93.04.30 班級範圍2-4 組合+ANS 座號姓名一、填充題 - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：93.04.30 班級

範

圍 2-4組合+ANS

座號

姓 名 一、填充題(每題10分)

1.由1，2，3，4，…，15等15個自然數中，任取相異三個數字，則其和為偶數的取法有

種。

答案：231 解析：

三數之和為偶數，可分為兩奇一偶及三偶等兩類 c兩奇一偶的取法有C⁸₂× C₁⁷ = 196種

d三偶的取法有C = 35種

故三數和為偶數的取法有196 + 35 = 231種

7 3

2.設n，m為兩自然數，如果Cⁿ_m：Cⁿ_m⁺¹：Cⁿ_m⁺² = 6：9：13，則n = 。 答案：11

解析：

Cⁿ_m：Cⁿ_m⁺¹：Cⁿ_m⁺² = 6：9：13

+1 n m n m

C C =

9

6，即

) 1 (

) 1 (

) (

！

！

！

！

！

！

m n

m n

m n m

n

− +

+

− =

3

2，亦即

1 1

+

− +

n m

n =

3 2

2 1 + +

n m n m

C

C =

13

9 ，即

) 2 (

) 2 (

) 1 (

) 1 (

！

！

！

！

！

！

m n

m n

m n

m n

− +

+

− +

+

=13

9 ，亦即

2 2

+

− +

n m

n =

13 9

因此，可得 ，亦即 ，可得m = 4，n = 11

⎩⎨

⎧

+

=

− +

+

=

− +

) 2 ( 9 ) 2 ( 13

) 1 ( 2 ) 1 ( 3

n m

n

n m

n

⎩⎨

⎧

−

=

−

−

=

−

8 13

4

1 3

m n

m n

3.5本相同的高二數學課本，全部任意分給甲，乙，丙三人，有 種分法。

答案：21 解析：

H³₅= C⁷₅= 21（種）

4.由1，2，3，4，5，6，7，8中，4個不同的數字構成的四位整數，

(1)由左而右，數字愈來愈小的共有 個。

(2)百位數字最大的四位數共有 個。

答案：(1)70 (2)420 解析：

(1)C⁸₄=

4 3 2 1

5 6 7 8

×

×

×

×

×

× = 70（個）（選出即可，因其會自動排好）

(2)C⁸₄× 3! = 70 × 6 = 420（個）

5.紅、黃、藍、綠四色球各兩個，且大小均相同，求下列各情況的方法數？

(1)任取四個的方法數 。

第 1 頁 ~

(2)任取四個球之後，再將它們排成一列的排法 。 答案：(1)19 (2)204

解析：

(1)四異：C⁴₄= 1，二同二異：C⁴₂．C₁²= 12，二同二同：C₁⁴．C₁³． 2 1= 6

選取方法數= 1 + 12 + 6 = 19（種）

(2) 1 × 4! = 24，12 ×

! 2

!

4 = 144，6 ×

! 2

! 2

!

