高雄市明誠中學

高雄市明誠中學  高一數學平時測驗        日期：106.06.09  範 

圍  3‐3 條件機率(B)  班級  一年____班 姓 名

  座號   

一、填充題(每題 10 分)

1. 若 P(A) = 0.3 , P(B) = 0.4 , P(A∩B) = 0.15 , 則 P(A |B) = 解答 3

8

解析 P(A |B) = ( ) 0.15 3 ( ) 0.4 8 P A B

P B

   .

2.設 A , B , C 為獨立的三事件, 且 P(A) = 0.2 , P(B) = 0.3 , P(C) = 0.4 , 則 P(A∪B∪C) = . 解答 0.664

解析 P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(C∩A) + P(A∩B∩C) = 0.2 + 0.3 + 0.4 – 0.2×0.3 – 0.3×0.4 – 0.4×0.2 + 0.2×0.3×0.4 = 0.664 . 3.設 A, B, C 為獨立事件, 已知 A 發生的機率為²

3, B 發生的機率為¹

4, A, B, C 均發生的機率為 ¹ 10, 則 A, B, C 恰有一發生的機率為 .

解答 23 60

解析 2 1 1

( ) , ( ) , ( ) ,

3 4 10

P A  P B  P A B C 

因 ( ) ( ) ( ) ( ) ¹ = ^{2 1} ( ), ( ) ³

10 3 4 5

P A B C P A P B P C   P C P C  , 所求機率為 P(A∩B'∩C')＋P(A'∩B∩C')＋P(A'∩B'∩C)

＝P(A)P(B')P(C')＋P(A')P(B)P(C')＋P(A')P(B')P(C) ^{2 3 2 1 1 2 1 3 3 23}.

3 4 5  3 4 5  3 4 5  60

＝ ＋ ＋ ＝

4.巧大明在提款時忘了密碼, 但他還記得密碼的四位數中, 有兩個 8, 一個 2 及一個 1.若他就用這 四個數字任意排成一個四位數輸入提款機進行嘗試, 則他試了三次才成功的機率是 . 解答 1

12

解析 8, 8, 2, 1, 共有^{4 !} 12

2 ! ＝ 種排法, ∴第三次才成功的機率 ^{11 10 1 1} 12 11 10 12 P＝   ＝ .

5.已知甲、乙、丙三袋中, 甲袋有 2 黑球 3 白球, 乙袋有 2 黑球 2 白球, 丙袋有 1 黑球 2 白球, 今 自甲、乙、丙三袋中各取1 球, 求至少取出 2 白球的機率為 .

解答 19 30

解析 所求＝全部－（無白球）－（1 白球）

2 2 1 3 2 1 2 2 1 2 2 2 19

1 ( ) .

5 4 3  5 4 3  5 4 3  5 4 3  30

＝ － － ＋ ＋ ＝

6.箱中有 1～8 號共 8 個號碼球, 皮卡丘每次從袋中隨機抽出 1 個號碼球, 抽完後不放回, 共抽 2 次. 若已知第一次抽到的號碼大於 4, 則第二次抽到的號碼也大於 4 的機率為 . 解答 3

解析 P（第二次也大於 4 點|第一次大於 4 點）＝ 4 4 4

P

P

（第一次大於 點且第二次亦大於 點）

（第一次大於 點）

4 3 8 7 3

4 7

8



＝ ＝ .

7.設某工廠有甲、乙、丙三部機器，其產品分別占總產量的 20%，50%，30%，又甲、乙、丙所 生產的產品不良率分別為1%，2%，3%；今任選一產品，

(1)此產品為不良品的機率為 。 (2)此不良品來自甲機器的機率為 。 解答 (1)0.021 (2) ²

21

解析 設 A 表甲機器製造的事件，B 表乙機器製造的事件，

C 表丙機器製造的事件， D 表不良品的事件，

則 P(A)＝0.2，P(B)＝0.5，P(C)＝0.3，P(D｜A)＝0.01，P(D｜B)＝0.02，P(D｜C)＝0.03，

(1)此產品為不良品的機率為 P(D)

