2-1-1數列與級數-數列
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(2) 【方法】 1. 一般而言﹐若給定數列 a n 的首項 a1 ,又給定 a n 與 a n 1 的遞迴關係, 即將 a n 1 以 a n 表示,則可明確定義數列 a n 。 首先,我們推廣等差及等比的遞迴關係,設 a n 是一個數列, 若有常數 r, d ,其中 r 0 ,使 a n 1 ran d ,對每一正整數 n 恆成立, 則可就 r, d 討論如下: (1) r 1 : a n 1 a n d , a n 是以 d 為公差的等差數列, 故一般項 a n a1 (n 1)d 。 (2) d 0 : a n 1 ra n , a n 是以 r 為公比的等比數列, 故一般項 an a1r n1 。 (3) r 1, d 0 : 首先,由遞迴關係 a n 1 ran d 逐步寫出 a 2 , a 3 , 。 a2 ra1 d , a3 ra2 d r (ra1 d ) d r 2 a1 (r 1)d , a4 ra3 d r 3 a1 (r 2 r 1)d , an ran 1 d r n 1a1 (r n 2 r n 3 . r 1)d 。. 得到一般項 an r n1a1 . r n1 1 d d 。 d r n1 (a1 ) r 1 r 1 r 1. 於是, d d (a1 )r n 1 。 r 1 r 1 d 由此可知數列 an 是公比為 r 的等比數列。 r 1 因此,當數列 a n 的遞迴關係為 an1 ran d , an . 且 r 1 , d 0 時, 可將原數列各項都加上一個數. d , r 1. 即可得到一個公比為 r 的等比數列, 其中. d 不必刻意記住。 r 1. 註: 左頁一般項的推導中, r n 2 r n 3 r 1 可視為 多項式 x n 1 1 ( x 1) ( x n 2 x n 3 x 1) 中的應用。. 2.
(3) 2. 數列 a n 遞迴關係 an1 ran d ,當 a1 給定且 r 1 時, 我們也可得到 a n 1 a n 是以 r 為公比的等比數列,其推導過程如下: an ran 1 d ,得 an1 an r (an an1 ) , an 1 ran d. 由. 所以 a n 1 a n 是以 r 為公比, a2 a1 為首項的等比數列, 此時, an a1 (a2 a1 ) (a3 a2 ) (an1 an2 ) (an an1 ) a1 (a 2 a1 ) r (a 2 a1 ) r 2 (a 2 a1 ) r n 2 (a 2 a1 ). a1 (a2 a1 ) . r n1 1 ,其中 a2 ra1 d 。 r 1. 3. 遞迴方法: 某些與自然數有關的問題,往往隱含固定的規律,處理這一類的問題通常分成三個 步驟:. (1) 依據題設條件構造一個數列 a n 。 (2) 建立相鄰幾項之間的遞迴關係式(亦稱遞迴方程式)。 (3) 解遞迴方程,求出一般項 a n 。 以上這種處理問題的方法稱為遞迴方法。 簡而言之,遞迴方法就是一種構造遞推式的解題法。 至於如何求解遞迴數列? 較簡單的,可用觀察→歸納→猜想→證明的模式去處理。 4. 各種類型: (1) a n 1 a n f (n) :遞迴相加求 a n 。 (2) a n 1 a n f (n) :遞迴相乘求 a n 。 (3) a n 1 a n k :化成 (a n 1 ) (a n ) 。 (4) 階差數列:前後兩項相減找規則。. 3.
