98.04.22. 班級範圍2-3 排列(A) 座號姓名一、選擇 - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：98.04.22.

班級 範

圍 2-3 排列(A)

座號

姓 名 一、選擇題 (每題 10 分 )

( ) 1.(複選)下列各式何者正確？ (1)6！ 720﹒ (2)n！ Pⁿ_n﹒ (3)Pⁿ_m n(n  1)(n  2)

  

(n  m  1)﹒ (4)Pⁿ_m 

)

( ！

！ m n

n



^{﹒ (5)0！ 1﹒}

解答 12345

( ) 2. (複選)從1到9等9個自然數中﹐任取三個相異數字組成一純循環小數﹐此種純循環小數共 有

n

^個﹐又此

n

^{個純循環小數的總和為}

S

^{﹐則下列何者正確？} (1)

300  n  400

^﹒

(2)

400  n  500

^﹒ (3)

500  n  600

^﹒ (4)

200  S  300

^﹒ (5)

300  S  400

^﹒ 解答 34

解析 純循環小數的型式為

0 . abc

﹐∴ 共有9  8  7  504個﹒

所求總和 

0 . 123  0 . 124 

…

 0 . 987    999 124 999

123

…

999

 987

 ( 123  124  999

1

… 987)﹐

分子之和  123  124  …  987  數字相異三位數之和  (1  2  3  4  5  6  7  8  9)



56  (1  2  3  4  5  6  7  8  9)



10



56

(1  2  3  4  5  6  7  8  9)



100



56

 (1  2  3  4  5  6  7  8  9)(56  560  5600)  45  6216  279720﹐

∴ 所有循環小數的總和







 280﹒

二、填充題 ( 每題 10 分 )

1. 某公司在一棟大樓的第二樓與第三樓各有7個房間﹐

(1)如果要規劃二樓的7個房間中之三間給甲、乙、丙三個科長當研究室﹐有____________種方法；

(2)如果二﹐三樓同時使用﹐但二樓選兩間當研究室﹐而三樓裡選一間﹐有____________種方法﹒

解答 (1)210;(2)882

解析 (1)三個人在二樓的7個房間中﹐選3間當研究室﹐有P⁷₃ 7  6  5  210種選法﹒

(2)甲、乙兩人選二樓﹐丙選三樓的選法﹐有P⁷₂  P₁⁷  294﹐

甲、丙兩人選二樓﹐乙選三樓的選法﹐有P⁷₂  P₁⁷  294﹐

乙、丙兩人選二樓﹐甲選三樓的選法﹐有P⁷₂  P₁⁷  294﹐

所以共有294  3  882種選法﹒

2. n為正整數﹐若Pⁿ₃：P₃^n2  5：12﹐則n  ____________﹒

解答 7

解析 Pⁿ₃：P₃^n2  5：12﹐即

n n n

n n n

) 1 )(

2 (

) 2 )(

1 (













12 5

﹐

5(n  2)(n  1)  12(n 1)(n  2)



5(n²  3n  2)  12(n²  3n  2)



7n²  51n  14  0



n  7或

7

2

﹐但n是整數﹐所以n  7﹒

3. 5個男孩﹐4個女孩排成一列﹐

(1)若要求男生須排在一起﹐女生亦須排在一起﹐其排法有____________種﹐

(2)若任意兩個女孩都不相鄰﹐則有____________種排法；

(3)若男孩全不相鄰﹐女孩也全不相鄰﹐則有____________種排法﹒

解答 (1)5760(2)43200;(3)2880 解析

(1)5位男生視為一體﹐4位女生視為一體﹐排法有2 ! 種﹐

5位男生交換位置﹐排法有5 ! 種﹐3位女生交換位置﹐排法有4 ! 種﹐

故排列數  2 !  5 !  4 !  5760﹒

(2)

先排5個男孩﹐5！種﹐

再將4個女孩排在含首末的6個間隔中的4個位置﹐有P⁶₄種方法﹐

9個人排列法有5！ P⁶₄  43200﹒

(3)

