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高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：106.12.08 範
圍 2‐3直線與圓 班級 二年____班 姓 名
座號
一、填充題(每題10分)
1.已知圓C：x2 y2 4x 6y 12 0﹐求圓C的(1)圓心坐標為____________﹒(2)半徑為____________﹒ 解答 (1)(2 , 3);(2)5
解析 圓C配方得(x 2)2 (y 3)2 25﹐故圓心為(2 , 3)﹐半徑為5﹒
2.求合於下列條件之圓方程式﹕
(1)圓心在點( 3 , 2)﹐半徑為6之圓方程式為___________________________﹒
(2)圓心在點A (1 , 3)﹐且圓通過點P (4 , 1)之圓方程式為______________________﹒
解答 (1)(x 3)2 (y 2)2 36;(2)(x 1)2 (y 3)2 25 解析 (1)(x 3)2 (y 2)2 36﹒
(2)先求半徑rPA (4 1) 2 (1 3)2 5﹐得圓方程式為(x 1)2 (y 3)2 25﹒
3.設A ( 2 , 1)﹐B (4 , 5)為坐標平面上兩定點﹐試求以線段AB為直徑的圓方程式為_____________﹒ 解答 (x 1)2 (y 2)2 18
解析 AB之中點﹐即為圓心( 2 4 1 5, ) (1, 2)
2 2
﹐
半徑 1 1 [4 ( 2)]2 ( 5 1)2 3 2
2 2
r AB ﹐得圓方程式為(x 1)2 (y 2)2 18﹒
4.平面上四點A (3 , 1)﹐B ( 2 , 2)﹐C (2 , k)﹐D ( 3 , 3)共圓﹐則 (1)過 A﹐B﹐D之圓方程式為______________﹒
(2) k ____________﹒
解答 (1) x2 y2 2y 12 0﹐(2)2或 4
解析 設所求之圓方程式為x2 y2 dx ey f 0﹐
A (3 , 1)代入得10 3d e f 0
B ( 2 , 2)代入得8 2d 2e f 0 d 0﹐e 2﹐f 12﹐
D ( 3 , 3)代入得18 3d 3e f 0
得圓方程式為x2 y2 2y 12 0﹐C (2 , k)代入得k2 2k 8 0 k 2或 4﹒
5.若點P (k 4 , k 2)在圓C﹕x2 y2 kx 4y 5 0的外部﹐求k的範圍為____________﹒
解答 k 2或2 k 3或 11 k 3
解析 圓C存在 k2 ( 4)2 4 5 0 k2 4 k 2或k 2……
P在圓C外部 (k 4)2 (k 2)2 k(k 4) 4(k 2) 5 0 3k2 20k 33 0 (3k 11)(k 3) 0 11
k 3 或k 3……
2
由得k 2或2 k 3或 11 k 3 ﹒
6.若a﹐方程式x2 y2 2(a 3)x 2(a 2)y 5a2 4a 5 0之圖形為一圓﹐則a的範圍為______﹒
解答 4 2 3 a
解析 D 4(a 3)2 4(a 2)2 4(5a2 4a 5) 4(3a 4)(a 2) 0 4 2
3 a
﹒
7.設圓C圓心在3x y 1上﹐又此圓通過A(1,0)﹐B(3,2)﹐設圓C的方程式為x2 y2 ax by c 0﹐
求(a,b,c) ____________﹒
解答 (2, 4, 1)
解析 ∵圓C的圓心也在AB的中垂線：x y 3上 3 1
3 1 2
x y x
x y y
﹐
∴C : (x 1)2 ( y 2)2 22 x2 y2 2x 4y 1 0﹐∴(a,b,c) (2,4,1)﹒
8.一圓通過A (1 , 0)﹐B (3 , 2)兩點且圓心在直線3x y 1上﹐則圓方程式（標準式）為____________﹒ 解答 (x 1)2 (y 2)2 4
解析 圓過A (1 , 0)﹐B (3 , 2)﹐則圓心在AB中垂線上﹐
AB
﹕x y 1﹐且A﹑B中點M (2 , 1)﹐設AB中垂線方程式為x y k﹐M (2 , 1)代入得x y 3﹐
又圓心 3
3 1
x y x y