(4) 【問題】 a1 2 ,求一般項 an 。 an 1 4an 3. 1. 設數列 a n 滿足 . 解答: 設 x 使數列 a n x 成等比,且公比為 4 , 則 an1 x 4(an x) , 整理得 an1 4an 5x , 3 5. 又由已知 an1 4an 3 ,可得 x 。 3 5. 3 5. 因此 an (a1 ) (4)n 1 ,且 a1 2 , 7 5. 3 5 a 1 設數列 a n 滿足 1 ,求一般項 an 。 an 1 3an 2. 即一般項 an (4)n1 。 2.. 解答: 方法一: 設 x 使數列 an x 成等比,公比為 3 , 即 an1 x 3(an x) , 整理得 an1 3an 2x 。 與原遞迴關係比較, 得 2 x 2 ,故 x 1 。 於是, a n 1 是公比為 3 的等比數列。 因此, an 1 (a1 1) 3n 1 (1 1) 3n 1 2 3n 1 , 故一般項 an 2 3n 1 1 。 方法二: 由遞迴關係 an1 3an 2 ……①, 可知 an 3an1 2 ……②, ① ②得 an1 an 3(an an1 ) 。 故數列 a n 1 a n 是公比為 3 的等比數列。 又 a2 3a1 2 3 1 2 5 , 數列 an1 an 的首項 a2 a1 5 1 4 , 於是 an a1 (a2 a1 ) (a3 a2 ) (an an1 ) 1 4 4 3 . 4 3n2 1 . 4(3n1 1) 3 1. 1 2(3n 1 1) 2 3n 1 1 。. a1 1 ,求一般項 an 。 an 1 an (n 1). 3. 設數列 a n 滿足 . 解答: 由 an1 an (n 1) 知 an1 an n 1 , 於是 an a1 (a2 a1 ) (a3 a2 ) . (an an1 ) 1 2 3 . 4. n. n(n 1) 。 2.
(5) a1 10 ,求一般項 a n 。 an 1 an (2n 1), n 1. 4. 設數列 a n 的遞迴關係為 解答: a1 10 , a2 a1 1 , a3 a 2 3 , a 4 a3 5 , an an1 2n 3 , 故 a1 (a2 a1 ) (a3 a2 ) . 5.. (an an1 ) 10 1 3 5 (2n 3) , (n 1)[1 (2n 3)] 即 an 10 [1 3 5 (2n 3)] 10 10 (n 1) 2 , 2 a 1 1 設數列 an 滿足 ,求一般項 an 。 2 an 1 an (n 1). 解答: 由乘法公式 ( x y )3 x3 3x 2 y 3xy 2 y 3 可知 (k 1)3 k 3 3k 2 3k 1 , 將式中的 k 逐次以 k 1, 2, 3, , n 代入,即得 23 13 3 12 3 1 1 , 33 23 3 22 3 2 1 , 43 33 3 32 3 3 1, (n 1)3 n3 3 n 2 3 n 1 。. 將上述 n 個等式相加,消掉等號兩端相同的項,得 (n 1)3 1 3(12 22 32 . 令 S 1 2 3 2. 2. 又1 2 3 . n 2 ) 3(1 2 3 . n , n(n 1) , n 2 2. 2. 故 3 (n 1)3 1 3S n(n 1) n , 2 3 3S (n 1)3 n(n 1) (n 1) , 2 3 3S (n 1)[(n 1)2 n 1] , 2 1 3S (n 1)(n2 n) , 2 1 3S n(n 1)(2n 1) , 2 1 S n(n 1)(2n 1) 。 6 1 而有 12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 。 6. 5. n) n ,.
(6) a1 1 的一般項。 an 1 an n. 6. 求遞迴關係的數列 . 解答: 其型式與「 an1 ran d ﹐ r, d 為常數」不同, 我們可逐步列出各項的關係,再找解決的對策。 a1 1 時, an 1 an n. 當 . a1 1 a2 a1 1 a3 a2 2 a4 a3 3. ,. an an 1 n 1. 即 . a1 1 a2 a1 1 a3 a2 2. ,. an an 1 n 1. 因此 a1 (a2 a1 ) (a3 a2 ) . (an an1 ) 1 1 2 3 . (n 1)[(n 1) 1] , 2 (n 1)n n 2 n 2 即 an 1 。 2 2 a 1 求遞迴關係的數列 1 的一般項。 an 1 nan. 故 an 1 . 7.. 解答: 其型式與「 an1 ran d ﹐ r, d 為常數」不同, 我們可逐步列出各項的關係,再找解決的對策。 a1 1 時, an 1 nan. 當. a1 1 a2 1 a1 1 a1 a2 a1 a3 2 ,即 , a 2 a 3 2 a 2 an (n 1) an 1 an n 1 a n 1 a a a 故 a1 2 3 n 1 1 2 3 (n 1) , a1 a2 an 1. 即 an 1 2 3 (n 1) (n 1)! 。 6. (n 1) ,.
