高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：98.09.15 班級

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：98.09.15 班級

範

圍 1-1 整數( 2)

座號

姓 名 一、單選題 (每題 5 分)

( ) 1. 下列何者是2¹⁰⁰除以 10 的餘數﹖ (1)0 (2)2 (3)4 (4)6 (5)8﹒

解答 4

解析 所求即為2¹⁰⁰之個位數字﹐

21 ﹐2 2² ﹐4 2³ ﹐8 2⁴16﹐2⁵32﹐2⁶64﹐…個位數字循環﹒

4 1

2 ^k 10p ﹐2 2^4k210q ﹐4 2^4k310r ﹐8 2^4k 10s （ , , ,6 p q r s 均為整數）﹐

100 4 25

2 2 ^ 其個位數字為 6﹒

( ) 2. 設 a 及5 6 3 2

a a



 均為自然數﹐則滿足條件的 a 有幾個﹖ (1)5 (2)4 (3)3 (4)2 (5)1﹒

解答 5

解析 3a2 | 5a6且3a2 | 3a 2 3a2 | 3(5a6)5(3a2)﹐3a2 | 8﹐又 a 為正整數﹐

3a 為正整數2 3a  ﹐2﹐4 或 8﹐∴2 1 a ﹒只有 1 個 a 滿足條件﹒ 2 ( ) 3. 設 m 為大於 1 的正整數﹐n 為整數﹐若m| 8n ﹐ |127 m n ﹐則 m 的最大值為 4

(1)52 (2)26 (3)13 (4)4 (5)3﹒

解答 3

解析 m| 8n ﹐ |127 m n 4 m| 3(8n 7) 2(12n ﹐即 |134) m （ m 為正整數）﹐

m 或 ﹐但1 13 m1故m13﹒

( ) 4. 六位數 6a472b 為 44 的倍數﹐則 a﹐b 可能的解有幾組？ (1)1 (2)2 (3)3 (4)4 (5)0﹒

解答 3

解析 44 4 11   4 | 6 472 , 4 | 20a b   b b 0, 4或8﹐

11| 6 472 , 11| (a b a 7 b)  (6 4 2)   或a b 5 16 ( , )a b (5, 0), (1, 4)或(8,8)﹐3 組 ( ) 5. 設 a 為異於 1 的正整數﹐以 a 除 4510﹐3718﹐2970 之餘數相同﹐則 a 有幾個解﹖

(1)1 (2)3 (3)5 (4)7 (5)9﹒

解答 3

解析 4510＝aq₁ … r 3718＝aq₂ … r

2970＝aq₃ … r q₁, q₂, q₃, r 為整數

－得 792＝a q( ₁q₂)﹐

－得 1540＝a q( ₁q₃)﹐

| (792,1540)

a ﹐a| 44, a ﹐4﹐11﹐22﹐44﹐共 5 個解﹒ 2

二、多選題 (每題 10 分 )

( ) 1. 設 a﹐b﹐c﹐m﹐n 皆為整數﹐則下列何者正確﹖

(1)若 |a c ﹐b c ﹐則| ab c | (2)若 |a bc ﹐則 |a b或a c| (3)若 |a b ﹐則 a b

(4)若 |c a ﹐c b ﹐則| c| (a b) (5)若 | (c manb)﹐則 |c a且c b| ﹒

解答 4

解析 (1)反例: 4 | 12﹐6 | 12 但 4 6 | 12  ﹒ (2)必須 a 是質數才成立﹒

(3)除了 b = 0 之外﹐都有 a  ﹐但 a bb  卻不成立﹒反例: 3 | 6 ﹐但 3  ﹒ 6 (5)反例: 7 |14 3   ﹐但 7 | 32 7  ﹒

( ) 2. 設 n 為正整數﹐下列何者恆為 11 的倍數﹖

(1)10^2n1 (2)1 10^2n1 (3)1 10²ⁿ10 (4)10²ⁿ (5)1 10²ⁿ10﹒ 解答 15

解析 (1)10^2n1 1 (11 1) ^2n1 以 11 除之﹐ 1 ( 1) ^2n1  ﹐1 0 為 11 的倍數﹒

(2)10^2n1 1 (11 1) ^2n1 以 11 除之﹐ 1 ( 1) ^2n1   ﹐即餘數為 9﹒ 1 2 (3)10²ⁿ10(11 1) ²ⁿ 以 11 除之﹐ 10 ( 1) ²ⁿ10  ﹐即餘數為 2﹒ 9 (4)10²ⁿ 1 (11 1) ²ⁿ 以 11 除之﹐ 1 ( 1) ²ⁿ  ﹐即餘數為 2﹒ 1 2