4 = 36，排列數有204種

6.五種酒倒入4個酒杯中，酒不混合，

(1)若酒杯相異，而酒可重複使用，則倒法有 種。

(2)若酒杯相同，而每種酒至多只能倒一次，則倒法有 種。

答案：(1)625 (2)5 解析：

(1)5⁴ = 625 (2)C⁵₄= 5

7.7件不同物，分給甲、乙、丙三人，一人至少一件，一人至少二件，一人至少三件之方法 有 種。

答案：1680 解析：

(3⁷ − 3 × 2⁷ + 3 × 1⁷) − C⁷₅C₁³× 2! = 1806 − 216 = 1680

↑ ↑

每人至少一件之方法 其中一人獨得五件，另二人各得一件之方法

8.由tomorrow八個字母中，任取四個字母，共有 種取法。

答案：22 解析：

ooo rr tmw

情形 組合 3同1異 C¹₁C₁⁴= 4 2同2同 C²₂= 1 2同2異 C₁²．C⁴₂= 12

全異 C⁵₄= 5

∴ 4 + 1 + 12 + 5 = 22

9.相同的鉛筆3支，原子筆2支，鋼筆3支，分給兒童，每人最多一支，分給10人時，有

種分法。

答案：25200 解析：

2 3 2 3

10

！

！

！

！

！ = 25200（種）

10.試求下列各式之值：

(1) C ³₂ + C ⁴₂ + C ⁵₂ + C⁶₂ + … + C²⁰₂ = 。 (2) H ₁⁴ + H ⁴₂ + H ⁴₃ + H ⁴₄ + … + H ₉⁴ = 。

第 2 頁 ~

答案：(1) 1139 (2) 714 解析：

(1)原式 = C + C³₃ + C + C + C⁶ + … + C −1 = C + C + … + C − 1

= … = C − 1 = 1139

(2)原式 = C + C⁵ + C + … + C = C + C⁵₃ + C + … + C¹²

= C + C + C + C⁶₃ + … + C¹²₃ − 1 = C⁵+ C + C + … + C¹²₃ − 1 = … = C¹³ − 1 = 714

3 2

4 2

5

2 2

20 2

4 3

4 2

20 2 20

3 4

1 2

6 3

12 9

4 3

6

3 3

4 3

4 4

5

3 4

5 3

6

3 4

11.方程式x + y + z + u + v = 10之正整數解有 組。

答案：126 解析：

H⁵₅ = C ⁹₄ = 126（組）

12.滿足不等式x + y + z + u ≤ 8的正整數解有 組。

答案：70 解析：

x + y + z + u ≤ 8，x，y，z，u ∈ N

⇔ x + y + z + u + t = 8，x，y，z，u ∈ N，t ∈ N ∪ {0}

⇔ (x − 1) + (y − 1) + (z − 1) + (u − 1) + t = 4

⇔ x′ + y′ + z′ + u′ + t = 4，x′，y′，z′，u′，t ∈ N ∪ {0}

∴ H⁵₄= C⁸₄= 70

13點中，先計三點共線有4組，四點共線有10組。

解析：

(1)任三點不共線時，有C¹⁶ =120條，但其中四點共線有10條，3點共線有4條

故實際上之直線有C¹⁶ − 10．C + 10 − 4 C + 4 = 120 − 60 + 10 − 12 + 4 = 62條 (2) C¹⁶−10．C − 4 C = 560 − 40 − 4 = 516（個）

2 2

4 2

3 2 3

4 3

3 3

14.8人同去冷飲店，有A，B，C，D，E，F等6種飲料可以選擇，每人任點一種，則有 種點法。

答案：1287 解析：

設A飲料點了x1杯，…，F飲料點了x6杯 則x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 8（x1，…，x6 0）

故有H = C = C¹³₈ = C¹³ = 1287種

≥

6 8

1 8 6 8

− +

5

15.設n∈ N，若Pⁿ₃= 4 C₂ⁿ⁺¹，則n = 。 答案：5

解析：

Pⁿ₃ = 4 C₂ⁿ⁺¹ ⇒ n(n − 1)(n − 2) = 4 ×

! 2

) 1 (n+ n

∵ n∈N ∴ n² − 3n + 2 = 2n + 2

⇒ n(n − 5) = 0 ⇒ n = 0（不合）或n = 5 ∴ n = 5

16.某拳擊比賽，規定每位選手必須和所有其他選手各比賽一場，賽程總計為78場，則選手

第 3 頁 ~

人數為 人。

答案：13 解析：

設選手共有n人，每位選手必須和其他選手各賽一場 ∴ 賽程安排方法有C 種 C = 78

n 2

⇒ ⁿ₂ ⇒

! 2) (

! 2

!

− n

n = 78 ⇒ n (n − 1) = 156 ⇒ n = 13

17.5件不同物品，分給甲、乙、丙、丁4人，

(1)甲恰得1件，有 種分法。 (2)每人至少一件，有 種分法。

答案：(1) 405 (2) 240 解析：

(1)先選1件給甲，餘下三人分另外4件，C ．(3⁴) = 5 × 81 = 405（種）

(2) 4⁵ − 4．3⁵ + 6．2⁵ − 4．1⁵ + 1．0⁵ = 240（種）

5 1

18.紅球、黃球、白球、黑球各有三個，同色相同，

(1)取三球排一列的排列數為 。

(2)取四個排一列，相同不相鄰的排列數為 。 (3)取三球之組合數為 。

(4)取六球之組合數為 。

(5)取六球，各色球各至少一個，組合數為 。

(6)12個球全部分給甲、乙二人，每人至少分得一個，分法有

種。

答案：(1) 64 (2) 168 (3) 20 (4) 44 (5) 10 (6) 254 解析：

(1)排列情形如下

三同：C₁⁴ = 4，二同一異：C C₁⁴ ₁³．

! 2

3! = 36，三異：C ． = 24

∴ 共4 + 36 + 24 = 64種排列 (2)排列情形如下

二同二異：

4

3 3！

2!

