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2-1-1數列與級數-數列

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Academic year: 2021

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(1)(99 課綱) 第二冊 第一章 1-1 數列. 數列與級數. 【目標】 首先能了解數列的意義,並能發現數列的規律性;對於具有規律性的數列,能利 用遞迴關係表示出來,以便推導出一般項的表示法。再者能了解數學歸納法的意 涵及推論的兩個步驟;對有規律性的數列,能歸納其關係與性質或公式,進而用 數學歸納法證明之。 【定義】 1. 數列: 一列數就稱為數列。為了方便, 我們常將一個數列的第 1 項,第 2 項,…,第 n 項,…, 依序以 a1 , a 2 ,  , a n ,  表示, 直接將數列  a n  的一般項 a n 表成 n 的函數,可以明確定義數列, 此數列記為  a n  。 註: 有些數列有規律性,有些則沒有顯著的規律性, 我們只探討有規律性的數列。前 3 項為 1,2,4 的數列不必然是等比數列, 它可以有其他規律性, 例如: 1,2,4,7,11,16,。 事實上,一般數列未必有顯著規律性,也不能由前幾項推定後續的項。 一個數列必須有明確的定義, 否則即使已知一數列有 10 項,且其前三項分別是 1,3,5 時, 我們仍不能確定第四項是不是 7 。 2. 等差數列: 首項為 a ,公差為 d 的等差數列,第 n 項為 a  (n  1)d 。 註: 由 a n 1  a n  d ,可得 a n 1  a n  d 。 3. 等比數列: 首項為 a(a  0) ,公比為 r (r  0) 的等比數列,第 n 項為 ar n1 。 註: a 由 n 1  r ,可得 a n 1  ra n 。 an 4. 遞迴關係: 依據題設條件構造一個數列  a n  , 然後建立相鄰幾項之間的遞迴關係式(亦稱遞迴方程式), 接著解遞迴關係式,求出一般項 a n 。 註: 一般將遞迴數列化成特殊型式(等差類型或等比類型)以找出第 n 項的一般 式。若非此種類型,則較難求。. 1.

(2) 【方法】 1. 一般而言﹐若給定數列  a n  的首項 a1 ,又給定 a n 與 a n 1 的遞迴關係, 即將 a n 1 以 a n 表示,則可明確定義數列  a n  。 首先,我們推廣等差及等比的遞迴關係,設  a n  是一個數列, 若有常數 r, d ,其中 r  0 ,使 a n 1  ran  d ,對每一正整數 n 恆成立, 則可就 r, d 討論如下: (1) r  1 : a n 1  a n  d ,  a n  是以 d 為公差的等差數列, 故一般項 a n  a1  (n  1)d 。 (2) d  0 : a n 1  ra n ,  a n  是以 r 為公比的等比數列, 故一般項 an  a1r n1 。 (3) r  1, d  0 : 首先,由遞迴關係 a n 1  ran  d 逐步寫出 a 2 , a 3 ,  。 a2  ra1  d , a3  ra2  d  r (ra1  d )  d  r 2 a1  (r  1)d , a4  ra3  d  r 3 a1  (r 2  r  1)d , an  ran 1  d  r n 1a1  (r n  2  r n 3 .  r  1)d 。. 得到一般項 an  r n1a1 . r n1  1 d d 。 d  r n1 (a1  ) r 1 r 1 r 1. 於是, d d  (a1  )r n 1 。 r 1 r 1 d 由此可知數列  an   是公比為 r 的等比數列。 r 1 因此,當數列  a n  的遞迴關係為 an1  ran  d , an . 且 r  1 , d  0 時, 可將原數列各項都加上一個數. d , r 1. 即可得到一個公比為 r 的等比數列, 其中. d 不必刻意記住。 r 1. 註: 左頁一般項的推導中, r n 2  r n 3   r  1 可視為 多項式 x n 1  1  ( x  1) ( x n  2  x n 3   x  1) 中的應用。. 2.

