第一章數列級數

~1−1−1~

第一章數列級數

§1 − 1 ^{數列與數學歸納法}

(甲)數列的意義 (1)名詞與記號：

在日常生活裡，常會遇到一連串依序呈現的數，例如：

(1°)舒嫻種了一些綠豆，每天觀察發芽的情形，下表為這些綠豆芽的觀察紀錄：

天數 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 綠豆芽的平均高度(公分) 0.2 1.1 2.2 3.8 4.6 7.3 9.2 (2°)小舒將 1 萬元存入銀行，依據年利率 3%複利計算，則第 1、2、3、4、5 年 底的本利和為 1×(1.03)¹,1×(1,03)²,1×(1,03)³,1×(1,03)⁴,1×(1,03)⁵ (萬元)

觀察上面一連串的數，可以發現它們都是等比數列。

(3°)把 7

1化成小數是 0.142857142857…，它是一個循環的無限小數。小數點以 後的數字依序排列如下：1 , 4 , 2 , 8 , 5 , 7 , 1 , 4 , 2,…。

觀察前面例子(1)，(2)，(3)中，可以列出一連串依序排列的數：

(1) 0.2 , 1.1 , 2.2 , 3.8 , 4.6 , 7.3 , 9.2

(2) 1×(1.03)¹、1×(1,03)²、1×(1,03)³、1×(1,03)⁴、1×(1,03)⁵ (3)1 , 4 , 2 , 8 , 5 , 7 , 1 , 4 , 2 ,…

像這樣將一系列的數依序排列出來，就稱為數列．數列中的每一項稱為數列的 項，數列中第一個數稱為第一項或首項，第二個數稱為第二項，依此類推。

一個數列若只有有限多項，我們稱此數列為有限數列；否則就稱它為無限數列。

前例中，數列(1)是有限數列，最後一項是 9.2，簡稱末項；數列(2)也是有限數 列，而數列(3)是無限數列。

(2)數列的表徵 (a)列舉型：

把數列中每一項都列舉出來，例如：<3,−1,3,4,−2>或 是把數列的開頭幾項列出 來，讓人家能看出它的通則，其餘以「…..」來代替。例如：<1,1

2 , 1

3 ,….>。 (b)概括型：

假 定 問 題 只 牽 涉 到 數 列 的 概 念 ， 而 對 於 各 項 為 何 並 不 去 探 究 時 ， 我 們 常 以

<an>,<bn>,<cn>分別代表一些不同的數列，通常以 a_n ^l_n=1代表有限數列， a_n ^∞_n=1表 示無限數列。[∞：無限大]

(c)n 項型：若討論的數列其各項間有一定的規則存在，且這種規則與「項數」

有某些關聯(即這種規則可用項數 n的函數來描寫)。即

第 k 項 a_k與項數 k之間的函數關係可以用一個代數式來表示，這個式子就稱為 數列＜an＞一般項的通式。

例如：<an>=<1,4,7,10,….>，an=1+(n−1)×3=3n−2，故<an>=<3n−2>

(練習1) 找出下列各數列的第 n 項：

(1)<1,1,3,3,5,5,…..> (2)< 2 −1,1, 2+1 ,3+2 2 ,….>

(3)<− 1 1×3 , 1

2×5 ,− 1 3×7 , 1

4×9 …>(4)< 2

1×3 , 4

3×5 , 8

5×7 , 16

7×9 , … >

(5)<1 1 ,

1 3 ,

1 6 ,

1

10 , …. >(6)<5, 2 3 +

3 2 ,

2 9 +

3 4 ,

2 27 +

3

8 , …. >

Ans：(1)n−¹⁺⁽₂⁻¹⁾ⁿ (2)( 2 +1 )ⁿ⁻² (3) (−1)ⁿ n(2n+1) (4)

2ⁿ

(2n−1)(2n+1) (5) 2 n(n+1) (6) 2

3ⁿ⁻¹ + 3 2ⁿ⁻¹

(練習2) 數列<1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…..>之第 200 項為 。 Ans：20 (乙)數列的規則⎯遞迴關係

數列常常都會隱藏著一些規律，此處來討論各項之間有一些特定關係的數列：

觀察兩個數列〈ak〉，〈bk〉，其中

a_k＝3k＋2 ，〈3k＋2〉：5， 8，11，14，17， 20，…。

bk＝3‧2^k ，〈3‧2^k〉：6，12，24，48，96，192，…。

可以發現：

〈a_k〉為首項為 5，公差為 3 的等差數列，即 a1=5，a_n−a_n−1=3 (n≥2) 這個數列的規則可以用

⎩⎨

⎧

≥ +

=

=

− 3( 2)

5

1 1

n a

a a

n n

來表示。

〈b_k〉為首項為 6，公比為 2 的等比數列，即 b1=6， b_n

b_n−1=2 (n≥2) 這個數列的規則可以用

⎩⎨

⎧

≥

⋅

=

=

− ( 2) 2

5

1 1

n b b

b

n n

來表示。

像這樣描述相鄰項或相鄰幾項之間關係的式子：

⎩⎨

⎧

≥ +

=

=

− 3( 2)

