§1 － 3 連續函數
1. 判斷下列各函數是否到處連續:
(1)f(x)=ïx2-x-2ï (2)g(x)=sin(2x- 3
) (3)h(x)= 4x3 (4)p(x)= xx2 -x
2
3 (5)q(x)= 23 21
- x x
x
2. 下列哪些函數在閉區間[0,1]上連續?
(1)f(x)=2x5-7x2+3x+4 (2)g(x)=2x (3)h(x)=log2x (4)p(x)=
2 3
2 2
- -
-
x x
x
x (5)q(x)=
1 2
1
2 2
-
x x
x
3. 判斷下列函數在所給區間中，是否有最大值與最小值?
(1)f(x)=x3-7x2-5x+4，xÎ[0,100]。 (2)g(x)= 22 -56
x x
x ，xÎ[-1,1]。
(3)h(x)=sinx，xÎ(0,2)。 (4)p(x)=[x]，xÎ(0,2)。
(5)q(x)=x2-2x-1，xÎ(-1,2)。
4. 判斷方程式xsinx=7是否有實數解。
5. 方程式2x3-4x2-2x+3=0的實根在哪些相鄰整數之間。
6. 方程式2x3-4x2-2x+3=0在0與1之間恰有一實根，試求此根之近似值，
使誤差小於161 。
【解答】
1.(1)是 (2)是 (3)否 (4)否 (5)是 2.(1)是 (2)是 (3)否 (4)是 (5)否
3.(1)有最大值、有最小值 (2)有最大值、有最小值
(3)有最大值、有最小值 (4)有最大值、有最小值 (5)沒有最大值、有最小值
4.有實數解。
5.原方程式在區間(-1,0)、(0,1)、(2,3)中，各恰有ㄧ根。 6.1613
1. 判斷下列各函數是否到處連續，如果不是到處連續，請說明該函數是在哪 些點不連續?
(1)f(x)=xïx-1ï+2 (2)g(x)=ïsinxï (3)h(x)= 1-x2
(4)p(x)=x+ 1x (5)q(x)=x[x]([x]表高斯符號)
2. 設k為一定數，欲使函數f(x)=
-
0 ,
0 ,2
2
k x x
x x
，為一連續函數，則k值為何?
3. 判斷下列函數在所給區間中，是否有最大值與最小值。
(1)f(x)=x10+x-1，xÎ[-1, 2]。 (2)g(x)= 2x3-1 ，xÎ[0,1]，x¹ 12 。 (3)h(x)=xsinx，xÎ(0,2)。 (4)p(x)=log(x+1)，xÎ(0,1)。
4. (1) 設f(x)= 1x ，因f(-1)=-1<0，f(1)=1>0，由條件f(-1)×f(1)<0能不能
推斷方程式f(x)=
x
1 =0在[-1,1]內有一個實根c？
(2) 判斷方程式x3+3x-2=0在[0,1]內是否有一個實根?
(3) 設f(x)=[x]，因f(1)=1，f(3)=3，所以在[1,3]內存在有一個c，
使得f(c)=[c]=2.5，此命題是否正確?
5. 試找出下列方程式所有實根的位置，各在哪些相鄰整數之間。
(1)x3+3x2+4=0(一實根)
(2)2x4+8x3+11x2-4x-6=0(二實根)
6. 方程式2x3-4x2-2x+3=0在-1與0之間恰有一實根，試求此根之近似值，並 使誤差小於161 。
7. 設函數f(x)=
1 2 3
2 2
- x
x
x ，
(1)試問函數f在哪些位置不連續？
(2)試問函數f在區間[0,2]哪些上是否有最大值?是否有最小值？
(3)試問是否有一實數a，使得f(a)=a？
(4)試問在開區間(0,2)內是否有一實數a，使得f(a)=a？
【解答】
1.(1)是 (2)是 (3)否，當x1 或 x 1時，h(x)不連續。
(4)否，當 x ¹0 時，p(x)不連續。
(5)否，當x為不為0的整數時，q(x)不連續。
2.k=-2
3.(1)有最大值、有最小值 (2)沒有最大值、沒有最小值 (3)有最大值、有最小值 (4)沒有最大值、沒有最小值 4.(1)不能 (2)是 (3)不真確
5.(1)在區間(-4,-3)內有ㄧ實根 (2)在區間(-1,0)與(0,1)內各有ㄧ實根 6.-1615
7.(1)f(x)在實數集合R上的每ㄧ點都連續。
(2)f(x)在區間[0,2]上有最大值、也有最小值。 (3)是 (4)是