(3) 2. 數列  a n  遞迴關係 an1  ran  d ,當 a1 給定且 r  1 時, 我們也可得到  a n 1  a n  是以 r 為公比的等比數列,其推導過程如下:  an  ran 1  d ,得 an1  an  r (an  an1 ) ,  an 1  ran  d. 由. 所以  a n 1  a n  是以 r 為公比, a2  a1 為首項的等比數列, 此時, an  a1  (a2  a1 )  (a3  a2 )   (an1  an2 )  (an  an1 )  a1  (a 2  a1 )  r (a 2  a1 )  r 2 (a 2  a1 )    r n  2 (a 2  a1 ).  a1  (a2  a1 ) . r n1  1 ,其中 a2  ra1  d 。 r 1. 3. 遞迴方法: 某些與自然數有關的問題,往往隱含固定的規律,處理這一類的問題通常分成三個 步驟:. (1) 依據題設條件構造一個數列  a n  。 (2) 建立相鄰幾項之間的遞迴關係式(亦稱遞迴方程式)。 (3) 解遞迴方程,求出一般項 a n 。 以上這種處理問題的方法稱為遞迴方法。 簡而言之,遞迴方法就是一種構造遞推式的解題法。 至於如何求解遞迴數列? 較簡單的,可用觀察→歸納→猜想→證明的模式去處理。 4. 各種類型: (1) a n 1  a n  f (n) :遞迴相加求 a n 。 (2) a n 1  a n  f (n) :遞迴相乘求 a n 。 (3) a n 1  a n  k :化成 (a n 1   )   (a n   ) 。 (4) 階差數列:前後兩項相減找規則。. 3.

(4) 【問題】  a1  2 ,求一般項 an 。  an 1  4an  3. 1. 設數列  a n  滿足 . 解答: 設 x 使數列  a n  x  成等比,且公比為 4 , 則 an1  x  4(an  x) , 整理得 an1  4an  5x , 3 5. 又由已知 an1  4an  3 ,可得 x   。 3 5. 3 5. 因此 an   (a1  )  (4)n 1 ,且 a1  2 , 7 5. 3 5 a  1  設數列  a n  滿足  1 ,求一般項 an 。 an 1  3an  2. 即一般項 an  (4)n1  。 2.. 解答: 方法一: 設 x 使數列  an  x  成等比,公比為 3 , 即 an1  x  3(an  x) , 整理得 an1  3an  2x 。 與原遞迴關係比較, 得 2 x  2 ,故 x  1 。 於是,  a n  1  是公比為 3 的等比數列。 因此, an  1  (a1  1)  3n 1  (1  1)  3n 1  2  3n 1 , 故一般項 an  2  3n 1  1 。 方法二: 由遞迴關係 an1  3an  2 ……①, 可知 an  3an1  2 ……②, ①  ②得 an1  an  3(an  an1 ) 。 故數列  a n 1  a n  是公比為 3 的等比數列。 又 a2  3a1  2  3 1  2  5 , 數列  an1  an  的首項 a2  a1  5  1  4 , 於是 an  a1  (a2  a1 )  (a3  a2 )   (an  an1 ) 1 4  4 3 .  4  3n2  1 . 4(3n1  1) 3 1.  1  2(3n 1  1)  2  3n 1  1 。.  a1  1 ,求一般項 an 。  an 1  an  (n  1). 3. 設數列  a n  滿足 . 解答: 由 an1  an  (n  1) 知 an1  an  n  1 , 於是 an  a1  (a2  a1 )  (a3  a2 ) .  (an  an1 )  1  2  3 . 4. n. n(n  1) 。 2.

(5)  a1  10 ,求一般項 a n 。  an 1  an  (2n  1), n  1. 4. 設數列  a n  的遞迴關係為  解答: a1  10 , a2  a1  1 , a3  a 2  3 , a 4  a3  5 ,  an  an1  2n  3 , 故 a1  (a2  a1 )  (a3  a2 ) . 5..  (an  an1 )  10  1  3  5   (2n  3) , (n  1)[1  (2n  3)] 即 an  10  [1  3  5   (2n  3)]  10   10  (n  1) 2 , 2 a  1  1 設數列  an  滿足  ,求一般項 an 。 2 an 1  an  (n  1). 解答: 由乘法公式 ( x  y )3  x3  3x 2 y  3xy 2  y 3 可知 (k  1)3  k 3  3k 2  3k  1 , 將式中的 k 逐次以 k  1, 2, 3, , n 代入,即得 23  13  3 12  3 1  1 , 33  23  3  22  3  2  1 , 43  33  3  32  3  3  1, (n  1)3  n3  3  n 2  3  n  1 。. 將上述 n 個等式相加,消掉等號兩端相同的項,得 (n  1)3  1  3(12  22  32 . 令 S 1  2  3  2. 2. 又1  2  3 .  n 2 )  3(1  2  3 . n , n(n  1) , n 2 2. 2. 故 3 (n  1)3  1  3S  n(n  1)  n , 2 3 3S  (n  1)3  n(n  1)  (n  1) , 2 3 3S  (n  1)[(n  1)2  n  1] , 2 1 3S  (n  1)(n2  n) , 2 1 3S  n(n  1)(2n  1) , 2 1 S  n(n  1)(2n  1) 。 6 1 而有 12  22  32   n2  n(n  1)(2n  1) 。 6. 5.  n)  n ,.