5

1 1

n a

a a

n n

或⎩⎨⎧

≥

⋅

=

=

− ( 2) 2

5

1 1

n b b

b

n n

稱為該數列的遞迴關係式，具有遞迴關係式的數列稱為遞迴數列。

(練習3) 設數列<an>的遞迴關係式為

⎩⎨

⎧

≥ +

=

=

− 2 ( 2)

3

1 1

n n a

a

a

n n

，試求 a2、a3、a4的值。

Ans：a2=7、a3=13、a4=21

~1−1−3~

除了等差數列與等比數列之外，還有許多數列各項之間隱藏著遞迴關係。

考慮下列一系列的圖形：

第一個圖是邊長為 1 單位長的正方形，於各頂點與對角線的交點畫上綠點；第 一個圖中以對角線交點為中心，將圖中四個頂點往外伸長，拓展成邊長為 2 單 位長的正方形，在此正方形各邊每隔 1 單位長畫上綠點形成第二個圖，….，第 n−1 個圖形是邊長(n−1)單位長的正方形，以對角線交點為中心，將四個頂點往 外伸長，拓展成邊長為 n單位長的正方形，在此正方形各邊每隔 1 單位長畫上 綠點形成第 n 個圖。

設第 n個圖形中共有 an個綠點，試求數列<an>的遞迴關係式。

[解法]：

根據第一個圖可知 a1＝1＋4。比較第一個圖與第二個圖：

第二個圖外圍多了一個邊長為 2 的正方形，此正方形上的綠點將周長分成 8 等 分，因此多了 8個綠點，故 a2＝a1＋8。

比較第二個圖與第三個圖：

第三個圖外圍多了一個邊長為 3 的正方形，此正方形上的綠點將周長分成 12 等分，因此多了 12 個綠點，故 a3＝a2＋12。

根據綠點生成的規則，可知第 n−1個圖外圍多了一個邊長為 n的正方形，

( 如下圖所示 )，此正方形上的綠點將周長分成 4n等分，因此多了 4n 個綠點，

故可得數列〈an〉的遞迴關係式：

⎩⎨

⎧

+

=

=

− n

a a

a

n

n 4

5

1

1 。

第 ( n－1 ) 個圖 第 n 個圖

底下我們利用例題一，來討論如何根據遞迴關係式，求出任何一個圖形中點的 個數，並找出數列一般項的通式。

[例題1] 設數列＜a_n＞的首項a1=5且滿足遞迴關係式：a_n=a_n−1 +4n，n≥2

(1)利用遞迴關係式求a100的值。

(2)試求數列＜an＞一般項的通式。

[解法]：

(1)直接使用遞迴關係式：an=an−1 +4n，可以從a1逐次算出a2、a3、…、a100， 我們可以利用計算機寫個簡單的程式算出a100。

下面我們介紹二個方法，來求a100： (1°)觀察a1 , a2 , a3 , a4歸納數列的規則：

a1=5=1+4=1+4×1 a2=13=1+12=1+4×(1+2) a3=25=1+24=1+4×(1+2+3)

a4=41=1+40=1+4×10=1+4×(1+2+3+4)

…..

因此我們可以歸納出a100=1+4×(1+2+3+…+100)= 1+4×(1+100)×100

2 = 20201。

(2°)利用遞迴關係式：

an=an−1 +4n，n≥2 中的n值分別代入2,3,4,…,100，可得

100 4

99 4

3 4

2 4

99 100

98 99

2 3

1 2

× +

=

× +

=

× +

=

× +

=

a a

a a

a a

a a

M

將上述99個等式累加可得

a100=a1+4×(2+3+…+100)=5+4×(2+100)×99

2 = 20201。

(2)根據(1)中的想法

(1°)觀察數列＜a_n＞的規則，可得一般項

a_k=1+4×(1+2+3+…+k)= 1+4×(1+k)×k

2 = 2k²+2k+1。

(2°)將遞迴關係式an=an−1 +4n，n≥2 中的n值分別代入2,3,4,…,k，可得

k a

a

k a

a

a a

a a

k k

k k

× +

=

−

× +

=

× +

=

× +

=

−

−

−

4 ) 1 ( 4

3 4

2 4

1 2 1

2 3

1 2

M

將上述k−1個等式累加可得

a_k=a1+4×[2+3+…(k−1)+k]=5+4×(2+k)×(k−1)

