106.02.24 範圍Chap1 空間向量(A) 班級二年____班姓名 - 明誠

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：106.02.24 範

圍 Chap1空間向量(A) 班級二年____班姓名

座號

一、填充題(每題10分)

1.若A‐BCD為正四面體（各面均為正△）﹐其稜長a﹐設M為CD中點﹐AMB  ﹐則其

(1)高AG_________﹒ (2)體積為_________﹒(3)全表面積為_________﹒ (4)cos  __________﹒

解答 (1) ⁶

3 a;(2) ² ³

12 a ;(3) 3a²;(4)¹ 3

解析 (1)∵稜長為a﹐底面正△BCD的高BM 長為 ³

2 a﹐G為重心﹐∴ ²( ³ ) ³

3 2 3

BG a  a﹐

△ABG中﹐ ² ² ² ² ¹ ² ² ² ⁶

3 3 3

AG AB BG a  a  a AG a﹒

(2)體積 ¹

3(底面積)  高 ¹ ³ ² ⁶ ² ³ 3 4 a 3 a 12 a

    ﹒

(3)全表面積  4(△BCD) 4 ³ ² 3 ²

4 a a

   ﹒

(4)△AGM中﹐

1 3 3 2 1

cos 3 3

2 GM a

AM a

   ^  ﹒

2.有一個底為正方形的直角錐﹐每一稜長都是10﹐設□ABCD為其底﹐O為其錐頂﹐

(1)求此直角錐之高為____________﹒

(2)若兩側面之夾角為﹐則cos  ____________﹒

A

O

B

C D

解答 (1)5 2;(2) ¹

3

解析 (1)作圖如下﹕

(2)

¹ 5 2

CH 2AC ﹐OC10OH OC²CH²  100505 2﹒ (2)取OB中點M﹐連接AM﹐CM ﹐如下圖﹐

△AMC中﹐AM CM 5 3﹐AC10 2

2 2 2

(5 3) (5 3) (10 2) 1 cos 2 5 3 5 3^ ^  3

  ﹒

3. 四面體A‐BCD為中﹐已知AB垂直平面BCD﹐又BDCD﹐CD3﹐BC5﹐AB12﹐則AD長為____________﹒

解答 4 10

解析作圖如下﹕

△BCD為直角三角形﹐BD4﹐又△ABD亦為直角三角形﹐∴AD 12²4²  1604 10﹒ 4.設OA平面E於A﹐直線L在E上﹐ABL於B﹐C為L上一點﹐若OA4﹐AB3﹐BOC  30﹐

則BC____________﹒

解答 ^{5 3}

3

解析 OAE﹐AB L OBL﹐∴OB 4²3² 5 1 5 3

5 3 3

BC   ﹒

(3)

5.已知正四面體O‐ABC中﹐AO5﹐D﹐E分別是△OAB﹐△OBC的重心﹐則DE____________﹒

解答 ⁵ 3

解析如圖﹕

連接AD



交OB於F﹐連接CF﹐∵D﹐E為重心﹐∴AD：DF2 1： ﹐CE：EF 2 1： ﹐

∴FD：FA1 3： ﹐FE：FC1 3： ﹐∴ / / ¹ ⁵

3 3

DE ACDE AC ﹒

6.三角錐A‐BCD﹐頂點A﹐底面為△BCD﹐已知ABACAD 21﹐底邊BCCDDB6﹐求 (1)平面ABC與底面BCD的銳夾角為____________﹒

(2)若AH垂直於底面BCD於H﹐則高AH 的長為____________﹒

解答 (1)60;(2)3

解析 (1)取BC中點，AM  21 9 2 3﹐DM 3 3﹐

∴cos ¹² ²⁷ ²¹ ¹⁸ ¹

36 2 2 2 3 3 3

 ^ ^  

  ﹐∴  60﹒

(2) ² 2 3

DH3DM  ﹐∴AH  21 12 3﹒

7.四面體A‐BCD中﹐ABACBCBDCD4

(1)當AD2時﹐若相鄰兩面ABC與BCD的夾角為﹐則cos  ____________﹒

(2)當四面體ABCD有最大體積時﹐AD的長為____________﹒

(4)