(7) a1 1 ,求一般項 a n 。 an 1 2an (n 1), n 1. 8. 設數列 a n 滿足 . 解答: 逐一列出數列各項﹐如下: a1 1 , a2 2a1 2 , a3 2a 2 3 2(2a1 2) 3 1 2 2 2 2 3 , a 4 2a3 4 2(1 2 2 2 2 3) 4 1 23 2 2 2 3 2 4 , a n 2a n 1 n 1 2 n 1 2 2 n 2 3 2 n 3 (n 1) 2 n ,. 設 S 2 2n 2 3 2n 3 (n 1) 2 n , 則 2S 2 2n 1 3 2n 2 (n 1) 22 2n , 由 ,得 S 2 2 n 1 (2 n 2 2 n 3 2 2 2) n 2 n 1 (2 n 1 2 n 2 2 n 3 2 2 2) (1 n). 2n 1 (1 n) 2 1 2 n 1 2 n 1 (1 n) 2 n 2 n 1 (n 2) , 因此, 2 n1 . an 2n 1 [2n 2n 1 (n 2)] 2n 2 2n 1 ( n 2) 2n 2n (n 2) 2n 1 ( n 2) ,. 所以,一般項 an 2n 1 (n 2) 。. 7.
(8) 【補充】 1. (1)若數列 a n ,其中 a n 1 a n 2 且 a1 1 ,試求 a n 。 (2)若數列 a n ,其中 a n 1 a n k ( k 為某定值)且 a1 1 ,試求 a n 。 2. (1)若數列 a n ,其中 a n 1 2a n 且 a1 1 ,試求 a n 。 (2)若數列 a n ,其中 a n 1 kan ( k 為某定值),試求 a n 。 3. (1)若數列 a n ,其中 a n 1 a n n 且 a1 1 ,試求 a n 。 (2)若數列 a n ,其中 a n 1 a n f (n) 且 a1 1 ,試求 a n 。 4. (1)若數列 a n ,其中 a n 1 3a n 且 a1 1 ,試求 a n 。 (2)若數列 a n ,其中 a n 1 f (n) a n 且 a1 1 ,試求 a n 。 5. (1)若數列 a n ,其中 a n 1 3a n 2 且 a1 1 ,試求 a n 。 (2)若數列 a n ,其中 a n 1 f (n) a n k ( k 為某定值)且 a1 1,試求 a n 。 6. 平面上, n 條直線最多有幾個交點? (會在任兩線不平行,任三線不共點時發生。) 解答: a 0 遞迴關係式為 1 , a n1 a n n a2 a1 1 a3 a 2 2 … a n a n1 (n 1) 將上述各式相加可得 n(n 1) a n a1 (1 2 (n 1)) 0 (1 2 (n 1)) 。 2 7. 設平面上的 n 條直線最多能將平面分成 a n 個區域(當任兩條都交於一點,任 三條都不共點),試求出此數列 a n 的遞迴關係式?是否可以求出一般項 an ? 解答: a 2 遞迴關係式為 1 , an1 an (n 1). a2 a1 2 a3 a 2 3 … a n a n 1 n 將上述各式相加可得. (n 2)(n 1) n 2 n 2 a n a1 (2 3 n) 2 (2 3 n) 2 。 2 2. 8.