2 = 2k²+2k+1。

上例中根據數列的遞迴關係式，可以求出數列各項的值或求出數列一般項的通 式，但有些數列的一般項 a_k不容易求得通式，而遞迴關係式反而比較容易觀察 出來。

接下來，我們再介紹二個著名的例子：

~1−1−5~

[例題2] 相傳在創世紀時代，河內(Hanoi)的一座寺廟中豎立著三根銀棒，有64個大 小都不同的金盤(金盤正中央有一個小孔)「大盤在下，小盤在上」依序套在 同一根銀棒上。造物主命僧侶把64個金盤全部移到另外一根銀棒上，並且規 定：每一次只能移動一個金盤，在移動過程中，較大的金盤不可套在較小的 金盤上。當金盤全數搬完，世界末日將降臨，忠誠者得到好報，不忠者受到 懲罰。令a_n表示搬完n個金盤所需最少的次數，

(1)試求a1 , a2 , a3。

(2)若已知a5的值，如何利用a5求a6的值呢？

(3)試找出a_n−1與a_n的關係。

[解法]：

(1)嘗試用大小不同的銅板在桌上操作，很容易可得 a1=1，a2=3。

而n=3時，參考下圖：所以a3=a2+1+a2=2a2+1=7

若要將A銀棒上的3個金盤，搬到C銀棒，上圖中所代表的想法是：

先將A銀棒上最大的金盤搬到C銀棒，想要完成這件事，就必須將上面兩個 金盤先搬到B銀棒，最少要搬a2次，再將最大的金盤搬到C銀棒，這只需 要1次，最後再將B銀棒上的2個金盤，搬到C銀棒，最少要搬a2次，因 此a3=2a2+1。

(2)利用a5來求a6：

已知將A銀棒上的5個金盤，搬到C金盤最少需要搬a5次，接下來

若要將A銀棒上的6個金盤，搬到C金盤，如同(1)中的想法，可以分成三個 步驟求a6：

步驟(一)：將A銀棒上面的5個金盤，移到B銀棒上。(最少要搬a5次) 步驟(二)：將最大的金盤搬到C銀棒上。(需要搬1次)

步驟(三)：將B銀棒上的5個金盤，搬到C銀棒。(最少要搬a5次)

所以a6=a5+1+a5=2a5+1。因此不管我們用什麼方法知道a5的值，透過關係式 a6=2a5+1就可以求出a6的值。

(3)找出an−1與an的關係：

回顧前面兩小題的想法，它們都有一個共同的規則：

用a2可以推導a3；用a5可以推導出a6。

因此若已知搬n−1個金盤到另一個銀棒的最少次數a_n−1時，

可以利用前面提出的步驟來推導出an：

步驟(一)：將A銀棒上面的n−1個金盤，移到B銀棒上。(最少要搬an−1次) 步驟(二)：將最大的金盤搬到C銀棒上。(需要搬1次)

步驟(三)：將B銀棒上的n−1個金盤，搬到C銀棒。(最少要搬an−1次) 所以an=an−1+1+an−1=2an−1+1。因此數列＜an＞具有底下的遞迴關係式：

a_n=2an−1+1。

[例題3] 義大利數學家費布那西(Fibonacci,1170~1250)曾經提出一個有趣的問題：一對 兔子出生後，兩個月就能生小兔子，以後每個月都恰好生一對小兔子(一雌一 雄)，開始時假如養了初生的小兔子一對，試問一年後共有幾對兔子？(假設 兔子都不會死)

[解法]：

設第n個月兔子有Fn對，依題意可知F1=1，F2=1

第三個月：大兔子開始繁殖，生了一對小兔子，共有2對兔子(一大、一小)。

第四個月：大兔子又生了一對小兔子，而上個月出生的小兔子變成大兔子，

共有3對兔子(二大,一小)。

第五個月：兩對大兔子各生了一對小兔子，上個月出生的小兔子變成大兔子，

共有5對兔子(三大,二小)。

從上述的過程，可以發現數第n個月的兔子對數，可以分成兩類：

(1°)第n−1個月的兔子對數Fn−1，

(2°)第n個出生的小兔子，它的數量恰是第n−2個月的兔子對數Fn−2。 所以Fn=Fn−1+Fn−2

所以數列＜Fn＞具有下列的遞迴關係式：

故第十二月共有144對兔子。

我們稱數列＜Fn＞：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…(前兩項和等於後項)為費布那西數 列，簡稱為費氏數列。