解答 (1)⁵

6;(2)2 6

解析 (1)設BC的中點為M﹐ ∴ ³ 4 2 3

DM  2   AM ﹐ ∴cos ^{12 12} ⁴ ²⁰ ⁵ 24 6 2 2 3 2 3

  ^ ^  

  ﹒

(2)∵ ³ 4² 4 3

BCD 4  

△ ﹐ ∴A‐BCD體積 ¹ ^{4 3} 3 BCD AH 3 AH

 △    （∴AH愈大愈好）

（由三垂線定理知H落在DM



上） ^{4 3} 3 AM

  ﹐

故平面ABC  平面BCD時﹐AM AH 體積有最大值﹐

∴AD AM²MD²  12 12 2 6﹒

C B D

M A

H

8.將正方形紙ABCD沿對角線BD摺起﹐使得ABC  60﹐則兩平面ABD與CBD之夾角為______度﹒

解答 90

解析取O為BD中點﹐則AOBD﹐COBD﹐AOC為平面ABD與平面CBD之夾角﹐

設正方形ABCD的邊長為a﹐

在△ABD中﹐A  90﹐ABD  45﹐∴

2

AO a OC﹐ 在△ABC中﹐∵ABBCa﹐ABC  60﹐ACa﹒

∴

2 2

2 2 2 2

2 2

cos 0

2 2

a a OA OC AC a

AOC OA OC a a

 

   

   ﹐ AOC  90﹒

(5)

9.如下圖﹐長方體空心紙盒ABCD  EFGH中﹐AE1﹐AB2﹐AD3

(1)有一蜜蜂從A點飛到G點﹐其飛行的最短距離為____________﹒

(2)有一螞蟻從A點爬到G點﹐其爬行的最短距離為____________﹒

解答 (1) 14;(2) 18

解析 (1)AG AE²EG²  AE²(EF²FG²) 1²2²3²  14﹒

(2)(i)將矩形DCGH沿DH攤開﹐如圖﹐此時AG (3 2) ²1²  26﹒

(ii)將矩形DCGH沿DC攤開﹐如圖﹐此時AG (3 1) ²2²  20﹒

(iii)將矩形BCGF沿BC攤開﹐如圖﹐此時AG 3²(2 1) ²  18﹒

由(i)(ii)(iii)知爬行的最短距離為 18﹒

10.正四面體A‐BCD﹐一稜長為10﹐有一隻螞蟻由點A﹐沿△ABC﹐△BCD﹐△ABD﹐△ACD之順序﹐

在側面上移動﹐終點為C﹐則移動之最短距離為____________﹒

(6)

解答 10 7

解析將正四面體攤開如圖﹐其爬行之最短距離為線段AC

2 2

(20) 10 2 20 10 cos120 700 10 7

AC         ﹒

11.附圖為一單位正立方體ABCD‐EFGH（即稜長1）﹐則 (1)四面體A‐CFH的表面積為____________﹒

(2)四面體A‐CFH的體積為____________﹒

解答 (1) 12;(2)¹

3

解析 (1)四面體ACHF之四面均為邊長是 2的正三角形﹐表面積為4 ³ ( 2 )² 2 3 12

 4    ﹒

(2)如圖﹐邊長為 2的正四面體ACHF﹐ ² ²( ³ 2 ) ²

3 3 2 3

CN CM    ﹐

2 2 2

AN  AC CN  3 ﹐則正四面體ACHF體積為¹ ³ ( 2)² ² ¹ 3 4   3 3﹒

(7)

12.在空間中﹐O為原點﹐P點位於第一卦限﹐若P在xy面上的投影點是(5 , 3 , 0)﹐且OP 43﹐求 P點坐標為____________﹒

解答 (5 , 3 , 3)

解析設P(5 , 3 , z)﹐z  0  OP 25 9 z²  43z²  9 z 3﹐ 3（不合）﹐∴P(5 , 3 , 3)﹒

13.設A(3,  1,2)﹐B(0,3,2)﹐C(3,7,  4)﹐若A之外角平分線交直線BC



於E﹐求E之坐標為_______﹒

解答 (  3,  1,8)

解析如圖﹐

設E(x,y,z)﹐

5

AB ﹐AC10﹐EB：ECAB：AC1 2： ﹐

1 1

(0 ,3 , 2 ) (3 ,7 , 4 )

2 2

EB

 

 EC x y  z x   y z _{ x   3﹐}_{y   1﹐}z  8﹐∴E(  3,  1,8)﹒ 14.空間中﹐點P在xy平面的投影點坐標為(2 ,  3 , 0)﹐在yz平面的投影點坐標為(0 ,  3 ,  5)﹐則

點P對x軸的對稱點坐標為____________﹒

解答 (2 , 3 , 5)

解析 P點坐標為(2 ,  3 ,  5)  P點對x軸的對稱點為(2 , 3 , 5)﹒

15.在空間坐標中﹐設xy平面為一鏡面﹐今有一光線過A(1,2,2)射向鏡面上之點P(  3,4,0)﹐經鏡面反射後通過點B﹐若AP2BP﹐則B點坐標為____________﹒