(9) 8. 平面上, n 個圓最多有幾個交點? (會在任三圓不共點時發生。) 解答: a 2 遞迴關係式為 2 , an1 an 2n a3 a 2 2 2 a 4 a3 2 3 … a n a n 1 2(n 1) 將上述各式相加可得 a n a2 2(2 3 (n 1)). 2 2(2 3 (n 1)) 2 (n 1)(n 2) n 2 n 。 9. 設平面上的 n 個圓最多能將平面分成 a n 個區域(會在任三圓不共點時發 生。),試求出此數列 a n 的遞迴關係式?是否可以求出一般項 a n ? 解答: a 2 遞迴關係式為 1 , a a 2 n n n1 a2 a1 2 1 a3 a 2 2 2 … a n a n 1 2(n 1) 將上述各式相加可得 a n a1 2(1 2 (n 1)) 2 2(1 2 (n 1)) 2 n(n 1) n 2 n 2 。 10. 平面上,過一點的 n 個圓最多可以將平面分割成幾個區域? (會在任三圓不共點時發生。) 解答: a 2 遞迴關係式為 1 , an1 an (n 1) a2 a1 2 a3 a 2 3 … a n a n 1 n 將上述各式相加可得 a n a1 (2 3 n) 2 (2 3 n) 2 . 9. (n 2)(n 1) n 2 n 2 。 2 2.
(10) 11. 有一種細胞,每隔一小時死亡 2 個,剩下的每個分別分裂成 2 個,設最初有 7 個細胞, n 小時後細胞有 a n 個, (1)請找出 a n 與 a n 1 的關係。 (2) a n 的一般項。 (3)幾個小時後細胞數目會超過 1000個。 12. 設 ABC 是邊長為 1 的正三角形。將三邊分別三等份,取中間段為一邊向外 側作一個正三角形,並且將中間這一段擦去,其次將剩下的每一邊再三等 份,取中間段為一邊向外作正三角形,再將中間這一段擦去。依此程序繼續 下去,得到一系列的圖形,這種自我複製的圖形,稱為碎形。試求 (1)第 6 次之碎形的周長。 (2)第 n 次的周長。. 13. 假設現有一隻細菌,每小時細菌數目會變成原先的兩倍,且細菌在第 n 個小 時的總數量為 a n ,設此過程中細菌並無死亡,試列出此數列 a n 的遞迴關 係式?是否可以求出一般項 a n ? 14. 用 1 元、 2 元兩種郵票貼成一列,合計貼了 n 元郵票,試問有幾種貼法? 15. 坐標平面上方程 | x | | y | n, (n N ) 所描寫的正方形區域,含有多少個整數 點? 16. 求證:對一切 n N 都有 1 2 3 n 2 。 17. 設 X 為具有乘法運算的代數系統,但不滿足結合律,以 xy 表示 x y ,若 x1 , x 2 , , x n X ,且這 n 個元素依序所能作出的一切可能的積皆不同,其個 18.. 19.. 20.. 21.. 數記為 f (n) ,求 f (n) 的遞迴關係?是否可以求出一般項 a n ? 在網路上傳輸 a, b, c 三個字母組成長為 n 的字串,若網路上不能有連續兩個 a 出現,否則不能傳輸,求滿足條件的遞迴關係為何?是否可以求出一般項 an ? 以 0,1 字母組成的字串中,例如 001010010101 ,我們定義 010 出現在第 4 位 及第 9 位,求出長度為 n 且 010 出現在第 n 位的可能方法數?是否可以求出 一般項 a n ? 一個質點在水平方向上運動,每秒鐘它走過的距離等於它前一秒鐘走過的距 離等於前一秒走過的距離的兩倍,設質點在第 n 秒時,位置為 a n ,已知 a 0 3, a1 4 ,試求 a n 。 用 n 個 2 1 的矩形(這種矩形我們稱為骨牌)覆蓋 2 n 的棋盤,有多少種不同 的蓋法?. 10.
