§2.2 解析函数与调和函数的关系

(1)

1 第

二章解析函数

§2.2 解析函数与调和函数的关系

§2.2 解析函数与调和函数的关系

一、调和函数

二、共轭调和函数

三、构造解析函数

(2)

2 第

二章解析函数

一、调和函数

考察三维空间中某无旋无源力场 ( 或流速场 ) 的势函数。

引例

沿闭路做功为零 ( 即做功与路径无关 ) 。又称为保守场或者梯度场或者有势场。

存在势函数  ⁽^x^, ^y^, ^z⁾^, _使得

z .

R 

  y ,

Q 

  x ,

P 

 

. ,

, }

, ,

{

{ }

z y

R x Q

P

F 



 

   

即

(1) 无旋场

设该力场为 ^F ^ ^{ ^P⁽^x^, ^y^, ^z⁾^, ^Q⁽^x^, ^y^, ^z⁾^, ^R⁽^x^, ^y^,^z⁾^}^.

(3)

3 第

二章解析函数

考察三维空间中某无旋无源力场 ( 或流速场 ) 的势函数。

一、调和函数

引例

设该力场为 ^F ^ ^{ ^P⁽^x^, ^y^, ^z⁾^, ^Q⁽^x^, ^y^, ^z⁾^, ^R⁽^x^, ^y^,^z⁾^}^.

(1) 无旋场 { , , }

{

, ,

}

.

z y

R x Q

P

F 



 

   

(2) 无源场散度为零，

.

2 0

2 2

2 



 



 



z y

x



 无旋无源力场的势函数满足 

.

2 0

2 2

2 



 



y x

 特别地，对于平面力场 

.

 0



 



 



z R y

Q x

即 P

(4)

4 第

二章解析函数

一、调和函数

,

2 0

2 2

2 



 



y x



则称为区域 ⁽^x^, ^y⁾ D 内的调和函数。

若二元实函数在区域 D 内有连续二阶偏导数

，

) , (x y 定义 

且满足拉普拉斯 (Laplace) 方程：

注泊松 (Poission ) 方程

. ) ,

2 (

2 2

2

y x y f

x 



 



  

P36 定义

2.3

( 算子与算子 )

(5)

5 第

二章解析函数

.

2 0

2 2

2 



 



 

y u x

u ,

2 2

2

x y

v x

u



 



  y ,

v x

u



 



x , v y

u



 

 

 ,

2 2

2

y x

v y

u



 

 

 

.

2 0

2 2

2 



 



y v x

同理 v

证明由解析，

) , ( )

, ( )

(z u x y i v x y

f   有











(?)

证明由解析，

y , v x

u



 



.

2 0

2 2

2 



 



 

y u x

u ,

2 2

2

x y

v x

u



 



 

x , v y

u



 

 

 ,

2 2

2

y x

v y

u



 

 

 

同理

) , ( )

, ( )

(z u x y i v x y

f   有











(?)

.

2 0

2 2

2 



 



y v x

v

P36 定理

2.3

一、调和函数

(6)

6 第

二章解析函数

二、共轭调和函数

设函数及均为区域 D 内的调和函数

，

) , (x y

u v(x, y) 定义

函数在区域 D 内解析的充要

) , ( )

, ( )

(z u x y i v x y

f  

定理

条件是：在区域 D 内， v 是 u 的共轭调和函数。

则称 v 是 u 的共轭调和函数。

注意 v 是 u 的共轭调和函数 u 是 v 的共轭调和函数。

且满足 C _R 方程： , y v x

u



 



 ,

x v y

u



 

 



P37 定义

2.4

P37 定理

2.4

(7)

7 第

二章解析函数

三、构造解析函数

问题已知实部 u ，求虚部 v ( 或者已知虚部 v ，求实部 u )

，使解析，且满足指定的条件。

) , ( )

, ( )

(z u x y i v x y

f  

注意必须首先检验 u 或 v 是否为调和函数。

方法偏积分法全微分法

构造解析函数的依据：^f ⁽^z⁾ ^ ^u⁽^x^, ^y⁾^ ⁱ ^v⁽^x^, ^y⁾ 依据

(1) u 和 v 本身必须都是调和函数；

(2) u 和 v 之间必须满足 CR 方程。

(8)