先排5個男孩﹐有5！種方法﹐

男孩、女孩同性均不相鄰﹐如圖示﹐女孩只能排中間四個間隔﹐有4！種排法﹒

因此9個人的排列共有5！ 4！ 2880種方法﹒

4. 甲、乙、丙三人在排成一列的十個座位上任選坐三個﹐則

(1)三人均相鄰的坐法有________________種， (2)三人均不相鄰的坐法有__________種。

解答 (1)48;(2)336

解析 (1)10個座位選三個相鄰的方法有

(1﹐2﹐3)﹐(2﹐3﹐4)﹐(3﹐4﹐5)﹐…﹐(7﹐8﹐9)﹐(8﹐9﹐10)等8種﹐

3人入座的方法有3！種﹐∴ 所求坐法有8  3！ 48種﹒

(2)10個座位選三個﹐其中有7個空位﹐

可視為7個空位的前後共8個間隔﹐任取3個給甲、乙、丙三人入座﹐

↓□↓□↓□↓□↓□↓□↓□↓

∴ 坐法有

P

₃⁸  8  7  6  336種﹒

5. 甲、乙、丙、丁、戊、己等六人排成一列﹐則 (1)甲與乙、丙均相鄰的排法有____________種﹒

(2)甲、乙相鄰且丙、丁不相鄰的排法有____________種﹒

解答 (1)48;(2)144

解析 (1)甲與乙、丙均相鄰﹐甲必排在乙、丙之間﹐

先將三人視為一體與其他三人排列﹐其排法有4！種﹐

乙、丙二人位置可交換﹐其排法有2！種﹐

故甲與乙、丙均相鄰的排列數  4！ 2！ 48﹒

(2)甲、乙相鄰﹐先將甲、乙視為一體與戊、己排列之﹐

在各間隔中插入丙、丁中的1人﹐甲、乙兩人再交換位置（如下圖）﹐

故排法有3！

P

⁴₂ 2！ 144種﹒

6. 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚7人排成一列﹐則

(1)甲、乙、丙相連有____________種排法﹒

(2)甲、乙、丙完全分開有____________種排法﹒

解答 (1)720;(2)1440

解析 (1)先把甲、乙、丙看成一人作排列後﹐甲、乙、丙再排列﹐則有5！ 3！ 720種排法﹒

(2)先排丁、戊、己、庚﹐甲、乙、丙再排入其5個間隔中﹐則有4！ P⁵₃ 1440種排法﹒

7. A﹐B﹐C﹐D﹐E﹐F﹐G﹐H等8人排成一列﹐求下列排法：

(1) A﹐B相鄰﹐C﹐D不相鄰____________﹒ (2) A﹐B﹐C均與D不相鄰____________﹒

解答 (1)7200;(2)14400

解析 (1) A B ﹐E﹐F﹐G﹐H



5！ 2  240﹐

C﹐D放入空隙

 P

⁶₂  30﹐∴ 所求  240  30  7200﹒

(2)先排D﹐E﹐F﹐G﹐H

 5 ！  120

﹐





 







 種 再放入

種 再放入

種 放入

6 5 4

C B A

4  5  6  120﹐

∴ 所求  120  120  14400﹒

8. 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚等7人排成一列﹐

(1)甲一定在乙左﹐但位置不一定相鄰﹐則排法有____________種﹒

(2)丙排首或丁排尾﹐則排法有____________種﹒

解答 (1)2520;(2)1320

解析 (1)先排⃝、⃝、丙、丁、戊、己、庚﹐再將甲排入左邊的⃝、乙排入右邊的⃝

共有

7!

1 1=2520

2!  

種排法﹒

(2)丙排首有6！種排法﹐丁排尾有6！種排法﹐丙排首且丁排尾有5！種排法﹐

∴ 丙排首或丁排尾共有6！ 6！ 5！ 1320種排法﹒

9. 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚共7人排一列﹐甲須排在乙、丙、丁之左﹐且戊須排在己、庚之右的排 法有____________種﹒

解答 420

解析 先排⃝、⃝、⃝、⃝、□、□、□﹐再將甲排入最左邊的⃝、乙、丙、丁排入剩下的3個⃝ 後將戊排入最右邊的□；己、庚排入剩下的2個□，

共有

4 ! 3 !

!

7

( 1  3！)(1  2！) 420﹒

　　　　　 ↑　　　 ↑

乙丙丁3人之排法　 己庚2人之排法

10. 甲﹐乙﹐丙﹐…等7人排成一列﹐

(1)甲不排首﹐乙不排第二位﹐丙不排末之排法有____________種﹒

(2)甲﹐乙不排首﹐乙﹐丙﹐丁不排末之排法有____________種﹒

解答 (1)3216;(2)2040

解析 (1)7! 3 6! 3 5! 4! 3216      ﹒

(2)

但須扣掉戊﹐己﹐庚既排首又排尾的不合理情況﹐中間5人任意排5!﹐

故所求為：(5 4 3) 5! 2040    ﹒

11. 由二年1班至8班的八個班級中﹐任選出三個班級代表學校參加合唱比賽﹐

(1)若選出的三個班級號碼均相連﹐則其選法有____________種﹒

(2)若選出的三個班級號碼兩兩均不相連﹐則其選法有____________種﹒

【註】2與3相連﹐1與8不相連﹒

解答 (1)6;(2)20

解析 (1)在8個班級中﹐選3個相連號碼的方法﹐

有(1﹐2﹐3)﹐(2﹐3﹐4)﹐(3﹐4﹐5)﹐(4﹐5﹐6)﹐(5﹐6﹐7)﹐(6﹐7﹐8)共6種選法﹒

(2)