(11) 22. 阿財給 n 個人寫了 n 封不同的信,信寫好後再寫信封上的人名、地址。試問 此 n 張信紙全都裝錯信封的情形有多少種?( n 2 ) 23. 平面上有 n 條直線 (n 3) ,任兩條都相交於一點,任三條都不共點,試問此 n 條直線將平面分割成多少區? 24. 五隻猴子分桃子,老大先把桃子均分成五堆,然後把剩餘的一個扔掉,自己 拿走了五堆中的一堆,老二把剩下來的再均分成五堆,又扔掉剩餘的一個, 自己拿走了這五堆中的一堆,以後,每隻猴子來了都是如此辦理,問原來至 少有多少個桃子?最後至少有多少個桃子? 25. 費氏(Fibonacci)數列: 設有一對剛出生的小兔子,若任一對小兔子出生兩個月後就能生小兔子,且 每對成兔每個月恰好生一對小兔子, a n 表第 n 個月兔子的總對數,試著用圖 形化看看並觀察之?試求出此數列 a n 的遞迴關係式?是否可以求出一 般項 a n ?. F Fn1 Fn2 , n 3 定義如 n F1 1, F2 1 n n 1 1 5 1 5 , n 1 且可求得 Fn 5 2 2 註:用雙基歸納法或直接解特徵方程式或生成函數方法。 26. 河內塔問題(Towers of Hanoi puzzle): 相傳在創世紀時代,河內的一座寺廟中豎立著三根銀棒,有 64 個大小都不 同的金盤(金盤正中央有一個小孔)「大盤在下,小盤在上」依序套在同一根 銀棒上。造物主命僧侶把 64 個金盤全部移到另外一根銀棒上,並且規定: 每一次只能移動一個金盤,在移動過程中,較大的金盤不可套在較小的金盤 上。當金盤全數搬完,世界末日將降臨,忠誠者得到好報,不忠者受到懲罰。 試問搬完 64 個金盤最少需多少次?若每秒鐘可搬一個,至少需要多少時間 才可搬完? 27. 登台階: 有 n 階樓梯,每次上樓規定只能跨一級或兩級,那麼,共有幾種上樓的方法? 28. 一筆劃問題: 如圖,由 A 出發走到 B 在走過的「路段」不得重複走的條件下,總計有多少 種走法? A. B n個圓. 29. 塗色問題: 把一個圓等分成 n 個扇形( n 2 )依次記作 S1 , S 2 ,, S n ,每個扇形都可用 「紅、白、藍」三色中的一種塗色,並且要求相鄰扇形的顏色互異,求全部 的塗色法。若改為使用 k 種顏色塗呢?. 11.
(12) 30. 約瑟夫排列: 設有 n 人站成一排,從第一名開始 1 至 3 報數,凡報到 3 的人就退出隊伍,其 餘的向前靠站成新的一排,再按此規則繼續進行,直到第 k 次報數後只剩下 三個人為止。問: (1)最後剩下的三個人最初在什麼位置? (2)當 n 1000時,求這三個人的最初位置。 31. 著色問題: 地圖上某一地區有 n 個國家相鄰,但 n 個國家只有一個公共點。現用紅,黃, 綠三種顏色給地圖染色,但不相鄰的國家有相同的顏色,問有多少種染法? 32. 巴拿哈火柴問題: 有 n 根火柴,甲、乙輪流取,每次取走 1 根或 2 根。若甲先取,問最後輪到 甲取完火柴的方法數? 【性質】 1. 常用公式: n(n 1) (1) 1 2 3 n 。 2 (2) 12 22 32 n2 (3) 13 23 . n(n 1)(2n 1) 。 6. 1 n3 n2 (n 1)2 。 4. 12.