(5)10²ⁿ10(11 1) ²ⁿ10以 11 除之﹐ ( 1) ²ⁿ10 11 ﹐餘數為 0﹐為 11 的倍數﹒

( ) 3. 已知「大於 1 的正整數 a 如果找不到不大於 a 的質因數﹐則 a 就是質數」﹐下列何者 是質數﹖ (1)277 (2)157 (3)361 (4)667 (5)271﹒

解答 125

解析 27716.…﹐且 2﹐3﹐5﹐7﹐11﹐13 均不為 277 的因數﹐277 為質數﹐

同理 157﹐271 也是質數﹐而 361 = 19  19﹐667 = 29  23﹒

三、填充題 ( 每題 10 分)

1. 若n2⁴  ﹐則 n 之正因數共有__________個﹒n 之正因數為 6 的倍數共有_________個﹒ 3³ 6² 解答 42，30

解析 n2⁴  3³ (2 3)²2⁶ ﹐ 3⁵

(1)正因數共有 (6 1)(5 1)  42（個）﹒

(2)n2⁴  3³ (2 3)²2⁶3 =6(2^{5 5}3 )⁴ ，正因數為 6 的倍數共有 (5 1)(4 1) 30   2. 999 除以 7 的餘數____________﹒ ³

解答 6

解析 999³ (7 142 5) ³展式中除以 7 之餘數即為5³125﹐ 除以 7 之餘數125 7 17  餘 6﹐餘數為 6﹒

3. 若函數 ( )f x 表2^x之個位數字﹐例如 (3) 8f  ﹐ (4) 6f  ; 則 (1)f  f(2) f(3) …f(101) ____﹒

解答 502

解析 f(1) 2 f(5) f(9)= …﹐

(2) 4 (6) (10)

f   f  f  …﹐

(3) 8 (7) (11)

f   f  f  …﹐

(4) 6 (8) (12)

f   f  f  …﹐

 f(1) f(2) …f(101)(2   4 8 6) 25 2 502﹒ 4. 若七位數 76x06y2 為 99 的倍數﹐則數對 ( , )x y  ____________﹒

解答 (4, 2)

解析 99 | 76 06 2x y 9 | 76 06 2x y 且11| 76 06 2x y

由 9 | 76 06 2x y 9 | 7    6 x 6 y 29 | 21  x y

6 15

x y x y

   或   …

由11| 76 06 2x y 11| (7  x 6 2)  (6 0 y)  11|x  y 9

9 2

x y x y

    或   …

由解得x4, y ﹐則 ( , ) (4,2)2 x y  ﹒

5. 720 的所有正因數中為 6 的倍數者共有 n 個﹐而這 n 個正因數之和為 m﹐則數對 ( , )n m =_________﹒

解答 (16, 2160)

解析 720=2⁴  ﹐ | 7203² 5 x ﹐ 6 |x x 2^a  ﹐ 3^b 5^c a = 1﹐2﹐3﹐4﹔b = 1﹐2﹔c = 0﹐1﹐

n = 4 2 2 16   ﹐

m =(2¹2²2³2 ) (3⁴  ¹3 ) (5²  ⁰5 )¹ 2160﹒

6. 設 a 為整數﹐若 2a3 | 3a4且a2 | 2a1﹐則 a = ____________﹒

解答  7

解析 2a3 | 3a4, 2a3 | 2a 3 2a3 | 2(3a 4) 3(2a 3) 2a 3 |17 2a 3 1, 1, 17, 17

      

2

  ﹐1﹐10﹐ 7a  ﹐ 代入a2 | 2a 檢驗得1 a  ﹒ 7

7. 設p(a²22a121)(a²2a137)﹐其中 a 為自然數﹐若 p 是質數﹐則 p＝____________﹒

解答 257

解析 p 為質數﹐其中必有一因數為 1 或 1 ﹐ 但a²2a137(a1)²136 1 ﹐

且a²22a121 ( a11)²0, (a 11)² （ 11  不合）﹐

11 1

 a  或 1 ﹐ a12或a10﹒

a12, p 1 257257是質數﹒

a10, p 1 217  不是質數﹒ 7 31

8. 設 n 為整數﹐且n⁴6n²25為質數﹐則 n 之值為(1)____________﹐且此質數為(2)____________﹒

解答 (1)n  ;(2)17 2 解析 令pn⁴6n²25

n⁴10n²25 16 n²

2 2 2

2 2

( 5) (4 )

( 5 4 )( 5 4 ),

n n

n n n n

  

    

2 2

4 5 ( 2) 1 0 n  n  n   ﹐

n²4n   5 1 n 2, p17﹒

n²4n    5 1 n 2, p17﹒ 9. 設 n 為正整數﹐且

3 2

2 3 5 6

2

n n n

n

  

