106.12.15 範圍2-3 直線與圓(2) 班級二年____班姓名座 - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗       日期：106.12.15  範 

圍  2‐3直線與圓(2)  班級  二年____班 姓 名

  座號   

一、填充題(每題10分)

1.平面上三點A (1 , 2)﹐B (  1 , 0)﹐C (7 ,  4)﹐則過 A﹐B﹐C之圓方程式為______________﹒ 

  解答   x²  y²  6x  4y  7  0 

     解析     設所求之圓方程式為x²  y²  dx  ey  f  0﹐ 

A (1 , 2)代入得5  d  2e  f  0 

B (  1 , 0)代入得1  d  f  0   d   6﹐e  4﹐f   7﹐ 

D (7 ,  4)代入得65 +7d  4e  f  0  圓方程式為x²  y²  6x  4y  7  0﹒ 

2.若點P (k  4 , k  2)在圓C﹕x²  y²  kx  4y  5  0的外部﹐求k的範圍為____________﹒ 

  解答  k   2或2  k  3或 ¹¹ k 3  

     解析     圓C存在  k²  (  4)²  4  5  0  k²  4  k  2或k   2…… 

P在圓C外部  (k  4)²  (k  2)²  k(k  4)  4(k  2)  5  0  3k²  20k  33  0   (3k  11)(k  3)  0  ¹¹

k  3 或k  3…… 

由得k   2或2  k  3或 ¹¹ k 3 ﹒ 

3.有一圓通過A (3 , 3)且與已知圓x²  y²  4x  2y  0有相同圓心﹐則此圓的方程式為____________﹒    解答  (x  2)²  (y  1)²  5 

     解析     x²  y²  4x  2y  0  (x  2)²  (y  1)²  5﹐ 

設該圓方程式為(x  2)²  (y  1)²  k﹐ 

代入A (3 , 3)  k  5﹐故圓方程式為(x  2)²  (y  1)²  5﹒ 

4.三直線﹕x軸﹐y軸﹐3x  4y  12  0所圍成三角形之內切圓的圓心坐標為____________﹒ 

  解答  (2 ,  2) 

     解析     設圓心(r ,  r)﹐則 ^{| 2 8 |}

5 r r

d    r  

 | 3r8 |²( 5 )r ² 5r²  r²  12r  16  0  (r  6)²   16  36  20  

 r  6 2 5﹐ 

取r 6 2 5﹐得圓心坐標為(6 2 5 ,  6 2 5)﹒ 

x y

O

x 2y 8=0

(r, r)

5.圓C﹕x²  y²  4x  2y  20  0﹐直線L﹕3x  4y  5  0﹐圓C與直線L交於A﹐B兩點﹐則AB____﹒ 

  解答  8 

     解析     C﹕x²  y²  4x  2y  20  0  (x  2)²  (y  1)²  25﹐圓心(2 ,  1)﹐半徑r  5﹐ 

2 2

| 6 4 5 |

( , ) 3

3 4

d O L  

 

  AB 2 5²3² 8﹒ 

6.坐標平面上的圓C﹕(x  7)²  (y  8)²  9上有____________個點與原點的距離正好是整數值﹒ 

  解答  12 

     解析     設P為圓C上任一點﹐O為圓點﹐ 

因C﹕(x  7)²  (y  8)²  9的圓心為K(7,8)﹐半徑r  3﹐ 

所以OP的最大值為OK r 7²8²  3 113 3 13.﹐ 

       最小值為OK r 7²8²  3 113 3 7.﹐ 

因此若OP為整數值﹐則OP8﹐9﹐10﹐11﹐12﹐13﹐ 

若以O為圓心﹐分別以8﹐9﹐10﹐11﹐12﹐13為半徑畫弧﹐與圓C共交於12個點﹒ 

7.如圖﹐將圓x²  y²  9上的弧^MN沿弦MN 折返﹐此折返的弧與y軸相切於P (0 , 2)﹐則弧^MPN所 在的圓方程式為____________﹒ 

x y

O P M

N

  解答  (x  3)²  (y  2)²  9 

     解析     所求圓的圓心(  3 , 2)﹐半徑r  3﹐故圓方程式為(x  3)²  (y  2)²  9﹒ 

8.在坐標平面上﹐已知兩個定點A(3,5)﹐B(  10,4)﹐設P(x,y)為動點﹐且知PA：PB2：3﹐則動點 P(x,y)的軌跡方程式為____________﹒ 

  解答  5x²  5y²  134x  58y  158  0 

     解析     ∵PA：PB2：3       3PA2PB﹐ 

又P(x,y)﹐A(3,5)﹐B(  10,4) 3 (x3)²(y5)²  2 (x10)²(y4)² ﹐  平方後移項整理      9(x²  y²  6x  10y  34)  4(x²  y²  20x  8y  116)  0 