43

P ．2 !．P³₂= 144

3個空位選2個，排2個同色球

2個不同色球的排列數

4種顏色挑3個給2個同色球、2個不同色球

四異：4 ! = 24

∴ 共144 + 24 = 168種排列 (3)組合情形如下

三同：C = 4，二同一異：C C = 12，三異：C = 4 ∴ 共4 + 12 + 4 = 20種組合 (4)組合情形如下

三同三同(3，3)：C = 6，三同二同(3，2，1)：C C C = 24

三同三異(3，1，1，1)：C C = 4，二同二同二同(2，2，2)：C = 4

二同二同二異(2，2，1，1)：C C = 6 ∴ 共6 + 24 + 4 + 4 + 6 = 44種組合

4

1 4

1 3

1 4

3

42 4

1 3

1 2

1 14 3

3 4

3 4

2 2

2

第 4 頁 ~

(5)組合情形如題(4)之(3，1，1，1)及(2，2，1，1) ∴ 共有4 + 6 = 10種組合 (6)先分紅球給甲x₁個，乙x₂個，x₁ + x2 = 3，0≤x₁，x₂≤3

共H = C = C = 4種分法，同理，黃、白、黑球也有4種分法

∴ 全部有4 × 4 × 4 × 4 = 256種分法，再去掉全部給甲或乙等2種分法

∴ 共256 − 2 = 254種分法

23 2 31 3

−

+ 4

3

19.將七件不同的東西分給三個人，其中一人得3件，另外兩人各得2件，分法有

種。

答案：630 解析：

C C C⁷₃ ⁴₂ ²₂ ×

! 2

3! = 630（種）

20.六個不同玩具全部分給甲、乙、丙3人，每人至少1個之分法有 種。

答案：540 解析：

(1)按(4，1，1)分3人 ⇒

!

2

1 1 2 1 6

4 C C

C． ．

× 3! = 90 (2)按(3，2，1)分3人 C ．C ．C¹₁ × 3! = 360 (3)按(2，2，2)分3人

⇒ ⁶₃ ³₂

⇒ 3!

⁴₂ ²₂

6

2 C C

C ． ．

× 3! = 90

∴ 所求 = 90 + 360 + 90 = 540

21.將6件物品放入4個箱子中，物品不同，箱子相同，每箱至少一個，有 種放 法。

答案：65 解析：

先分箱：(1，1，1，3)，(1，1，2，2) 故有C C C C₁⁶ ₁⁵ ₁^{4 3}₃．

3 1

！+ C C C C₁⁶ ₁^{5 4}₂ ²₂． 2 2

1

！

！ = 20 + 45 = 65種

22.滿足xyz = 4000之所有整數解(x，y，z)，共有 組。

答案：840 解析：

xyz = 4000 = 2⁵．5³

∵ ∴ 且

⇒ x，y，z之正整數解有H ．H³₃組解

∵ (x，y，z)之整數解有(+，+，+)，(+，−，−)，(−，+，−)，(−，−，+)四種類型

∴ 整數解(x，y，z)共有(H ．H³₃)．4 = C ．C ．4 = 21．10．4 = 840組

⎪⎩

⎪⎨

⎧

4000

| 4000

| 4000

| z y x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

c b a

z y x

5 2

5 2

5 2

．

．

．

γ β α

⎩⎨

⎧

∪

∈

= + +

∪

∈

= 3

5

， + +

} 0 {

} 0 { N c b a c b a

N

，

，

，

，

，α β γ γ

β α

3 5

3 5

7 5

5 3

23.(1)5對夫婦任選出4人代表，此4人中恰有一對夫婦，共 種。

(2)5對夫婦圍圓桌，不計方位，男女相間，有一對夫婦A，a相鄰，有 種坐法。

(3)5對夫婦圍圓桌，不計方位，每對夫婦均相對而坐，有 種方法。

第 5 頁 ~

答案：(1)120 (2)1152 (3)384 解析：

(1) C₁⁵C⁴₂．2² = 120

選1對夫婦作代表 選2對夫婦

選夫或婦

(2) 5

!