(13) 【定義】 1. 階層: n 是正整數時,為了方便,我們將連續整數 1,2,, n 的乘積 1 2 n 記為 n! ,讀作 n 的階乘,即 n! 1 2 3 n 。 2. 費式數列: a1 1, a2 1 an 2 an 1 an , n 1, 2, 3,. ,. 它是由義大利數學家費布那西(Leonardo Fibonacci,西元 1170~1250 年) 首先提出。 此數列的第一項是 1 ,第二項也是 1 , 第三項開始,每一項是前兩項的和, 逐項寫出如: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,, 它的各項顯然都是整數, 然而一般項 an 卻可表為 an . 1 5 n 1 5 n ) ( ) ]。 2 2 5. 1. [(. 【問題】 a1 1 ,求一般項 an 。 an 1 ( n 1) an. 1. 設數列 an 滿足 解答:. 由遞迴關係 an1 (n 1)an 知 an a1 . a2 a3 a4 a1 a2 a3. . an 1 n 1 ,於是 an. an 1 2 3 4 an 1. n n !。. 【定義】 1. 數學歸納法: 要證明一個關於正整數 n 的命題,對每一個正整數 n 都成立,可依下列兩個 步驟進行: (1) 當 n 1 時,檢驗命題成立。 (2) 設 n k 時命題成立,推導出 n k 1 時命題成立。 說明: 其中(1)用以確立起點,落實命題成立的基礎;(2)憑以步步展延,擴大命題 成立的範圍。於是,由(1) n 1 時命題成立,藉(2),得 n 2 時命題成立; 既得 n 2 時命題成立,重複(2),可再推得 n 3 時命題成立;如此繼續推衍, 便可證得該命題對每一個正整數 n 都成立,這個方法稱為數學歸納法。 註: (1) 數學歸納法的重點在於觀察、歸納、猜測、證明。 (2) 數學歸納法是數學上重要而基本的方法,用來證與自然數有關的命題。 (3) 有時候不一定從 n 1 開始,使用數學歸納法證題時,起始性和連續性 兩個步驟一定要都證明,缺一不可。 (4) 本「數學歸納法」一般稱為「第一數學歸納法」,它是證明數學相關命 題的基礎。但有些命題的證明,如「費氏數列」的一般項,利用此「數 學歸納法」是無法證明的,我們必須引用此數學歸納法的另一個形式(即 第二數學歸納法)才能順利的證明之。 13.
(14) 【定義】 數學歸納法: 證明 Pn 這個性質對所有 n N 都成立。 1. 證 n 1 時,證明 P1 成立。(起始性) 2. 設 n k 時,設 Pn 成立 證 n k 1時, Pk 1 成立。(連續性) 由上可得證 Pn 這個性質對所有 n N 都成立。 註: 基本上分成以下題型: 1. 恆等式題型。 2. 不等式題型。 3. 因數、倍數題型。 4. 幾何題型。 第二數學歸納法: 證明 Pn 這個性質對所有 n N 都成立。 1. 證明: n 1 時命題 P1 成立。 2. 證明:設 n k 時, Pn 成立,證 n k 1 時, Pk 1 成立。 雙基歸納法: 欲證明 Pn 成立。 1. 證明: n 1, n 2 時命題 P1 , P2 都成立。 2. 證明:設 n k , n k 1 時, Pk , Pk 1 都成立,證 n k 2 時, Pk 2 成立。 【問題】 1. 利用第二數學歸納法證明: 設 M 1 , M 2 ,, M n (n 3) 是同一平面上的凸集,其中每三者都有公共點, 證明:這 n 個凸集有公共點。 【定理】 白努力不等式: (1 r ) n (1 nr ), r 2, n N 。. 14.