8個班級選3個﹐有5個空位﹐可視為5個空位的前後共6個間隔任取3個﹐

∴ 有

! 3

6

P

3

 20種﹒

12. 三支相同的原子筆﹐五支相同的鉛筆﹐全部分給10個小朋友﹐

(1)每人最多一支﹐共有____________種分法；(2)如果八支筆都不相同﹐則分法有____________種﹒

解答 (1)2520;(2)P¹⁰₈

解析 (1)本問題如同3個a﹐5個b﹐2個╳在10個不同位置的排列﹐有

！

！

！

！ 2 5 3

10

 2520種方法

(2)8支筆分給10個小朋友中的8個人﹐有P¹⁰₈ 種分法﹒

13. 將6種不同獎品全部分給甲﹐乙﹐丙三人﹐則

(1)甲至少得一件﹐有____________種分法﹒

(2)甲得一件﹐乙得二件﹐丙得三件﹐有____________種分法﹒

(3)每人二件有____________種分法﹒

解答 (1)665;(2)60 解析 (1) 3⁶  2⁶  665﹒

(2) 如同 甲乙乙丙丙丙 在6種不同獎品前的排列： 6!

2! 3!60

 ﹒

(3)甲、甲、乙、乙、丙、丙﹐排列的結果為

2 2 2

6

！

！

！

！

 90種分法﹒

14. 有6件不同的玩具﹐分給甲、乙、丙三位兒童﹐則 (1)任意分﹐每人可兼得的分法有____________種﹒

(2)甲分得4件﹐乙、丙各分得1件的分法有____________種﹒

(3)乙、丙二人至少各分得1件的分法有____________種﹒

解答 (1)729;(2)30;(3)602

解析 (1)任意分﹐每一件玩具可分給甲、乙、丙任一人﹐分法有3種﹐所有分法有



^

 

種﹒

(2)先將6件玩具﹐任意排列後﹐再將甲甲甲甲乙丙排在其位置上﹐

排到甲表該件玩具分給甲﹐∴ 分法有

30 1 1 4

6 

！

！

！

！

種﹒

(3)乙、丙至少各得1件的分法  所有分法  (乙沒有或丙沒有)  3⁶  (2⁶  2⁶  1⁶)  729  127  602﹒

15. 用1﹐2﹐…﹐9寫出數字不重複的3位數﹐則這些數中偶數有____________個﹒

解答 224

解析 4  8  7  224﹒

先填末位

16. 從0﹐1﹐2﹐3﹐4﹐5中取出三個不同數﹐寫成三位數﹐則其中4的倍數有____________個﹒

解答 24

解析 先取末兩位：04﹐12﹐20﹐24﹐32﹐40﹐52﹐

含0的有3個﹐其百位數有四個選擇﹐共3  4  12個﹐

不含0的有4個﹐其百位數有三個選擇﹐共4  3  12個﹐

∴ 4的倍數共有12  12  24個﹒

17. 自0﹐1﹐2﹐3﹐4﹐5六個數字中﹐選取五個排成一五位數﹐

(1)共有五位數____________個﹒ (2)所得的五位數中﹐大於31200者有____________個﹒

解答 (1)600;(2)330 解析 (1)5  P⁵₄  600﹒

(2) 31   3．P³₂  18﹐

3    3．P⁴₃  72﹐

5

4

    2．P⁵₄  240﹐

∴ 240  72  18  330﹒

18. 用0﹐1﹐2﹐3﹐4﹐5作數字相異的四位數﹐則四位數中4的倍數者有____________個﹒

解答 72 解析 如圖﹐

4的倍數為末兩位是4的倍數者﹐∴ 4的倍數共有3  12  4  9  72個﹒

19. 如右圖﹐由A到B走捷徑﹐求

(1)經過C點的走法有____________種；

(2)經過C且不過D的走法有____________種﹒

解答 (1)70;(2)34

解析 (1) A → C → B 

! 1 ! 1

! 2

_

! 3

! 4

!

7

 2  35  70﹒

(2)經過C且不過D  (經過C)  (經過C且經過D)

 70 

! 1 ! 1

!

2



! 2

! 2

!

4



! 1

! 2

!