8 第

二章解析函数

方法偏积分法

三、构造解析函数

( 不妨仅考虑已知实部 u 的情形 ) (1) 由u 及C^R 方程

(2) 将 (A) 式的两边对变量 y 进行 ( 偏 ) 积分得

： ^v⁽^x^, ^y⁾ ^



_^_y^v ^d^y ^



_^_x^u ^d^y

其中，已知，而待定。v~(x, y)  (x) (3) 将 (C) 式代入 (B) 式，求解即可得到函数

. ) (x

 得到待定函数 v

的两个偏导数：

x , u y

v



 



y . u x

v



 

 

 







 (A)

(B)

c y

x

v 

 ~( , )  (x), (C)

(9)

9 第

二章解析函数

C

方法

三、构造解析函数

全微分法( 不妨仅考虑已知实部 u 的情形 )

(1) 由 u 及 C ^R 方程得到待定函数 v 的全微分：

(2) 利用第二类曲线积分 ( 与路径无关 ) 得到原函数

：

. d d

d d

d y

x x u

y y u

y x v

x v v



 



 

 

 



 

c y y

x u y

y u x

v ^x ^y

y

x 



 



 





₍⁽ ₀^,_, ⁾₀₎ ^d ^d

) , (

) , (x y

) , (x₀ y₀

C₀

C₁ C₂

. d

d y c

y x u

y u

C 



 



 





其中，或C  C0 C₁  C₂ .

P39

(10)

10 第

二章解析函数

故是调和函数。u(x, y) ,

2 0

2 2

2 



 



 

y u x

u ,

2 6

2

x x u 



 ₂ 6 ,

2

y x

u  

 由 

解 (1) 验证为调和函数u(x, y)

P38 例 2.6 修改

(11)

11 第

二章解析函数

解

由 6 ( ) 6xy , y

x u x xy

v 



 

 



 

   (x)  0,

, )

(x  c

   v(x, y)  3x² y  y³  c. , 3

d ) 3

3

( x² y² y x² y y³ c

v     





^^ ⁽^x⁾^,

, 3

3 ² ²

y y v

x x u



 



  由 

(2) 求虚部。 v(x, y) 方法一：偏积分法

(12)

12 第

二章解析函数

解 (2) 求虚部。

. 3x² y  y³  c



, 6xy y

u x

v 



 

  ,  3

3x² y² x

u y

v  



 

 由 

方法二：全微分法

, d ) 3

3 ( d

6 d

d

dv  v_x x  v_y y  xy x  x²  y² y





^ ^ ^



 ⁽ ^, ⁾

) 0 , 0 (

2

2 3 )d

3 ( d

6 )

,

(x y ^x ^y xy x x y y c

v



^ ^ ^

 ^x x ^y x y y c

0

2 2

0 0d (3 3 )d

) , (x y

C₁ C₂

) , (x y v

(13)

13 第

二章解析函数

解 (3) 求确定常数 c

, ) 3

( )

3 (

)

(z x³ xy² i x² y y³ c

f     

根据条件 ^f ⁽ⁱ⁾ ^ ^ⁱ ^, 将代入得^x ^ ⁰^, ^y ^ ¹ ,

) 1

( c i

i      c  0,

. ) 3

( )

3 (

)

(z x³ xy² i x² y y³

f    

即得  z³.

(14)

14 第

二章解析函数

故是调和函数。u(x, y) ,

2 0

2 2

2 



 



 

y u x

u ,

2 2

2 



 x

u ₂ 2,

2  



 y 由 u

解 (1) 验证为调和函数u(x, y)

验证为调和函数，并求以u(x, y) 例

, ) (z

的解析函数 f 使得

▲ 为实部

xy y

x

u  ²  ² 

. 1

)

(i i

f    ^P40 例 2.8

(15)

15 第

二章解析函数

由 2 ( ) 2y x, y

x u x y

v  



 

 



 

   (x)  x ,

2 , ) 1

(x   x²  c

  .