從探討河內塔問題與兔子問題，可知透過建立數列的遞迴關係式，逐步由前幾 項算出數列中任何一項的值，通常處理有關遞迴數列的問題可以考慮以下步驟：

(a)依據條件構造一個遞迴數列＜an＞。

(b)建立相鄰幾項之間的遞迴關係式。

最後再根據(a)(b)去找出問題的答案，這種處理問題的方法稱為「遞迴方法」，

它常應用在計算機科學、遊戲等許多領域。

[例題4] 設ΔABC是邊長為1的正三角形。將三邊分別三等份，取中間段為一邊向外 側作一個正三角形，並且將中間這一段擦去，其次將剩下的每一邊再三等份，

取中間段為一邊向外作正三角形，再將中間這一段擦去。依此程序繼續下去，

得到一系列的圖形，這種自我複製的圖形，稱為碎形。試求 (a)第6次之碎形的周長。(b)第n次的周長。

[解答]：

~1−1−7~

圖一 圖二 圖

三

(1)構造數列{an}：設a_n代表第n個碎形的周長，列表計算，

仔細觀察、歸納，發現規則：

(2)建立遞迴關係式：

(練習4) 給定數列{an}：1,3,6,10,15,21,…，找出 an前後項之間的關係。

(練習5) 設數列〈a_n〉的首項 a1＝1，且滿足遞迴關係式：

an＝an^－1＋( 2n＋1 )，n≥2。

(1) 利用遞迴關係式，求 a10的值。

(2) 試求數列〈an〉一般項的通式。

Ans：(1)a10=118 (2)an=n²+2n−2

(練習6) 設△ABC 為邊長 1 的正三角形，取三邊中點並兩兩連線，將△ABC的面積 四等分，得到三個直立的正三角形，和一個倒立的正三角形(如圖)，將倒 立的正三角形移走。其次將剩下的三個直立的正三角形，依照相同的方法 分割，並移去其中的倒立正三角形，…。設第 n次移走倒立正三角形後，

所剩下的面積為 Sn，前 n 次被移走之三角形周長和為 Tn。

(1) 以遞迴的方式定義S_n。 (2) 求S₅。(3) 以遞迴的方式定義 T_n。

Ans：(1) ₁ 3 3

S = 16 ， 3 ₁ 4

n n

S = S ₋ ，n≥2 (2) 3 0.10276 4096

243

5 = ≈

S

(3) 2 3

1 =

T ，T_n T_n )ⁿ 2 (3

1 +

= ₋ , n≥2

(練習7) 設在一排 n(n≥2)個格子中，每格各填入一個數字“0”或“1”，則任意

兩個“1”都不相鄰的填法有 a_n種。

(1) 試求出 a2 , a3 。(2) 試建立

a

⎩⎨

⎧

=

= 5 3

3 2

a

a 。(2) an =an₋₁+an₋₂，(n≥3)。(3) a₁₂ =377 。

[提示：將所有狀況分三種：(a)第一格填 0 (b) 第一、二格依序填 0，1

(c) 第一、二格依序填 1，1。]

‹ 遞迴數列一般項通式的求法：

[例題5] 將正奇數1,3,5,7,9,…,依序排列，第一列為1，第2列為3,5，第3列為

7,9,11，….，以此類推，設第n列最左邊的數為a_n，

試求(1)數列<an>的遞迴關係式。(2) 數列<an>的一般項 Ans：(1)

⎩⎨

⎧

≥

− +

=

=

− 2( 1) 2

1

1 1

n n

a a

a

n n

(2)an=n²−n+1

[例題6] 遞迴數列<an>的定義如下：

⎩⎨

⎧

≥

×

=

=

+ 2 1

2

1 1

n a a

a

n n n

，試求數列<an>的一般項。

Ans： ²

2 2

2 ^{− +}

=

n n

an

1 3 5 7 9 11

……

~1−1−9~

[例題7] 遞迴數列<an>的定義如下：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

×

=

=

− 2

3 2

1

1 1

n a a

a

n n

，試求數列<an>的一般項。

Ans：an=15−14×( 2 3 )ⁿ⁻¹

(練習8) 遞迴數列<an>的定義如下：

⎩⎨

⎧

≥ +

=

=

+ 3 1

2

1 1

n n a a

a

n n

，試求數列<an>的一般項。

Ans：a_n=3n²−3n+4

2

(練習9) 平面上 n 條直線，任兩條都不互相平行，而且任三條都不共點，試問這 n 條直線把平面分割成多少個互不重疊的區域。

(1)構造數列<an>：設 n 條直線將平面分割成 an個互不重疊的區域，

列表計算，仔細觀察、歸納：

n條直線 1 2 3 4 ……

分隔區域 an

(2)建立關係式：

(3)試求數列<an>的一般項的通式。

Ans：(2)關係式：an=an−1+n (n≥2) (3)an=n²+n+2

2 (n≥2)，a1=1

(練習10) 數列<an>滿足 a1=3，且 an+1+1=2(an+1)，試求(1)a10 (2)前 10 項的和。

Ans：(1)2¹¹−1 (2)4082

(練習11) 遞迴數列<a_n>的定義如下：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥ + ×

=

=

+ 2 1

4

1 1

n n a

a n

a

n n

，試求數列<a_n>的一般 項。Ans：a_n =2n(n+1)