(6)  a1  1 的一般項。  an 1  an  n. 6. 求遞迴關係的數列 . 解答: 其型式與「 an1  ran  d ﹐ r, d 為常數」不同, 我們可逐步列出各項的關係,再找解決的對策。  a1  1 時,  an 1  an  n. 當         . a1  1 a2  a1  1 a3  a2  2 a4  a3  3. ,. an  an 1  n  1.     即   . a1  1 a2  a1  1 a3  a2  2. ,. an  an 1  n  1. 因此 a1  (a2  a1 )  (a3  a2 ) .  (an  an1 )  1  1  2  3 . (n  1)[(n  1)  1] , 2 (n  1)n n 2  n  2 即 an  1  。  2 2  a  1 求遞迴關係的數列  1 的一般項。  an 1  nan. 故 an  1 . 7.. 解答: 其型式與「 an1  ran  d ﹐ r, d 為常數」不同, 我們可逐步列出各項的關係,再找解決的對策。  a1  1 時,  an 1  nan. 當.  a1  1   a2  1  a1  1  a1    a2  a1  a3  2 ,即 , a  2 a   3 2 a 2       an  (n  1) an 1  an  n  1  a  n 1 a a a 故 a1  2  3   n  1 1 2  3   (n  1) , a1 a2 an 1. 即 an  1 2  3   (n  1)  (n 1)! 。 6.  (n  1) ,.

(7)  a1  1 ,求一般項 a n 。  an 1  2an  (n  1), n  1. 8. 設數列  a n  滿足 . 解答: 逐一列出數列各項﹐如下: a1  1 , a2  2a1  2 , a3  2a 2  3  2(2a1  2)  3  1 2 2  2  2  3 , a 4  2a3  4  2(1  2 2  2  2  3)  4  1 23  2  2 2  3  2  4 ,  a n  2a n 1  n  1  2 n 1  2  2 n  2  3  2 n 3    (n  1)  2  n ,. 設 S  2  2n  2  3  2n 3   (n  1)  2  n , 則 2S  2  2n 1  3  2n  2   (n  1)  22  2n , 由  ,得 S  2  2 n 1  (2 n  2  2 n 3    2 2  2)  n  2 n 1  (2 n 1  2 n  2  2 n 3    2 2  2)  (1  n). 2n  1  (1  n) 2 1  2 n 1  2 n  1  (1  n)  2 n  2 n 1  (n  2) , 因此,  2 n1 . an  2n 1  [2n  2n 1  (n  2)]  2n  2  2n 1  ( n  2)  2n  2n  (n  2)  2n 1  ( n  2) ,. 所以,一般項 an  2n 1  (n  2) 。. 7.

