PPT 河內塔 (Tower of Hanoi)

數學遊戲一 河內塔

( Tower of Hanoi)

河內塔 ( Tower of Hanoi )

 法國數學家 Edouard Lucas 在 1883 年所提出

 傳說在古老的印度，有一座神廟，據說它是宇宙的中心。

在廟宇中放置了一塊上面插有三根長木樁的木板，在其中 的一根木樁上，從上至下被放置了 64 片直徑由小至大的 盤子。古印度教的天神指示祂的僧侶們將 64 片的盤子移 至三根木樁中的其中一根上。它們可以根據底下的規則由 一個位置搬移到另外一個位置：

一次只能移動一個盤子。

大盤子永遠不能放在小盤子的上面。

這一疊盤子可以藉由另外一根木樁移到另外一個位置。

 直到有一天，僧侶們能將 64 片的盤子依規則從指定的木 樁上全部移動至另一根木樁上，那麼，世界末日即隨之來 到，世間的一切終將被毀滅，萬物都將至極樂世界！

河內塔 (Tower of Hanoi)

1.

移動盤子 1 從木樁 A 到木樁 B

2.

移動盤子 2 從木樁 A 到木樁 C

3.

移動盤子 1 從木樁 B 到木樁 C

 總共需要 3 = 2²-1 次 N = 2

1.

2.

3.

A B C

河內塔 (Tower of Hanoi)

1. 移動盤子 1 從木樁 A 到木樁 C

2. 移動盤子 2 從木樁 A 到木樁 B

3. 移動盤子 1 從木樁 C 到木樁 B

4. 移動盤子 3 從木樁 A 到木樁 C

5. 移動盤子 1 從木樁 B 到木樁 A

6. 移動盤子 2 從木樁 B 到木樁 C

7. 移動盤子 1 從木樁 A 到木樁 C

 總共需要 7 = 2³-1 次

N = 3

1 .

2 .

3 .

4 .

5 .

6 .

7 . A B C

河內塔 (Tower of Hanoi)



規律（假設 A 是來源木樁， C 是目的木樁，

B 是暫時存放的木樁）



先將 1 至 (n-1) 號盤子從 A 經由 C 搬至 B



將第 n 號盤子由 A 搬至 C



再將 1 至 (n-1) 號盤子從 B 經由 A 搬至 C



亦即將搬 n 個盤子的動作分解成三大步



第一步  搬動 n-1 個盤子



第二步  搬動一個盤子（第 n 個）

河內塔 (Tower of Hanoi)



最少搬動次數為何 ?

 假設至少須 T(n) 次的移動來完成

最少的總移動次數 T(n) = T(n-1) + 1 + T(n-1)

 T(n) = 2ⁿ-1

搬動 64 個盤子需要的次數 2⁶⁴-1 =18,446,744,073,7 09,551,615

≒ 1.84x10¹⁹

若每秒搬一次，則總共需 584,942,417,355 年，

大約是 5850 億年，這是非常非常遙遠的事，科學

家估計地球約已存在 2,000,000,000 年，也沒有一 種生物能活這麼久，所以我們大可放心的睡覺。