單選題(每題0分)
1.袋中有六個乒乓球，分別編號為1，2，3，4，5，6。每次自袋中隨機抽取一球，然後將袋中編
號為該球號碼之因數或倍數者一併自袋中取出（例如第一次抽中2號球，則將1號、2號、4號 、 6號四球皆取出），再進行下一次的抽取。試問最後一次抽取時，袋中只剩5號球的機率是多少
(A)18 7 (B)
18 9 (C)
18 11 (D)
18 13 (E)
18 15
【解答】(A)
【詳解】
依據題意抽球號碼為2，3，4，6
第一次抽2號，第二次抽3號 6 1 ．
2 1
12 1
第一次抽3號，第二次抽2號或4號 6 1 ．
3 1 ．2
9 1
第一次抽4號，第二次抽3號或6號 6 1 ．
3 1 ．2
9 1
第一次抽6號，第二次抽4號 6 1 ．
2 1
12 1
∴ 所求機率 12
1 9 1
9 1
12 1
36 14
18 7
2.某班有48名學生，某次數學考試之成績，經計算得算數平均數為70分，標準差為5分。後來發
現成績登錄有誤，某甲得80分，卻誤記為50分，某乙得70分，卻誤記為100分，更正後重算 得標準差為S1分，試S1與S之間，有下列那種大小關係？
（n個數值x1，x2，…，xn的標準差公式為S
n
i xi x
n 1
__ 2
) 1 (
n
i xi x
n 1
__2
1 2 ，而__x
n
i xi
n 1 1
）
(A) S1 S 5 (B) S 5 S1 S (C) S1 S (D) S S1 S 5 (E) S 5 S1
【解答】(B)
【詳解】
48 1
i xi 48 70 50 50 80 100 70 48 70 ∴ __x 70
48 1
2
i xi 48(702 S2 ) 502 1002 802 702 48(702 S2 ) 1200 而S12
48
1 [ 48( 702 + S 2) 1200 ] 702 S2 25 S 2
∴ S1 S
又S 2 S12 25 S12 10S1 25 (S1 5)2
S S1 5 S 5 S1 ∴ S 5 S1 S
【說明】本題用龍騰版母群體標準差公式S
n
i xi x
n 1
__2
1 2 ，龍騰版樣本標準差、康熙、南一版公
式為
S
n
i xi x
n 1
__ 2
) 1 (
1 ( )
1 1
1
__2
2
n
i xi nx
n
3.某恆星系統中有甲、乙兩行星，假設兩者公轉軌道在同一平面上，且以恆星為圓心的同心圓。某 時，甲行星在恆星與乙行星之間而成一直線。今在該平面上設定一坐標系如下圖。已知兩行星皆 以逆時針方向運行，且公轉之週期為2：7。試問下一次甲行星再度在恆星與乙行星之間而成一 直線時，應該是下面那一種狀況？
(A)行星在第一象限 (B)行星在第二象限 (C)行星在第三象限 (D)行星在第四象限 (E)行星 在正x軸上
【解答】(B)
【詳解】
∵ 甲乙二行星公轉的週期比為2：7
∴ 甲乙二行星的角速度比為 2 1 ：
7
1 7：2
設甲行星轉 角度時與乙行星共線
7
2 2 5
14 2 5
4 落在第二象限
4.設H為銳角三角形ABC的垂心（三高之交點），若以c表線段AB之長，則線段AH 之長等於：
(A) ccosA sinC (B) ccosA cosC (C) ccosA tanC (D) ccosA secC (E) ccosA cscC
【解答】(E)
【詳解】
如上圖CDHE四點共圓 ∴ ∠AHE ∠C
∴ AH AE cscC ccosAcscC 複選題(每題0分)
5.設a為一非零實數，試問方程式x3 x2 x a 0的根可能的情形為何？
(A)有三個負根 (B)有兩個負根和一個正根 (C)有一個負根和兩個正根 (D)有三個正根 (E)
僅有一個實根
【解答】(B)(C)(E)
【詳解】
將方程式x3 x2 x a 0改為方程組
x x x y
a y
2 3
令y f(x) x3 x2 x f (x) 3x2 2x 1 ( x 1)(3x 1)
∴ f(x) 在x 1時，遞減；f(x) 在 ( 1，
3
1) 時，遞增
f(x) 在x 3
1 時，遞減
∴ y f(x) 在x 1時，有最低點 ( 1，1) 在x
3
1 時，有最高點 ( 3 1，
27 5 )
將y f(x) 的圖形畫出來，討論y f(x) 與y a的交點數
a 27
5 或a 1時，恰有一實根
0 a 27
5 時，有二正根一負根
1 a 0時，有一正根二負根