(8) 【補充】 1. (1)若數列  a n  ,其中 a n 1  a n  2 且 a1  1 ,試求 a n 。 (2)若數列  a n  ,其中 a n 1  a n  k ( k 為某定值)且 a1  1 ,試求 a n 。 2. (1)若數列  a n  ,其中 a n 1  2a n 且 a1  1 ,試求 a n 。 (2)若數列  a n  ,其中 a n 1  kan ( k 為某定值),試求 a n 。 3. (1)若數列  a n  ,其中 a n 1  a n  n 且 a1  1 ,試求 a n 。 (2)若數列  a n  ,其中 a n 1  a n  f (n) 且 a1  1 ,試求 a n 。 4. (1)若數列  a n  ,其中 a n 1  3a n 且 a1  1 ,試求 a n 。 (2)若數列  a n  ,其中 a n 1  f (n)  a n 且 a1  1 ,試求 a n 。 5. (1)若數列  a n  ,其中 a n 1  3a n  2 且 a1  1 ,試求 a n 。 (2)若數列  a n  ,其中 a n 1  f (n)  a n  k ( k 為某定值)且 a1  1,試求 a n 。 6. 平面上, n 條直線最多有幾個交點? (會在任兩線不平行,任三線不共點時發生。) 解答: a  0 遞迴關係式為  1 , a n1  a n  n a2  a1  1 a3  a 2  2 … a n  a n1  (n  1) 將上述各式相加可得 n(n  1) a n  a1  (1  2    (n  1))  0  (1  2   (n 1))  。 2 7. 設平面上的 n 條直線最多能將平面分成 a n 個區域(當任兩條都交於一點,任 三條都不共點),試求出此數列  a n  的遞迴關係式?是否可以求出一般項 an ? 解答: a  2 遞迴關係式為  1 , an1  an  (n  1). a2  a1  2 a3  a 2  3 … a n  a n 1  n 將上述各式相加可得. (n  2)(n  1) n 2  n  2 a n  a1  (2  3    n)  2  (2  3    n)  2  。  2 2. 8.

(9) 8. 平面上, n 個圓最多有幾個交點? (會在任三圓不共點時發生。) 解答: a  2 遞迴關係式為  2 , an1  an  2n a3  a 2  2  2 a 4  a3  2  3 … a n  a n 1  2(n  1) 將上述各式相加可得 a n  a2  2(2  3    (n  1)).  2  2(2  3   (n 1))  2  (n  1)(n  2)  n 2  n 。 9. 設平面上的 n 個圓最多能將平面分成 a n 個區域(會在任三圓不共點時發 生。),試求出此數列  a n  的遞迴關係式?是否可以求出一般項 a n ? 解答: a  2 遞迴關係式為  1 , a  a  2 n n  n1 a2  a1  2 1 a3  a 2  2  2 … a n  a n 1  2(n  1) 將上述各式相加可得 a n  a1  2(1  2    (n  1))  2  2(1  2    (n  1))  2  n(n  1)  n 2  n  2 。 10. 平面上,過一點的 n 個圓最多可以將平面分割成幾個區域? (會在任三圓不共點時發生。) 解答: a  2 遞迴關係式為  1 , an1  an  (n  1) a2  a1  2 a3  a 2  3 … a n  a n 1  n 將上述各式相加可得 a n  a1  (2  3    n)  2  (2  3    n)  2 . 9. (n  2)(n  1) n 2  n  2 。  2 2.

(10) 11. 有一種細胞,每隔一小時死亡 2 個,剩下的每個分別分裂成 2 個,設最初有 7 個細胞, n 小時後細胞有 a n 個, (1)請找出 a n 與 a n 1 的關係。 (2) a n 的一般項。 (3)幾個小時後細胞數目會超過 1000個。 12. 設 ABC 是邊長為 1 的正三角形。將三邊分別三等份,取中間段為一邊向外 側作一個正三角形,並且將中間這一段擦去,其次將剩下的每一邊再三等 份,取中間段為一邊向外作正三角形,再將中間這一段擦去。依此程序繼續 下去,得到一系列的圖形,這種自我複製的圖形,稱為碎形。試求 (1)第 6 次之碎形的周長。 (2)第 n 次的周長。. 13. 假設現有一隻細菌,每小時細菌數目會變成原先的兩倍,且細菌在第 n 個小 時的總數量為 a n ,設此過程中細菌並無死亡,試列出此數列  a n  的遞迴關 係式?是否可以求出一般項 a n ? 14. 用 1 元、 2 元兩種郵票貼成一列,合計貼了 n 元郵票,試問有幾種貼法? 15. 坐標平面上方程 | x |  | y | n, (n  N ) 所描寫的正方形區域,含有多少個整數 點? 16. 求證:對一切 n  N 都有 1  2  3    n  2 。 17. 設 X 為具有乘法運算的代數系統,但不滿足結合律,以 xy 表示 x  y ,若 x1 , x 2 ,  , x n  X ,且這 n 個元素依序所能作出的一切可能的積皆不同,其個 18.. 19.. 20.. 21.. 數記為 f (n) ,求 f (n) 的遞迴關係?是否可以求出一般項 a n ? 在網路上傳輸 a, b, c 三個字母組成長為 n 的字串,若網路上不能有連續兩個 a 出現,否則不能傳輸,求滿足條件的遞迴關係為何?是否可以求出一般項 an ? 以 0,1 字母組成的字串中,例如 001010010101 ,我們定義 010 出現在第 4 位 及第 9 位,求出長度為 n 且 010 出現在第 n 位的可能方法數?是否可以求出 一般項 a n ? 一個質點在水平方向上運動,每秒鐘它走過的距離等於它前一秒鐘走過的距 離等於前一秒走過的距離的兩倍,設質點在第 n 秒時,位置為 a n ,已知 a 0  3, a1  4 ,試求 a n 。 用 n 個 2  1 的矩形(這種矩形我們稱為骨牌)覆蓋 2  n 的棋盤,有多少種不同 的蓋法?. 10.