解答 (  5,5,1)

解析如圖﹐

設B(x,y,z)﹐由題意知﹕A P

 

 2PB

∴(  4,2,2)  2(x  3,y  4,z)  (x  3,y  4,z)  (  2,1,1) ∴B(x,y,z)  (  5,5,1)﹒

16.設平行四邊形ABCD其中三頂點坐標為A(1,  7,3)﹐B(  3,  18,  4)﹐C(1,  7,  9)﹐則D點的坐標  ____________﹒

解答 (5,4,  2)

(8)

AC

1 1 7 7 9 3 3 18 4

( , , ) ( , , )

2 2 2 2 2 2

x y z

          x  5﹐y  4﹐z   2﹐∴D(5,4,  2)﹒

17.下圖是坐標空間中的一個長方體﹐其長﹐寬與高分別為5﹐2與3﹐寫出G點的坐標為____________﹒

解答 (  2,5,3)

解析由圖知G(  2,5,3)﹒

18.令A(  1,6,0)﹐B(3,  1,  2)﹐C(4,4,5)為坐標空間中三點﹒若D為空間中的一點且滿足 3DA

   

4DB2DC 0 _﹐則點

D的坐標為____________﹒

解答 (  7,30,18)

解析設D(x,y,z)﹐則DA



  ( 1 x, 6 y, z)_﹐

(3 , 1 , 2 ) DB



     x y z _﹐

(4 , 4 ,5 ) DC



 x y z _﹐ 3DA

  

4DB2DC  3( 1 x, 6 y, z)_

4(3 x, 1 y, 2 z) 2(4 x, 4 y,5 z) 0

          





3 3 12 4 8 2 0 7

18 3 4 4 8 2 0 30

3 8 4 10 2 0 18

x x x x

y y y y

z z z z

         

        

       



∴D(  7,30,18)﹒

19.在空間坐標中﹐設yz平面為一個鏡面﹐有一光線經過P(3,6,2)射向yz平面上的一點A(0,6,6)﹐經鏡面反射後行進了15單位長﹐碰撞到B點而停下﹐則B點坐標為____________﹒

解答 (9,6,18)

解析令P對yz平面的對稱點為Q﹐則Q(3,6,2)﹐得QA



(3,0, 4)_﹐

∵|QA



|_ 5﹐即 3

AB

 

 QA_﹐故

B點坐標為(0, 6, 6) ¹⁵ (3, 0, 4)

 5   (9,6,18)﹒

20.在空間坐標系中﹐點P在第一卦限﹐若P到x軸﹐y軸﹐z軸之距離各為5﹐ 34﹐ 41﹐求P 點坐標為____________﹒

解答 (5,4,3)

解析設P(x,y,z)﹐∵P在第一卦限﹐∴x  0﹐y  0﹐z  0﹐

P至x軸之投影點為(x,0,0)﹐至y軸之投影點為(0,y,0)﹐至z軸之投影點為(0,0, z)

∴P至x軸距離為 y²z² 5

P至y軸距離為 x²z²  34

P至z軸距離為 x²y²  41

(9)

2 2

25 5

34 4

41 3

y z x

x z y

x y z

    

 

    

    



∴P(5,4,3)﹒

21.設OA



(2,3, 6)

﹐OB



(1, 2, 2)

﹐OC

  

OA t OB

﹐若OC



平分∠AOB﹐試求t之值為____________﹒

解答 ⁷ 3

解析 OC



_{平分∠AOB }

OC



_{為菱形對角線向量}

|OA

 

|t OB| |_ | | 7

| | 3 t OA

OB









^﹒

22.設



a (1, 1,3) _﹐

(4, 1, 7) b  



_﹐

( 1,3, 6) c   



_﹐求

(1)3

  

a  b 2 c 

____________﹒

(2)| 3

  

a  b 2 c |____________﹒

解答 (1)(1,  8,14);(2)3 29

解析 (1)3

  

a  b 2 c 3(1, 1,3) (4, 1, 7)  2( 1,3, 6) (1, 8,14) _﹒ (2)| 3

  

a  b 2 c | 1 64 196  3 29_﹒

23.空間中P(2,1,4)﹐Q(3,a,9)﹐R(  6,  7,b)三點共線﹐求(a,b)  ____________﹒

解答 (2,  36)

解析 PQ



(1,a1,5)_﹐

( 8, 8, 4) PR



   b

1 1 5

// 8 8 4

PQ PR a

b

   

