100.09.13 範圍1-2 廣義角三角函數班級二年____班姓 - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：100.09.13 範

圍 1-2 廣義角三角函數 班級 二年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 )

1.設2000°的最小正同界角為

α

﹐最大負同界角為

β

﹐則數對(

α

﹐

β

) = ____________﹒

解答 (200°﹐− 160°)

解析 2000° = 360° × 5 + 200° ⇒ 最小正同界角 = 200°

2000° = 360° × 6 +( −160°) ⇒ 最大負同界角 = −160°﹒

2.− 1234°的最小正同界角為____________﹒

解答 206°

解析 − 1234° = − 360° × 4 + 206°﹒

3.設sinθ =1

3﹐90° < θ < 180°﹐則：(1) cosθ = ____________﹒ (2) tan( − 540° + θ ) =____________﹒

解答 (1) −2 2

3 ;(2) 1

−2 2

解析 (1)如圖所示﹐令PO= 3﹐PQ= 1﹐則OQ= 3²− = 2 21² ﹐

∵ 90° <

θ

< 180°﹐∴ cos

θ

= −2 2 3

(2) tan (− 540° +

θ

) =

− tan(540 ° − θ = − ) tan(90 °× − θ = + 6 ) tan θ

= 1 2 2

− ﹒

4.求值：cos20° + cos40° + cos60° + … + cos160° + cos180° = ____________﹒

解答 −1

解析 原式 = cos20° + cos40° + cos60° + cos80° + (− cos80° ) + (− cos60° ) + (− cos40° ) + (− cos20° ) + (−1) = − 1﹒

5.sin10° + sin20° + sin30° + … + sin350° + sin360°之值為____________﹒

解答 0

解析 ∵sin(360° −

θ

) = −sin

θ

﹐

∴原式=s in10° + sin20° + sin30° + …+ sin150° + sin160° + sin170° + sin180°

+ ( −sin170°) + ( −sin160°) + ( −sin150°) + … +( −sin10°) + sin360°

= sin180°+ sin360° = 0 + 0 = 0﹒

6.求sin( − 1560°)的值 = ____________﹒

解答 − 3 2

解析 sin( − 1560°) =

− sin1560 ° = − sin(90 °× + ° = − 17 30 ) cos 30 °

= − 3 2 ﹒ 7.已知tanθ < 0 < sinθ﹐則θ為第____________象限角﹒

解答 二

解析 ∵ tanθ < 0﹐∴ θ在二﹑四象限﹔

∵ sinθ > 0﹐∴ θ在一﹑二象限﹐

∵ tanθ < 0 < sinθ﹐∴ θ在第二象限﹒

8.求下列各值：

(1) sin120°cos150° − cos225°sin315° = ____________﹒

(2) sin1080° + cos180° + tan180° + tan360° + cos720° + sin270°= ____________﹒

解答 (1) −5

4;(2) −1

解析 (1)原式

= cos 30 ( sin 60 ) ( cos 45 )( cos 45 ) ° − ° − − ° − °

= 3

2 × ( − 3

2 ) − ( − 2

2 ) × (− 2 2 ) = −5

4﹒ (2)原式 = 0 + ( − 1) + 0 + 0 + 1 + ( − 1 ) = −1﹒

9.sin47°cos( − 583°) + sin( − 583°)sin223°= ____________﹒

解答 − 1

解析 原式 = sin47°cos583° − sin583°sin223°

= sin47°

( cos 43 ) − °

−

( sin 43 )( sin 43 ) − ° − °

=

cos 43°

( − cos43°) − sin²43° = −( cos²43° + sin²43° )= −1﹒

10.x∈﹐sinx + cosx =5

4﹐則： (1) cosx．sinx = ____________﹒ (2) sinx − cosx = ____________﹒

解答 (1) 9

32;(2) 7

± 4 解析 sinx + cosx =5

4平方得sin²x + 2sinxcosx + cos²x =25 16

⇒ 1 + 2sinxcosx =25

16 ⇒ sinxcosx = 9 32﹐ 又(sinx − cosx)² = sin²x − 2sinxcosx + cos²x = 1 − 2 × 9

32= 7 16﹐

∵ x∈﹐∴ sinx − cosx = 7

± 4 ﹒

11.設sin³θ + cos³θ = 1﹐則： (1) sinθ + cosθ = ____________﹒ (2) sin⁴θ + cos⁴θ = ____________﹒

