所示 直角三角形　OPQ　中，∠POQ＝

π

3

設　

OP

＝2，

OQ

＝1，

PQ

＝

√

3

，則點　P　的坐標為（－1，

√

3

） 故得　cot

2 π

3

_＝

x

y

_＝

－

√

3

3

_，sec

2 π

3

_＝

r

x

_{＝－2，csc}

2 π

3

_＝

r

y

_＝

2

√

3

3

(２)(Ａ)○：sin

π

2

_＝1 (Ｂ)╳：cosπ＝－1 (Ｃ)╳：tan

3 π

2

_不存在 (Ｄ)○：sec2π＝sec0＝1

(Ｅ)○：2π2_{＝（2π）×π　∴6π＜（2π）×π＜}

13

2

_π 故（2π）×π　是第一象限角，可得　csc2π2_＞0 故選(Ａ)(Ｄ)(Ｅ) 12. (_{１)在　0≦x 2π≦ 　的範圍中，試求　1－x＝tanx　的實根個數。} (２)試求方程式　sinx＝log10x　的實根個數。 （提示：(１)將　y＝1－x　與　y＝tanx　的圖形畫於同一坐標平面上。(２)將　y＝sinx　與　y＝log10x　的圖形畫於同 一坐標平面上。） 解： 答案：(１)　3　個；(２)　3　個 解析：(１)作　y＝1－x　與　y＝tanx　的圖形於同一坐標平面上 如圖所示 兩圖形在　0≦x 2π≦ 　有　3　個交點 ∴在　0≦x 2π≦ 　的範圍中， 1－x＝tanx　有　3　個實根 (２)作　y＝sinx　與　y＝log10x　的圖形於同一坐標平面上，如圖所示 由圖形可知兩圖形有　3　個交點 故方程式　sinx＝log10x　的實根有　3　個

2-2_{三角函數的應用}

1.

設　P　為橢圓　4x2_＋y2_{＝4　上的動點，求　P　到直線　L：3x＋2y＋10＝0　距離的最小值為【　　　　】。（提} 示：設　P　點坐標為（cosθ，2　sinθ），代入點到直線的距離公式） 答案：

5

√

13

13

解析：橢圓的標準式為

x

2

1

_＋

y

2

4

_＝1 ∴橢圓的參數式為 x=cos θ y＝ 2 sin θ ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ，其中　0 θ≦ ＜2π 如圖所示： 設　P　點坐標為（cosθ，2　sinθ），代入點到直線的距離公式 ∴d（P，L）＝

|3×cosθ

＋2×2sin θ＋10|

√

3

2

_＋2

2 ＝

|3cosθ＋ 4sin θ＋10|

√

13

又　3　cosθ＋4　sinθ＝5

(

3

5

_cosθ＋

4

5

sin θ)

_{＝5　sin（θ＋），其中　　滿足　sin　＝}

3

5

_{，cos　＝}

4

5

故－5 3≦ 　cosθ＋4　sinθ 5≦ ∴d（P，L）的最小值為

|

－5＋10|

√

13

_＝

5

√

13

_＝

5

√

13

13

2.

設　y＝2　sin2_{x＋2　sinxcosx＋4　cos}2_{x＋1，試求　y　的範圍為【　　　　】。}

答案：4－

√

2

≦y 4≦ ＋

√

2

解析：y＝2　sin2_{x＋2　sinxcosx＋4　cos}2_x＋1 ＝2

(

1－cos2 x

2

)

_＋sin2x＋4

(

1＋cos2 x

2

)

_＋1 ＝1－cos2x＋sin2x＋2＋2　cos2x＋1 ＝cos2x＋sin2x＋4 ＝

√

2

(

1

√

2

cos2 x

＋

1

√

2

sin 2 x

)

_＋4 ＝

√

2

(

sin

π

4

cos2 x

＋cos

π

4

sin 2x

)

_＋4

＝

√

2

sin

(

2 x

＋

π

4

)

_＋4 ∵－1≦sin

(

2 x

＋

π

4

)

_{≦ 　∴4－1}

_√

₂

_{≦y 4≦ ＋}

_√

₂

3.

