106.04.21 範圍2-2 排列(B) 班級一年____班姓名座號1 - 明誠

(1)

高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期：106.04.21 範

圍 2‐2排列(B) 班級一年____班姓名

座號

一、填充題(每題10分)

1. 用5種不同顏色塗入圖中的玩具﹐但不可翻面不可轉動﹐而且相鄰面不可塗同色﹐則有_________

種不同的塗法﹒

解答 420

解析中間塗法:5種﹒

外圍左右同色     5 4 3 1 3 180,

外圍左右異色     5 4 3 2 2 240,

故所求為180240420﹒

2. 若由0﹑1﹑1﹑2﹑2﹑3﹑4﹑5八個數字中﹐任意取出五個數字排成一個五位數﹐並依序由小到

大排列﹐則排在第50位的數字是____________﹒

解答 10421

解析

2﹑2

101□□P⁴₂ 1 13,

2﹑3﹑4﹑5

102□□P⁵₂20,

1﹑2﹑3﹑4﹑5 2﹑2

103□□P⁴₂ 1 13（累積共46個）,

1﹑2﹑4﹑5

a₄₇ 10412﹐a₄₈ 10413﹐a₄₉ 10415﹐a₅₀10421﹒

3. 自0﹑1﹑2﹑3﹑4﹑5中任取四個相異的數字作成一個四位數字A﹐剩下的二個數字作成一個二

位數字B﹐則此種數對



^{A B}^,



共有____________個﹒

解答 480

解析 A區 | B區一二三四五六

先擺0：0可放在第二﹑三﹑四﹑六﹐∴4 5! 480﹒ 4. 如圖的棋盤式街道﹐甲走捷徑從A至B﹐則

(1)走法有____________種﹒

(2)若不得經過C且不經過D的走法有____________種﹒

解答 (1)56;(2)20

解析 (1) ^8! 56

5!3! ﹒

(2)所求全部^^{n C}



^^D



^⁵⁶^{ }_



^A^{ }^C ^B

 

^ ^A^{ }^D ^B

 

^ ^A^{  }^C ^D ^B



^_

(2)

56 ^3! ^5! ^4! ^4! ^3! 1 ^4!

2! 3!2! 3! 2!2! 2! 2!2!

 

        

  ^⁵⁶^



³⁰^^{24 18}^



^²⁰^﹒

5. A﹑B﹑C﹑D﹑E﹑F六人排成一列﹐A﹑B不相鄰﹐且D﹑E不相鄰的排法有________種﹒

解答 336

解析設甲集合為AB相鄰﹐乙集合為DE相鄰﹐

所求為全部^ⁿ



^{甲乙}^



 ^6!



5! 2! 5! 2! 4! 2! 2!     



^⁷²⁰^



^{480 96}^



^³³⁶^﹒

6. 警報器長鳴一次3秒﹐短鳴一次1秒﹐間隔停2秒﹐則30秒內可發出____________種信號﹒

解答 80

解析設長鳴x次﹐短鳴y次﹐則間隔有



^x^{ }^y ¹



^次

 

3x 1 y 2 x y 1 30 5x 3y 32

           ﹐ ¹ ⁴ 9 4 x

y ∴^10! ^8! 10 70 80 9! 4!4!   ﹒ 7. 渡船3艘﹐每艘至多可搭5人﹐則

(1)5人渡河時﹐其安全過渡的方法有____________種﹒

解答 (1)243;(2)726;(3)2142

解析 (1)3⁵243﹒

(2)全6人同船 3⁶ C₆⁶P₁³726﹒

(3)全7人同船6人同船3⁷C₇⁷P₁³C C₆⁷ ₁¹P₂³2187 3 42  2142﹒ 8. 甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊五人排成一列﹐求下列各排法數：

(1)甲﹑乙兩人需分開____________﹒

(2)甲不排首位﹐且乙不排第二位____________﹒

解答 (1)72;(2)78

解析 (1)3!P⁴₂72﹒

(2)5! 2 4! 1 3! 78     ﹒(5人中2個人的錯排) 9. 有甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊﹑己六人排成一列﹐則

(1)若甲、乙分別排在最旁邊﹐共有____________種排法﹒

(2)規定甲在乙的左方且乙在丙的左方﹐則其排法有____________種﹒

解答 (1)48;(2)120

解析 (1)甲乙  2! 4! 48﹒(2)甲乙丙 ^6! 1 1 1 120

    3! ﹒

10. 七人排成一列﹐規定甲不排首﹐乙不排中﹐丙不排末﹐則排法有____________種﹒

解答 3216

解析三人受限的排容原理：1 7! 3 6! 3 5! 1 4! 3216        ﹒(7人中3個人的錯排)