(15) 【問題】 1. 試證:. 1 1 1 1 2 2 3 3 4. . 1 n ,對每一個正整數 n 都成立。 n( n 1) n 1. 證明: (1) n 1 時,. 1 1 1 2 2 3. . 1 1 1 其實只有第 1 項,即 。 n(n 1) 1 2 2. n 1 1 , n 1 11 2 故 n 1 成立。. 而. (2) 假設 k 是某個正整數,使 n k 時成立, 即. 1 1 1 2 2 3. . 1 k , k (k 1) k 1. 當 n k 1 時, 1 1 1 1 1 2 2 3 k (k 1) ( k 1)[( k 1) 1] k 1 k (k 2) 1 k 1 (k 1)(k 2) (k 1)(k 2). . k 2 2k 1 (k 1) 2 k 1 k 1 , (k 1)(k 2) (k 1)(k 2) k 2 (k 1) 1. 可見 n k 時若等式成立,必導致 n k 1 時等式亦成立。 由數學歸納法原理, 得知. 1 1 1 2 2 3. 2. 試證: 13 23 . . 1 n ,每一個正整數 n 都成立。 n(n 1) n 1. 1 n3 n2 (n 1)2 ,對每一個正整數 n 都成立。 4. 證明: (1) 當 n 1 時,左式 13 1 , 1 4 (2) 設 n k 時,等式成立, 1 即 13 23 k 3 k 2 (k 1)2 。 4 則 n k 1 時, 1 1 左式 13 23 k 3 (k 1)3 k 2 (k 1)2 (k 1)3 (k 1)2 [k 2 4(k 1)] 4 4 1 1 1 (k 1)2 (k 2 4k 4) (k 1) 2 (k 2) 2 (k 1)2 [(k 1) 1]2 右式。 4 4 4 即 n k 1 時,等式亦成立。. 右式 12 22 1 ,故 n 1 時等式成立。. 由數學歸納法原理, 得知 13 23 . 1 n3 n2 (n 1)2 對每一個正整數 n 都成立。 4. 15.
(16) 3. 試證: 12 22 . 1 n2 n(n 1)(2n 1) ,對每一個正整數 n 都成立。 6. 證明: 1 6. (1) 當 n 1 時,左式 12 1 1 2 3 右式, 即 n 1 時成立。 (2) 假設 n k 時原式成立, 即 12 22 . 1 k 2 k (k 1)(2k 1) , 6. 則當 n k 1 時, 左式 12 22 . 1 k 2 (k 1)2 k (k 1)(2k 1) (k 1)2 6. 1 1 (k 1)[k (2k 1) 6(k 1)] (k 1)(2k 2 7k 6) 6 6 1 1 (k 1)(k 2)(2k 3) (k 1)(k 2)[2(k 1) 1] 右式, 6 6 即 n k 1 時,等式亦成立。 由數學歸納法原理, . 1 n2 n(n 1)(2n 1) 對每一個正整數 n 都成立。 6 2 試證: 2 2 3 2 (n 1) 2n n 2n 1 ,對每一個正整數 n 都成立。. 得知 12 22 4.. 證明: (1) 當 n 1 時,左式 2 2 4 ,右式 1 22 4 , 故 n 1 時等式成立。 (2) 設 n k 時,等式成立, 即 2 2 3 22 (k 1) 2k k 2k 1 則 n k 1 時, 左式 2 2 3 22 ( k 1) 2k ( k 2) 2k 1 k 2k 1 (k 2) 2k 1 (2k 2) 2k 1 (k 1) 2k 2 (k 1) 2( k 1) 1 右式。. 由數學歸納法原理, 得知 2 2 3 22 (n 1) 2n n 2n 1 對每一個正整數 n 都成立。 5. 設 n 是正整數,試證 n3 2n 是 3 的倍數。 證明: (1) 當 n 1 時,原式 13 2 1 3 是 3 的倍數,故 n 1 時命題成立。 (2) 設 n k 時,命題成立,即 k 3 2k 是 3 的倍數, 令 k 3 2k 3 p ,其中 p 是整數, 則 n k 1 時,原式 (k 1)3 2(k 1) k 3 3k 2 3k 1 2k 2 (k 3 2k ) 3k 2 3k 3 3 p 3(k 2 k 1) 3( p k 2 k 1) , 因為 p k 2 k 1 是整數,所以原式是 3 的倍數。 即當 n k 1 時,命題亦成立。 由數學歸納法原理,得知對每一個正整數 n , n3 2n 都是 3 的倍數。. 16.