(練習12) 若數列<an>的各項都可以先加 4再乘上 3得到下一項，且第一項為 2，

試求：(1)a4 (2) 數列<a_n>的一般項。

Ans：(1)210 (2)an=8×3ⁿ⁻¹−6

(丙)數學歸納法

‹ 觀察歸納臆測的結果不一定正確

由河內塔問題中，我們建立了遞迴關係式 an=2an−1+1 與 a1=1，將數列＜an＞前 幾項列表如下：

n 1 2 3 4 5 6

an 1=2¹−1 3=2²−1 7=2³−1 15=2⁴−1 31=2⁵−1 63=2⁶−1 從上表可以歸納出 a_k=2^k−1，這個通式是由前 6 項的結果歸納出來的規則，我們 不禁要問：

「一般項 a_k=2^k−1，對於所有的自然數 k是否都成立呢？」

我們可以保證前幾項的規則都能使得數列中的每一項都符合這個規則嗎？

[例題8] 小舒在數學習作中見到一個數列＜an＞，其中an=n²+n+41，他將n=1,2,3,4…,10 的值列表如下：

(1)根據上表，n=1,2,3,…,10時，a_n=n²+n+41都是質數嗎？

(2)根據(1)小舒歸納出猜想：「當n是任意自然數時，an=n²+n+41都是質數。」

試問這個猜想正確嗎？如果不成立，請舉出反例。

根據上面的討論，我們很容易可以得知，n=41 時，a41=41×43 不是質數，因此 根據有限項歸納的規則不一定正確。

雖然歸納的結果不一定正確，但是「歸納法」是人類探索自然常用的一種方法，

透 過 觀 察(紀 錄 、 比 對)歸 納 出 結 論 。 並 在 這 個 結 論 上 進 一 步 提 出 臆 測(或 稱 猜 想)，這種歸納臆測的方法，往往提供發現真理的契機。故

觀察→歸納→臆測→驗證

一直都是人類發現問題、解決問題的一個重要過程。如何驗證猜想的正確性呢？

‹ 驗證觀察歸納臆測的結果

重新考慮河內塔問題中的所成的數列＜an＞，它滿足遞迴關係式：a_n=2an−1+1，

n≥2 且 a1=1， 經 由 觀 察 歸 納 得 到 一 般 項 an=2ⁿ−1 的 猜 想 ， 即 使 我 們

n=1,2,3,…,10000代入都正確，但是自然數有無限多個，如何驗證這個結論對於

所有的自然數 n是否都成立呢？

若以 P(n)來表示「an=2ⁿ−1 」這個式子

當 n=1,2,3 時，經由遞迴關係式與 a1=1，可得 a2=3、a3=7，因此 P(n)都是正確

的，而 n=4,5,6…有無窮多個自然數，不可能一個接著一個去驗證 P(n)是否正

確。必須找一套有效的方法，來處理這種涉及到無限多個自然數的問題。

~1−1−11~

若假設 n=k 時，P(k)是正確的，在這個基礎上，嘗試去推導 n=k+1 時，P(k+1) 也是正確的。

若假設 n=k時，ak= 2^k−1 則 n=k+1時，

因為 ak+1=2ak+1，

所以 a_k+1=2．(2^k−1)+1=2^k+1−2+1 =2^k+1−1 所以 n=k+1 時，P(k+1)仍是正確的。

即得出「若 P(k)成立，則 P(k+1)成立」。…….(*)

今已知 P(1)成立，再利用(*)的結果得到：

P(1)成立推得 P(2)成立；P(2)成立推得 P(3)成立；P(3)成立推得 P(4)成立；進而

推得 P(5)、P(6)、P(7)、…都成立。

所以所有的自然數 n，an=2ⁿ−1是正確的。

上述驗證的過程，可以想像成一個依編號順序排好的骨牌，而骨牌的編號是所 有的自然數，骨牌的機制是「前一張倒了，下一張必定會倒」即「若 P(k)成立，

則 P(k+1)成立」，因此當「第一張骨牌倒了」即「P(1)成立」，那麼會產生連

鎖反應，第二張、第三張、…都會依序倒下，因此這樣的過程可以保證每一張 骨牌都會倒下。(即對於任一自然數 n，P(n)都成立)。

我們將前面的證法整理如下：

(1)驗證 n=1時，P(1)成立。

(2)假設 P(k)成立，在這個假設條件下，去推導出 P(k+1)也成立。

通過(1)(2)兩個步驟，就得出 P(n)：「an=2ⁿ−1 」對於所有的自然數 n 都成立。

接下來我們利用前面所提出的方法來驗證數列一般項的正確性：

[例題9] 設數列＜a_n＞的首項a1=5且滿足遞迴關係式：a_n=a_n−1 +4n，n≥2 證明：所有的自然數n， an=2n²+2n+1。

[解法]：

(1)n=1時，因為a1=2=2×1²+2×1+1，所以a_n=2n²+2n+1成立。

(2)若設n=k(k為自然數)時，ak=2k²+2k+1成立 則n=k+1時，

ak+1=a_k+4(k+1)