5 × 2！ × 4！ = 1152

↑ ↑

Aa可交換 bcde之排法

(3) A，a先相對入坐，坐法有

2

!

2 ，再讓四對夫婦入坐有4！種坐法 而此四對夫婦可對調有2⁴種方法，故所求為

2

!

2 × 4！× 2⁴ = 384

24.從1到9的自然數中，任取三個數，試就以下條件，求其方法數，

(1)三數之和為奇數 。 (2)三數之積為3的倍數 。

(3)三數成等差數列 。 答案：(1)40 (2)64 (3)16

解析：

(1)

三數之和為奇數有二種：c3奇 d1奇2偶 所求= C⁵₃+ C C = 10 + 30 = 40

(2)

三數之積為3的倍數有三種

c一（3k）二（非3k） d二（3k）一（非3k） e三（3k）

所求= C³₁C⁶+ C C₁⁶+ C = 3．15 + 3．6 + 1 = 45 + 18 + 1 = 64

(3)a，b，c成等差，則a + c = 2b，即a，c同為奇數或同為偶數

所求= C + C = 10 + 6 = 16

⎩⎨

⎧

8 6 4 2

9 7 5 3 1

，

，

， 偶：

，

，

，

， 奇：

5 1

4 2

⎩⎨

⎧

8 7 5 4 2 1 3

9 6 3

： k 3

，

，

，

，

， 非

，

，

： k

2 3 2

3 3

5 2

4 2

第 6 頁 ~

25.5本相同的高二數學課本，4本相同的高二英文課本，全分給甲，乙，丙三人，每人至少 一本書，有 種分法。

答案：228 解析：

H³₅× H³₄− H₅²× H²₄× 3 + H¹₅× H¹₄× 3 = 21 × 15 − 6 × 5 × 3 + 1 × 1 × 3 = 228（種）

26.有8雙不同的鞋子，從中任取6隻，恰含2雙的取法有 種。

答案：1680 解析：

先從8雙中取出2雙，取法有C 種

再從剩下的6雙中選取2雙，每雙各取1隻，取法有C × C × C 種 故6隻恰含2雙的取法為C × C × C × C =1680種

8 2

6

2 2

1 2

1 8

2 6

2 2

1 2

1

27.下圖中至少包含A或B兩點之一的長方形共有 個。

答案：15 解析：

包含A點的長方形有C₁³ × C₁³ = 9，包含B點的長方形有C₁³ × C = 9 包含A，B的長方形有C = 3 ∴ 包含A或B者有9 + 9 − 3 = 15個

3 1 3

1

28.有6件物品全放入3個箱子，任意放（可放在同一箱或不同箱），則 (1)物品相同，箱子相異，放法有 種。

(2)物品相異，箱子相同，放法有 種。

(3)物品相同，箱子相同，放法有 種。

(4)物品相異，箱子相異，放法有 種。

答案：(1) 28 (2) 122 (3) 7 (4) 729 解析：

(1) 6件相同物全放入3個箱子的放法，只看每個箱子中放入的個數

故放法有H = C = 28種

(2)先安排箱子中物品的個數，確定後再取物品（即為分堆的方式）

(6，0，0)有1種，(5，1，0)有C = 6種，(4，2，0)有C = 15種 (4，1，1)有

3

6 8

6

65 6

4

2!

×

× ²₁ ¹₁

6

4 C C

C = 15種，(3，3，0)有 2!

× ³₃

6

3 C

C = 10種

(3，2，1)有C ⁶₃ × C³₂ × C ¹₁ = 60種，(2，2，2)有

3!

×

× ⁴₂ ²₂

6

2 C C

C = 15種

共有1 + 6 + 15 + 15 + 10 + 60 + 15 = 122種

(3)物品相同，箱子相同，只看物品個數安排方式，由(2)中的分類有7種

(4)相異物的重複排列：每件物品有3種放法 ∴ 放法有3⁶ = 729種

第 7 頁 ~