(17) 6. 設 n 是正整數,則 32n 1 2n 2 恆為某質數的倍數,找出此質數,並證明之。 解明: 當 n 1 時,原式 33 23 27 8 35 5 7 。 當 n 2 時,原式 35 24 243 16 259 7 37 。 猜測該質數為 7 ,再以數學歸納法驗證: 設 n k 時,原式是 7 的倍數, 即 32k 1 2k 2 是 7 的倍數, 令 32 k 1 2k 2 7 p ,其中 p 是整數。 則 n k 1 時, 原式 32(k 1)1 2( k 1)2 32k 3 2k 3 9 32 k 1 2 2k 2 2(32 k 1 2k 2 ) 7 32 k 1 2 7 p 7 32 k 1 7(2 p 32 k 1 ) 。 由於 2 p 32 k 1 是整數,故原式是 7 的倍數,由數學歸納法原理得證。 7. 利用雙基數學歸納法證明: 設 f ( n) . (1 5 ) n (1 5 ) n 5. ,證明:若 n N ,則 f (n) 恆為自然數。. 解答:. f (n) . 1 1 5 n 1 5 n 1 ( ) ( ) ( n n ) , 2 2 5 5 . 1 5 1 5 , 2 2 1 n 1時, f (1) ( ) 1 N , 5 1 1 n 2 時, f (2) ( 2 2 ) ( )( ) 1 N , 5 5 設 n k , k 1 時成立, 即 f (k ), f (k 1) N , 則 n k 2 時, 1 ( k 2 k 2 ) f (n 2) 5 1 ( k 1 k 1 )( ) ( k k ) ( 1, 1) 5 1 1 ( k 1 k 1 ) ( k k ) f (k 1) f (k ) N , 5 5 n k 2 亦真。 ∴故由數學歸納法得知:若 n N ,則 f (n) 恆為自然數。. 其中 . . . 17.
(18) 8. 試證: 12 22 32 42 (2n 1)2 (2n)2 n(2n 1) ﹐對任意正整數都成立﹒ 證明: (1) 當 n 1 時,左式 (2 1 1) 2 (2 1) 2 12 22 3 , 右式 1 (2 1 1) 3 ,所以 n 1 時成立。 (2) 假設 n k 時,原式成立, 即 12 22 32 42 (2k 1) 2 (2k ) 2 k (2k 1) , 則 n k 1 時, 左式 12 22 32 42 (2k 1) 2 (2k ) 2 (2k 1) 2 (2k 2) 2 k (2k 1) (2k 1) 2 (2k 2) 2 2k 2 5k 3 (k 1)(2k 3) (k 1)[2(k 1) 1] 右式, 即 n k 1 時原式亦成立。 由數學歸納法原理,原命題成立。 9.. a1 0 設數列 an 滿足 1 an ,求一般項 an 。 an 1 3 a n . 解答: 依序由 a1 求 a2 ﹐,由 a2 求 a3 ,…, 1 3. 1 2 3 2 4 5 , a4 , a5 , a6 ,…。 2 4 5 3 6 7 n 1 觀察其規律性,猜測得 an 。 n 1. 得 a2 , a3 . 再用數學歸納法驗證: 11 。 11 k 1 (2) 設 ak , k 1. (1) a1 0 . 則 k 1 1 1 ak k 1 (k 1) (k 1) ak 1 3 ak 3 k 1 3(k 1) (k 1) k 1 2k k (k 1) 1 。 2k 4 k 2 (k 1) 1 n 1 故 an 對每一個正整數 n 都成立。 n 1. 10. 試舉例說明數學歸納法的形式中的每一個步驟是缺一不可的。 例一:命題:對於任意自然數 n , n 2 n 1 為質數。 說明:可證明起始性,但證不出連續性。 例二:命題:對於任意自然數 n , n 2 n 1 為偶數。 說明:可證明連續性,但證不出起始性。 例三:命題:任意自然數都相等。 說明:可證明連續性,但證不出起始性。. 18.
(19)
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