(11) 22. 阿財給 n 個人寫了 n 封不同的信,信寫好後再寫信封上的人名、地址。試問 此 n 張信紙全都裝錯信封的情形有多少種?( n  2 ) 23. 平面上有 n 條直線 (n  3) ,任兩條都相交於一點,任三條都不共點,試問此 n 條直線將平面分割成多少區? 24. 五隻猴子分桃子,老大先把桃子均分成五堆,然後把剩餘的一個扔掉,自己 拿走了五堆中的一堆,老二把剩下來的再均分成五堆,又扔掉剩餘的一個, 自己拿走了這五堆中的一堆,以後,每隻猴子來了都是如此辦理,問原來至 少有多少個桃子?最後至少有多少個桃子? 25. 費氏(Fibonacci)數列: 設有一對剛出生的小兔子,若任一對小兔子出生兩個月後就能生小兔子,且 每對成兔每個月恰好生一對小兔子, a n 表第 n 個月兔子的總對數,試著用圖 形化看看並觀察之?試求出此數列  a n  的遞迴關係式?是否可以求出一 般項 a n ?. F  Fn1  Fn2 , n  3 定義如  n F1  1, F2  1 n n 1  1  5   1  5      , n  1  且可求得 Fn  5  2   2     註:用雙基歸納法或直接解特徵方程式或生成函數方法。 26. 河內塔問題(Towers of Hanoi puzzle): 相傳在創世紀時代,河內的一座寺廟中豎立著三根銀棒,有 64 個大小都不 同的金盤(金盤正中央有一個小孔)「大盤在下,小盤在上」依序套在同一根 銀棒上。造物主命僧侶把 64 個金盤全部移到另外一根銀棒上,並且規定: 每一次只能移動一個金盤,在移動過程中,較大的金盤不可套在較小的金盤 上。當金盤全數搬完,世界末日將降臨,忠誠者得到好報,不忠者受到懲罰。 試問搬完 64 個金盤最少需多少次?若每秒鐘可搬一個,至少需要多少時間 才可搬完? 27. 登台階: 有 n 階樓梯,每次上樓規定只能跨一級或兩級,那麼,共有幾種上樓的方法? 28. 一筆劃問題: 如圖,由 A 出發走到 B 在走過的「路段」不得重複走的條件下,總計有多少 種走法? A. B n個圓. 29. 塗色問題: 把一個圓等分成 n 個扇形( n  2 )依次記作 S1 , S 2 ,, S n ,每個扇形都可用 「紅、白、藍」三色中的一種塗色,並且要求相鄰扇形的顏色互異,求全部 的塗色法。若改為使用 k 種顏色塗呢?. 11.

(12) 30. 約瑟夫排列: 設有 n 人站成一排,從第一名開始 1 至 3 報數,凡報到 3 的人就退出隊伍,其 餘的向前靠站成新的一排,再按此規則繼續進行,直到第 k 次報數後只剩下 三個人為止。問: (1)最後剩下的三個人最初在什麼位置? (2)當 n  1000時,求這三個人的最初位置。 31. 著色問題: 地圖上某一地區有 n 個國家相鄰,但 n 個國家只有一個公共點。現用紅,黃, 綠三種顏色給地圖染色,但不相鄰的國家有相同的顏色,問有多少種染法? 32. 巴拿哈火柴問題: 有 n 根火柴,甲、乙輪流取,每次取走 1 根或 2 根。若甲先取,問最後輪到 甲取完火柴的方法數? 【性質】 1. 常用公式: n(n  1) (1) 1  2  3    n  。 2 (2) 12  22  32    n2  (3) 13  23 . n(n  1)(2n  1) 。 6. 1  n3  n2 (n  1)2 。 4. 12.