=(2k²+2k+1)+4k+4 =2k²+6k+5

=2(k²+2k+1)+2(k+1)+1 =2(k+1)²+2(k+1)+1

故n=k+1時，a_n=2n²+2n+1 成立。

由(1)(2)這兩個步驟得證：所有的自然數n，a_n=2n²+2n+1成立。

上面所使用的方法，就是數學歸納法，它的理論整理如下：

數學歸納法原理：

設 P(n)表示與自然數有關的敘述，如果

(1)當 n=n0時，P(n0)成立。 (n0是一個固定的自然數) (2)若 n=k (k≥n0，k 為自然數)時，P(k)成立，

則 n=k+1時，P(k+1)也成立。

那麼對於一切自然數 n≥n0，敘述 P(n)都成立。

數學歸納法的步驟 (1)就像我們推倒了第一張骨牌(編號 n0)，步驟(2)就像建立 了骨牌的機制：「第 k 張倒了，第 k+1 張必定會倒」，如此一來，從編號 n0

開始的無限張骨牌就會一張接著一張倒下來。

課內討論：

小舒宣稱可以證明「n=n+1，對於任意的自然數都成立。」，他的證明步驟如 下：

若設 n=k(k為自然數)時，敘述成立，即 k=k+1 則當 n=k+1 時，n=k+1=(k+1)+1=n+1

故當 n=k+1 時敘述成立。

請問小舒的證明有些什麼問題呢？

此處必須強調一下，數學歸納法中證明的兩個步驟 步驟(1)：驗證 n=n0時，P(n0)成立。

步驟(2)：假設 P(k)成立，去推導 P(k+1)也成立 (k≥n0)。

缺一不可！步驟(1)稱為起始步驟，步驟(2)稱為遞推步驟，而(2)中的「假設 P(k) 成立」稱為歸納假設。

課內討論：

試證明：任何 n個人都一樣高。

(1^°)當 n=1時，命題變為”任何一個人都一樣高”此結論顯然成立。

(2^°)若設 n=k 時，結論成立，即”任何 k 個人都一樣高” 則當 n=k+1時，將 k+1 個人記為 A1、A2、…、Ak+1，

由歸納假設，A1、A2、…、Ak都一樣高，而 A2、A2、…、Ak也都一樣高，

故 A1、A2、…、Ak+1都一樣高。

由(1^°)(2^°)根據數學歸納法原理，任何 n個人都一樣高。 這個例子顯然有誤，但

問題出在那裡呢？

~1−1−13~

[例題10] 設數列＜a_n＞的一般項a_n=10ⁿ+3．4ⁿ+5

(1)計算a1、a2、a3，並檢驗a1、a2、a3是否可被9整除。

(2)利用數學歸納法驗證：對於所有的自然數n，an恆被9整除。

[解法]：

(1)

因為a1=10¹+3．4¹+5=27=9×3、a2=10²+3．4²+5=153=9×7、a3=10³+3．4³+5=9×133 所以a1、a2、a3會被9整除。

(2)利用數學歸納法的步驟來驗證：「對於所有的自然數n，a_n恆被9整除。」

(1°)當n=1時，a1=27被9整除。

(2°)若設n=k(k≥1)時，ak=10^k+3．4^k+5被9整除 則當n=k+1時，

ak+1=10^k+1+3．4^k+1+5 =10．10^k+3．4．4^k+5

=10(10^k+3．4^k+5)−18．4^k−45 =10．ak−9(2．4^k+5)

因為a_k被9整除，所以ak+1也會被9整除。

由數學歸納法得知：對於所有的自然數n，an恆被9整除。

[例題11] 設數列＜an＞滿足a1=2且滿足遞迴關係式：an+1=( n

n+1)an，n≥1 (1)試求a2、a3、a4、a5。

(2)利用數學歸納法驗證你的結果。

綜合前面所討論的內容，以下的兩個要點是處理有關數列問題的重要內涵：

(1)從 n=1,2,3,….開始去歸納出數列的規則(猜想)。

(2)用數學歸納法的理論來證明數列規則的正確性(驗證)。

(練習13)設數列＜an＞滿足 a1=1

2且滿足 an+1= 2an

an+2 (n≥1)，

(1)試求a2、a3、a4的值。

(2)試臆測一般項的通式。

(3)利用數學歸納法驗證(2)中臆測的結果。

Ans：(1)a2= 2

5 ，a3= 2

6 ，a4= 2

7 (2)an= 2 n+3

(練習14)利用數學歸納法證明：對於所有的正整數 n，4ⁿ+2 恆為 6的倍數。

(練習15)設數列＜an＞滿足 a1=1且滿足 an=3an−1+4(n≥2)