＝P(A)P(D｜A)＋P(B)P(D｜B)＋P(C)P(D｜C) ＝0.2×0.01＋0.5×0.02＋0.3×0.03＝0.021。

(2)所求機率為 P(A｜D)＝ ^{( ) 0.2 0.01 2} ( ) 0.021 21 P A D

P D

    。

8.吉他社中團員共 10 人, 此 10 人為 4 女 6 男, 社長想推派代表參加校際吉他團體組比賽, 比賽規 定團體組人數最少2 人. 經過討論, 他們決定每 2 人一組分成五組全部參賽, 在任意分組的情 形下, 已知每一組至少有一個男生的條件下, 男生小民和阿斌在同一組的機率為 . 解答 1

15

解析 A：每組至少一個男生, B：小民和阿斌同一組, 題目所求為 P(B|A) = ( )

( ) n A B

n A

 , 事件 A：分組男女組合可為 男男 男女 男女 男女 男女 ,

將男生分為5,1,1,1,1 的 5 組，再選 4 女生分配到男生 1 人的 4 組,

∴n(A) =

4 3 2 1

6 1 1 1 1

2 4!

4!

C C C C

C      15 × 24 = 360, A∩B：男男 必為小民和阿斌, ∴n(A∩B) =

4 3 2 1

2 1 1 1 1

2 4!

4!

C C C C

C      = 24,

∴P(B|A) = ( ) 24 1 ( ) 360 15 n A B

n A

   .

9. A 與 B 為兩事件, 若 P(A)＝0.6, P(B | A)＝0.25, ( | ) ³

P B A ＝ 8, 則 P(A | B)＝ . 解答 1

2

解析 P(A∩B)＝P(A)×P(B | A)＝0.6×0.25＝0.15,

又 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.15 3

( | ) ( ) 0.3,

( ) 1 ( ) 1 0.6 8

P B A P B P B A P B

P B A P B

P A P A

  

 



－ －

＝ ＝ ＝ ＝ ＝

－ －

故 ( ) 1

( | ) ( ) 2 P A B P A B

P B

＝  ＝ .

10. 設某一家庭有三個小孩, 若每一小孩為男孩或女孩的機率均等, 今已知某一家庭有三個小孩且 至少有一個為男孩, 則三個小孩均為男孩的機率為

解答 1 7

解析 所求為 P(三男|至少一男) =

3

3

( )12 1 1 7 1 ( )

2





.

11.設甲、乙兩位警察射擊一兇犯，已知甲的命中率為³

4，乙的命中率為⁴

5，今甲、乙兩位警察同 時對兇犯各開一槍且互不影響，則此兇犯被擊中的機率為 。

解答 19 20

解析 設 A 表甲命中的事件，B 表乙命中的事件，因為 A，B 為獨立事件，

則 P(A∪B)＝1－P(A'∩B')＝1－P(A')×P(B')＝1－^{1 1 19} 4 5  20。 12.甲､乙､丙三人同射 1 飛靶, 每人一發, 設此三人命中率依序為^{2 3 5}, ,

3 5 6, 且彼此均不受對方干擾, 則(1)此靶被命中機率為 . (2)此靶恰中一發而不是乙擊中的機率為 . 解答 (1)⁴⁴

45, (2) ⁷ 45

解析 (1)所求機率為 1 – （三人皆沒擊中） = 1 – ^{1 2 1 44} 3 5 6   45.

(2)所求機率為 P(甲中∩乙不中∩丙不中) + P(甲不中∩乙不中∩丙中) = 2 2 1 1 2 5 7

3 5 6 3 5 6      45.

13.設某班男女學生人數相等，已知男生中的 40%與女生中的 30%戴眼鏡，今從該班戴眼鏡的學生 中任意抽取一人，則此人為男生的機率為 。

解答 4 7

解析 設 A 表男生的事件，A'表女生的事件，B 表戴眼鏡的事件，

已知 P(A)＝0.5，P(A')＝0.5，P(B｜A)＝0.4，P(B｜A')＝0.3，

又 P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P(A')P(B｜A')＝0.5×0.4＋0.5×0.3＝0.35，

故所求機率為 P(A｜B)＝ ^{( ) 0.5 0.4 4} ( ) 0.35 7 P A B

P B

    。

14.三個袋子甲､乙､丙；甲袋中有 3 黑球､4 白球､5 紅球；乙袋中有 2 黑球､8 白球､6 紅球；丙 袋中有2 黑球､3 白球､3 紅球. 依機會均等的原則先選一袋, 再由袋中任取一球, 在取出的球為 黑球的條件下, 此球取自丙袋的機率為 .

解答 2 5

解析 P(丙|甲) =

1 2 3 8 2

1 3 1 2 1 2 5 3 12 3 16 3 8

 

    

.