   5x²  5y²  134x  58y  158  0為所求（此方程式的圖形為一圓）﹒ 

9.已知圓C1：x²  y²  2x  2y  2  0﹐C2：x²  y²  6x  6y  18  0交於A﹑B兩點﹐則以AB為直徑 的圓方程式為____________﹒ 

  解答  (x  1)²  (y  1)²  4       解析      AB x



﹐

2 2

2 2 2 0

2 0

x y x y

x y

     

   

    解得 ^{1 2}

1 2

x y

   



  

 或 ^{1 2}

1 2

x y

   



  

  

得AB的中點(  1,  1)﹐半徑為2﹐故方程式為(x  1)²  (y  1)²  2²  4﹒ 

10.以圓C﹕x²  y²  6x  2y  15  0上一點A (  1 , 2)為切點作圓C之切線L﹐則L的方程式為______﹒    解答  4x  3y  10  0 

     解析     代切線公式﹕ 1 2 6 ( ¹ ) 2 (² ) 15 0

2 2

x y

x y   

           

  4x  3y  10  0  4x  3y  10  0﹒ 

11.設圓(x  2)²  (y  3)²  5與直線ax  y  b相切於(3 , 5)﹐求數對(a , b)  ____________﹒ 

  解答   ( ,^{1 13}) 2 2    

     解析     利用切線公式過(3 , 5)的切線為(3  2)(x  2)  (5  3)(y  3)  5  

 x  2y  13  0與ax  y  b  0同義﹐ 

∴ ^{1 2 13} 1

a b

 

  ¹

a2﹐ ¹³

b 2 ﹐故數對( , ) ( ,^{1 13}) a b  2 2 ﹒ 

12.自點P (4 , 4)作圓x²  y²  2x  4y  4  0之兩切點S﹐T﹐則△PST的面積為____________﹒ 

  解答   ⁷² 5          解析      ST



的方程式為4 4 2 ⁴ 4 ⁴ 4 0

2 2

x y

x y         x  2y  0﹐ 

圓﹕(x  1)²  (y  2)²  9﹐圓心A(1 ,  2)﹐半徑r  3﹐ 

| 4 8 | 12 ( , )

5 5

d P ST



﹐ ( , ) ^{|1 4 | 3}

5 5

d A ST



﹐ 

△ASH中﹐ 3² ( ³ )^{2 6}

5 5

SH    ﹐則 2 ¹²

ST  SH 5 ﹐  故△PST的面積為^{1 1 12 12 72}

2STPH  2 5 5  5 ﹒ 

13.已知A(2,3)﹐B(3,  1)兩點及圓C﹕(x  2)²  y²  25﹐則  (1)過點A與圓C相切的直線方程式為____________﹒ 

(2)過點B與圓C相切的直線方程式為____________﹒ 

  解答  (1)4x  3y  17;(2)y  1 ¹²

5 (x  3)或x  3 

     解析     圓C﹕(x  2)²  y²  25﹐圓心O(  2,0) 

(1)∵(2  2)²  3²  25   ∴A(2,3)在圓C上﹐ 

   由OA的斜率為 ^{3 0 3}

2 ( 2) 4

 

   所求切線斜率為 ⁴

3  所求切線 3 ⁴( 2) y  3 x ﹐     即4x  3y  17﹒ 

(2)∵(3  2)²  (  1)²  25   ∴B(3,  1)在圓C外﹐ 

   設切線L﹕y  1  m(x  3)      y  mx  3m  1     代入圓C﹕(x  2)²  y²  25﹐ 

   得(x  2)²  (mx  3m  1)²  25 

   經化簡得(1  m²)x²  (  6m²  2m  4)x  9m²  6m  20  0 

   判別式D  (  6m²  2m  4)²  4  (1  m²)  (9m²  6m  20)   8(5m  12)  0. ¹² m 5﹒     ∴兩切線為 1 ¹²( 3)

y  5 x 或x  3（鉛直線）﹒ 

14.以兩圓C1：x²  y²  23x  11y  0與C2：x²  y²  12x  11  0之公弦(即兩圓交於A﹑B兩點)﹐以 AB為直徑的圓方程式為____________﹒ 

  解答  x²  y²  5x  7y  18  0 

     解析     公弦的直線方程式為x  y  1  0﹐(兩式相減) 

2 2

12 11 0

(3, 4) 1 0

x y x

x y A

    

 

  