解答 (1)1;(2)1

解析 (1)設sinθ + cosθ = k ⇒ 1 + 2 sinθ cosθ = k² ⇒ sinθ．cosθ = ² 1 2 k −

﹐ 由sin³θ + cos³θ = 1 ⇒

(sin θ + cos )(sin θ

²

θ − sin cos θ θ + cos

²

θ = ) 1

(sinθ + cosθ)(1 − sinθ cosθ) = 1 ⇒ k( 1 − ² 1

2

k − ) = 1

⇒ k (3 − k²) = 2 ⇒ k³ − 3k + 2 = 0 ⇒ (k − 1)²(k + 2) = 0﹐

∵ k

≠

− 2（否則sinθ = cosθ = −1）﹐∴ k = 1 ²

sin cos 1

1 1

sin cos 0

2 θ + θ =

 

⇒   θ θ = − =

1 + 0 − 3 + 2 1

+ 1 + 1 − 2 1 + 1 − 2 + 0

(2)又sin⁴θ + cos⁴θ = (sin²θ + cos²θ)² − 2 sin²θ cos²θ = 1 − 2．0 = 1﹒

12.設sin

θ

+ cos

θ

=1

5﹐90°<

θ

< 180°﹐則：

(1) cos

θ

= ____________﹒ (2) tan

θ

= ____________﹒

解答 (1) −3

5 ;(2) −4 3 解析 sin

θ

+ cos

θ

=1

5⇒ sin

θ

=1

5−cos

θ

⇒ sin²

θ

= 1 25−2

5cos

θ

+ cos²

θ

⇒ 1− cos²

θ

= 1 2

25−5cos

θ

+ cos²

θ

⇒ 2cos²

θ

−2

5cos

θ

−24 25=0 ⇒ 25cos²

θ

− 5cos

θ

− 12 = 0 ⇒ (5cos

θ

+ 3)(5cos

θ

− 4) = 0 ⇒ cos

θ

= 3

−5或4

5﹐又90° <

θ

<180°﹐∴ 3

cos

θ

= −5﹐且 4

tan

θ

= −3﹒

13.設P(−5 3﹐y) 在有向角θ的終邊上﹐若tanθ = 2

3 ﹐則： (1) y = _______﹒ (2) sinθ = ________﹒ 解答 (1)−10;(2)− 2

7

解析 P( −5 3﹐y ) ⇒ tanθ = 5 3

y

− = 2

3　　 ⇒ y = −10﹐

又 r=OP =

( 5 3) −

²

+ − ( 10)

²

=

5 7﹐

∴ sinθ = 10

5 7

y

r

=

− = − 2 7

﹒

14.設P(− 4k﹐3k)﹐k ≠ 0為角

θ

終邊上之點﹐則：

(1) tan

θ

= ________﹒ (2)5 sin 4 cos 2 sin cos

θ θ

θ θ

+

− = ________﹒

解答 (1) −3

4;(2) − 1 10

解析 (1) 3 3

tan 4 4

k

θ

= k = −

− ﹒ (2) 原式^同除cosθ

5 ( 3) 4

5 tan 4 4 1

2 tan 1 2 ( 3) 1 10

θ θ

⋅ − +

+ = = −

− ⋅ − −

﹒

15.已知θ角的頂點與原點重合﹐始邊落在x軸正向上﹐終邊通過點P(2﹐y)﹐並知θ為第四象限角﹐

若sinθ = − 1

5﹐則：

(1) y的值為____________﹒（恰有一解）

(2) tan(180° − θ ) + sin(180° − θ ) + sin(450° − θ )的值為__________﹒

解答 (1) − 1;(2) − 2 5

解析 (1) θ為第四象限角﹐P(2﹐y)﹐∴ y < 0﹐

又sinθ = − 1 5

= y

OP ⇒ − 1

5

= 4 2

y +y

⇒ − 5y = 4+y² ⇒ 5y² = 4 + y² ⇒ y² = 1 ⇒ y = ± 1（1不合）﹐∴ y = −1﹒

(2) sinθ = − 1

5 ﹐cosθ = 2

5 ﹐tanθ = 1 2

− ﹐

原式= tan(90°

×

2 −θ ) + sin(90°

×

2 − θ ) + sin(90°

×

5 − θ ) = − tanθ + sinθ + cosθ =1 1 2 1 1

2 5 5 2 5

− + = + ﹒

16.若270° < θ < 360°且6sin²θ − sinθ = 1﹐則tanθ = ____________﹒

解答 − 2 4

解析 6sin²θ − sinθ − 1 = 0⇒(3sinθ + 1)(2sinθ − 1) = 0⇒sinθ = −1 3或1

2（不合）⇒tanθ = − 2

4 ﹒

17.設

θ

為一個第四象限角﹐tan

θ

= −3

4﹐求1 sin 1 cos

θ θ

+

− =____________﹒

解答 2

解析

θ

在第四象限﹐且tan

θ

= −3

4 ⇒ sin

θ

= 3 5

− ﹐cos

θ

=4

5﹐1 sin 1 cos

θ θ

+

− =

1 ( 3) 5 1 4

5 + −

−

= 2 5 1 5

= 2﹒

18.設90° < θ < 135°﹐則 1 2sin cos+

θ θ

− 1 2sin cos−

θ θ

= ____________﹒

解答 2cosθ

解析 90° <

θ

< 135°﹐∴ cosθ < sinθ且sinθ + cosθ > 0﹐

原式= (sin

θ

+cos )