 為質數﹐則 n = ____________﹒

解答 1 或 4

解析 原數= ² 8

(2 7)

n n 2

  n

 為質數﹐

令n2 | 8, (n   ﹐得2 1) n   ﹐1﹐2﹐4﹐8﹐即 n = 1﹐3﹐4﹐6﹐10﹐ 2 1 再一一代回原數﹐驗算是否確為質數﹒

10. 設 x﹐ x²21均為自然數﹐則 x＝____________﹒

解答 2 或 10

解析 令x²21k²（ k 是正整數）k²x² 21﹐ (kx k)( x)21﹐ k 21x 7

k x 1 3   或 .x 10 2

11. 設 a﹐b 為整數﹐滿足2a²5ab3b² ﹐求 a + b = ____________﹒ 11 解答 1﹐ 1

解析 2a²5ab3b²11(2ab a)( 3 ) 11b  2a b 1 11 1  11 a3b 11 1 11  1

a 2  2



b  3 3

a   或 ﹒ b 1 1

12. 設 a﹐b 是二位數﹐且ab18a   ﹐則數對 ( , )b 53 a b = ____________﹒

解答 (36,17)

解析 ab18a   b 53 a b( 18) (b 18)  53 18(a1)(b18)  ﹐ 35 1

a 1  1 5  5 7  7 35 35

18

b  35 35  7 7  5 5  1 1

得a36, b17 （a b, 是二位數）﹒

13. 設 a﹐b 為整數﹐ (a b2)b a,  ﹐則 a b1  之值為____________﹒

解答 －2 或 0 解析 a b( 2) b

2 0 ( 1)( 2) 2

1 1 1 2

=2, 4 3, 3,

2 2 2 1

ab a b a b

a a

a b a b

b b

        

   

 

    或       或   

a   或 ﹒ b 2 0

14. 韓信點兵﹐兵不滿萬人﹐每 5 人一數﹐9 人一數﹐13 人一數﹐17 人一數皆餘 3 人﹐則兵有 ____________人﹒

解答 9948

解析 所求 = [5, 9, 13, 17]  k 3 9945k3, 取k1, 得所求=9948﹒

15. 設 a﹐b 是二位正整數﹐ a ﹐若b ab360 [ , ] 120且a b  ﹐則數對 ( , )a b =____________﹒

解答 (15, 24)

解析 由 ( , )[ , ]a b a b ab﹐得 ( , ) 120 360a b   ﹐ ( , ) 3a b  ﹒ 設 a＝3m﹐b＝3n﹐ ( , ) 1,m n  m ﹐代入n ab360得mn40

( , )m n (1, 40) (5,8)

數對  或 ﹐

( , )a b (3 1,3 40) (3 5,3 8)

數對    或   （前者不合）﹒

16. 設 p﹐q 為正整數且 p＞q﹐若 p＋q＝2184﹐[ , ]p q 6048﹐則數對 ( , )p q  ____________﹒

解答 (1512,672)

解析 設 ( , )p q d, 令pdh q, dk, ( , )h k 1, hk﹐ ( ) 2184

p q d hk  ﹐[ , ]p q dhk6048﹐

 ( , ) 1h k  ﹐ (hk hk, ) 1 ﹐故d(2184, 6048) 168 ﹐

h k 13, hk36 h 9, k4, 故( , )p q (1512, 672)﹒

17. 設 m﹐n 為自然數﹐若 m﹐n 的最大公因數與最小公倍數之和為 15﹐則 m﹐n 之解有____________

組﹒

解答 8

解析 設 ( , )m n d, 令mdh n, dk h k, , 為正整數, ( , )h k  1 [ , ]m n dhk﹐

 ( , ) [ , ] 15m n  m n  ﹐ddhk15d(1hk) 15 ﹐

d 1 1 1 1 3 3 5 5

h 1 2 7 14 1 4 1 2

k 14 7 2 1 4 1 2 1

共 8 組﹒

18. x﹐y﹐z 均為正整數﹐且 6x21y20z0, 3x7y4z ﹐若 ( , , ) [ , , ] 30250 x y z  x y z  ﹐則 x   ____________﹒ y z

解答 875

解析

8

6 21 20 15

3 7 4 4

5

x z

x y z

x y z

y z

 

 

 

    

  



解 ﹐得 : :x y z8 :12 :15﹐可設x8 ,k y12 ,k z15k ﹐

( , , ) [ , , ]x y z  x y z  k 120k121k3025﹐k＝25﹐

(8 12 15) 25 35 875 x  y z k      ﹒