 ﹐B(2,3)﹐ 

以AB為直徑的圓方程式為(x  3)(x  2)  (y  4)(y  3)  0  x²  y²  5x  7y  18  0﹒ 

15.x﹑y為實數且x²  y²  2x  4y  0﹐則 

(1)(x  3)²  (y  2)²的最大值為____________﹒(2)2x  y的最小值為____________﹒ 

  解答  (1)45;(2)  1 

     解析     (1)令圓C﹕x²  y²  2x  4y  0 

      (x  1)²  (y  2)²  5圓心O(1,  2)﹐半徑r 5﹐ 

   (x  3)²  (y  2)²表示圓C上一點P(x,y)與A(3,2)的距離平方﹐ 

   ∵A在圓外   ∴PA²的最大值為(OAr)²(2 5 5)²45﹒ 

(2)令2x  y  k      y  2x  k代入x²  y²  2x  4y  0     得x²  (2x  k)²  2x  4(2x  k)  0 

   經化簡得5x²  (  4k  6)x  k²  4k  0 

   判別式D  (  4k  6)²  4  5  (k²  4k)   4(k²  8k  9)  0         1  k  9       1  2x  y  9﹐ 

   故2x  y的最小值為  1﹒ 

16.過點A(1, 2)的直線L將圓(x  2)²  y²  4分成兩個弧﹐當劣弧所對的圓心角最小時﹐直線L的 斜率為____________﹒ 

  解答   ² 2    

     解析     「當劣弧所對圓心角為最小值」 則PQAO（A為弦中點） 

  又 ^{0 2} 2

AO 2 1

m 

  

 ﹐∴    ^{1 2} 2 2

mL  ﹒ 

17.有一光線通過點A(4,5)﹐經x軸反射後與圓(x2)²(y2)² 5相切﹐則反射線的斜率為________

（注意光的行徑符合光學原理）﹒    解答  2 

     解析     取A點對x軸的對稱點B(4,5)﹐ 

過B點作圓(x2)²(y2)² 5的切線L y:  5 m x( 4) 

4 5 0

mx y m 

2

| 6 7 | 5 1

  

 m

m    m = 2或²²

31（不合）﹒  18.已知圓C : x²  y²  6x  8y  0﹐求 

(1)若圓C與圓C有相同圓心﹐並與直線x  4  0相切﹐圓C方程式為____________﹒ 

(2)過點P(7,7)與圓C相切的直線方程式為____________﹒ 

(3)圓C上與點Q(5,0)的距離是整數的點有____________個﹒ 

(4)自點Q(5,0)向圓C做二切線﹐得切點A﹐B﹐則切線段QA長____________﹒ 

(5)承(4)﹐△QAB的外接圓方程式為____________﹒ 

  解答  (1)(x  3)²  ( y  4)²  1;(2)4x  3y  49;(3)20;(4) 55;(5)x²  y²  2x  4y  15  0 

     解析     C : (x  3)²  ( y  4)²  25  圓心O(3,4)﹐r  5﹒ 

(1)∵^{| 3 4 |} 1 1

  ﹐∴C : (x  3)²  ( y  4)²  1﹒ 

(2)∵P在圓上﹐∴所求切線：4(x  3)  3( y  4)  25  4x  3y  49﹒ 

(3)令P(x,y)  C﹐∵OQ4 5﹐∴4 5 5 QP4 55 QP為整數的點有2  10  20個﹒ 

(4)QA ( 5) ²   6 ( 5) 55﹒ 

(5)△QAB的外接圓直徑端點為(3,4)﹑(5,0) 

   圓方程式：(x  3)(x  5)  ( y  4)y  0  x²  y²  2x  4y  15  0﹒ 

19.求符合下列條件之圓方程式﹕ 

(1)圓心在x  2y  3上且過(5 , 1)﹐(3 , 1)之圓方程式為____________﹒ 

(2)過點A (1 , 4)﹐B (3 ,  2)且AB之弦心距為 10的圓方程式為____________﹒ 

  解答  (1)(x  4)²  (y ¹ 2)² ¹³

4 ;(2)(x  1)²  y²  20或(x  5)²  (y  2)²  20 

     解析     (1)圓心在x  2y  3上﹐則設圓心為(3  2t , t) 

 (2t2)² (1 t)²  4t² (1 t)²  8t  4  0  ¹ t 2﹐  得圓心為(4, ¹)

2 ﹐半徑 4 ( ¹)² (1 ¹)^{2 13}

2 2 4

      ﹐ 故圓為(x  4)²  (y ¹ 2)² ¹³

4 ﹒  (2)設M為A﹐B中點﹐O為圓心﹐r為半徑﹐ 

則M (2 , 1)﹐m_AB  3  ¹

OM 3

m  ﹐∴ OM



﹕ 1 ¹( 2)

y 3 x  x  3y  1  0﹐ 

設圓心O為(3t  1 , t)﹐ 

∵ OM  10﹐ (3t3)²  (t 1)²  10(t  1)²  1t  1   1  t  0或2﹐ 

∴ 圓心為(  1 , 0)或(5 , 2)﹐而rOA 20﹐  故圓為(x  1)²  y²  20或(x  5)²  (y  2)²  20﹒ 

O

A(1,4) M(2,1) B(3, 2)  