(x , y) (1 , 2)﹐半徑 2﹐故所求圓方程式為(x 1)2 (y 2)2 4﹒
9.就圓C﹕x2 y2 4x 6y 11 0與直線L﹕x y k 0討論k的範圍﹕
(1)有交點﹐則k之範圍為____________﹒
(2)相切於一點﹐則切點坐標為____________﹒
(3)若k 1時﹐交點坐標為____________﹒
解答 (1) 3 k 1;(2)( 1 , 4)和( 3 , 2);(3)( 1 , 2)或( 3 , 4)
解析 圓C﹕(x 2)2 (y 3)2 11 4 9 2﹐圓心( 2 , 3)﹐半徑r 2﹐
(1)有交點 | 2 3 | 2
2
d k r |k 1| 2 2 k 1 2﹐
∴ 3 k 1﹒
(2)相切時 切線L﹕x y 3 0或x y 1 0
A﹕ 3 0 5 0 x y x y
1
4 x y
B﹕ 1 0 5 0 x y x y
3
2 x y
由得切點坐標為A ( 1 , 4)和B ( 3 , 2)﹒
(3)x y 1 0 y 1 x代入圓C x2 4x 3 0
x 1或 3 y 2或4﹐ 得交點坐標( 1 , 2)或( 3 , 4)﹒
3
10.就k值討論方程式x2 y2 2x ky 2k 2 0的圖形﹕
(1)若圖形不存在﹐則k 的範圍為____________﹒
(2)若為一點﹐則此點坐標為____________﹒
解答 (1)2 k 6;(2)(1, 1)或(1, 3)
解析 配方 ( 1)2 ( )2 2 1 2 2
2 4
k k
x y k ﹐
2
2 2 8 12
( 1) ( )
2 4
k k k
x y
(1)若圖形不存在 2 8 12 0
4
k k k2 8k 12 0 2 k 6﹒
(2)圖形為一點﹐即(1, ) 2
k ﹐
2 8 12
4 0
k k k 2﹐6﹐∴此點(1, ) 2
k (1, 1)或(1, 3)﹒
11.設二元二次方程式x2 y2 2(m 1)x 2my 3m2 2 0的圖形為一圓﹐求 (1)實數m的範圍為____________﹒(2)此圓的最大面積為____________﹒
解答 (1) 1 m 3;(2)4
解析 (1)配方 [x (m 1)]2 (y m)2 (m 1)2 m2 (3m2 2) m2 2m 3﹐
圖形為一圓﹐故 m2 2m 3 0 m2 2m 3 0
(m 1)(m 3) 0 1 m 3﹒
(2)圓的半徑r m22m 3 (m1)24﹐
當m 1時﹐圓的半徑為最大﹐最大半徑為 42﹐所以圓的最大面積為4 ﹒
12.有一圓通過A (1 , 1)且與已知圓x2 y2 4x 2y 0有相同圓心﹐則此圓的方程式為 ____________﹒
解答 (x 2)2 (y 1)2 1
解析 x2 y2 4x 2y 0 (x 2)2 (y 1)2 5﹐
設該圓方程式為(x 2)2 (y 1)2 k﹐
代入A (1 , 1) k 1﹐故圓方程式為(x 2)2 (y 1)2 1﹒
13.三直線﹕x軸﹐y軸﹐x 2y 8 0所圍成三角形之內切圓的圓心坐標為____________﹒
解答 (6 2 5 , 6 2 5)
解析 設圓心(r , r)﹐則 | 2 8 |
5 r r
d r
| 3r8 |2( 5 )r 2 5r2 r2 12r 16 0 (r 6)2 16 36 20
r 6 2 5﹐
取r 6 2 5﹐得圓心坐標為(6 2 5 , 6 2 5)﹒
x y
O
x 2y 8=0
(r, r)
4
14.圓C﹕x2 y2 4x 2y 20 0﹐直線L﹕3x 4y 5 0﹐圓C與直線L交於A﹐B兩點﹐則AB____﹒
解答 8
解析 C﹕x2 y2 4x 2y 20 0 (x 2)2 (y 1)2 25﹐圓心(2 , 1)﹐半徑r 5﹐
2 2
| 6 4 5 |
( , ) 3
3 4
d O L
AB 2 5232 8﹒
15.已知兩圓的方程式分別為C1：(x 3)2 (y 4)2 25﹐C2：x2 y2 9﹐試問兩圓上共有______點到 直線L：5x 12y 13的距離為2﹒
解答 5
解析 d(O1,L) |15 48 13 | 50
13 13 5
﹐有2點到L距離為2﹐
d(O2,L) 13
13 1 3﹐有3點到L距離為2﹐
∴共有2 3 5點﹒