15.某城市人口有 40%是男性, 60%是女性, 而男性中有 50%抽菸, 女性中有 30%抽菸, 則 (1)若任選一人, 此人為抽菸者的機率為 .

(2)在選出抽菸者的條件下, 此抽菸者為男性的機率為 . 解答 (1) 0.38,(2) ¹⁰

19 解析 由樹狀圖可知,

(1)所求機率為 P(抽菸) = 0.4×0.5 + 0.6×0.3 = 0.2 + 0.18 = 0.38 . (2)所求機率為 P(男性|抽菸) = ^{0.4 0.5 20 10}

0.38 38 19

   .

16.擲一顆公正的骰子三次, 令 A 表第一次為奇數點的事件, B 表點數和為 13 的事件, 則 P(A |B)

= . 解答 3

7

解析 以 B 表點數和為 13 的事件, 則 B = {(1 , 6 , 6), (2, 5 , 6), (2, 6 , 5), (3, 4 , 6), (3, 5 , 5), (3, 6 , 4), (4, 3 , 6), (4, 4 , 5), (4, 5 , 4), (4, 6 , 3), (5, 2 , 6), (5, 3 , 5), (5, 4 , 4),

(5, 5 , 3), (5, 6 , 2), (6, 1 , 6), (6, 2, 5), (6, 3, 4), (6, 4, 3), (6, 5, 2), (6, 6, 1)} , 即 n(B) = 21 , A∩B 表第一次為奇數點且點數和為 13 的事件,

則 A∩B = {(1 , 6 , 6), (3, 4 , 6), (3, 5 , 5), (3, 6 , 4), (5, 2 , 6), (5, 3 , 5), (5, 4 , 4), (5, 5 , 3), (5, 6 , 2)} ,

即 n(A∩B) = 9 , 故 P(A |B) = ( ) 9 3 ( ) 21 7 n A B

n B

   .

17. 小明說真話的機率為 ⁹

10, 小英說真話的機率只有 ³

10, 今有一袋內裝 2 紅球、8 綠球.如果現自袋 中任取一球, 小明, 小英二人均說紅球, 那麼則此球確實為紅球之機率為 .

解答 27 55

解析 設事件 A 表小明, 小英二人均說紅球之事件,

事件 B 表確實真的為紅球之事件, 則

P(B | A)＝

2 9 3

( ) 10 10 10 54 27

2 9 3 8 1 7

( ) 110 55

10 10 10 10 10 10

P A B P A

 



   

＝ ＝ ＝

＋

.

（紅球 - 明 - 英）（綠球 - 明 - 英） . 18.某人投籃命中率為²

5, 今連投 n 球, 則至少命中一球的機率大於 0.999, 則 n 至少需為 .

（log2＝0.3010, log3 ＝0.4771）

解答 14

解析 P（至少命中一球）＝1－P（全不中） 1 ( ) 0.999³

5

＝ － n ＞

0.001 ( )3 ( log 3 log 5) 3 ( log 5 log 3) 3 5

n n n

 ＞  － ＜  － － ＜ 

( log 5 log 3) 3 3 13.5, 14.

log5 log3

n n n

 － ＞  ＞  故 的最小值為

－

19.老師將 10 枝相同的鉛筆任意分給甲､乙､丙､丁､戊這五位小朋友, 若其中有兩位各分得 3 枝, 兩 位各分得2 枝, 而有一位沒分到, 則在此條件下, 甲與乙兩位都獲得 3 枝的機率為 . 解答 1

10

解析 所求機率為

3!

2! 1 5! 10 2!2!

 .

20.設某一家族有兩個小孩, 且該家族的孩子考上大學的機率為¹

2, 已知此家族的孩子至少有一個 已經考上大學, 則兩個小孩均考上大學的機率為 .

解答 1 3

解析 P（兩個小孩考上大學│至少有一個考上大學）＝

2

2

( )12 1

1 3

1 ( ) 2

＝

－

.

21.由 1, 2, 3,…, 10 等十個數字中, 如果每個數字被取出的機率相同；現在取出相異兩數, 試求已知 兩數和為偶數的情況下, 兩數均為偶數的機率為 .

解答 1 2 解析

5 2

5 5

2 2

10 1

20 2

P C

C C

（偶＋偶）

＝ ＝ ＝

（偶＋偶）＋ （奇＋奇） .