設　y＝3　cosx＋4　sinx，當　x＝α　時，y　有最大值，試求： (１)　y　的最大值為【　　　　】。 (２)　sinα＝【　　　　】。 答案：(１)　5；(２)

4

5

解析：y＝5

(

3

5

cos x

＋

4

5

sin x

)

_{＝5（sinθcosx＋cosθsinx）＝5　sin（x＋θ）} 其中　sinθ＝

3

5

_，cosθ＝

4

5

(１)當　x＋θ＝

π

2

_{＋2kπ，k　　Z　時，y　有最大值　5} (２)當　x＝α　時，y　有最大值 ⇒ _α＋θ＝

π

2

_{＋2kπ，k　　Z} ⇒ _α＝

(

π

2

－

θ

)

_{＋2kπ，k　　Z} ⇒ _{sinα＝cosθ＝}

4

5

4.

若　f（x）＝2　cos

(

π

3

－x

)

_{－2　cosx－3　的最大值是　M，則　M＝【　　　　】。（提示：利用　cos（α－} β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ） 答案：－1 解析：f（x）＝2　cos

(

π

3

－x

)

_{－2　cosx－3} ＝2

(cos

π

3

_cosx＋sin

π

3

sin x )

_{－2　cosx－3} ＝2

(

1

2

_cosx＋

√

3

2

sin x )

_{－2　cosx－3＝－cosx＋}

√

3

_sinx－3

＝2

(－

1

2

_cosx＋

√

3

2

sin x )

_{－3＝2　sin}

(

x

－

π

6

)

_－3

∵－1≦sin

(

x

－

π

6

)

_≦1 故　f（x）的最大值為　M＝2－3＝－1

5.

已知橢圓　Γ　的方程式為

x

2

4

_＋

y

2

9

_＝1， (１)如圖，點　P　在橢圓　Γ　上且

OP

與　x　軸正向的夾角為　120°，求

OP

長度為【　　　　】。 (２)橢圓　Γ　之內接正方形面積為【　　　　】。 答案：(１)　

4

_√

21

7

_；(２)

144

13

解析：(１)設

OP

＝r，則　P　點坐標為（r　cos120°，r　sin120°）＝

(

－

1

2

_r，

√

3

2

r)

而　P　點在橢圓

x

2

4

_＋

y

2

9

_{＝1　上，將}

(

－

1

2

_r，

√

3

2

r)

_代入

x

2

4

_＋

y

2

9

_＝1 得

1

16

_r2_＋

1

12

_r2_＝1　

7

48

_r2_{＝1　　r＝}

√

48

7

故

OP

＝r＝

√

48

7

_＝

4

_√

3

√

7

＝

4

_√

21

7

(２) 設　ABCD　為橢圓　Γ　的內接正方形 設

OA

＝r，則　A　點坐標為（r　cos45°，r　sin45°）＝

(

√

2

2

r，

√

2

2

r )

而　A　點在橢圓

x

2

4

_＋

y

2

9

_{＝1　上，將}

(

√

2

2

_r，

√

2

2

r )

_代入

x

2

4

_＋

y

2

9

_＝1 得

1

8

_r2_＋

1

18

_r2_＝1　

13

72

_r2_{＝1　　r}2_＝

72

13

故內接正方形的面積＝4△AOB　面積＝4×

(

1

2

×

r×r

)

_＝2r2_＝2×

72

13

_＝

144

13

6.

在　0≦x＜π　的範圍內，不等式

√

3

sinx_－cosx≧

√

3

的解為【　　　　】。 答案：

π

2

_≦x≦

5 π

6

解析：

√

3

sinx－cosx＝2

(

√

3

2

sin x

－

1

2

cos x

)

_＝2　sin

(

x

－

π

6

)

_≧

_√

₃

⇒ _sin

(

x

－

π

6

)

_≧

√

3

2

⇒

π

2

_≦x≦

5 π

6

7.