(13) 【定義】 1. 階層: n 是正整數時,為了方便,我們將連續整數 1,2,, n 的乘積 1 2   n 記為 n! ,讀作 n 的階乘,即 n!  1 2  3   n 。 2. 費式數列:  a1  1, a2  1   an  2  an 1  an , n  1, 2, 3,. ,. 它是由義大利數學家費布那西(Leonardo Fibonacci,西元 1170~1250 年) 首先提出。 此數列的第一項是 1 ,第二項也是 1 , 第三項開始,每一項是前兩項的和, 逐項寫出如: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,, 它的各項顯然都是整數, 然而一般項 an 卻可表為 an . 1 5 n 1 5 n ) ( ) ]。 2 2 5. 1. [(. 【問題】  a1  1 ,求一般項 an 。  an 1  ( n  1) an. 1. 設數列  an  滿足  解答:. 由遞迴關係 an1  (n  1)an 知 an  a1 . a2 a3 a4    a1 a2 a3. . an 1  n  1 ,於是 an. an  1 2  3  4  an 1.  n  n !。. 【定義】 1. 數學歸納法: 要證明一個關於正整數 n 的命題,對每一個正整數 n 都成立,可依下列兩個 步驟進行: (1) 當 n  1 時,檢驗命題成立。 (2) 設 n  k 時命題成立,推導出 n  k  1 時命題成立。 說明: 其中(1)用以確立起點,落實命題成立的基礎;(2)憑以步步展延,擴大命題 成立的範圍。於是,由(1) n  1 時命題成立,藉(2),得 n  2 時命題成立; 既得 n  2 時命題成立,重複(2),可再推得 n  3 時命題成立;如此繼續推衍, 便可證得該命題對每一個正整數 n 都成立,這個方法稱為數學歸納法。 註: (1) 數學歸納法的重點在於觀察、歸納、猜測、證明。 (2) 數學歸納法是數學上重要而基本的方法,用來證與自然數有關的命題。 (3) 有時候不一定從 n  1 開始,使用數學歸納法證題時,起始性和連續性 兩個步驟一定要都證明,缺一不可。 (4) 本「數學歸納法」一般稱為「第一數學歸納法」,它是證明數學相關命 題的基礎。但有些命題的證明,如「費氏數列」的一般項,利用此「數 學歸納法」是無法證明的,我們必須引用此數學歸納法的另一個形式(即 第二數學歸納法)才能順利的證明之。 13.

(14) 【定義】 數學歸納法: 證明 Pn 這個性質對所有 n  N 都成立。 1. 證 n  1 時,證明 P1 成立。(起始性) 2. 設 n  k 時,設 Pn 成立 證 n  k  1時, Pk 1 成立。(連續性) 由上可得證 Pn 這個性質對所有 n  N 都成立。 註: 基本上分成以下題型: 1. 恆等式題型。 2. 不等式題型。 3. 因數、倍數題型。 4. 幾何題型。 第二數學歸納法: 證明 Pn 這個性質對所有 n  N 都成立。 1. 證明: n  1 時命題 P1 成立。 2. 證明:設 n  k 時, Pn 成立,證 n  k  1 時, Pk 1 成立。 雙基歸納法: 欲證明 Pn 成立。 1. 證明: n  1, n  2 時命題 P1 , P2 都成立。 2. 證明:設 n  k , n  k  1 時, Pk , Pk 1 都成立,證 n  k  2 時, Pk  2 成立。 【問題】 1. 利用第二數學歸納法證明: 設 M 1 , M 2 ,, M n (n  3) 是同一平面上的凸集,其中每三者都有公共點, 證明:這 n 個凸集有公共點。 【定理】 白努力不等式: (1  r ) n  (1  nr ), r  2, n  N 。. 14.