(1) 試臆測一般項的通式。 (2) 利用數學歸納法驗證(1)中臆測的結果。

Ans：(1)3ⁿ−2

~1−1−15~

綜合練習

(1) 下面數列的最末項是第n項an，試寫出an(用n表示) (a)9,99,999,…,1L23

9

9 99

個 n

。 (b)1,11,111,…, 1L23

1

1 11

個 n

。

(2) 數列1,1 2 ,

2 2 ,

1 3 ,

2 3 ,

3 3 ,

1 4 ,

2 4 ,

3 4 ,

4

4 ,…..，求(a)第244項為何？ (b)13

29 為數列中第 幾項？

(3) 取一個白色矩形，將其等分成3個相同的小矩形，然後將中間那一個矩形塗成 黑色；接著再將剩下的2個白色矩形，分別等分成3個相同的更小矩形，然後 將中間更小的矩形塗成黑色，重複這樣的操作，如下圖所示：

設a_n為第n個圖中白色矩形的總數，請寫出數列<an>的遞迴關係式。

(4) 跳蟲依下列規律，從1號位置往順時針方向開始跳 動：

(1°)如果跳蟲所在的位置是奇數，那麼它的下一次

將跳動1格，如由3號跳到4號。

(2°)如果跳蟲所在的位置是偶數，那麼它的下一次 將跳動3格，如由2號一下子跳到5號。

試問跳蟲在跳動127下之後，其所在的位置是幾 號？

(5) 用黑、白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形：

設第n個圖所需用到a_n個白色地磚

(a)試寫出數列＜an＞的遞迴關係式。

(b)試問第30個圖需用到幾塊白色地磚。

(c)試求an一般項的通式。

(6) 用單位長的不鏽鋼焊條焊接如下圖系列的四面體鐵架，圖中的小圓圈「°」表 示焊接點，圖1−1有兩層共4個焊接點，圖1−2有三層共10個焊接點，圖1−3 有四層共20個焊接點。試問依此規律，設n+1層的四面體鐵架有an個焊接點 (n≥1)，

(a)計算a2−a1、a3−a2、a4−a3的值。

(b)推算有八層的四面體鐵架共有多少個焊接點。

(7) 一機器狗每秒鐘前進或後退一步，程式設計師讓機器狗以前進3步，然後再後 退2步的規律移動。如果將此機器狗放在數線的原點，面向正的方向，以1步

的距離為1單位。令P(n)表示第n秒時機器狗所在位置的坐標，且P(0)=0，那

麼下列選項何者為真？(91學科能力測驗)

(A)P(3)=3 (B)P(5)=1 (C)P(10)=2 (D)P(101)=21 (E)P(103)<P(104) (1) 設等差數列<a_n>滿足a10=20、a20=10，選出正確的選項：

(A)公差為−1 (B)首項a1=30 (C)a15=15 (D)0是數列<an>中的一項(E) 數列

<an>中共有30項的值大於0。

(8) 假設實數a1,a2,a3,a4是一個等差數列，且滿足0<a1<2及a3=4。若定義b_n=2^an， 則以下那些選項是對的？(2006學科能力測驗)

(1)b1,b2,b3,b4是一個等比數列。 (2)b1<b2 (3)b2>4 (4)b4>32 (5)b2×b4=256。

(9) 某人參加銀行優惠存款，年利率7％，每年複利計算，若每年年初存入10000 元，假設第n年結束可得本利和an元，

(a) 試寫出an的遞迴關係式。 (b) 求一般項an。

(10) 下列圖形中的正五邊形邊長依序為1,2,3,…。圖中的點分別落在正五邊形的頂 點或邊上，且相鄰兩點的線段長相等。設邊長為n的正五邊形其上的所有點之 個數形成數列＜a_n＞，

(a) 求數列＜a_n＞的遞迴關係式。

(b) 根據遞迴關係式，歸納臆測出一般項的通式。

(c) 利用數學歸納法驗證：對於所有自然數n ，(b)所歸納臆測的通式是正確的。

圖1−1 圖 1−2

圖1−3

~1−1−17~

(11) 設a_n為前n個正奇數1,3,5,..,7,…之和，試利用數學歸納法證明：

對於所有的自然數，an＝n²。

(12) (a)k是自然數，而且個位數字是6，請用一個等式表示k。

(b)請用數學歸納法證明對於任意自然數n，2⁴ⁿ⁺¹−6ⁿ的個位數字恆為6。

(13) 已知一數列＜an＞定義為a1＝1，an^＋1＝

1 4

1 3

－

－

n n

a

a ，n＝1，2，3，…。

(a)求a2，a3，a4。

(b)觀察(a)的規則性，並推測第n項an(以n表示之)。

(c)證明在(b)中所推測之結果。

(14) 已知一數列＜an＞定義為a1=1，an=(1−1

n² )an−¹，n≥2，

(a)臆測an=？ (b)利用數學歸納法證明臆測。

(15) 設數列＜an＞有以下的規律：

a1=1−1

4，a2=(1−1 4)(1−1

9)，a3=(1−1 4)(1−1

9)，…，ak=(1−1 4)(1−1

9)．．．(1− 1

(k+1)²)，…

(a)試求數列＜an＞的遞迴關係式。

(b)試推測一般項的通式。

(c)利用數學歸納法驗證推測的結果。

(16) 設數列＜an＞滿足a1=2且滿足an+1=3an−2 (n≥1)，

(a)試求a2、a3、a4的值。

(b)設遞迴關係式an+1=3an−2可以化成an+1−α=3(an−α)，試求α的值。

(c)試求數列＜an＞一般項的通式。

(提示：可以先求數列＜bn＞一般項，其中bn=an−α)