3

 70  36  34﹒

20. 將「庭院深深深幾許」等七個字全取排成一列﹐

(1)三個「深」字不完全相鄰﹐則排法有____________種﹒

(2)三個「深」字完全不相鄰﹐則排法有____________種﹒

解答 (1)720;(2)240

解析 (1) 三個「深」字不完全相鄰 = (全部排法) (三個「深」字完全相鄰)

全部排法：7個字去排﹐共有

! 3

!

7

種排法﹐

三個「深」字完全相鄰：把3個深視為1個﹐與其他4字排列﹐有5！種排法﹐

∴ 共有

! 3

!

7

 5！ 720種排法﹒

(2)先排「庭」、「院」、「幾」、「許」4個字﹐共有4！種排法﹐

5個空隙選3個排「深」字﹐共

! 3

5

P

3

種排法﹐

∴ 共有4！．

! 3

5

P

3

 240種排法﹒

21. 「tennessee」一字中﹐

(1)各字母全取排列﹐有____________種排法﹐

(2)若同字母須相鄰﹐有____________種排法﹒

解答 (1)3780;(2)24

解析 (1)（9個字母中﹐有4個e﹐2個n﹐2個s﹐1個t）：

2 2 4

9

！

！

！

！

 3780（種）﹒

(2)視同t﹐e﹐n﹐s全取排列數4！ 24（種）﹒

22. aabbccdd排成一列﹐其中a與b不相鄰之排法有____________種﹒

解答 660

解析 先排c﹐c﹐d﹐d﹐有

! 2

! 2

!

4

種方法﹐接著a﹐a﹐b﹐b插間隔排有四類﹐

(1) a﹐a﹐b﹐b 

! 2

! 2

!

4



! 2

! 2

5

P

4

 180﹒

(2)

a a

﹐b﹐b 

! 2

! 2

!

4

_

! 2

5

P

3

 180﹒

(3) a﹐a﹐

b b



! 2

! 2

!

4

_

! 2

5

P

3

 180﹒

(4)

a a

﹐

b b



! 2

! 2

!

4

 P⁵₂ 120﹒

∴ 180  180  180  120  660﹒

23. 警報器長鳴一次須三秒﹐短鳴一次須1秒﹐鳴叫之間間隔2秒﹐則30秒可作成____________種不同 的信號﹒

解答 80

解析 設長鳴x次﹐短鳴y次﹐則間隔有x  y  1次



3x  y  2(x  y  1)  30



5x  3y  32

x 1 4

y 9 4

有

4 4 8 9 1

10

！

！

！

！

！

！ 

 10  70  80種﹒

24. 渡船三隻﹐每船可載6人﹐則7人過渡﹐但甲坐A船﹐有____________種安全渡法﹒

解答 728

解析 甲坐A船﹐另6人均有3種選船法﹐故為3⁶法﹐但因6人不可與甲同時選A船﹐

故共有3⁶  1  729  1  728種﹒

25. 已知三艘不同的渡船﹐每船最多能載4人﹐試求 (1)4人渡河時﹐安全過渡的方法有____________種﹒

(2)5人渡河時﹐安全過渡的方法有____________種﹒

(3)6人渡河時﹐安全過渡的方法有____________種﹒

解答 (1)81 ；(2)；(3)690 解析 (1) 4人渡河時：

3 =81

⁴

(2) 5人渡河時﹐安全過渡的方法=(全部) (超載5人同船)：

3

⁵

  1 P

₁³

 240

(3) 6人渡河時﹐超載的情形有二類：

(6人同乘一船)﹐其搭乘方法有

1  P

₁³



3種﹒

6人中有(5人同乘一船)﹐(另一人搭另外一船)﹐其方法有6 

P

₂³  36種﹒

∴ 6人安全渡河的方法有3⁶  3  36  690種﹒

26. 「人人為我﹐我為人人」這8個字任意排成一列﹐(1)若其中至少有兩個「人」排在一起的排法有 ____________種﹐(2)相同的字都不相鄰的排法有____________種﹒

解答 (1)390;(2)24

解析 (1)任意排列數減去四個人都不相鄰的排列數 

4 2 2

8

！

！

！

！



2 2

4

！

！

！



! 4

5

P

4

 390﹒

(2)先將「四個人」陳列﹐如下圖﹐然後將「我為我為」分成三組放入圖中打圈的位置﹐

必須使同字不相鄰﹐其方法只有一種﹐如下：

「我為、我、為」﹐排入三個打圈的位置的方法數3！ 2！ 12﹒

○ ○ ○ 人 人 人 人

「我為我為」分四個字排入

「

○ ○ ○ ○

人 人 人 人

_」或^「

○ ○ ○ ○ 人 人 人 人

_」﹐

四個打圈的位置之方法數2 

！

！

！ 2 2

4

 12

所以有相同的字都不相鄰的排法有12  12  24種﹒