θ

² − (sin

θ

−cos )

θ

²

= | sin θ + cos | θ − | sin θ − cos | θ

= sinθ + cos

θ

−( sinθ − cosθ ) = 2cosθ﹒

19.設S = {θn | θn = 45° × n﹐n

∈

_﹐1

≤

n

≤

100}﹐則S中有____________個角為第二象限角﹒

解答 13

解析 第二象限角90° + 360° × t < θn = 45° × n < 180° + 360° × t﹐t∈﹐

∴ 2 + 8t < n < 4 + 8t﹐t∈﹐

故n = 8t + 3﹐t∈﹐又1≤n = 8t + 3≤100 ⇒ − 2≤8t≤97 ⇒ −1

4 ≤t≤ 97

8 ﹐t∈﹐

∴ t = 0﹐1﹐2﹐…﹐12﹐共13個﹐∴ S中有13個角為第二象限角﹒

20.(log2sin855°)² + log3tan( − 510°)之值為____________﹒

解答 −1 4

解析 (log2sin855°)² + log3tan( − 510°) = (log2cos45°)² + log3tan30° = (log2sin45°)² + log3tan30°

= (log2 1

2

)² + log3 1 3

= (log22

1

−2

)² + log33

1

−2

= ( −1

2)² + ( −1 2) =1

4−1 2= −1

4﹒

21.設sin(−80°) = k﹐若以k表函數值﹐則：(1) tan(−80°) = ___________﹒ (2) cos280° = ___________﹒ 解答 (1)

1 2

k

−k ;(2) 1−k²

解析 (1) sin(−80°) = k

sin 80 sin 80 1

k − k

− ° = ⇒ ° =

，鄰邊

1 − k

²

tan( − 80°) =

− tan 80 ° =

1 2

k

−k ﹒

(2) cos280° = cos(360° − 80°)= cos( 80°) = ^{1 2} 1 ²

1

k k

−

=

− ﹒

22.sin1590°．cos( − 1860°) − cos225°．sin315° + tan300°．cos180° = _________﹒

解答 3−1 4

解析 原式= sin1590°．cos 1860° − cos225°．sin315° + tan300°．cos180°

= sin(17．90° + 60°)．cos(20．90° + 60°) − cos(2．90° + 45°)．sin(3．90° + 45°) + tan(3．90° + 30°)．cos180°

= cos60°．cos 60° − ( − cos45°)．( − cos45°) + ( − cot30°)．( −1)

= 1 2．1

2− 1

( )

2

− ． 1

( )

2

− + 3 = 3−1 4﹒ 23.設sin

θ

=1

3﹐90° <

θ

< 180°﹐(1) tan(− 540° +

θ

) = __________﹒ (2) cos(

θ

− 450° ) = ___________﹒

解答 (1) 2

− 4 ;(2)1 3

解析 1

sin

θ

=3且90° <

θ

<180°

2 2

3, 1, 3 1 8 2 2

r y x

⇒ = = = − − = − = −

﹐

∴ tan

θ

= 1

−2 2﹒

(1) tan(−540° +

θ

)= −tan(540° −

θ

) = −tan(6．90° −

θ

) = tan

θ

= 1 2 2 2 = − 4

− ﹒

(2) cos(

θ

− 450°) = cos(450° −

θ

) = cos(5．90° −

θ

) = 1 sin

θ

=3﹒

24.化簡sin(180 ) sin( 360 )

θ θ

° −

− ° −tan(180 ) tan(180 )

θ θ

° −

° + −sin( 270 ) cos( 180 )

θ θ

− °

− ° = ____________﹒

解答 3

解析 原式

sin(90 2 ) tan(90 2 ) sin(90 3 )

sin(90 4 ) tan(90 2 ) cos(90 2 )

°× − θ °× − θ − °× − θ

= − −

− °× − θ °× + θ °× − θ

=

θ

θ sin

sin

−

tan tan

θ θ

−

₋

θ θ cos cos

−

= 1 + 1 + 1 = 3﹒

25.若方程式sin²x + 2cosx + k = 0有解﹐則k的範圍為____________﹒

解答 −2 ≤ k ≤ 2

解析 k = −sin²x − 2cosx = − (1 − cos²x) − 2cosx = cos²x − 2cosx − 1 = (cosx − 1)² − 2