進階問題

(17) 觀察一群單細胞生物，一開始有7個細胞，根據此細胞的生態特性，這一群細 胞每隔一小時會死亡3個，剩下的每個細胞都分裂成2個細胞，設n小時後可 以觀察到an個細胞，這樣形成數列＜an＞。

(a)試求第1,2,3小時後細胞的數目。

(b)試求a_n與a_n−1的關係式。

(c)試求數列＜an＞一般項的通式。

(18) 平面上n條直線，任兩條都不互相平行，而且任三條都不共點，設這n條直線 把平面分割成an個互不重疊的區域。

(a)請找出an的遞迴式。

(b)求a_n的一般式。

(c)請用數學歸納法證明(b)的結果。

(19) 設x1和x2是方程式x²−6x+1=0的兩個根，試證明：

對於任意自然數n，x1n+x2n都是自然數。

(20) (a)設a1、a2為正實數，請證明：a1+a2

2 ≥ a1a2 。

(b)設a1、a2、a3、a4為正實數，利用(a)的結果證明：a1+a2+a3+a4

4 ≥⁴ a1a2a3a4 。 (c)設a1、a2、a3為正實數，利用(b)的結果證明：a1+a2+a3

3 ≥³ a1a2a3 。 (d)設a1、a2、a3、….、an為正實數，請利用數學歸納法證明：

a1+a2+…+an−1+an

n ≥ⁿ a₁a_2Lan₋₁an 。 (註：不等式a1+a2+…+a_n−1+a_n

n ≥ⁿ a₁a_2Lan₋₁an 稱為算幾不等式，等號成立的充 要條件是a1=a2=…=a=n)

~1−1−19~

綜合練習解答

(1) (a)an=10ⁿ−1 (b)1

9( 10ⁿ−1) (2) (a)13

22 (b)419 (3) an=2 ∙ an−1

(4) 1號

(5) (a)an−a_n−1=5 (b)153 (c)5n+3 (6) (a)6、10、15 (b)120

(7) (A)(B)(C)(D) (8) (A)(C)(D) (9) 全

(10) (a) a0 = 0，an = 1.07(an – 1 + 10000) = 1.07an – 1 +10700，n≥1 (b)

1 07 . 1

) 1 07 . 1 ( 10700

−

= −

n

an

(11) (a)an+1−an=3n+4 (b)an= 3

2 n²+ 5

2 n+1 (c)略 (12) 略

(13) (a)k=10m+6 (m是非負整數)

(b)設n=k時，2^4k+1−6^k=10m+6，去證明當n=k+1時，2^4k+5−6^k+1=10m^/+6。

(14) (a) a1＝ 1

1，a2＝ 3

2，a3＝ 5

3，a4＝ 7

4 (b) a_n＝ 1 2n－

n ，∀n∈N (c)略

(15) (a) an=n+1 2n (16) (a)an+1=an ∙ [1− 1

(n+2)²] (b)an=n+2

2n+2 (c)略 (17) (a)4,10,28 (b)α=1 (c)3ⁿ⁻¹+1

(18) (a)8 , 10, 14 (b)an=2(a_n−1−3) (c)an=6+2ⁿ (19) (a)an−an−1=n (b)an=n²+n+2

2

(20) 提示：利用雙基歸納法去證明。

(21) 提示：(c)令A=a1+a2+a3

3 ，利用a1+a2+a3+A

4 ≥⁴ a₁a₂a₃A，即可得證。

(d)若設n=k，k為大於等於2的正整數時，

a1+a2+…+ak−1+ak

k ≥^k a₁a_2Lan₋₁ak ，則當n=k+1時，

令d=

1 ... ₁

2 1

+ + +

+ ₊

k

a a

a _k

考慮a1,a2,…,ak+1,⁶⁴⁷⁴⁸

1個

,..., ,

− k

d d

d 這2k個數的算術平均數

d= k

d d

d a a

a

k k

2

...

...

1 1

2 1

4 4 8 4

4 7 6 ^−個

+ + + + +

+ +

+ =

2

...

... ₁

2 1

k

d d

a k

a a

a + + + _k + _k+ + + +

≥ ^{( 1 2 ... )( 1 ... )} k

d d

a k

a a

a + + + _{k k+} + + + ≥ k ^k k

k a d d d

a a

a1 2⋅ ⋅⋅ ⋅ ₊₁⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

=^2ka₁a₂⋅ ⋅⋅a_k+1⋅d^k−1 ⇒d^2k≥a1a2…akak+1.d^k−1⇒d^k+1≥ a1a2…akak+1