(15) 【問題】 1. 試證:. 1 1 1    1 2 2  3 3  4. . 1 n ,對每一個正整數 n 都成立。  n( n  1) n  1. 證明: (1) n  1 時,. 1 1   1 2 2  3. . 1 1 1 其實只有第 1 項,即  。 n(n  1) 1 2 2. n 1 1   , n 1 11 2 故 n  1 成立。. 而. (2) 假設 k 是某個正整數,使 n  k 時成立, 即. 1 1   1 2 2  3. . 1 k ,  k (k  1) k  1. 當 n  k  1 時, 1 1 1 1     1 2 2  3 k (k  1) ( k  1)[( k  1)  1] k 1 k (k  2)  1    k  1 (k  1)(k  2) (k  1)(k  2). . k 2  2k  1 (k  1) 2 k 1 k 1 ,    (k  1)(k  2) (k  1)(k  2) k  2 (k  1)  1. 可見 n  k 時若等式成立,必導致 n  k  1 時等式亦成立。 由數學歸納法原理, 得知. 1 1   1 2 2  3. 2. 試證: 13  23 . . 1 n ,每一個正整數 n 都成立。  n(n  1) n  1. 1  n3  n2 (n  1)2 ,對每一個正整數 n 都成立。 4. 證明: (1) 當 n  1 時,左式  13  1 , 1 4 (2) 設 n  k 時,等式成立, 1 即 13  23   k 3  k 2 (k  1)2 。 4 則 n  k  1 時, 1 1 左式  13  23   k 3  (k  1)3  k 2 (k  1)2  (k  1)3  (k  1)2 [k 2  4(k  1)] 4 4 1 1 1  (k  1)2 (k 2  4k  4)  (k  1) 2 (k  2) 2  (k  1)2 [(k  1)  1]2  右式。 4 4 4 即 n  k  1 時,等式亦成立。. 右式  12  22  1 ,故 n  1 時等式成立。. 由數學歸納法原理, 得知 13  23 . 1  n3  n2 (n  1)2 對每一個正整數 n 都成立。 4. 15.

(16) 3. 試證: 12  22 . 1  n2  n(n  1)(2n  1) ,對每一個正整數 n 都成立。 6. 證明: 1 6. (1) 當 n  1 時,左式  12  1   1 2  3  右式, 即 n  1 時成立。 (2) 假設 n  k 時原式成立, 即 12  22 . 1  k 2  k (k  1)(2k  1) , 6. 則當 n  k  1 時, 左式  12  22 . 1  k 2  (k  1)2  k (k  1)(2k  1)  (k  1)2 6. 1 1 (k  1)[k (2k  1)  6(k  1)]  (k  1)(2k 2  7k  6) 6 6 1 1  (k  1)(k  2)(2k  3)  (k  1)(k  2)[2(k  1)  1]  右式, 6 6 即 n  k  1 時,等式亦成立。 由數學歸納法原理, . 1  n2  n(n  1)(2n  1) 對每一個正整數 n 都成立。 6 2 試證: 2  2  3  2   (n  1)  2n  n  2n 1 ,對每一個正整數 n 都成立。. 得知 12  22  4.. 證明: (1) 當 n  1 時,左式  2  2  4 ,右式  1  22  4 , 故 n  1 時等式成立。 (2) 設 n  k 時,等式成立, 即 2  2  3  22   (k  1)  2k  k  2k 1 則 n  k  1 時, 左式  2  2  3  22   ( k  1)  2k  ( k  2)  2k 1  k  2k 1  (k  2)  2k 1  (2k  2)  2k 1  (k  1)  2k  2  (k  1)  2( k 1) 1  右式。. 由數學歸納法原理, 得知 2  2  3  22   (n  1)  2n  n  2n 1 對每一個正整數 n 都成立。 5. 設 n 是正整數,試證 n3  2n 是 3 的倍數。 證明: (1) 當 n  1 時,原式  13  2 1  3 是 3 的倍數,故 n  1 時命題成立。 (2) 設 n  k 時,命題成立,即 k 3  2k 是 3 的倍數, 令 k 3  2k  3 p ,其中 p 是整數, 則 n  k  1 時,原式  (k  1)3  2(k  1)  k 3  3k 2  3k  1  2k  2  (k 3  2k )  3k 2  3k  3  3 p  3(k 2  k  1)  3( p  k 2  k  1) , 因為 p  k 2  k  1 是整數,所以原式是 3 的倍數。 即當 n  k  1 時,命題亦成立。 由數學歸納法原理,得知對每一個正整數 n , n3  2n 都是 3 的倍數。. 16.