11. 美術課分5組報告西方藝術﹐上一次是按照第1﹑2﹑3﹑4﹑5組的順序上台﹐這次同學希望每一組上台順序都跟上一次不同﹐則有____________種上台順序﹒

解答 44

解析 5! 5 4! 10 3! 10 2! 5 1! 1 0!          44﹒(5人中5個人的錯排) 12. 將6本不同的書全分給甲﹑乙﹑丙三人﹐則

(1)每人可兼得亦可不得﹐有____________種分法﹒

(2)每人至少一本的分法有____________種分法﹒

(3)

解答 (1)729;(2)540

解析 (1)3⁶729﹒

(2)3⁶ 3 2⁶   3 1⁶ 1 0⁶540﹒

13. 七個數字 0﹑1﹑1﹑2﹑2﹑2﹑2全取排成七位數﹐有____________種方法﹒

解答 90

解析任意排0在首位 ^7! 1 ^6! ^{5 6 7} ^{5 6} 105 15 90

4!2! 4!2! 2 2

  

        ﹒

14. 老師將12枝相同的鉛筆分給五位小朋友﹐其中有兩位各得4枝﹐兩位各得2枝﹐而有一位沒分到﹐分法有____________種﹒

解答 30

解析甲乙丙丁戊

4 4 2 2 0 2的排列 ^5! 30

2!2! ﹒

15. 將八個人排成一列﹐其中甲至少與乙或丙一人相鄰的排法有____________種﹒

解答 18720

解析所求任意排甲與乙﹑丙不相鄰



⁶3 ⁶2



8! 5! P P 2! 40320 21600 18720.

       

  

(其餘5人) (乙丙分開) (乙丙相鄰)

P.S.1 (乙丙分開)：其餘5人先排，甲、乙、丙再插6個空隙中的3個 P.S.2 (乙丙相鄰)：其餘5人先排，甲、乙丙再插6個空隙中的2個

16. 將五枝相同的鉛筆和三枝不同的鋼筆分給10個人﹐每人至多得一枝﹐其分法有___________種﹒

解答 15120

解析 PPPPPABCXX 排列 ^10! 15120

5!2! ﹒

17. 甲生第二次段考前一週共有國文﹑英文﹑歷史﹑地理﹑數學﹑物理﹑化學﹑生物等八科要分成 4天複習﹐每天利用晚上分兩個時段複習文科（國文﹑英文﹑歷史﹑地理）及理科（數學﹑物理﹑化學﹑生物）各一科﹐則此四天晚上共八個時段有____________種安排複習方式﹒

解答 9216

解析 4文﹑4理分給四天晚上，再上下可對調 ^{4! 4!}^{ }

 

^2!⁴^⁹²¹⁶^﹒

18. 有三位男生及四位女生排成一列﹐規定男生甲的左右兩側各有兩位女生﹐其排法有________種﹒

解答 1008

解析 □□□□□男²男³ 排法 ^7! 1 4! 1008

5!   ﹒(5個□之正中央□排甲其餘4個□排女生) ↑其他四框給四女排列

最中間排甲

19. 坐標平面上﹐沿格子線從^A

 

^{0, 0} ^{出發取捷徑走到}^B

 

^3,3 ﹐問恰轉三次彎的走法有__________種﹒

解答 8

解析 右上右上：2 2 4﹒

(4)

相鄰2人可互換

(→→,→填入兩個”右”；↑↑,↑填入兩個”上”) 上右上右：2 2 4﹒

(↑↑,↑填入兩個”上”；→→,→填入兩個”右”)