20.設方程式x²  bxy  cy²  2dx  2y  5  0表一圓﹐則d的範圍為____________﹒ 

  解答  d  2或d   2 

     解析     ∵ 表一圓﹐∴ b  0﹐c  1﹐ 

原式  x²  y²  2dx  2y  5  0  (x  d)²  (y  1)²  d ²  4﹐ 

d ²  4  0  d  2或d   2﹒ 

21.已知圓C的圓心為O (1 , 2)﹐P (4 , 3)在圓C的外部﹐今過P作圓C的切線﹐切點為A﹐B﹐則過O﹐

A﹐P三點的圓方程式為____________﹒（化為x²  y²  dx  ey  f  0的型式） 

  解答  x²  y²  5x  5y  10  0 

     解析     所求即以OP為直徑的圓(x  1)(x  4)  (y  2)(y  3)  0x²  y²  5x  5y  10  0﹒ 

22.已知坐標平面上﹐過點(3 , 1)並且分別與兩直線L1﹕x  y  0﹐L2﹕x  y  0皆相切的圓有兩個﹐

則較大的圓圓心坐標為____________﹒ 

  解答  (10 , 0) 

     解析     與x  y  0﹐x  y  0均相切表示圓心必在此兩直線交角之分角線﹐即x軸﹐ 

令圓心O (t , 0)﹐d (O , L₁) AO  ^{| |} ( 3)² 1 2

t  t   

 t²  12t  20  0  (t  2)(t  10)  0  t  2或10﹐ 

故較大圓的圓心坐標為(10 , 0)﹒ 

23.已知圓C﹕x²  y²  2x  3y  1  0﹐過P (2 , 3)作圓的割線交圓於A﹐B兩點﹐則PA PB _________﹒    解答  19 

     解析      PA PB (切線長)²  2²  3²  2  2  3  3  1  19﹒ 

24.過P (9 , 9)且與圓C﹕(x  4)²  (y  1)²  25相切的直線有兩條﹐其中一條切線 9 ³( 9) y  4 x 的切

點為A﹐另一條切線為L﹐切點為B﹐求 

(1)切線L的方程式為____________﹒(2)設圓心為O﹐則四邊形OAPB的面積為____________﹒ 

  解答  (1)x  9;(2)50 

     解析     (1)設切線L﹕y  9  m(x  9)  mx  y  9m  9  0﹐∵ 相切﹐∴ d (O , L)  r 

 2

| 5 10 | 5 1 m m

 

   |  m 2 | m²1  m²  4m  4  m²  1  ³ m4﹐  得另一條切線L﹕x  9﹒ 

(2)PA 5²10²2510﹐故四邊形OAPB面積為2△OAP 2(¹ 5 10) 50

 2   ﹒  25.P (4 ,  8)為圓C﹕(x  5)²  (y  1)²  4外一點﹐過P作圓C的切線交圓C於A﹐B兩點﹐求 

(1)通過P﹐A﹐B三點的圓方程式為____________﹒（以ax²  bxy  cy²  dx  ey  f  0表之） 

(2)直線AB的方程式為____________﹒（以ax  by  c  0表之） 

  解答  (1)x²  y²  9x  9y  28  0;(2)x  7y  6  0 

     解析     (1)∠OAP  ∠OBP  180﹐∴ OAPB四點共圓﹐則所求的圓以OP為直徑﹐ 

又O (5 ,  1)﹐P (4 ,  8)﹐ 

故C﹕(x  5)(x  4)  (y  1)(y  8)  0  x²  y²  9x  9y  28  0﹒ 

  (2)AB



即為極線﹐由切點公式得AB



  x  5  7y  7  4  x  7y  6  0﹒ 

[另解] 

2 2

2 2

10 2 22 0

9 9 28 0

x y x y

x y x y

     



    









  

    x  7y  6  0（根軸）﹒ 

26.曲線y x(4x)與直線L﹕3x  4y  k  0相切﹐則k  ____________﹒ 

  解答   16 

     解析      y x(4x)﹐平方  y²  x(4  x)﹐y  0  x²  y²  4x  0﹐ 

∴ 曲線是圓心為A (2 , 0)﹐半徑為2﹐位在第一象限的部分圓﹐ 

又∵ 相切﹐∴ d(A , L)  r  ^{| 6 |} 2 5

k   k  4或  16﹐ 

∵ L與部分圓相切﹐∴ L之y截距為正﹐故取k   16﹒