2 1 2

2 1 )

,

(x y xy y² x² c

v    



, ) 2 (

2 1 d

) 2

( x y y xy y² x

v     





,

2 y

y v x x

u



 



  由 

解 (2) 求虚部。 v(x, y) 方法一：偏积分法

, ) (z

▲ 为实部

xy y

x

u  ²  ² 

. 1

)

(i i

f   

(16)

16 第

二章解析函数

, 2y x y

u x

v  



 

  ,  2x y x

u y

v  



 

 由 

方法二：全微分法 ( 利用第二类曲线积分 )

, d ) 2

( d

) 2

( d

d

dv  v_x x  v_y y  y  x x  x  y y





^ ^ ^ ^



 ⁽ ^, ⁾

) 0 , 0

( (2 )d (2 )d

) ,

(x y ^x ^y y x x x y y c

v



^ ^ ^ ^

 ^x x x ^y x y y c

0

0 ( )d (2 )d

) , (x y

C₁ C₂

2 . 1 2

2xy  1 y²  x²  c



, ) (z

▲ 为实部

xy y

x

u  ²  ² 

. 1

)

(i i

f    解 (2) 求虚部。 v(x, y)

(17)

17 第

二章解析函数

, 2y x y

u x

v  



 

  ,  2x y x

u y

v  



 

 由 

方法三：全微分法 ( 利用“反微分”法 )

, d ) 2

( d

) 2

( d

d

dv  v_x x  v_y y  y  x x  x  y y



2 . 1 2

2 1 )

,

(x y xy y² x² c

v    



, ) 2 / d(

d 2 )

2 / d(

d

2y x  x²  x y  y²



, ) 2 / 2

/ 2

d( xy  x²  y²



, ) (z

▲ 为实部

xy y

x

u  ²  ² 

. 1

)

(i i

f    解 (2) 求虚部。 v(x, y)

(18)

18 第

二章解析函数

, 2

)

( ² ²

2 x y i xy

z   

由

方法四：直接利用已知的解析函数与“唯一性”

2 . 1 2

2 1 )

,

(x y xy y² x² c

v    



2 , 2

1 ₂ x² y²

i y x i z

 





故是解析函数的实部，

xy y

x

u  ²  ²  ² ²

2 ) 1

( z

z i z

g  

, ) (z

▲ 为实部

xy y

x

u  ²  ² 

. 1

)

(i i

f    解 (2) 求虚部。 v(x, y)

(19)

19 第

二章解析函数

解 (3) 求确定常数 c

根据条件 ^f ⁽ⁱ⁾ ^ ^¹^ ⁱ ^, 将代入得^x ^ ⁰^, ^y ^ ¹ 2 ,

 1

 c

. 2 )

1 2

2 1 ( )

( )

(z x² y² xy i xy y² x² c

f       

, 1

2 ) ( 1

1 i  c    i



即得 ).

2 1 2

1 2

2 1 ( )

( )

(z  x²  y²  xy  i xy  y²  x²  f

2 . 1 2

1 ₂

2 z i

z  i 



, ) (z

▲ 为实部

xy y

x

u  ²  ² 

. 1

)

(i i

f   

(20)

20 第

二章解析函数

休息一下 ……

(21)

21 第

二章解析函数

附：知识广角 —— 算子与算子 ^ ^

哈密顿 (Hamilton) 算

子 _{“ 那布拉”}

{

^, ^,

}

^.

z y

x 



 



拉普拉斯 ( Laplace) 算子 ₂ .

2 2

2

z y

x 

 



 



 











“ 德尔塔”

则梯度 ^grad ^U ^ ^^U^. )

, ,

(x y z

设为向量场F

，

则设为数量场

，

) , ,

(x y z 例如 U

拉普拉斯 (Laplace ) 方程泊松 (Poission ) 方程

.

 0



. ) , ,

(x y z

 f

 例如

散度 ^div ^F ^ ^ ^ ^F^, 旋度 ^rot ^F ^ ^^ ^F^.

( 返回 )

§2.2 解析函数与调和函数的关系

§2.2 解析函数与调和函数的关系

一、调和函数

二、共轭调和函数

三、构造解析函数

一、调和函数

{ }

一、调和函数

{

}

一、调和函数

一、调和函数

二、共轭调和函数

三、构造解析函数

三、构造解析函数





三、构造解析函数





















休息一下 ……

附： 知识广角 —— 算子与 算子  

{

}

附：知识广角 —— 算子与算子 ^ ^