∴所求  4 4 8﹒

20. 有七張椅子排成一列﹐甲﹑乙﹑丙﹑丁四人就坐﹐每人只能坐一張椅子﹐則 (1)4人任意坐有____________種坐法﹒

(2)恰有2人相鄰有____________種坐法﹒

解答 (1)840;(2)288

解析 (1)P⁷₄840﹒

(2) 將甲﹑乙﹑丙﹑丁四人分成2,1,1的3組插入3個空位所產生的4個空隙 C₂⁴P₃⁴ 2! 288﹒

↑ ↑

選2人相鄰插空隙排入

21. 連續投擲一顆公正的骰子3次﹐至少出現1次5點且點數和是13的情況有____________種﹒

解答 12

解析 ¹³



5, 6, 2 : 3! 6



 ﹐



^{5, 5, 3 :}



^3! ³

2! ﹐



^{5, 4, 4 :}



^3! ³

2! ﹐

∴共12種﹒

22. 五件不同的禮物分給甲﹑乙﹑丙﹑丁四人﹐依下列條件求其給法：

(1)每人可兼得﹐五件任意給方法有____________種﹒

(2)每人可兼得﹐但甲至少得一件方法有____________種﹒

解答 (1)1024;(2)781

解析 (1)4⁵1024﹒(2)全甲不得1024 3 ⁵ 781﹒

23. 在五位數中恰有三個連續位數為相同的數字者有____________個﹒

解答 2349

解析 前三位數字相同者：

□□□□□

前三位可排111﹐222﹐……﹐999﹐有9種﹔

十位數字與前三位數字不同﹐故排法有9種﹐個位數可排入任意數字﹐方法10種﹐

∴共有9 9 10  個﹒

中間三位數字相同者：

□□0□0□0□→有9 9 個﹐

□□1□1□1□→有8 9 9  個﹐

(中間三位排111﹐222﹐……﹐999)

末三位數字相同者：

□□□□□→有9 9 10  個﹐

(末三位排000﹐111﹐222﹐……﹐999)

由可知﹐共有



^{9 9 10}^{ }

 

       ^{9 9 8 9 9}

 

^{9 9 10}



²³⁴⁹個﹒

(5)

24. A﹑B﹑C﹑D﹑E﹑F﹑G七人排成一行﹐規定A與B不得排首﹐F與G不得排尾﹐D不得排首或尾﹐C必須排在中央﹐則排法有____________種﹒

解答 192

解析 □□□□C□□□

↑ ↑

E ﹑F或G A﹑B或 E

根據題意：首只能排E﹑F或G﹐尾只能排A﹑B或E﹐中央必排C﹐

其他四個位置不限制﹐

首排E時：尾  2 4! 48﹐

首排F或G時：尾   2 3 4! 144﹐ 故有排法48 144 192  種﹒

25. 將六個字母AABBCC全取排成一列﹐相同字母均不相鄰的排法有____________種﹒

解答 30

解析全(字母AA相鄰或BB相鄰或CC相鄰)

6! 5! 4!

3 3 1 3! 30

2!2!2! 2!2!    2! ﹒

26. 二個中國人﹑二個日本人﹑二個美國人排成一列﹐同國籍不相鄰有____________種排法﹒

解答 240

解析同上題AAJJCC全取排成一列，再把人排入 6! 3 5! 2! 3 4! 2! 2! 1 3! 2! 2! 2!            240﹒

27. 自一副撲克牌中﹐一次取出四張﹐恰為二對（如：AA33）的情形有____________種﹒

解答 2808

解析先選點數(C¹³₂ )，再選花色(C C⁴₂ ⁴₂ )C¹³₂ C⁴₂C⁴₂2808.

28. 設圖中﹐A﹑B﹑C三點共線﹐D﹑E﹑F三點共線﹐

(1)決定直線_____________條﹒

(2)利用這六點中的3個點作頂點﹐所形成的三角形共有____________個﹒

解答 (1)11; (2)18

解析 (1)C⁶₂C³₂ 1 C³₂ 1 15 2 2 11   ﹒ (2)C⁶₃C³₃C³₃20 1 1 18   ﹒

29. 一列火車從第一車到第十車共有十節車廂﹐要求其中三節准許吸菸的車廂﹐兩兩不相銜接﹐則共有____________種指定方法﹒

解答 56

解析 □□□□□□再將三個”菸”排入8個空隙

8 3 8

3

8 7 6 3! 3 2 1 56 P C    

  ﹒

30. 從男生7人﹐女生5人中任選五位擔任福利委員﹐若規定男女生各至少2人﹐則有____種選法﹒

解答 560

解析男3女2+男2女3

所求為 ⁷₃ ⁵₂ ⁷₂ ⁵₃ ^{7 6 5} ^{5 4} ^{7 6} ^{5 4 3} 3 2 1 2 1 2 1 3 2 1 C C C C          

      35 10 21 10 560﹒

31. 已知平面上有11個相異點﹐若任意連接兩點﹐則形成48條不同的直線﹐則其中含有3個相異點以上的直線有____________條﹒

解答 2

解析設3點共線x條﹐4點共線y條﹐

(6)

11 3 4

2   2  2  48

C x C y C x y 55 3 x6y  x y 482x5y  7 x 1,y1,

∴含3個相異點以上的直線共有2條﹒