如圖，已知　A、B　為

x

2

16

_＋

y

2

4

_{＝1　在　x　軸正向與　y　軸正向上的兩個頂點，點　P　在橢圓第一象限部分} 移動，試求四邊形　OAPB　的最大面積及此時　P　點的坐標。 解： 答案：最大面積為　4

√

2

，此時　P（2

√

2

，

√

2

） 解析：如圖， A　點坐標為（4，0），B　點坐標為（0，2） 設橢圓

x

2

16

_＋

y

2

4

_{＝1　上的　P　點為（4　cosθ，2　sinθ），其中　0＜θ＜}

π

2

則△OAP　的面積＝

1

2

_×

OA

_{×P　點　y　坐標＝}

1

2

_{×4×（2　sinθ）＝4　sinθ}

△OBP　的面積＝

1

2

_×

OB

_{×P　點　x　坐標＝}

1

2

_{×2×（4　cosθ）＝4　cosθ} ∴四邊形　OAPB　的面積＝△OAP＋△OBP ＝4　sinθ＋4　cosθ

(

其中 0

＜ ＜

θ

π

2

)

＝4

√

2

(

1

√

2

sin θ

＋

1

√

2

cos θ

)

＝4

√

2

sin（θ＋45°）≦4

√

2

當　θ＝45°時，四邊形　OAPB　會有最大面積　4

√

2

，此時　P　點坐標為

(

4×

√

2

2

， 2×

√

2

2

)

_＝（2

_√

2

_，

_√

2

_）

8.

若－

π

3

_≦x≦

π

6

_{且　f（x）＝}

_√

3

cosx－sinx＋2，試求　f（x）的最大值與最小值。 解： 答案：最大值為　4，最小值為　3 解析：f（x）＝

√

3

cosx－sinx＋2＝2

(

√

3

2

cosx－

1

2

sin x)

_＋2 利用和角公式：cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ 可得　f（x）＝2

(cos

π

6

_cosx－sin

π

6

sin x )

_{＋2＝2　cos}

(

x

＋

π

6

)

_＋2 又－

π

3

_≦x≦

π

6

_∴－

π

3

_＋

π

6

_≦x＋

π

6

_≦

π

6

_＋

π

6

_　－

π

6

_≦x＋

π

6

_≦

π

3

令　θ＝x＋

π

6

_{，由　y＝cosθ　的圖形可知}

1

2

_{≦cosθ 1≦ 　}

1

2

_≦cos

(

x

＋

π

6

)

_≦1 ∴f（x）在－

π

3

_≦x≦

π

6

_的區間內 有最大值　2×1＋2＝4，有最小值　2×

1

2

_＋2＝3

9.

試求　f（x）＝2　cos

(

π

3

－x

)

_{－2　cosx　在　0≦x π≦ 　範圍內的最大值和最小值，並求最大值和最小值發生時} x　的值。 解： 答案：①　x＝

2 π

3

_{時，f（x）有最大值　2，②　x＝0　時，f（x）有最小值－1} 解析：f（x）＝2　cos

(

π

3

－x

)

_{－2　cosx＝2}

(

cos

π

3

_cosx＋sin

π

3

sin x )

_－2　cosx ＝2

(

1

2

_cosx＋

√

3

2

sin x )

_{－2　cosx＝}

√

3

_{sinx－cosx＝2}

(

√

3

2

_sinx－

1

2

cos x)

＝2

(cos

π

6

_sinx－sin

π

6

cos x)

_＝2　sin

(

x

－

π

6

)

而　0≦x≦π　∴－

π

6

_≦

(

x

－

π

6

)

_≦

5 π

6

令　θ＝x－

π

6

_{，畫出　y＝sinθ　的圖形如圖：} 故(１)當　x－

π

6

_＝

π

2

_{，亦即　x＝}

2 π

3

_{時，f（x）有最大值　2} (２)當　x－

π

6

_＝－

π

6

_{，亦即　x＝0　時，f（x）有最小值－1}