  

 

 a  1  1  a  2. b  4   40  b   36﹐

∴(a,b)  (2,  36)﹒

24.設A(5,0,7)﹐B(  1,  3,1)﹐P在直線AB上且AP3BP﹐求P點之坐標為____________﹒

解答 ( ,¹ ^{9 5}, )

2 4 2 或( 4, ⁹, 2)

  2

解析設P點坐標為(x,y,z)

(1)P點在線段AB上﹕如圖﹕

^{1 5 3 ( 1)} ¹

3 1 2

x     

 ﹐ ^{1 0 3 ( 3)} ⁹

3 1 4

y      

 ﹐ ^{1 7 3 1} ⁵

3 1 2

z    

 ﹐ ∴ ( ,¹ ^{9 5}, ) 2 4 2

P  ﹒

(2)P點不在線段AB上﹕如圖﹕

(10)

1 ^{5 2} 4 2 1

x x

     

 ﹐ 3 ⁰ ² ⁹

2 1 2

y y

     

 ﹐1 ⁷ ² 2

2 1 z z

    

 ﹐ ∴ ( 4, ⁹, 2) P   2 ﹒

∴P點坐標為( ,¹ ^{9 5}, )

2 4 2 或( 4, ⁹, 2)

  2 ﹒ 25.設空間中三點A(1,2,3)﹐B(2,4,1)﹐C(6,2,4)﹐試求

(1)若

  

v ABk AC

﹐且AB

 

 v

﹐則實數k之值為____________﹒

(2)△ABC的面積為____________﹒

(3)C點到直線AB



的最短距離為____________﹒

解答 (1)  3;(2)¹⁵ 2 ;(3)5 解析 (1)AB



(1, 2, 2) _﹐

(5, 0,1) AC



 _﹐



v (1, 2, 2) k(5, 0,1) (1 5 , 2, 2k  k)_﹐ ∵AB

 

 v

﹐∴AB

 

 v   0 1 5k  4 4 2k0﹐∴k   3﹒

(2)AB



(1, 2, 2) _﹐

(5, 0,1) AC



 _﹐

∴△ABC的面積

2 2

1 1 15

( ) 9 26 (5 0 2)

2 AB AC AB AC 2 2



 

 

 

      

﹒

(3)△ABC的面積 ¹ ( , ) ¹⁵

2 AB d C AB 2

  





 3 d C AB( ,



) 15

﹐∴d C AB( ,



)5

﹒ 26.



a (2, 3,5)

﹐



b  ( 4, , )x y

﹐



c ( ,z z, 2)

﹐若

 

a // b

且

 

a  c ﹐則(x,y,z)  ____________﹒

解答 (6,  10,  2)

解析 ∵ // ⁴ 6

2 3 5

x y a b     x



 

﹐y   10﹐

   

a  c  a c 2z3z10   0 z 2

﹐

∴(x,y,z)  (6,  10,  2)﹒

27.如圖﹐正立方體ABCD  EFGH的邊長等於2﹐K為正方形EFGH的中心﹐M﹑N分別為BF﹑BC的中點﹐求(1)∠KMN的度數為____________﹒

(2)△KMN的面積為____________﹒

(11)

解答 (1)90;(2) ⁶

2

解析建立坐標系E(0,0,0)﹐F(2,0,0)﹐H(0,2,0)﹐A(0,0,2)﹐則K(1,1,0)﹐M(2,0,1)﹐N(2,1,2)﹐

(1)MK



 ( 1,1, 1) _﹐

(0,1,1)

MN



 _﹐則 0 1 1

cos 0

3 2

KMN  

  

  ∠KMN  90﹒

(2)△KMN面積 ¹ 3 2 (0 1 1)² ⁶

2 2

      ﹒ 28.與



a (1, 1, 0) _{垂直﹐且與}

(0,1, 1) b  



_成45角之單位向量為____________﹒

解答 (0,0,  1)或( , ,^{2 2} ¹) 3 3 3 解析設



e ( , , )x y z _﹐

0 0

a  e    x y 

 

_

| | | | cos 45 2 1 2 1

b  e  b  e     y z   2   y z 

   

_

x²  y²  z²  1……

由分別得x  y﹐z  y  1代入

y²  y²  (y  1)²  1  3y²  2y  0  y(3y  2)  0

 y  0或 ² 0

y  3 x 或² 1 3  z 或 ¹

3﹐

∴



e (0, 0, 1) _或 ^{2 2} ¹ ( , , )

3 3 3 ﹒