⇐

配方

∵ −1 ≤ cosx ≤ 1﹐∴ −2 ≤ cosx − 1 ≤ 0 ⇒ 0 ≤ (cosx − 1)² ≤ 4﹐

∴ −2 ≤ (cosx − 1)² − 2 ≤ 2﹐即−2 ≤ k ≤ 2﹒

26.角

θ

位於標準位置﹐若P(x﹐y)為角

θ

終邊上一點﹐tan

θ

= −3﹐則2₂² 5 ₂² 2

x xy y

x xy y

− −

+ + =____________﹒

解答 1 2

解析 ∵ tan

θ

=y

x = −3﹐∴ y = −3x ⇒ 求值式=

2 2 2

2 2 2

2 5 ( 3 ) ( 3 ) 8 1

( 3 ) 2( 3 ) 16 2

x x x x x

x x x x x

− ⋅ − − −

= =

+ ⋅ − + − ﹒

27.設

θ

位於標準位置﹐其終邊在直線2x − 3y = 0上﹐且sin

θ

× tan

θ

< 0﹐則sin

θ

− cos

θ

=____________﹒ 解答 13

13

解析 設P(x﹐y)∈ L：2x − 3y = 0

⇒ 2 x = 3 y

﹐∴ tan

θ

= 2 3 y

x = ﹐ 又sin

θ

× tan

θ

< 0﹐∴

θ

為第三象限角

⇒ 2

sin

θ

= ⁻13 ﹐ 3

cos

θ

= ⁻13⇒ 1 13

sin cos

13 13

θ

−

θ

= = ﹒

28.設

θ

為第三象限角﹐且2cos²

θ

− 3sin

θ

cos

θ

− 3sin²

θ

= 1﹐則tan

θ

=____________﹒

解答 1 4

解析 原式⇒ 2cos²

θ

− 3sin

θ

cos

θ

− 3sin²

θ

= sin²

θ

+ cos²

θ

⇒ 4sin²

θ

+3sin

θ

cos

θ

− cos²

θ

=0﹐左右同除cos²

θ sin

²

sin

4( ) 3( ) 1 0

cos cos

θ + θ − =

θ θ

⇒ 4tan²

θ

+ 3tan

θ

− 1 = 0 ⇒ (4tan

θ

− 1)(tan

θ

+ 1) = 0 ⇒ 1

tan

θ

=4或−1﹐

又

θ

為第三象限角﹐∴tan

θ

> 0 ⇒ 1 tan

θ

=4﹒

29.已知1 tan

3 2 2 1 tan

θ θ

+ = +

− ﹐則sin

θ

=____________﹒

解答 3

± 3

解析 原式⇒ 1 + tan

θ

= (3 2 2) (3 2 2) tan+ − +

θ

⇒ (4+2 2) tan

θ

= +2 2 2 ⇒

2 2

2 2 2 (2 2 2)(4 2 2) 2

tan 0

4 2 2 4 (2 2) 2

+ + −

= = = >

+ −

θ

﹐

∴

θ

為第一或三象限角 ⇒ 2 3

sin

θ

= ± 6 = ± 3 ﹒

30.已知180° <

θ

< 270°﹐且8sin²

θ

− 2sin

θ

− 3 = 0﹐則

θ

=____________﹒

解答 210°

解析 8sin²

θ

− 2sin

θ

− 3 = 0 ⇒ (4sin

θ

− 3)(2sin

θ

+ 1) = 0﹐

∴ 3 sin

θ

=4或 1

−2﹐又180° <

θ

< 270°﹐∴ sin

θ

< 0⇒ 1

sin

θ

= −2﹐∴

θ

= 210°﹒

31.若

θ

為第二象限角﹐則 3

θ

不可能在第____________象限﹒

解答 三

解析 ∵

θ

為第二象限角﹐∴ 90° + n × 360° <

θ

< 180° + n × 360°﹐n ∈

⇒ 30° + n × 120° <

3

θ

<60° + n × 120°﹐n ∈﹐

 n = 3k時 ⇒ 30° + k × 360° <

3

θ

<60° + k × 360°﹐k ∈﹐ ∴ 3

θ

為第一象限角；

 n = 3k + 1時 ⇒ 150° + k × 360° <

3

θ

<180° + k × 360°﹐k ∈﹐ ∴ 3

θ

為第二象限角；

 n = 3k + 2時 ⇒ 270° + k × 360° <

3

θ

<300° + k × 360°﹐k ∈﹐ ∴ 3

θ

為第四象限角﹐

由知：

3

θ

不可能在第三象限角﹒