6.有一4階方陣，其中每一 (i，j) 元不是0就是1，則其秩可能是 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
【解答】(A)(B)(C)(D)(E)
【詳解】
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
秩為0，
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
秩為1，
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
秩為2
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
秩為3，
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
秩為4
填充題(每題0分)
7.已知從點 (1，2，2) 到球面x2 y2 z2 1所作所有切線的切點都會在同一平面上，則此平面之
方程式為 。
【解答】x 2y 2z 1
【詳解】
A(1，2，2)，球心 O(0，0，0)
以AO為直徑的球面為x(x 1) y(y 2) z(z 2) 0
x2 y2 z2 x 2y 2z 0
∴ 切點所在的平面為(x2 y2 z2 1) (x2 y2 z2 x 2y 2z) 0
x 2y 2z 1 0 8.設 ( p，0) 為橢圓
1 4
2
2 y
x 1的長軸上一定點，且0 p 2
3 。若點 (a，b) 為橢圓上距離 ( p，0)
最近之點，則a 。（以p的函數表示）
【解答】3 4 p
【詳解】
設P(p，0)，Q(a，b) 4
a2 b2 1
PQ2 (p a)2 b2 (p a)2 1 4
a2 p2 2ap 4 3 a2 1
4 3 (a2
3 8 ap (
3
4 )2) 1 3 1 p2
4 3 (a
3
4 )2 1
3 p2
1 3 p2
4
1 （∵ 0 p 2
3 ∴ 4 1 1
3
p2 1）
等號成立於a 3
4 p時 ∴ 當a 3
4 p時，PQ有最小值
9.設ABCD為一四面體，而ABAC AD 1，∠DAB ∠DAC ∠BAC 30，則△BCD的面積 為 。
【解答】 4 3 3 2
【詳解】
BC2AB2 AC2 2AB．AC ．cos30 1 1 3 2 3
△BCD為正三角形，其面積為
4
3 (2 3)
4 3 3 2
10.某甲在股票市場裡買進賣出頻繁。假設每星期結算都損失該星期初資金的1％，而第n星期結束
後資金總損失超過原始資金的一半，則n最小為 。
（已知log102 0.3010，log103 0.4771，log1011 1.0414）
【解答】69
【詳解】
每星期剩餘資金為原資金的0.99
∴ (0.99)n 0.5 n log 100
99 log 2 1
n ( 2log3 log11 2 ) log 2 n ( 0.0044 ) 0.3010
n 44
3010 68.4 ∴ n 69
11.設實係數二次方程式x2 x c 0的兩根a，b都不是實數，而且
a 1 ，
b
1 也是此方程式的兩根，
則a2 b2的數值為 。
【解答】1
【詳解】
利用根與係數的關係
b c b a
a
b b a
a
1 1
1 1 1
．
．
1
1 ab
b a
a2 b2 ( a b )2 2ab ( 1)2 2 1 計算題(每題0分)
12.設A(4，4)，B(2，1) 為xy平面上兩點，而直線y ax b 與線段AB相交。作一圖，以a為橫坐 標、b為縱坐標。將數對 (a，b) 的範圍表示出來。
【解答】【詳解】
A( 4，4 )，B( 2，1)
∵ 直線ax y b 0與線段AB相交
∴ A，B兩點必在直線的兩側
∴ (4a 4 b)(2a 1 b) 0
∴ (4a b 4)(2a b 1) 0 其圖形如下
13.設曲線y x3 ax2 bx c之圖形如下圖，且與y 0在原點相切。若此切線與曲線所圍的區域
（圖中斜線部分）的面積為3，試求常數a，b，c之值。
【解答】(a，b，c) ( 6，0，0)
【詳解】
∵ y x3 ax2 bx c與y 0相交於 (0，0，0)
∴ b c 0
y x3 ax2與x軸交於 (0，0)，( a，0)兩點
∴ 所求區域面積為
0a ( x3 ax2 ) dx
3 4
4 ax
x
a
0
4 a4
3 a4
12 a4 3
a4 36 a2 6
∵ a 0 ∴ a 6 ∴ 數組為 ( 6，0，0 )