(17) 6. 設 n 是正整數,則 32n 1  2n  2 恆為某質數的倍數,找出此質數,並證明之。 解明: 當 n  1 時,原式  33  23  27  8  35  5  7 。 當 n  2 時,原式  35  24  243  16  259  7  37 。 猜測該質數為 7 ,再以數學歸納法驗證: 設 n  k 時,原式是 7 的倍數, 即 32k 1  2k 2 是 7 的倍數, 令 32 k 1  2k  2  7 p ,其中 p 是整數。 則 n  k  1 時, 原式  32(k 1)1  2( k 1)2  32k 3  2k 3  9  32 k 1  2  2k  2  2(32 k 1  2k  2 )  7  32 k 1  2  7 p  7  32 k 1  7(2 p  32 k 1 ) 。 由於 2 p  32 k 1 是整數,故原式是 7 的倍數,由數學歸納法原理得證。 7. 利用雙基數學歸納法證明: 設 f ( n) . (1  5 ) n  (1  5 ) n 5. ,證明:若 n  N ,則 f (n) 恆為自然數。. 解答:. f (n) . 1  1 5 n 1 5 n  1 ( ) ( )   ( n   n ) ,  2 2 5 5 . 1 5 1 5 ,  2 2 1 n  1時, f (1)  (   )  1  N , 5 1 1 n  2 時, f (2)  ( 2   2 )  (   )(   )  1  N , 5 5 設 n  k , k  1 時成立, 即 f (k ), f (k  1)  N , 則 n  k  2 時, 1 ( k 2   k 2 ) f (n  2)  5 1  ( k 1   k 1 )(   )   ( k   k ) (    1,  1) 5 1 1  ( k 1   k 1 )  ( k   k )  f (k  1)  f (k )  N , 5 5 n  k  2 亦真。 ∴故由數學歸納法得知:若 n  N ,則 f (n) 恆為自然數。. 其中  . . . 17.

(18) 8. 試證: 12  22  32  42   (2n  1)2  (2n)2  n(2n  1) ﹐對任意正整數都成立﹒ 證明: (1) 當 n  1 時,左式  (2  1  1) 2  (2  1) 2  12  22  3 , 右式  1 (2 1  1)  3 ,所以 n  1 時成立。 (2) 假設 n  k 時,原式成立, 即 12  22  32  42   (2k  1) 2  (2k ) 2  k (2k  1) , 則 n  k  1 時, 左式  12  22  32  42   (2k  1) 2  (2k ) 2  (2k  1) 2  (2k  2) 2  k (2k  1)  (2k  1) 2  (2k  2) 2  2k 2  5k  3  (k  1)(2k  3)  (k  1)[2(k  1)  1]  右式, 即 n  k  1 時原式亦成立。 由數學歸納法原理,原命題成立。 9.. a1  0  設數列  an  滿足  1  an ,求一般項 an 。 an 1  3  a n . 解答: 依序由 a1 求 a2 ﹐,由 a2 求 a3 ,…, 1 3. 1 2 3 2 4 5  , a4  , a5   , a6  ,…。 2 4 5 3 6 7 n 1 觀察其規律性,猜測得 an  。 n 1. 得 a2  , a3 . 再用數學歸納法驗證: 11 。 11 k 1 (2) 設 ak  , k 1. (1) a1  0 . 則 k 1 1 1  ak k  1  (k  1)  (k  1) ak 1   3  ak 3  k  1 3(k  1)  (k  1) k 1 2k k (k  1)  1 。    2k  4 k  2 (k  1)  1 n 1 故 an  對每一個正整數 n 都成立。 n 1. 10. 試舉例說明數學歸納法的形式中的每一個步驟是缺一不可的。 例一:命題:對於任意自然數 n , n 2  n  1 為質數。 說明:可證明起始性,但證不出連續性。 例二:命題:對於任意自然數 n , n 2  n  1 為偶數。 說明:可證明連續性,但證不出起始性。 例三:命題:任意自然數都相等。 說明:可證明連續性,但證不出起始性。. 18.

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參考文獻

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